Schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik
(Grundkurs / normal)
Schuljahr 1998/99
Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion y  f ( x)  x 3  8x 2  16 x
a)
Bestimmen Sie die beiden Nullstellen x01 und xo2 von f(x) und zeigen
Sie, dass bei einer Nullstelle die x-Achse von dem Graph geschnitten
und bei der anderen nur berührt wird !
b)
Untersuchen Sie die Funktion weiterhin auf Monotonie, lokale
Extremstellen und Wendepunkte und geben Sie Definitions- und
Wertebereich an ! Stellen Sie die Funktion im Intervall [ 0 ; 5 ] grafisch
dar !
c)
Berechnen Sie den Flächeninhalt A, der von dem Graphen von f(x) und
der x-Achse einschlossen wird !
d)
Bestimmen Sie eine rechte Intervallgrenze a so, dass für den
Flächeninhalt B, der von der x-Achse, dem Graphen von f(x) und der
Geraden x=a begrenzt wird, gilt: B 
e)
Aufgabe 2:
1
A!
2
Läßt man die unter b) berechnete Fläche um die x-Achse rotieren, so
entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie sein Volumen!
Beim Lottospiel 4 aus 10 muß man 4 Zahlen aus {1, 2, 3,...,10} auswählen und
tippen. Ein Tip kostet 1 DM.
Man gewinnt bei 2, 3 und 4 richtigen Tips.
a)
Zeigen Sie, dass gilt:
P(2 Richtige) =
3
4
1
, P(3 Richtige) =
, P(4 Richtige) =
!
7
35
210
b)
Man erhält bei 2 Richtigen seinen Einsatz zurück, bei 3 Richtigen 3 DM
und bei 4 Richtigen 30 DM ausgezahlt. Entscheiden Sie mit Hilfe einer
Rechnung, ob das Spiel fair, d.h. auf lange Sicht die Summe der
Einnahmen gleich der Summe der Gewinnausschüttungen ist !
c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufälligen Tips
genau 0, 1, 2, 3 Tips bzw. maximal 5 Tips mit 4 Richtigen sind !
d)
In einer betrachteten Spielrunde werden 2100 Tips abgeben. Schätzen
Sie die Anzahl der Tips mit 3 oder 4 Richtigen! Geben Sie auch ein
Intervall an, in dem diese Anzahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%
liegt ! Auf welcher Grundlage kann eine solche Schätzung überhaupt
durchgeführt werden?
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Aufgabe 3:
In der Abbildung ist das Schrägbild eines Winkelhauses in ein kartesisches
Koordinatensystem eingepaßt. Die Dachflächen E1 und E2 sollen modernisiert
werden.
a)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Maßangaben (in m) die Koordinaten der
Punkte A,B,C,D,E und F und geben Sie Gleichungen für die Ebenen E1
und E2 bzw. für die durch die Dachkehle BE laufende Gerade g an !
b)
Wie lang ist die Dachkehle und welchen Neigungswinkel hat sie
gegenüber der x-y-Ebene ?
c)
Wie groß ist die von den Punkten A,B,C,D,E und F begrenzte
Dachfläche und unter welchem Winkel stoßen die beiden Ebenen
entlang der Dachkehle zusammen ?
d)
Die Antenne GH hat die Spitze H(8;14;16). Bestimmen Sie die
Koordinaten des Antennenfußpunktes G !
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