Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik

K APITEL XII
Lagrange-Formulierung der
Elektrodynamik
Die Gesetze der Elektrodynamik — und zwar die Maxwell-Gleichungen und die Form der LorentzKraft — sind dadurch motiviert, dass die daraus folgenden Vorhersagen im Einklang mit experimentellen Ergebnissen sind. Diese Gesetze können aber auch hergeleitet werden, und zwar aus einem
Extremalprinzip: ähnlich wie in Kap. II führt die Forderung, dass eine Wirkung ihr Extremum
für die physikalisch realisierte Konfiguration von Feld und Quellen erreicht, zu Euler–LagrangeGleichungen, die genau die üblichen Bewegungsgleichungen sind. Hiernach wird einem System aus
bewegten Punktladungen — oder allgemeiner aus elektrischen Ladungs- und Stromverteilungen —
und einem elektromagnetischen Feld eine Lagrange-Funktion zugeordnet. Die Letztere besteht aus
drei Beiträgen, die jeweils die freien Ladungen, das freie elektromagnetische Feld und deren Wechselwirkungsterm beschreiben.
XII.1 Ladungen und Ströme in einem elektromagnetischen Feld
Wir betrachten zuerst die Lagrange-Formulierung der Dynamik einer Punktladung, oder allgemeiner
von Punktladungen bzw. von einer Ladungs- und Stromverteilung, in einem nicht-dynamischen
elektromagnetischen Feld.
XII.1.1 Wiederholung: Lagrange-Funktion einer freien Punktladung
Die Lagrange-Funktion eines freien punktförmigen Teilchens der Masse m wurde in früheren
Kapiteln dieser Vorlesung schon diskutiert. Sei ~x(t) bzw. ~v (t) die Position bzw. die Geschwindigkeit
des Teilchens relativ zu einem festen Bezugssystem.
Falls das Teilchen nicht-relativistisch ist (§ II.2.3 a) lautet seine Lagrange-Funktion [Gl. (II.13)]
(n.-r.)
LM
m
t, ~x(t), ~v (t) = ~v (t)2 ,
2
(XII.1a)
wobei das tiefgestellte Kürzel M für Materie steht. Für ein relativistisches Teilchen gilt [§ VI.1.1,
Gl. (VI.3a)]
r
~v (t)2
(rel.)
LM t, ~x(t), ~v (t) = −mc2 1 − 2 .
(XII.1b)
c
Entsprechend diesen Lagrange-Funktionen wird der kanonisch konjugierte Impuls ~p ≡ ∂LM /∂~v
definiert, und zwar
~p = m~v
(XII.2a)
im nicht-relativistischen Fall bzw.
m~v
~p = p
1 − ~v 2/c2
[Gl. (VI.4)] für das relativistische Teilchen.
(XII.2b)
201
XII.1 Ladungen und Ströme in einem elektromagnetischen Feld
Das Integral der Lagrange-Funktion (XII.1) über die Zeit entlang einer Bahn ~x(t) gibt die
zugehörige Wirkung
Z tb
(n.-r.)
SM =
LM
t, ~x(t), ~v (t) dt
(XII.3a)
ta
bzw.
Z
tb
SM =
ta
(rel.)
LM
Z
t, ~x(t), ~v (t) dt = −mc2
τb
dτ,
(XII.3b)
τa
wobei τ die Eigenzeit im des Teilchens bezeichnet.
Die physikalisch realisierte Bahnkurve ergibt sich laut dem Hamilton-Prinzip (II.8) aus der
Extremierung der Wirkung. Dies führt zu den üblichen Euler–Lagrange-Gleichungen (II.9)
∂LM t, ~x(t), ~v (t)
d ∂LM t, ~x(t), ~v (t)
=
,
(XII.4a)
∂~x
dt
∂~v
wobei die Schreibweise mit Ableitungen nach Vektoren eine günstige Notation für
∂LM t, ~x(t), ~v (t)
d ∂LM t, ~x(t), ~v (t)
=
für i = 1, 2, 3,
(XII.4b)
∂xi
dt
∂v i
darstellt. Für die Lagrange-Funktionen (XII.1) ergibt sich einfach
d~p(t) ~
=0
dt
mit ~p dem kanonisch konjugierten Impuls (XII.2).
(XII.5)
XII.1.2 Punktladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld
Sei jetzt angenommen, dass sich die Punktladung mit Masse m und elektrischer Ladung q in
einem äußeren, vorgegebenen elektromagnetischen Feld befindet. Das Letztere wird durch Potentiale
~ r) oder äquivalent ein Viererpotential A(t,~r) [Gl. (XI.6)] beschrieben.
Φ(t,~r) und A(t,~
XII.1.2
a Lagrange-Funktion und Wirkung
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Der Beitrag zur Lagrange-Funktion zur Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Punktladung
und elektromagnetischem Feld lautet [31]
~ t, ~x(t)
LM+F t, ~x(t), ~v (t) = −qΦ t, ~x(t) + q~v (t) · A
(XII.6a)
oder äquivalent, unter Einführung der Komponenten xµ (t) bzw. Aµ (t,~r) der Weltlinie der Punktladung bzw. des Viererpotentials
dxµ (t) µ
LM+F t, ~x(t), ~v (t) = q
A t, ~x(t) .
dt
(XII.6b)
Dabei steht das Kürzel M+F für die Wechselwirkung zwischen Materie und Feld.
Aus dieser Lagrange-Funktion folgt die Wirkung
Z tb
Z b
Z
µ
SM+F =
LM+F t, ~x(t), ~v (t) dt = q A t, ~x(t) dxµ = q
ta
a
τb
uµ (t)Aµ t, ~x(t) dτ,
(XII.7)
τa
mit uµ (t) den kovarianten Koordinaten der Vierergeschwindigkeit des Teilchens. Diese Wirkung ist
deutlich Lorentz-invariant, wie die Wirkung (XII.3b) des relativistischen freien Teilchens. Dagegen
ist die Lagrange-Funktion (XII.6) nicht Lorentz-invariant.
Die Lagrange-Funktion (XII.6) ist auch nicht invariant unter Eichtransformationen der Potentiale. Unter einer Transformation (X.14) — oder äquivalent (XI.8) für das Viererpotential — ändert
sich die Lagrange-Funktion gemäß
202
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
LM+F
∂χ t, ~x(t)
0
~
+ ~v (t) · ∇ χ t, ~x(t)
~x(t), ~v (t) → LM+F ~x(t), ~v (t) = LM+F ~x(t), ~v (t) + q
∂t
dχ t, ~x(t)
= LM+F ~x(t), ~v (t) + q
.
dt
Da LM+F und L0M+F nur um eine totale Zeitableitung abweichen, unterscheiden sich die zugehörigen
Wirkungen (XII.7) nur um eine Konstante, die später keine Rolle für die Bewegungsgleichungen
spielt [vgl. Gl. (II.10) und den entsprechenden Beweis]. Daher werden die Bewegungsgleichungen in
§ XII.1.2 c eichinvariant sein.
XII.1.2 b Kanonischer Impuls und Hamilton-Funktion
Der kanonische Impuls der Punktladung im elektromagnetischen Feld folgt aus der üblichen
Definition, angewandt auf die gesamte Lagrange-Funktion L(1) = LM + LM+F :
∂L(1) t, ~x(t), ~v (t)
~ = p~ + q A
~ t, ~x(t) ,
(XII.8)
≡ Π
∂~v
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
wobei der erste Term im rechten Glied der Impuls (XII.2) der freien Punktladung ist, entsprechend
deren kinetischen Impuls. Somit sind kanonischer und kinetischer Impuls einer Punktladung in
Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes unterschiedlich.
Die Hamilton-Funktion für eine Punktladung in einem äußeren elektromagnetischen Feld ist
~ · ~v − L(1) .
H≡Π
(XII.9a)
Dies ergibt für ein nicht-relativistisches Teilchen
m~v (t)2
+ qΦ(t,~r)
2
und im allgemeineren Fall einer möglicherweise relativistischen Punktladung
H (n.-r.) =
mc2
H (rel) = p
+ qΦ(t,~r).
1 − ~v (t)2 /c2
(XII.9b)
(XII.9c)
~
Dabei wird die Hamilton-Funktion aber noch nicht durch die kanonisch konjugierten Variablen (~r, Π)
ausgedrückt, wie es für den Hamilton-Formalismus nötig ist.
~ ein, so lautet
Führt man den Vierervektor Π mit kontravarianten Komponenten Πµ ≡ (H/c, Π)
der kinetische Viererimpuls der Punktladung, bestehend aus ihrer Energie und ihrem kinetischen
Impuls, p = Π − q A(x) bzw. komponentenweise pµ = Πµ − qAµ (x).(54) Bildet man den LorentzQuadrat dieser Identität, so kommt
2 1
~ − q A(t,~
~ r) 2 ,
−m2 c2 = pµ pµ = − 2 H − qΦ(t,~r) + Π
c
d.h. nach trivialer Umformung
q ~
~ − q A(t,
~ ~r) 2 + m2 c4 + qΦ(t, ~r).
H(~r, Π) = c2 Π
(XII.10)
~ ausgedrückt.
Nun wird die Hamilton-Funktion durch die Variablen (~r, Π)
XII.1.2
c Bewegungsgleichungen
:::::::::::::::::::::::::::::::::
Kombiniert man die aus der Kettenregel folgende Identität
~ t, ~x(t)
~ t, ~x(t)
dA
∂A
~ A
~ t, ~x(t)
=
+ ~v (t) · ∇
dt
∂t
(54)
Diese Gleichungen zeigen im Nachhinein, dass Π ein wohldefinierter Vierervektor ist.
203
XII.1 Ladungen und Ströme in einem elektromagnetischen Feld
mit der Ableitung
∂L(1) t, ~x(t), ~v (t)
~
~ ~v (t) · A
~ t, ~x(t) ,
= −q ∇Φ(t,
~x) + q ∇
∂~x
so führt die Euler–Lagrange-Gleichung
∂L(1) t, ~x(t), ~v (t)
d ∂L(1) t, ~x(t), ~v (t)
=
∂~x
dt
∂~v
zu
~ t, ~x(t)
∂A
d~p(t)
~
~
~
~
~
=q −
− ~v (t) · ∇ A t, ~x(t) − ∇Φ t, ~x(t) + ∇ ~v (t) · A t, ~x(t) .
dt
∂t
~ × A)
~ = ∇(~
~ v · A)
~ − (~v · ∇)
~ A
~ und den Beziehungen (X.12) und (X.13) ergibt
Aus der Formel ~v × (∇
sich dann die Bewegungsgleichung
h
i
d~p(t)
~ t, ~x(t) + ~v (t) × B
~ t, ~x(t) .
=q E
(XII.11)
dt
Auf der linken Seite steht die Zeitableitung des kinetischen Impulses der Punktladung, auf der
rechten Seite erkennt man die darauf wirkende Lorentz-Kraft: man findet die übliche Bewegungsgleichung wieder.
Bemerkung: Ausgehend aus der Hamilton-Funktion (XII.10) führen die Hamilton-Gleichungen(55)

∂H


= ẋi = v i ,

∂Πi
∂H



= −Π̇i
∂xi
für i = 1, 2, 3
zur gleichen Bewegungsgleichung.
XII.1.3 Ladungs- und Stromverteilungen in einem elektromagnetischen Feld
Die Lagrange-Funktion (XII.6) bzw. die Wirkung (XII.7) lässt sich auf den Fall mehrerer Punktladungen {qa } in einem elektromagnetischen Feld sofort verallgemeinern. Somit gilt
X
X
~ t, ~xa (t)
LM+F t, {~xa (t)}, {~va (t)} = −
qa Φ t, ~xa (t) +
qa~va (t) · A
(XII.12a)
a
=
X
a
a
dxa,µ (t) µ
qa
A t, ~xa (t) .
dt
(XII.12b)
Dabei sind die {~xa (t)} die Bahnkurven der Punktladungen, die {xa,µ (t)} die kovarianten Koordinaten der entsprechenden Weltlinien, und die {~va (t)} ihre Geschwindigkeiten.
Eine Integration über die Zeit liefert die zugehörige Wirkung
Z tb X h
i
~ t, ~xa (t) dt
SM+F = −
qa Φ t, ~xa (t) − ~va (t) · A
(XII.13a)
ta
Z
tb
=
a
X
ta
a
qa
dxa,µ (t) µ
A t, ~xa (t) dt.
dt
Diese Ausdrücke können noch transformiert werden, und zwar in der Form
Z tbZ X
i
h
~ r) d3~r dt.
SM+F = −
qa δ (3) ~r − ~xa (t) Φ(t,~r) − ~va (t) · A(t,~
ta
(55)
R3 a
Die Position der Indizes in diesen Gleichungen ist nicht willkürlich!
(XII.13b)
204
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
Unter Verwendung der elektrischen Ladungsdichte ρel. und -stromdichte ~el. [Gl. (VII.6)] der Punktladungen ergibt sich dann
SM+F
Z tbZ
=−
ta
h
i
~ r) d3~r dt.
ρel.(t,~r)Φ(t,~r) − ~el.(t,~r) · A(t,~
(XII.14a)
R3
Ausgedrückt durch den aus Gl. (XI.11) folgenden elektrischen Viererstrom Jel. lautet dies noch
Z
SM+F =
Jel.(x) · A(x)
d4 x
,
c
(XII.14b)
wobei d4 x das Vierervolumenelement bezeichnet [Gl. (V.21)], während das Integrationsgebiet nicht
präzisiert wurde.
Diese Ausdrücke der Wirkung — und dabei der Lagrange-Funktion, die als Integrand des Integrals über die Zeit in Gl. (XII.14a) auftaucht — gelten noch für beliebige elektrische Ladungs- und
Stromverteilungen ρel. , ~el. in einem elektromagnetischen Feld.
Man prüft ähnlich wie in § XII.1.2 a nach, dass die Wirkung (XII.14) eichinvariant ist. An der
Gl. (XII.14b) erkennt man auch deren Invarianz unter Lorentz-Transformationen.
Das Integrand Jel.(x) · A(x) ist nämlich ein Lorentz-Skalar, und so ist das Integrationsmaß d4 x.
XII.2 Elektromagnetisches Feld mit Quellen
In diesem Abschnitt werden zuerst Elemente der klassischen Feldtheorie — Lagrange-Dichte, mit
den zugehörigen Euler–Lagrange-Gleichungen, Noether-Theorem. . . — eingeführt (§ XII.2.1). Diese
Ideen werden dann auf das Beispiel des elektromagnetischen Feldes angewandt (§ XII.2.2–XII.2.3).
Hiernach werden die relativistisch kovarianten Notationen durchaus benutzt.
XII.2.1 Einführung in die klassische Feldtheorie
Es seien ϕk (x), k = 1, . . . , N die Komponenten in einem gegebenen Bezugssystem von einem
Feld bzw. von einem System von Feldern auf dem Minkowski-Raum,(56) wobei N von der tensoriellen
Natur des Feldes abhängt: N = 1 für ein einzelnes Skalarfeld, N = 4 für ein Vierervektorfeld, usw.
Die in diesem Paragraph eingeführten Begriffe und Ergebnisse stellen eine Verallgemeinerung
jener des § II.2 auf den Fall einer unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden dar.
XII.2.1
a Definitionen
:::::::::::::::::::::
Diesem Feld wird ein Funktional der Komponenten ϕk (x) und deren Ableitungen ∂µ ϕk (x) zugeordnet, die Lagrange-Dichte
L ϕk (x), ∂µ ϕk (x) .
(XII.15a)
Dieses Funktional bestimmt die ganze Dynamik des Feldes. Die entsprechende Lagrange-Funktion
ist durch
Z
L = L ϕk (x), ∂µ ϕk (x) d3~r,
(XII.15b)
gegeben, wobei die Integration auf den ganzen dreidimensionalen Raum durchgeführt wird — wes(56)
Tatsächlich darf man auch Felder auf einem beliebigen Zeitraum betrachten.
XII.2 Elektromagnetisches Feld mit Quellen
205
halb L als Dichte bezeichnet wird. Die resultierende Wirkung lautet
Z
tb
S=
ta
Z
d4 x
L dt = L ϕk (x), ∂µ ϕk (x)
c
(XII.15c)
mit d4 x dem Vierervolumenelement (V.21).
Bemerkungen:
∗ Ist die Lagrange-Dichte eines Systems von Feldern ein Lorentz-Skalar, so ist die resultierende
Wirkung automatisch Lorentz-invariant.
∗ Zwei Lagrange-Dichten L und L 0 , die nur um eine Viererdivergenz 6 · M(x) = ∂µ Mµ (x) abweichen, wobei M ein Vierervektorfeld bezeichnet, führen jeweils zu Wirkungen S und S 0 , die dieselben
Bewegungsgleichungen liefern. Daher sind solche Lagrange-Dichten äquivalent: die Lagrange-Dichte
eines gegebenen Systems von Feldern ist nicht eindeutig.
XII.2.1
b Hamilton-Prinzip. Euler–Lagrange-Gleichungen
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Wie im § II.2.2 gilt das Hamilton-Prinzip, laut welchem die physikalisch realisierte „Konfiguration“ der Felder solche ist, welche die Wirkung extremal macht — wobei die Konfiguration in der
Raumzeit zu betrachten ist, d.h. sie entspricht der Zeitentwicklung einer räumlichen Anordnung.
Betrachtet man die Variation der Wirkung (XII.15c) für eine Variation δϕk des Feldes, so lautet
4
sie
Z ∂L
∂L
d x
δS =
δϕk +
δ∂µ ϕk
,
∂ϕk
∂(∂µ ϕk )
c
wobei über doppelt auftretende Indizes k = 1 . . . N und µ summiert wird.
Da δ∂µ ϕk = ∂µ δϕk , kann der zweite Term im Integranden durch partielle Integration berechnet
werden. Der resultierende integrierte Term verschwindet(57) und es bleibt
Z ∂L
∂L
d4 x
δS =
− ∂µ
δϕk
∂ϕk
∂(∂µ ϕk )
c
übrig.
Die Wirkung ist extremal wenn δS = 0 für beliebige Variationen δϕk , d.h. wenn das Feld und
seine Ableitungen den Euler–Lagrange-Gleichungen
∂L ϕk , ∂ν ϕk
∂L ϕk , ∂ν ϕk
= ∂µ
∂ϕk
∂(∂µ ϕk )
(XII.16)
genügen. Diese stellen die Bewegungsgleichungen des Feldes dar.
XII.2.2 Elektromagnetisches Feld in Anwesenheit fester Quellen
XII.2.2
a Lagrange-Dichte des elektromagnetischen Feldes
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Der Vergleich der Gl. (XII.14b) und (XII.15c) zeigt, dass die Lagrange-Funktion für den Wechselwirkungsterm zwischen einem elektrischen Strom und dem elektromagnetischen Feld als Integral
der Lagrange-Dichte
ν
LM+F ≡ Jel.
(x)Aν (x) = Jel.(x) · A(x)
(XII.17)
betrachtet werden kann.
(57)
An den „Endpunkten“, entsprechend in der Raumzeit einem Oberflächenterm, werden die Felder nicht variiert.
206
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
In dieser Lagrange-Dichte tritt das elektromagnetische Feld in der Form des Viererpotentials
eher als des Feldstärketensors auf: die relevanten Freiheitsgrade sind also die Komponenten Aν (x).
Dazu kann die Lagrange-Dichte auch Funktion der Ableitungen ∂µ Aν (x) sein.
Die „Standard“-Lagrange-Dichte für das freie elektromagnetische Feld ist
LF [Aν , ∂µ Aν ] = −
i
1
0 h ~
~ ~r)2
Fµν (x)F µν (x) =
E(t, ~r)2 − c2 B(t,
4µ0
2
(XII.18)
mit Fµν (x) den kovarianten Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors (XI.1).
Bemerkungen:
∗ Da die Lagrange-Dichte (XII.18) des freien elektromagnetischen Feldes nur vom Feldstärketensor
abhängt, ist sie wie dieser eichinvariant.
Im Gegensatz hängt die Lagrange-Dichte (XII.17) für den Wechselwirkungsterm zwischen Feld und
Punktladung von der Eichung ab. Wie oben schon bemerkt wurde ist die entsprechende Wirkung
aber eichinvariant.
∗ Wie immer kann man andere Lagrange-Dichten für das freie elektromagnetische Feld postulieren,
die zu den gleichen Bewegungsgleichungen führen. Daher wird die Wahl (XII.18) oft als Standard
bezeichnet.
XII.2.2 b Bewegungsgleichungen
Ein dynamisches elektromagnetisches Feld in Anwesenheit von festen Quellen lässt sich dann
durch die Lagrange-Dichte L (2) [Aν , ∂µ Aν ] = LF [Aν , ∂µ Aν ] + LM+F [Aν , ∂µ Aν ] beschreiben.
Die entsprechenden Euler–Lagrange-Gleichungen folgen aus
∂LF
∂LM+F
∂LM+F
ν
= 0,
= Jel.
(x),
=0
∂Aν
∂(∂µ Aν )
∂Aν
:::::::::::::::::::::::::::::::::
und
1
∂
1
∂
1
∂LF
=−
Fµν (x)F µν (x) = −
∂µ Aν (x)F µν (x) = − F µν (x).
∂(∂µ Aν )
4µ0 ∂(∂µ Aν )
2µ0 ∂(∂µ Aν )
µ0
Laut Gl. (XII.16) ergibt sich
1
∂µ F µν (x),
µ0
d.h. unter Berücksichtigung der Antisymmetrie des Feldstärketensors (∂µ F µν = −∂ν F µν )
ν
(x) = −
Jel.
µ
∂ν F µν (x) = µ0 Jel.
(x).
(XII.19)
Das heißt, man findet die inhomogenen Maxwell-Gleichungen (XI.13a) wieder, was die Wahl der
Lagrange-Dichte (XII.18) rechtfertigt.(58)
Bemerkung: In der obigen Herleitung der Bewegungsgleichungen wurde angenommen, dass die Komponenten Aν (x) mit ν = 0, 1, 2, 3 unabhängig voneinander sind. Wegen der Eichinvarianz der Elektrodynamik ist dies aber nicht der Fall: das elektromagnetische Feld im Vakuum besitzt nicht vier
Freiheitsgrade, sondern nur zwei — entsprechend den zwei möglichen linearen Polarisationen. Die
Eichinvarianz der Theorie kann später durchgesetzt werden, wie sich am folgenden Beispiel des
Energieimpulstensors beobachten lässt.
XII.2.3 Energieimpulstensor
Aus der Invarianz der Elektrodynamik unter einer beliebigen Translation xµ → x0µ = xµ + aµ
in der Raumzeit folgt die Existenz einer Erhaltungsgröße, des Energieimpulstensors.
(58)
Wie schon in § XI.3.1 bemerkt folgen die homogenen Maxwell-Gleichungen (XI.13b) automatisch aus der Beziehung
Fµν (x) = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x), d.h. sie sind nicht dynamisch.
207
XII.2 Elektromagnetisches Feld mit Quellen
XII.2.3
a Noether-Theorem
::::::::::::::::::::::::::
Betrachten wir wieder die allgemeine Lagrange-Dichte L ϕk (x), ∂µ ϕk (x) des § XII.2.1.
Es wird angenommen, dass die resultierende Wirkung
Z
d4 x
S = L ϕk (x), ∂µ ϕk (x)
(XII.20)
c
Ω
invariant ist unter den gleichzeitigen infinitesimalen Transformationen
xµ → x0µ = xµ + δxµ ,
ϕk (x) →
ϕ0k (x)
= ϕk (x) + δ̃ϕk (x).
(XII.21a)
(XII.21b)
Unter diesen Transformationen ändert sich das vierdimensionale Integrationsvolumen in Gl. (XII.20)
gemäß Ω → Ω0 . Dann lautet die transformierte Wirkung (XII.20)
Z
I
Z
d4 x
d4 x0
d3 σµ
= L ϕ0k (x), ∂µ ϕ0k (x)
+
L ϕ0k (x), ∂µ ϕ0k (x) δxµ
,
S0 =
L ϕ0k (x0 ), ∂µ ϕ0k (x0 )
c
c
c
Ω
∂Ω
Ω0
mit ∂Ω der dreidimensionalen Oberfläche („Hyperfläche“) des Integrationsvolumens Ω und d3 σµ
einem Hyperflächenelement.
Die Taylor-Entwicklung zur ersten Ordnung der rechten Seite dieser Gleichung liefert die Variation der Wirkung
4
Z I
d3 σµ
∂L
d x
∂L
0
S −S =
∂µ δ̃ϕk
+
L δxµ
δ̃ϕk +
∂(∂µ ϕk )
c
c
Ω ∂ϕk
∂Ω
3
Z I 4
∂L
∂L
d x
∂L
µ d σµ
=
− ∂µ
δ̃ϕk
+
δ̃ϕk + L δx
,
∂(∂µ ϕk )
c
c
Ω ∂ϕk
∂Ω ∂(∂µ ϕk )
wobei der Übergang von der ersten zur zweiten Zeile einer partiellen Integration entspricht. In allen
Termen ist das nicht-geschriebene Argument der Lagrange-Dichte [ϕk (x), ∂µ ϕk (x)].
Wegen der Euler–Lagrange-Gleichungen (XII.16) ist das Volumenintegral in der zweiten Zeile
gleich Null. Somit ist die Wirkung nur dann invariant unter der Transformation (XII.21), wenn
das Oberflächenintegral ebenfalls verschwindet. Im Letzteren kann δ̃ϕk (x) durch die Variation des
Feldes
(XII.22)
δϕk ≡ ϕ0k (x0 ) − ϕk (x) ' δ̃ϕk (x) + δxν ∂ νϕk (x)
ausgedrückt werden. Dann gilt
3
I ∂L
ν
µ d σµ
δϕk − δxν ∂ ϕk + L δx
=
c
∂Ω ∂(∂µ ϕk )
3
I d σµ
∂L
∂L
µν
ν
δϕk + η L −
∂ ϕk δxν
= 0.
∂(∂µ ϕk )
c
∂Ω ∂(∂µ ϕk )
Man definiert den (kanonischen) Energieimpulstensor T kan. durch seine Komponenten
∂L
∂ νϕk
∂(∂µ ϕk )
(XII.23a)
∂L
µν
δϕk + Tkan.
δxν ,
∂(∂µ ϕk )
(XII.23b)
µν
Tkan.
≡ η µν L −
sowie den Noether-Strom N mit Komponenten
Nµ ≡
wobei es sich eigentlich um eine Stromdichte handelt. Dann liefert der Satz von Stokes
I
Z
N µ (x) d3 σµ = 0 = ∂µ N µ (x) d4 x.
∂Ω
Ω
(XII.23c)
208
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
Sei Ω das Volumen zwischen den Hyperflächen t1 = Konstante und t2 = Konstante, entsprechend dem zeitartigen Hyperflächenelement
d3 σµ = (−d3~r, ~0). Wenn die Felder ϕk im räumlichen
R 0
Unendlichen verschwinden, dann ist N (x) d3~r eine Konstante der Bewegung.
Dies gilt insbesondere für jede der vier Komponenten
Z
0ν
ν
(x) d3~r für ν = 0, 1, 2, 3,
P ≡ Tkan.
t
die sich aus dem Einsetzen von δϕk = 0 und δxν = aν — entsprechend der Invarianz der LagrangeDichte unten Translationen in der Raumzeit — in den Ausdruck (XII.23b) des Noether-Stroms
ergeben.
Die Erhaltung der vier Größen P ν stellt einen Sonderfall des Noether-Theorems dar, laut dem
zu jeder kontinuierlichen Gruppe von Transformationen der Felder und Koordinaten, welche die
Wirkung invariant lassen, eine Erhaltungsgröße zugeordnet werden kann.
Bemerkungen:
∗ Die Invarianz der Wirkung unter Translationen der Raumzeit ist nur Teil der nötigen Invarianz
relativistischer Theorien unter allen Elementen [Gl. (V.24)] der Poincaré-Gruppe. Aus der Invarianz
unter Lorentz-Transformationen der Koordinaten folgt die Erhaltung des Tensors dritter Stufe mit
µνρ
µρ
µν
Komponenten M
= xν Tkan.
− xρ Tkan.
— entsprechend einem „verallgemeinerten Drehimpuls“ —,
µν
mit Tkan.
dem kanonischen Energieimpulstensor (XII.23a).
∗ In manchen Büchern wird statt der Invarianz der Wirkung unter den Transformationen (XII.21)
die strengere Invarianz der Lagrange-Dichte erfordert. Diese Bedingung ist aber zu beschränkend und
gilt beispielsweise nicht für die Lagrange-Dichte einer Punktladung in einem elektromagnetischen
Feld! Für eine Diskussion s. Lévy-Leblond [32].
∗ In Analogie zur Mechanik einer endlichen Zahl von Freiheitsgraden ordnet man dem Feld ϕk mit
der Lagrange-Dichte L einen kanonisch konjugierten Impuls
πk ≡
∂L
∂(∂0 ϕk )
(XII.24)
zu. Damit ergibt sich die Hamilton-Dichte
H[πk , ϕk ] = πk ∂0 ϕk − L ,
(XII.25)
dessen Integral über den Raum die Hamilton-Funktion liefert. Aus Gl. (XII.23a) mit η 00 = −1 und
∂ 0 ϕk = −∂0 ϕk folgt die Identität der Hamilton-Dichte mit der 00-Komponente des kanonischen
00 .
Energieimpulstensors, H = Tkan.
XII.2.3
b Elektromagnetischer Energieimpulstensor
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Im Vakuum, d.h. in Abwesenheit von Quellen, ist die Wirkung des (freien) elektromagnetischen Feldes invariant unter Raumzeittranslationen. Aus Gl. (XII.23a) und der Standard-LagrangeDichte (XII.18) des freien elektromagnetischen Felds ergibt sich der kanonische Energieimpulstensor
µν
Tkan.
= η µν LF −
∂LF
1
∂ νAρ = η µν LF + F µρ ∂ νAρ ,
∂(∂µ Aρ )
µ0
(XII.26)
der laut den Ergebnissen des vorigen Paragraphen „erhalten“ sein soll:(59) damit Gl. (XII.23c) für
ein beliebiges Ω erfüllt ist, soll
µν
∂µ Tkan.
(x) = 0
(XII.27)
in jedem Punkt x und für jedes ν = 0, 1, 2, 3 gelten.
(59)
Eigentlich ist die zugehörige Noether-Ladung erhalten.
209
XII.2 Elektromagnetisches Feld mit Quellen
Der Tensor (XII.26) ist aber nicht eichinvariant! Ersetzt man Aµ durch A0µ = Aµ + ∂ µ χ, so
µν
0µν
µν
transformiert sich Tkan.
in Tkan.
= Tkan.
+ (1/µ0 )F µρ ∂ ν ∂ρ χ.
Allgemein existieren neben dem kanonischen Tensor (XII.23a) weitere Energieimpulstensoren,
die ebenfalls erhalten sind, und zwar der Art
µν
T µν(x) = Tkan.
(x) + ∂ρ K µρν(x),
wobei K µρν antisymmetrisch in µ und σ ist: K µρν = −K ρµν . Man überprüft einfach
µν
∂µ T µν(x) = ∂µ Tkan.
(x) + ∂µ ∂ρ K µρν(x) = 0,
wobei der zweite Term wegen der Symmetrie von ∂µ ∂ρ und der Antisymmetrie von K µρν Null
ist. Für das elektromagnetische Feld liefert die Wahl K µρν = −(1/µ0 )F µρ Aν einen eichinvarianten
Energieimpulstensor
i
1 h µρ
µν
Te.m.
(x) = η µν LF +
F (x)∂ νAρ (x) − ∂ρ F µρ (x)Aν(x)
µ0
i
1 h µρ
F (x)∂ νAρ (x) − F µρ (x)∂ρ Aν(x) ,
= η µν LF +
µ0
wobei die Maxwell-Gleichung ∂ρ F µρ = 0 in der letzten Gleichung benutzt wurde. Mit dem Ausdruck (XII.18) der Lagrange-Dichte lässt sich dieser Tensor noch als
µν
Te.m.
(x)
1
1 µν
µρ
ν
ρσ
=−
F (x)Fρ (x) + η Fρσ (x)F (x)
µ0
4
(XII.28a)
umschreiben. Somit findet man Gl. (XI.12b) wieder, und die Gleichung
µν
∂µ Te.m.
(x) = 0
(XII.28b)
stellt einen Spezialfall der Bilanzgleichung (XI.18) mit Jel.(x) = 0 dar.
Literatur zum Kapitel XII
• Fließbach, Elektrodynamik [3] Teil IV Kap. 19.
• Greiner, Klassische Elektrodynamik [8] Teil IV Kap. 23.
• Jackson, Klassische Elektrodynamik [11] = Classical Electrodynamics [12] Kap. 12.1, 12.7,
12.10.
• Landau & Lifschitz, Klassische Feldtheorie [14] = The classical theory of fields [26] Kap. 4
§ 27–33.
• Nolting, Spezielle Relativita?tstheorie, Thermodynamik [27] Erster Teil, Kap. 2.4.
• Scheck, Klassiche Feldtheorie [19] Kap. 3.