Die natürlichen Zahlen ermöglichen das Zählen von Objekten. Das

1 Die Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
Die natürlichen Zahlen ermöglichen das Zählen von
Objekten. Das können in begrenztem Umfang Kleinkinder
und sogar Tiere.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1 Die Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
Die natürlichen Zahlen ermöglichen das Zählen von
Objekten. Das können in begrenztem Umfang Kleinkinder
und sogar Tiere.
Wir stellen uns vor, dass Außerirdische eine völlig andere Art
von Mathematik als wir entwickelt haben – aber zählen
werden sie wie wir.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1 Die Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
Die natürlichen Zahlen ermöglichen das Zählen von
Objekten. Das können in begrenztem Umfang Kleinkinder
und sogar Tiere.
Wir stellen uns vor, dass Außerirdische eine völlig andere Art
von Mathematik als wir entwickelt haben – aber zählen
werden sie wie wir.
Wir besprechen:
◮
Das Prinzip der vollständigen Induktion.
◮
Die Fibonacci-Zahlen.
◮
Anwendungen der Induktion auf Probleme der
Kombinatorik.
◮
Das Peano-Axiomensystem für die natürlichen Zahlen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.1
Einführung
N = {1, 2, 3, . . .}
ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.1
Einführung
N = {1, 2, 3, . . .}
ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Wir verwenden auch
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.1
Einführung
N = {1, 2, 3, . . .}
ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Wir verwenden auch
N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}.
Beide Mengen haben die gleiche Struktur: Ausgehend von
einem Anfang, 1 oder 0, bilden wir Nachfolger um Nachfolger
und erhalten so die ganze Menge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel: Summe ungerader Zahlen
Wir wollen zeigen
(An )
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
für alle n ∈
N.
n = 1, 2, 3, . . . .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel: Summe ungerader Zahlen
Wir wollen zeigen
(An )
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
für alle n ∈
N.
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32
n = 1, 2, 3, . . . .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel: Summe ungerader Zahlen
Wir wollen zeigen
(An )
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
für alle n ∈
N.
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32
Ein Physiker wäre damit schon zufrieden!
n = 1, 2, 3, . . . .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel: Summe ungerader Zahlen
Wir wollen zeigen
(An )
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
für alle n ∈
n = 1, 2, 3, . . . .
N.
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32
Ein Physiker wäre damit schon zufrieden!
Bei ihm ist die Induktion, also der Schluss von Einzelfällen
auf das allgemeine Gesetz, immer unvollständig.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel: Summe ungerader Zahlen
Wir wollen zeigen
(An )
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
für alle n ∈
n = 1, 2, 3, . . . .
N.
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32
Ein Physiker wäre damit schon zufrieden!
Bei ihm ist die Induktion, also der Schluss von Einzelfällen
auf das allgemeine Gesetz, immer unvollständig.
In der Mathematik muss die Induktion dagegen vollständig
sein, also alle Einzelfälle umfassen
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein erster Schritt
Bei der Überprüfung von (An ) kann man auf bereits
Berechnetes zurückgreifen:
1 + 3 + 5 = (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 3 + 5) + 7 = 9 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 16 + 9 = 25
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein erster Schritt
Bei der Überprüfung von (An ) kann man auf bereits
Berechnetes zurückgreifen:
1 + 3 + 5 = (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 3 + 5) + 7 = 9 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 16 + 9 = 25
Um daraus einen Beweis für alle n zu machen, benötigen wir
das Prinzips der vollständigen Induktion.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Schema der vollständigen Induktion
Dazu beweist man zwei Dinge:
(i) (A1 )
(=Induktionsverankerung),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ∈
(=Induktionsschritt).
N
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Schema der vollständigen Induktion
Dazu beweist man zwei Dinge:
(i) (A1 )
(=Induktionsverankerung),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ∈
(=Induktionsschritt).
N
Der „Beweis“ von (A1 ) ist nichts anderes als dass man
nachrechnet, dass (A1 ) eine wahre Aussage ist, was wir
bereits getan haben.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Schema der vollständigen Induktion
Dazu beweist man zwei Dinge:
(i) (A1 )
(=Induktionsverankerung),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ∈
(=Induktionsschritt).
N
Der „Beweis“ von (A1 ) ist nichts anderes als dass man
nachrechnet, dass (A1 ) eine wahre Aussage ist, was wir
bereits getan haben.
Der zweite Schritt lässt sich so interpretieren: Unter der
Voraussetzung, dass wir schon wissen, dass die
Induktionsvoraussetzung (An ) richtig ist, können wir auch die
Richtigkeit von (An+1 ) nachweisen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Der Induktionszug
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
1
2
3
Wir betrachten einen unendlich langen Zug. Die Aussage
„(An ) ist richtig“ soll in diesem Bild bedeuten „Der Waggon n
fährt“.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Der Induktionszug
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
1
2
3
Wir betrachten einen unendlich langen Zug. Die Aussage
„(An ) ist richtig“ soll in diesem Bild bedeuten „Der Waggon n
fährt“.
Wenn also nur (A1 ) bewiesen ist, so fährt die Lokomotive los
– allerdings allein, weil nichts aneinandergekoppelt ist.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Der Induktionszug
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
1
2
3
Wir betrachten einen unendlich langen Zug. Die Aussage
„(An ) ist richtig“ soll in diesem Bild bedeuten „Der Waggon n
fährt“.
Wenn also nur (A1 ) bewiesen ist, so fährt die Lokomotive los
– allerdings allein, weil nichts aneinandergekoppelt ist.
Haben wir „ (A1 ) ⇒ (A2 ) “ bewiesen, so haben wir die
Wahrheit von (A2 ) an die Wahrheit von (A1 ) gekoppelt: Mit
(A1 ) wahr, ist auch (A2 ) wahr. Fährt die Lokomotive los, so
auch Waggon 2.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis des Beispiels
Induktionsverankerung: (A1 ) ist richtig.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis des Beispiels
Induktionsverankerung: (A1 ) ist richtig.
Zum Nachweis von (An+1 ) dürfen wir nun (An ) verwenden:
1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= n2 + (2(n + 1) − 1)
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis des Beispiels
Induktionsverankerung: (A1 ) ist richtig.
Zum Nachweis von (An+1 ) dürfen wir nun (An ) verwenden:
1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= n2 + (2(n + 1) − 1)
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Damit ist (An+1 ) bewiesen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Vergleich mit der Langfassung
1 + 3 + 5 = (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 3 + 5) + 7 = 9 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 16 + 9 = 25
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Vergleich mit der Langfassung
1 + 3 + 5 = (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 3 + 5) + 7 = 9 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 16 + 9 = 25
Offenbar macht der Induktionsschluss dies für alle n auf einen
Schlag.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Kein Irritationen
Bei der wahren Implikation „Wenn es regnet, ist die Straße
nass“ wird weder etwas über Regen noch über eine nasse
Straße ausgesagt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Kein Irritationen
Bei der wahren Implikation „Wenn es regnet, ist die Straße
nass“ wird weder etwas über Regen noch über eine nasse
Straße ausgesagt.
Genauso sagt (An ) ⇒ (An+1 ) für sich alleine genommen
weder etwas über (An ) noch über (An+1 ) aus.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Der modus ponens
Die Schlussweise, die wir zum Nachweis der Korrektheit der
vollständigen Induktion anwenden, heißt „modus ponens“ und
lässt sich so darstellen:
„Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“
„Es regnet“
—————————————————„Die Straße ist nass“
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Der modus ponens
Die Schlussweise, die wir zum Nachweis der Korrektheit der
vollständigen Induktion anwenden, heißt „modus ponens“ und
lässt sich so darstellen:
„Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“
„Es regnet“
—————————————————„Die Straße ist nass“
Oder allgemein
A ⇒ B
A
————
B
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Korrektheit der vollständigen Induktion
Der Beweis von (An ) baut sich schrittweise auf: (A1 ) ist die
Induktionsvoraussetzung, dann wird der Induktionsschritt für
n = 1 angewendet.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Korrektheit der vollständigen Induktion
Der Beweis von (An ) baut sich schrittweise auf: (A1 ) ist die
Induktionsvoraussetzung, dann wird der Induktionsschritt für
n = 1 angewendet.
Damit ist (A1 ) ⇒ (A2 ) ebenfalls bewiesen, nach dem modus
ponens daher auch (A2 ).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Korrektheit der vollständigen Induktion
Der Beweis von (An ) baut sich schrittweise auf: (A1 ) ist die
Induktionsvoraussetzung, dann wird der Induktionsschritt für
n = 1 angewendet.
Damit ist (A1 ) ⇒ (A2 ) ebenfalls bewiesen, nach dem modus
ponens daher auch (A2 ).
Durch fortgesetzte Anwendung des Induktionsschritts
begleitet vom modus ponens erhält man den Beweis von (An )
für alle n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Aufgabe
Man beweise für alle n ∈
N
1
Sn1 := 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1).
2
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Aufgabe
Man beweise für alle n ∈
N
1
Sn1 := 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1).
2
Lösung Induktionsverankerung n = 1: 1 =
1
2
·1·2=1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Aufgabe
Man beweise für alle n ∈
N
1
Sn1 := 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1).
2
Lösung Induktionsverankerung n = 1: 1 =
1
2
·1·2=1
Nun nehmen wir an, dass die Identität für n richtig ist
(=Induktionsvoraussetzung).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Aufgabe
Man beweise für alle n ∈
N
1
Sn1 := 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1).
2
Lösung Induktionsverankerung n = 1: 1 =
1
2
·1·2=1
Nun nehmen wir an, dass die Identität für n richtig ist
(=Induktionsvoraussetzung). Dann
1 + 2+ . . . + n + n + 1 = (1 + 2 + . . . + n) + n + 1
1
1
= n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)
2
2
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine Variante der Induktion
(An ) Aussagen für n ≥ n0 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine Variante der Induktion
(An ) Aussagen für n ≥ n0 .
Verwende dann das Beweisschema
(i) (An0 ),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ≥ n0 ,
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine Variante der Induktion
(An ) Aussagen für n ≥ n0 .
Verwende dann das Beweisschema
(i) (An0 ),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ≥ n0 ,
Die Lokomotive heißt jetzt n0 . Die Struktur des Zuges bleibt
gleich.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.2
Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir
Satz (Bernoulli-Ungleichung) Für jede reelle Zahl a ≥ −1
und für jedes n ∈ 0 gilt
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.2
Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir
Satz (Bernoulli-Ungleichung) Für jede reelle Zahl a ≥ −1
und für jedes n ∈ 0 gilt
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
Beweis In diesem Fall können wir die Induktion mit n0 = 0
verankern, denn (1 + a)0 = 1. Für n ≥ 0 gilt unter
Verwendung der Induktionsvoraussetzung (Bn )
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a)
≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + na + a + na2
≥ 1 + (n + 1)a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.3
Die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch die
Anfangsvorgaben
F0 = 0,
F1 = 1,
sowie durch die Rekursion
Fn+1 = Fn + Fn−1
für alle n ∈
N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.3
Die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch die
Anfangsvorgaben
F0 = 0,
F1 = 1,
sowie durch die Rekursion
Fn+1 = Fn + Fn−1
für alle n ∈
Für n = 1 ergibt sich also
F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1.
N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.3
Die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch die
Anfangsvorgaben
F0 = 0,
F1 = 1,
sowie durch die Rekursion
Fn+1 = Fn + Fn−1
für alle n ∈
N.
Für n = 1 ergibt sich also
F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1.
Allgemeiner ist jede Fibonacci-Zahl die Summe ihrer beiden
Vorgänger:
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5,
F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ökologisches Modell einer Kaninchenpopulation
Wie schnell vermehren sich Kaninchen? Annahmen:
◮
Jedes Paar setzt allmonatlich ein neues Paar in die Welt.
◮
Die Nachkommen produzieren nach zwei Monaten ein
weiteres Paar.
◮
Todesfälle werden nicht berücksichtigt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ökologisches Modell einer Kaninchenpopulation
Wie schnell vermehren sich Kaninchen? Annahmen:
◮
Jedes Paar setzt allmonatlich ein neues Paar in die Welt.
◮
Die Nachkommen produzieren nach zwei Monaten ein
weiteres Paar.
◮
Todesfälle werden nicht berücksichtigt.
Daher
Fn+1
Paare in n + 1
=
Fn
Paare in n
+
Fn−1
geschlechtsreife Paare in n
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Wachstumfaktor der Population
Wäre jedes neugeborene Paar sofort geschlechtsreif, so hätte
man stattdessen die Rekursion Gn+1 = 2Gn , also Gn = 2n .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Wachstumfaktor der Population
Wäre jedes neugeborene Paar sofort geschlechtsreif, so hätte
man stattdessen die Rekursion Gn+1 = 2Gn , also Gn = 2n .
Die Kaninchenpopulation in unserem Modell wächst
langsamer:
F6
8
= = 1, 6,
F5
5
F7
13
=
= 1, 625,
F6
8
34
F9
=
= 1, 619 . . . ,
F8
21
F8
21
=
= 1, 615 . . . ,
F7
13
F10
55
=
= 1, 617 . . . .
F9
34
Die Quotienten oszillieren um einen nicht offensichtlichen
Wert, der in der Nähe von 1, 618 liegt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Bestimmung des Wachstumfaktors
Wir wollen dieses Verhalten nachvollziehen. Bestimme ein
möglichst kleinen Wert a mit
für alle n ∈
N0 .
Fn ≤ an
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Bestimmung des Wachstumfaktors
Wir wollen dieses Verhalten nachvollziehen. Bestimme ein
möglichst kleinen Wert a mit
für alle n ∈
Fn ≤ an
N0 .
Als Vorübung beweisen wir die Aussagen
(Dn )
Fn ≤ 2n
für alle n ∈
N0.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine weitere Variante des Induktionsprinzips
Für einen Induktionsbeweis müssen wir Fn+1 = Fn + Fn−1
verwenden.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine weitere Variante des Induktionsprinzips
Für einen Induktionsbeweis müssen wir Fn+1 = Fn + Fn−1
verwenden.
Benötige daher Fn und Fn−1 . Nehme daher das Schema:
(i) (D0 ) und (D1 ),
(ii) (Dn−1 ) und (Dn ) ⇒ (Dn+1 ) für alle n ∈
N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eine weitere Variante des Induktionsprinzips
Für einen Induktionsbeweis müssen wir Fn+1 = Fn + Fn−1
verwenden.
Benötige daher Fn und Fn−1 . Nehme daher das Schema:
(i) (D0 ) und (D1 ),
(ii) (Dn−1 ) und (Dn ) ⇒ (Dn+1 ) für alle n ∈
Schlussweise:
(D0 ) und (D1 ) ⇒ (D2)
(D0 ) und (D1 )
——————————(D2 )
N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis von Fn ≤ 2n
Der Beweis von (D0 ) und (D1 ) ist
F0 = 0 ≤ 1 = 20 ,
F1 = 1 ≤ 2 = 21 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis von Fn ≤ 2n
Der Beweis von (D0 ) und (D1 ) ist
F0 = 0 ≤ 1 = 20 ,
F1 = 1 ≤ 2 = 21 .
Zum Nachweis von (Dn+1 ) dürfen wir die
Induktionsvoraussetzung
Fn ≤ 2n ,
verwenden.
Fn−1 ≤ 2n−1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beweis von Fn ≤ 2n
Der Beweis von (D0 ) und (D1 ) ist
F0 = 0 ≤ 1 = 20 ,
F1 = 1 ≤ 2 = 21 .
Zum Nachweis von (Dn+1 ) dürfen wir die
Induktionsvoraussetzung
Fn ≤ 2n ,
Fn−1 ≤ 2n−1
verwenden. Demnach gilt
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ 2n + 2n−1 ≤ 2 · 2n = 2n+1 .
Damit ist (Dn+1 ) bewiesen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Der Induktionsanfang F0 ≤ a0 und F1 ≤ a ist für jedes a ≥ 1
richtig.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Der Induktionsanfang F0 ≤ a0 und F1 ≤ a ist für jedes a ≥ 1
richtig.
Induktionsvoraussetzung ist Fn ≤ an , Fn−1 ≤ an−1 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Der Induktionsanfang F0 ≤ a0 und F1 ≤ a ist für jedes a ≥ 1
richtig.
Induktionsvoraussetzung ist Fn ≤ an , Fn−1 ≤ an−1 .
Die Hauptschwierigkeit ist der Induktionsschritt:
!
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ an + an−1 ≤ an+1 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Der Induktionsanfang F0 ≤ a0 und F1 ≤ a ist für jedes a ≥ 1
richtig.
Induktionsvoraussetzung ist Fn ≤ an , Fn−1 ≤ an−1 .
Die Hauptschwierigkeit ist der Induktionsschritt:
!
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ an + an−1 ≤ an+1 .
Das Ausrufezeichen bedeutet hier, dass wir diejenigen a
herausfinden müssen, für die
an + an−1 ≤ an+1
richtig ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
an + an−1 ≤ an+1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
an + an−1 ≤ an+1
Da a ≥ 1 wegen des Induktionsanfangs, können wir hier
kürzen und erhalten
a + 1 ≤ a2
und somit
√
5
1
= 1.618033 . . . .
a≥Φ= +
2
2
(1)
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Für welche a gilt Fn ≤ an ?
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
an + an−1 ≤ an+1
Da a ≥ 1 wegen des Induktionsanfangs, können wir hier
kürzen und erhalten
a + 1 ≤ a2
und somit
√
5
1
= 1.618033 . . . .
a≥Φ= +
2
2
Es gilt also Fn ≤ Φn .
(1)
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen in der Natur
34 blau
21 rot
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.4
Mächtigkeit der Potenzmenge
Für jede Menge A gilt ∅ ⊂ A und A ⊂ A wegen
B⊂A
⇔
∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.4
Mächtigkeit der Potenzmenge
Für jede Menge A gilt ∅ ⊂ A und A ⊂ A wegen
B⊂A
⇔
∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Bei B = ∅ trifft auf der rechten Seite die Voraussetzung
x ∈ B nie zu, sie ist also immer falsch.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.4
Mächtigkeit der Potenzmenge
Für jede Menge A gilt ∅ ⊂ A und A ⊂ A wegen
B⊂A
⇔
∀x (x ∈ B ⇒ x ∈ A)
Bei B = ∅ trifft auf der rechten Seite die Voraussetzung
x ∈ B nie zu, sie ist also immer falsch.
Aus der Wahrheitstafel für die Implikation folgt, dass die
Implikation auf jeden Fall wahr ist, wenn die Voraussetzung
falsch ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Potenzmenge
Die Menge A2 = {1, 2} besitzt die Teilmengen
∅, {1}, {2}, {1, 2}.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Potenzmenge
Die Menge A2 = {1, 2} besitzt die Teilmengen
∅, {1}, {2}, {1, 2}.
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist definiert als die
Menge aller Teilmengen von A, daher
P({1, 2}) = ∅, {1}, {2}, {1, 2} .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Wir wollen die Anzahl der Teilmengen der Menge
An = {1, 2, . . . , n} durch Induktion über n bestimmen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Wir wollen die Anzahl der Teilmengen der Menge
An = {1, 2, . . . , n} durch Induktion über n bestimmen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Durch Probieren stellen wir zunächst eine Hypothese auf:
A1 : ∅, {1}
2
A2 : ∅, {1}, {2}, {1, 2}
4
A3 : ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
8
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Wir wollen die Anzahl der Teilmengen der Menge
An = {1, 2, . . . , n} durch Induktion über n bestimmen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Durch Probieren stellen wir zunächst eine Hypothese auf:
A1 : ∅, {1}
2
A2 : ∅, {1}, {2}, {1, 2}
4
A3 : ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
8
Die Vermutung ist also: An besitzt 2n Teilmengen.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Für n = 1 ist die Behauptung richtig (=Induktionsanfang).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Für n = 1 ist die Behauptung richtig (=Induktionsanfang).
2n
Sei
die Anzahl der Teilmengen von An
(=Induktionsvoraussetzung). Nach dem Motto „Teile und
Herrsche“ zerlege die Teilmengen von An+1 in zwei Gruppen:
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Für n = 1 ist die Behauptung richtig (=Induktionsanfang).
2n
Sei
die Anzahl der Teilmengen von An
(=Induktionsvoraussetzung). Nach dem Motto „Teile und
Herrsche“ zerlege die Teilmengen von An+1 in zwei Gruppen:
I : Teilmengen, die n + 1 nicht enthalten,
II : Teilmengen, die n + 1 enthalten.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
Für n = 1 ist die Behauptung richtig (=Induktionsanfang).
2n
Sei
die Anzahl der Teilmengen von An
(=Induktionsvoraussetzung). Nach dem Motto „Teile und
Herrsche“ zerlege die Teilmengen von An+1 in zwei Gruppen:
I : Teilmengen, die n + 1 nicht enthalten,
II : Teilmengen, die n + 1 enthalten.
Gruppe I enthält genau die Teilmengen von An , das sind nach
Induktionsvoraussetzung 2n .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
In den Teilmengen von Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und wir erhalten eine Teilmenge von An .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
In den Teilmengen von Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und wir erhalten eine Teilmenge von An .
Umgekehrt können wir jede Teilmenge von An durch Anfügen
von n + 1 zu einer Teilmenge von Gruppe II machen. Damit
enthält auch Gruppe II genau 2n Teilmengen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Zahl der Teilmengen
In den Teilmengen von Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und wir erhalten eine Teilmenge von An .
Umgekehrt können wir jede Teilmenge von An durch Anfügen
von n + 1 zu einer Teilmenge von Gruppe II machen. Damit
enthält auch Gruppe II genau 2n Teilmengen.
Zusammen also 2n + 2n = 2n+1 . Daher
Satz Die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge
ist 2n .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.5
Permutationen und Fakultät
Eine Permutation von (1, 2, . . . , n) ist eine Umstellung der
Zahlen 1, . . . , n. Beispielsweise besitzt (1, 2, 3) die
Permutationen
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.5
Permutationen und Fakultät
Eine Permutation von (1, 2, . . . , n) ist eine Umstellung der
Zahlen 1, . . . , n. Beispielsweise besitzt (1, 2, 3) die
Permutationen
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Für eine Zahl n ∈
N ist n! definiert durch
n! = 1 · 2 · · · n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.5
Permutationen und Fakultät
Eine Permutation von (1, 2, . . . , n) ist eine Umstellung der
Zahlen 1, . . . , n. Beispielsweise besitzt (1, 2, 3) die
Permutationen
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Für eine Zahl n ∈
N ist n! definiert durch
n! = 1 · 2 · · · n.
Die Fakultäten wachsen sehr schnell in n,
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720,
20! = 2.43 . . .×1018 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.5
Permutationen und Fakultät
Eine Permutation von (1, 2, . . . , n) ist eine Umstellung der
Zahlen 1, . . . , n. Beispielsweise besitzt (1, 2, 3) die
Permutationen
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Für eine Zahl n ∈
N ist n! definiert durch
n! = 1 · 2 · · · n.
Die Fakultäten wachsen sehr schnell in n,
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720,
20! = 2.43 . . .×1018 .
Rein aus praktischen Gründen setzt man 0! = 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Permutationen
Satz Die Anzahl der Permutationen von (1, 2, . . . , n) ist n!.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Permutationen
Satz Die Anzahl der Permutationen von (1, 2, . . . , n) ist n!.
Beweis Man kann das durch vollständige Induktion über n
beweisen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Permutationen
Satz Die Anzahl der Permutationen von (1, 2, . . . , n) ist n!.
Beweis Man kann das durch vollständige Induktion über n
beweisen.
Einfacher ist die Überlegung, auf wie viele Arten man die
Zahlen 1, 2, . . . , n auf n nummerierte Kästchen verteilen
kann. Für die Zahl 1 hat man n Möglichkeiten, für die Zahl 2
sind es n − 1, für die letzte Zahl n verbleibt nur noch eine
Möglichkeit.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.6
Binomialkoeffizienten
Für n ∈
definiert
N0 sind die Binomialkoeffizienten folgendermaßen
n
k
!
=
n!
k! (n − k)!
für 0 ≤ k ≤ n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.6
Binomialkoeffizienten
Für n ∈
definiert
N0 sind die Binomialkoeffizienten folgendermaßen
n
k
!
=
n!
k! (n − k)!
für 0 ≤ k ≤ n.
Wichtig sind im Folgenden die Fälle
n
0
=
n!
= 1,
0! n!
n
n
=
n!
= 1.
n! 0!
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein technisches Lemma
Lemma
n
k −1
!
+
n
k
!
=
n+1
k
!
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
,
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein technisches Lemma
Lemma
n
k −1
!
+
n
k
!
=
n+1
k
!
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
,
Beweis Wir bringen die linke Seite auf den Hauptnenner,
n!
n!
n n
+
=
+
k −1
k
(k − 1)! (n − k + 1)! k! (n − k)!
n!(n − k + 1)
n! k
+
k! (n − k + 1)! k! (n − k + 1)!
n+1 (n + 1)!
=
=
.
k
k! (n + 1 − k)!
=
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Pascalsches Dreieck
n=0
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
n=5
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Jede neue Zeile wird rechts und links um 1 ergänzt, was den
n n
Werten
=
= 1 entspricht.
0
n
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Pascalsches Dreieck
n=0
n=1
1
n=2
1
n=3
1
n=4
n=5
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Jede neue Zeile wird rechts und links um 1 ergänzt, was den
n n
Werten
=
= 1 entspricht.
0
n
Die übrigen Einträge erhält man aus dem Lemma, jeder
Eintrag ist die Summe der links und rechts über ihm
stehenden Zahlen.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Satz Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer
n
n-elementigen Menge ist
.
k
Beweis Wir zeigen dies durch vollständige Induktion über n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Satz Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer
n
n-elementigen Menge ist
.
k
Beweis Wir zeigen dies durch vollständige Induktion über n.
Für n = 0 ist die Behauptung richtig, denn die leere Menge
enthält nur sich selbst als Teilmenge (=Induktionsanfang).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Satz Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer
n
n-elementigen Menge ist
.
k
Beweis Wir zeigen dies durch vollständige Induktion über n.
Für n = 0 ist die Behauptung richtig, denn die leere Menge
enthält nur sich selbst als Teilmenge (=Induktionsanfang).
Die Behauptung ist auch richtig für k = 0 und k = n, in
beiden Fällen haben wir nur eine Teilmenge, die leere Menge
bzw. die Menge selbst.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Satz Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer
n
n-elementigen Menge ist
.
k
Beweis Wir zeigen dies durch vollständige Induktion über n.
Für n = 0 ist die Behauptung richtig, denn die leere Menge
enthält nur sich selbst als Teilmenge (=Induktionsanfang).
Die Behauptung ist auch richtig für k = 0 und k = n, in
beiden Fällen haben wir nur eine Teilmenge, die leere Menge
bzw. die Menge selbst.
Nach dem Prinzip „Teile und Herrsche“ strukturieren wir die
k-elementigen Teilmengen der Menge
An+1 = {1, 2, . . . , n + 1} in zwei Gruppen:
I : k-elementige Teilmengen, die n + 1 nicht enthalten,
II : k-elementige Teilmengen, die n + 1 enthalten.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Gruppe I besteht genau aus den k-elementigen Teilmengen
der Menge An = {1, 2, . . . , n}, nach Induktionsvoraussetzung
n
sind das
.
k
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Gruppe I besteht genau aus den k-elementigen Teilmengen
der Menge An = {1, 2, . . . , n}, nach Induktionsvoraussetzung
n
sind das
.
k
In den Teilmengen der Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und erhalten eine k − 1-elementige
Teilmenge von An .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Gruppe I besteht genau aus den k-elementigen Teilmengen
der Menge An = {1, 2, . . . , n}, nach Induktionsvoraussetzung
n
sind das
.
k
In den Teilmengen der Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und erhalten eine k − 1-elementige
Teilmenge von An .
Umgekehrt können wir jede k − 1-elementige Teilmenge von
An um das Element n + 1 ergänzen und erhalten eine
Teilmenge von Gruppe II. Nach Induktionsvoraussetzung ist
n die Zahl der Teilmengen in Gruppe II gerade
.
k −1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Anzahl der k-elementigen Teilmengen
Gruppe I besteht genau aus den k-elementigen Teilmengen
der Menge An = {1, 2, . . . , n}, nach Induktionsvoraussetzung
n
sind das
.
k
In den Teilmengen der Gruppe II können wir das Element
n + 1 weglassen und erhalten eine k − 1-elementige
Teilmenge von An .
Umgekehrt können wir jede k − 1-elementige Teilmenge von
An um das Element n + 1 ergänzen und erhalten eine
Teilmenge von Gruppe II. Nach Induktionsvoraussetzung ist
n die Zahl der Teilmengen in Gruppe II gerade
.
k −1
Für die Gesamtzahl der Teilmengen gilt daher mit dem
Lemma
n n n+1 Gruppe I + Gruppe II =
+
=
.
k
k −1
k
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel Lotto
Beim Lotto „6 aus 49“ ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs
Zahlen richtig getippt zu haben, gleich der
Wahrscheinlichkeit, aus der Gesamtheit der 6-elementigen
Teilmengen von {1, 2, . . . , 49} die „richtige“ herausgefunden
zu haben.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel Lotto
Beim Lotto „6 aus 49“ ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs
Zahlen richtig getippt zu haben, gleich der
Wahrscheinlichkeit, aus der Gesamtheit der 6-elementigen
Teilmengen von {1, 2, . . . , 49} die „richtige“ herausgefunden
zu haben.
Die Zahl der Möglichkeiten ist
49 6
=
49!
49 · (2 · 4 · 6) · 47 · 46 · (3 · 5 · 3) · 44
=
6! 43!
1·2·3·4·5·6
= 49 · 47 · 46 · 3 · 44 = 13 983 816.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Beispiel Lotto
Beim Lotto „6 aus 49“ ist die Wahrscheinlichkeit, alle sechs
Zahlen richtig getippt zu haben, gleich der
Wahrscheinlichkeit, aus der Gesamtheit der 6-elementigen
Teilmengen von {1, 2, . . . , 49} die „richtige“ herausgefunden
zu haben.
Die Zahl der Möglichkeiten ist
49 6
=
49!
49 · (2 · 4 · 6) · 47 · 46 · (3 · 5 · 3) · 44
=
6! 43!
1·2·3·4·5·6
= 49 · 47 · 46 · 3 · 44 = 13 983 816.
Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige ist daher ungefähr
1 : 14 Millionen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.7
Mathematische Strukturen
lassen sich in der Form
S = {S, e1, . . . , el , f1, . . . , fm , R1, . . . , Rn }
schreiben mit
S Grundmenge
ei ausgezeichnete Elemente (meist neutrale Elemente),
fj Abbildungen (meist zweistellige Operationen wie +),
Rk (meist zweistellige) Relationen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.8
Gruppen
G
Eine Gruppe = (G , e, ◦) besteht aus einer Menge G , einer
zweistelligen Operation ◦ mit z = x ◦ y ∈ G , und einem
ausgezeichneten Element e ∈ G , so dass:
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.8
Gruppen
G
Eine Gruppe = (G , e, ◦) besteht aus einer Menge G , einer
zweistelligen Operation ◦ mit z = x ◦ y ∈ G , und einem
ausgezeichneten Element e ∈ G , so dass:
(G1) (Assoziativgesetz) Für alle x, y , z ∈ G gilt
(x ◦ y ) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).
(G2) (Neutrales Element) Für alle x ∈ G gilt
e ◦ x = x ◦ e = x.
(G3) (Inverses Element) Zu jedem x ∈ G gibt es ein x −1 ∈ G
mit
x −1 ◦ x = x ◦ x −1 = e.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Gruppentafel
Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der
die Ergebnisse von x ◦ y eingetragen werden.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Gruppentafel
Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der
die Ergebnisse von x ◦ y eingetragen werden.
Wir bezeichnen die Gruppenelemente mit 0, 1, 2, . . ., wobei 0
das neutrale Element ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Gruppentafel
Endliche Gruppen gibt man mit einer Gruppentafel an, in der
die Ergebnisse von x ◦ y eingetragen werden.
Wir bezeichnen die Gruppenelemente mit 0, 1, 2, . . ., wobei 0
das neutrale Element ist.
Die Gruppe mit 3 Elementen ist eindeutig bestimmt:
◦
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Weitere Gruppen
Vierelementige Gruppen gibt es schon mehrere:
◦
0
1
2
3
◦
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Weitere Gruppen
Vierelementige Gruppen gibt es schon mehrere:
◦
0
1
2
3
◦
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind die ganzen und
die rationalen Zahlen
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·),
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Weitere Gruppen
Vierelementige Gruppen gibt es schon mehrere:
◦
0
1
2
3
◦
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
1
1
0
3
2
2
2
3
0
1
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
3
3
2
1
0
Gruppen mit unendlicher Grundmenge sind die ganzen und
die rationalen Zahlen
G = (Z, 0, +), G = (Q, 0, +), G = (Q \ {0}, 1, ·),
Die natürlichen Zahlen mit der Addition bilden keine Gruppe,
weil wir die positiven Zahlen nicht invertieren können.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eindeutige Lösbarkeit
Satz In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eindeutige Lösbarkeit
Satz In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Beweis Man muss hier vorsichtig sein, weil das
Kommutativgesetz x ◦ y = y ◦ x nicht unbedingt gelten muss.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eindeutige Lösbarkeit
Satz In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Beweis Man muss hier vorsichtig sein, weil das
Kommutativgesetz x ◦ y = y ◦ x nicht unbedingt gelten muss.
Als Lösung von x ◦ a = b vermuten wir x = b ◦ a−1 ,
(G 1)
(G 3)
(G 2)
x ◦ b = (b ◦ a−1 ) ◦ a = b ◦ (a−1 ◦ a) = b ◦ e = b.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
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Einführung
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Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eindeutige Lösbarkeit
Satz In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Beweis Man muss hier vorsichtig sein, weil das
Kommutativgesetz x ◦ y = y ◦ x nicht unbedingt gelten muss.
Als Lösung von x ◦ a = b vermuten wir x = b ◦ a−1 ,
(G 1)
(G 3)
(G 2)
x ◦ b = (b ◦ a−1 ) ◦ a = b ◦ (a−1 ◦ a) = b ◦ e = b.
Für den Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, dass die
Gleichung x ◦ y = b von zwei Gruppenelementen x, x ′ gelöst
wird. Aus x ◦ a = x ′ ◦ a folgt durch Multiplikation von rechts
mit a−1 , dass x = x ′ .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Eindeutige Lösbarkeit
Satz In jeder Gruppe sind die Gleichungen x ◦ a = b und
a ◦ x = b eindeutig nach x auflösbar.
Beweis Man muss hier vorsichtig sein, weil das
Kommutativgesetz x ◦ y = y ◦ x nicht unbedingt gelten muss.
Als Lösung von x ◦ a = b vermuten wir x = b ◦ a−1 ,
(G 1)
(G 3)
(G 2)
x ◦ b = (b ◦ a−1 ) ◦ a = b ◦ (a−1 ◦ a) = b ◦ e = b.
Für den Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, dass die
Gleichung x ◦ y = b von zwei Gruppenelementen x, x ′ gelöst
wird. Aus x ◦ a = x ′ ◦ a folgt durch Multiplikation von rechts
mit a−1 , dass x = x ′ .
Die eindeutige Lösbarkeit von a ◦ x = b zeigt man ganz
analog.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Abelsche Gruppen
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich
das Kommutativgesetz gilt:
(G4) Für alle x, y ∈ G gilt
x ◦ y = y ◦ x.
Die Natürliche
Zahlen und
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Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Abelsche Gruppen
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich
das Kommutativgesetz gilt:
(G4) Für alle x, y ∈ G gilt
x ◦ y = y ◦ x.
Bei einer kommutativen Gruppe schreibt man meist + statt ◦
mit dem neutralen Element 0. Dies erinnert an die ganzen
Zahlen = (Z , 0, +), die ja eine kommutative Gruppe bilden.
Z
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.9
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten
Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome
einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser
Struktur.
Die Natürliche
Zahlen und
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Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.9
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten
Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome
einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser
Struktur.
Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben,
sind Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben
philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der
mathematischen Welt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.9
Modelle
Eine konkrete Menge (mit zugehörigen ausgezeichneten
Elementen, Operationen und Relationen), in der die Axiome
einer mathematischen Struktur gelten, heißt Modell dieser
Struktur.
Alles, was wir als Beispiele von Gruppen bezeichnet haben,
sind Modelle der Gruppe. Modelle sind daher konkret, haben
philosophisch gesprochen ein eigenes Sein in der
mathematischen Welt.
Dagegen ist eine mathematische Struktur i.a. abstrakt. Das
Axiomensystem der Gruppe definiert gleichzeitig, was eine
Gruppe ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.10
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.10
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.10
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen?
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.10
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen?
Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
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BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
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und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
1.10
Ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen
Was ist eine Gruppe?
Einzig mögliche Antwort ist, die Gruppenaxiome zu nennen.
Was sind die natürlichen Zahlen?
Die vernünftige Antwort ist: Das sind die Zahlen 1, 2, 3, . . .
Abgesehen davon, wie man die einzelnen natürlichen Zahlen
nennt, sind sie eindeutig bestimmt. Ein Axiomensystem für
die natürlichen Zahlen ist daher eher beschreibend als
definierend.
„Ich brauche mich doch nicht durch ein Axiomensystem
darüber belehren zu lassen, was eine natürliche Zahl ist!“
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Die Peanoschen Axiome
In moderner Schreibweise sind die natürlichen Zahlen eine
Struktur = (N, 1, f ) mit dem ausgezeichneten Element 1
und einer einstelligen Abbildung f : N → N, die als
Nachfolger interpretiert wird.
N
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Zahlen und
vollständige
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BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Die Peanoschen Axiome
In moderner Schreibweise sind die natürlichen Zahlen eine
Struktur = (N, 1, f ) mit dem ausgezeichneten Element 1
und einer einstelligen Abbildung f : N → N, die als
Nachfolger interpretiert wird.
N
Die Axiome sind dann
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P3) Für alle Teilmengen M ⊂ N gilt:
Ist 1 ∈ M und ist mit n ∈ M auch f (n) ∈ M, so ist
M = N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Axiome (P1) und (P2)
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
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Die
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Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Axiome (P1) und (P2)
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P1) bedeutet, dass f injektiv ist, dass es also höchstens ein
Urbild zu jedem n ∈ N gibt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Axiome (P1) und (P2)
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P1) bedeutet, dass f injektiv ist, dass es also höchstens ein
Urbild zu jedem n ∈ N gibt.
(P2) besagt, dass 1 nicht im Bild f (N) von f liegt.
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Mächtigkeit der
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Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Axiome (P1) und (P2)
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P1) bedeutet, dass f injektiv ist, dass es also höchstens ein
Urbild zu jedem n ∈ N gibt.
(P2) besagt, dass 1 nicht im Bild f (N) von f liegt.
Bekanntlich heißt eine Abbildung g : X → Y surjektiv, wenn
der Bildbereich g (X ) mit Y übereinstimmt. (P2) besagt also
insbesondere, dass f nicht surjektiv ist.
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und Fakultät
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Axiome (P1) und (P2)
(P1) Für alle m, n: Wenn f (m) = f (n), so gilt m = n,
(P2) Es gibt kein n ∈ N mit f (n) = 1,
(P1) bedeutet, dass f injektiv ist, dass es also höchstens ein
Urbild zu jedem n ∈ N gibt.
(P2) besagt, dass 1 nicht im Bild f (N) von f liegt.
Bekanntlich heißt eine Abbildung g : X → Y surjektiv, wenn
der Bildbereich g (X ) mit Y übereinstimmt. (P2) besagt also
insbesondere, dass f nicht surjektiv ist.
Was lässt sich daraus für die Modelle von (P1) und (P2)
(ohne (P3)) schließen?
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Mächtigkeit der
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und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Was erzwingen (P1) und (P2) ?
Wäre N eine endliche Menge, so müsste wegen der
Injektivität der Bildbereich f (N) genauso viel Elemente
enthalten wie der Urbildbereich N, also N = f (N).
Die Natürliche
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Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Was erzwingen (P1) und (P2) ?
Wäre N eine endliche Menge, so müsste wegen der
Injektivität der Bildbereich f (N) genauso viel Elemente
enthalten wie der Urbildbereich N, also N = f (N).
Andererseits darf f nicht surjektiv sein, womit wir einen
Widerspruch erhalten.
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Mächtigkeit der
Potenzmenge
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Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Was erzwingen (P1) und (P2) ?
Wäre N eine endliche Menge, so müsste wegen der
Injektivität der Bildbereich f (N) genauso viel Elemente
enthalten wie der Urbildbereich N, also N = f (N).
Andererseits darf f nicht surjektiv sein, womit wir einen
Widerspruch erhalten.
Die Axiome (P1) und (P2) zwingen die Modelle dazu,
unendlich viele Elemente zu besitzen.
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Zahlen und
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Mächtigkeit der
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und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein Modell von (P1) und (P2)
Um die Rolle von (P3) zu erläutern, betrachten wir folgendes
Modell von (P1) und (P2).
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Mathematische
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Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein Modell von (P1) und (P2)
Um die Rolle von (P3) zu erläutern, betrachten wir folgendes
Modell von (P1) und (P2).
◮
N = N1 ∪ N2 mit N1 = {1, 2, 3, . . .} und N2 = {a, b}.
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Ein
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für die natürlichen
Zahlen
Ein Modell von (P1) und (P2)
Um die Rolle von (P3) zu erläutern, betrachten wir folgendes
Modell von (P1) und (P2).
◮
◮
N = N1 ∪ N2 mit N1 = {1, 2, 3, . . .} und N2 = {a, b}.
f (n) = n + 1 für n ∈ N1 , also der normale Nachfolger in
N1 = .
N
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Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein Modell von (P1) und (P2)
Um die Rolle von (P3) zu erläutern, betrachten wir folgendes
Modell von (P1) und (P2).
◮
N = N1 ∪ N2 mit N1 = {1, 2, 3, . . .} und N2 = {a, b}.
◮
f (n) = n + 1 für n ∈ N1 , also der normale Nachfolger in
N1 = .
◮
f (a) = b und f (b) = a.
N
f ist injektiv auf N = N1 ∪ N2 und 1 ist nicht im Bild von f ,
also sind (P1) und (P2) erfüllt.
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Zahlen und
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Einführung
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Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Ein Modell von (P1) und (P2)
Um die Rolle von (P3) zu erläutern, betrachten wir folgendes
Modell von (P1) und (P2).
◮
N = N1 ∪ N2 mit N1 = {1, 2, 3, . . .} und N2 = {a, b}.
◮
f (n) = n + 1 für n ∈ N1 , also der normale Nachfolger in
N1 = .
◮
f (a) = b und f (b) = a.
N
f ist injektiv auf N = N1 ∪ N2 und 1 ist nicht im Bild von f ,
also sind (P1) und (P2) erfüllt.
(P3) ist aber nicht erfüllt: Wir wählen M = N1 und es ist
jetzt in der Tat 1 ∈ N1 und aus n ∈ N1 folgt auch
f (n) = n + 1 ∈ N1 , aber N1 6= N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Bedeutung der vollständigen Induktion
Das Axiom (P3) der vollständigen Induktion sorgt dafür, dass
unter allen Modellen von (P1) und (P2) das minimale
genommen wird:
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Zahlen und
vollständige
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Mächtigkeit der
Potenzmenge
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Binomialkoeffiziente
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Bedeutung der vollständigen Induktion
Das Axiom (P3) der vollständigen Induktion sorgt dafür, dass
unter allen Modellen von (P1) und (P2) das minimale
genommen wird:
N soll nur aus 1, f (1), f (f (1)), . . . bestehen.
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Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
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Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen