Übungsblatt 6 - Freiwillige Bereitstellung ö

Universität Zürich
Finanzwissenschaft: Der öentliche Sektor
HS 2010
Übungen zur Vorlesung
Übungsblatt 6 - Freiwillige Bereitstellung öentlicher Güter
Aufgabe 1 Gefangenendilemma
Zwei in einer Bucht gelegene Dörfer werden von Handelsschien nicht angesteuert, da es keinen
Leuchtturm gibt, der den Schien den sicheren Weg in die Häfen der beiden Dörfer weist. Ein Leuchtturm in jedem der beiden Dörfer würde dazu führen, dass alle Handelsschie die Häfen der beiden
Dörfer ansteuern. Die Einnahmen in jedem der beiden Dörfer würden in diesem Falle um 1 Mio.
Franken steigen. Würde allerdings nur eines der beiden Dörfer einen Leuchtturm errichten, so würde
nur die Hälfte der Handelsschie die Bucht ansteuern. Jedes der beiden Dörfer würde dann einen
Einnahmenzuwachs im Ausmass von 0.5 Mio. Franken verzeichnen. Der Preis eines Leuchtturms
beträgt gemäss eines Kostenvoranschlages 0.75 Mio. Franken.
a) Erläutern Sie mit Hilfe des Gefangenendilemmas das Problem des Free-rider Verhaltens.
b) Argumentieren Sie, warum eine kooperative Lösung für beide Dörfer von Vorteil wäre. Wie kann
die kooperative Lösung erreicht werden?
Aufgabe 2 Öentliches-Gut-Spiel
Betrachten Sie n Individuen mit je einer Ausstattung von e, die einen Betrag 0 ≤ xi ≤ e in ein
P
öentliches Gut G investieren können. Das öentliche Gut hat den Wert G = a ni=1 xi , wobei für
den Parameter a gilt n1 < a < 1. Der Gewinn eines Individuums i beträgt also:
π(xi ) = e − xi + a
n
X
(1)
xj
j=1
| {z }
=G
Die Investitionsentscheidung ist privat, und Kommunikation zwischen den Individuen ist ausgeschlossen. Ausserdem haben alle Individuen i die gleiche Nutzenfunktion Ui = π(xi ).
a) Berechnen sie die rst-best Lösung, i.e. die Beiträge xi welche die Individuen leisten müssen,
P
damit die utilitaristische soziale Wohlfahrtsfunktion W = ni=1 Ui maximal ist.
b) Berechnen Sie den optimalen Beitrag eines Individuums i, welches seinen Nutzen maximiert und
dabei die Beiträge aller anderen Individuen als gegeben annimmt (d.h., das Nash-Gleichgewicht
des Spiels).
c) Erklären Sie, weshalb dieses Modell ein öentliches Gut modelliert.
d) Interpretieren Sie ihr Resultat. Wie könnte das Spiel geändert werden, damit eine bessere Lösung resultieren würde? Argumentieren Sie verbal und überlegen Sie sich auch Möglichkeiten
ausserhalb der Modellwelt.
1
Aufgabe 3 Öentliches-Gut-Spiel mit Falkinger-Mechanismus
Betrachten Sie ein Öentliches-Gut-Spiel wie in Aufgabe 2. Die Gewinnfunktion ist nun wie folgt
modiziert (Falkinger-Mechanismus):1
π(xi ) = e − xi + a
n
X
xj + b · (xi − X−i )
(2)
j=1
wobei b > 1 − a und X−i :=
1
n−1
Pn
j=1,j6=i
xj .
a) Interpretieren Sie die Grösse X−i , sowie den zusätzlichen Term in der Gewinnfunktion.
b) Zeigen Sie, dass der Falkinger-Mechanismus budgetneutral ist, d.h., dass die Summe der durch
den zusätzlichen Term in der Gewinnfunktion verursachten Zahlungen gleich Null ist.
c) Verwenden Sie ihr Resultat aus Teilaufgabe b) um die rst-best Lösung zu berechnen.
d) Berechnen Sie den optimalen Beitrag eines Individuums i, welches seinen Nutzen maximiert und
dabei die Beiträge aller anderen Individuen als gegeben annimmt (d.h., das Nash-Gleichgewicht
des Spiels).
e) Vergleichen Sie Ihr Resultat mit jenem der Aufgabe 2 und beurteilen Sie den Falkinger Mechanismus kritisch.
Aufgabe 4 Tragedy of the commons
Betrachten Sie ein Dorf mit einem See voller Fische. Bezeichnet x die Anzahl aktiver Fischerboote
auf dem See, so betrage die Anzahl der Fische, die insgesamt dem See entnommen werden
f (x) =

ax − bx2
0
, falls x ≤
, sonst.
a
b
(3)
wobei a, b > 0 und jedes Boot gleich viele Fische fängt. Der Preis eines Fisches sei auf 1 normiert.
Jeder Bürger des Landes kann Fischer werden, indem er sich zu Kosten k, 0 < k < a genau ein
Fischerboot kauft. Der Nutzen eines Nicht-Fischers betrage 0, während der Nutzen eines Fischers
gleich dem Erlös aus dem Verkauf der Fische minus den Kosten für das Boot sei.
a) Nehmen Sie an, dass sich alle Einwohner des Dorfes in einem Verein zusammenschliessen, und
dass der Verein jene Anzahl Boote auf den See schickt, so dass der Prot des Vereins maximal
ist. Berechnen Sie diese Anzahl Boote.
b) Nehmen Sie nun an, dass es den Einwohnern des Dorfes nicht gelingt, sich zu einem Verein
zusammenzuschliessen, und dass jeder Einwohner für sich selbst entscheidet, ob er sich ein Boot
kaufen und Fischer werden möchte.
(i) Sei x die bisherige Anzahl Boote auf dem See. In Abhängigkeit von x, wann wird sich ein
weiterer Einwohner dazu entschliessen ein Boot zu kaufen?
(ii) Wieviele Boote werden sich also auf dem See benden, wenn jeder der Einwohner unabhängig entscheidet, ob er sich ein Boot kaufen möchte? Ist diese Situation ezient?
(iii) Worin besteht die Externalität, welche ein Einwohner auf die andern Einwohner ausübt,
wenn er sich entscheidet, Fischer zu werden?
1 Vgl.
Josef Falkinger (1996), Ecient private provision of public goods by rewarding deviations from average, Journal of
Public Economics, 62(3), pp. 413-422, sowie Josef Falkinger, Ernst Fehr, Simon Gächter and Rudolf Winter-Ebmer (2000),
A Simple Mechanism for the Ecient Provision of Public Goods: Experimental Evidence, The American Economic Review,
90(1), pp. 247-264.
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Aufgabe 5 Öentliche Güter in der Praxis: CO2 Reduktion
Durch eine Reduktion der CO2 -Emissionen kann die Klimaerwärmung gebremst werden. Da davon alle Länder protieren, kann eine CO2 Reduktionen als (globales) öentliches Gut betrachtet
werden. Es gebe 2 Länder den Grenzvermeidungskosten C10 (x1 ) = x1 , bzw. C20 (x2 ) = 6x2 , wobei xi
die im Land i reduzierte Menge an CO2 darstellt. Nehmen Sie weiter an, dass die Pseudonachfragen (d.h., die marginale Zahlungsbereitschaft) der Länder nach CO2 Reduktion gegeben sind durch
p1 = 30 − x falls x < 30 und 0 sonst, bzw. p2 = 64 − 2x falls x < 32 und 0 sonst. Dabei steht x für
die gesamte CO2 Reduktion beider Länder.
a) Nehmen Sie an die Land 2 reduziere die Emissionen um x2 Einheiten. Illustrieren Sie für Land
1 graphisch den Wohlfahrtsgewinn wenn Land 1 selbst seine Emissionen um x1 (x1 ≤ 30 − x2 )
reduziert.
b) Berechnen Sie die wohlfahrtsmaximierende Reduktion in Land i, gegeben dass Land j seine
Emissionen um xj reduziert, i, j ∈ {1, 2}, i 6= j .
c) Angenommen es gebe bezüglich CO2 Reduktionen keine internationalen Absprachen. Werden
die CO2 -Emissionen dann eingeschränkt? Wenn ja, wie stark sind die Emissionsreduktionen der
einzelnen Länder?
d) Berechnen Sie die ezienten Niveaus von x1 und x2 . (Hinweis: Berechnen Sie die Kosten der
Bereitstellung so wie Sie das in einem vollständigen Markt tun würden.)
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