Vorlesung 3

Algorithmische Graphentheorie
Vorlesung 3: Suchalgorithmen in Graphen
Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca
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7. April 2017
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D URCHSUCHEN VON G RAPHEN
Einen Graphen zu durchsuchen bedeutet, dass man von einem
gegebenen Knoten aus alle erreichbare Knoten so durchläuft,
bzw. durchsucht, dass jeder Knoten nur einmal durchsucht
wird.
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B EISPIEL
Stellen Sie sich vor, Sie machen einen Ausflug und besuchen
einen Irrgarten. Betrachtet man die Wege als Kanten und jede
Kreuzung oder Sackgasse als Knoten, so kann man diesen
Irrgarten abstrakt als Graphen darstellen. Wie findet man nun
den Weg vom Eingang in den Irrgarten zum Ausgang?
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B EISPIEL (2)
In dem Beispiel befindet sich der Eingang des Labyrinths bei
Knoten 1 und der Ausgang bei Knoten 6. Die sogenannte rechte
Hand Regel gibt uns einen Weg wie man in einem Labyrinth
seinen Weg findet. Man legt bei Betreten des Labyrinths die
rechte (natürlich geht auch die linke) Hand auf die Wand und
folgt dann den Wegen ohne die Hand von der Wand zu
entfernen. Gerät man in eine Sackgasse oder eine Kreuzung, an
der man schon war, so führt dieses Verhalten dazu, dass man
den gleichen Weg, den man gekommen ist, wieder zurück geht,
bis man eine neue Abzweigung gefunden hat.
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B EISPIEL (3)
Abbildung 1: Tiefensuche mit Startknoten 1 und Zielknoten 6
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T IEFENSUCHE - D EPTH F IRST S EARCH (DFS)
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B EMERKUNG
Die Tiefensuche durchläuft den Graphen in die Tiefe.
Ausgehend vom gegebenen Knoten besucht man dessen ersten
noch unbesuchter Nachfolger, danach dessen ersten noch
unbesuchten Nachfolger, usw. Wenn ein besuchter Knoten
keinen Nachfolger mehr hat, kehrt man zu seinem Vorgänger
zurück und sucht bei dessem nächstem unbesuchten
Nachfolger weiter.
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T IEFENSUCHE (2)
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B EISPIEL
Bemerkung
Das Ergebnis für t(v) und B hängt i.d.R. von der Repräsenation
des Graphen (z.B. als Adjazenzliste) ab.
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T IEFENSUCHE - VARIANTE
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T IEFENSUCHE - VARIANTE (2)
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T IEFENSUCHE - VARIANTE (3)
Intern verwendet der Algorithmus die Farben c(v), mit dessen
Hilfe gespeichert wird, ob ein Knoten schon besucht wurde.
Hierbei bedeutet c(v) = 0, dass der Knoten v noch weiß, also
unbesucht ist. Hat man den Knoten v einmal aufgesucht, so
färbt man ihn schwarz, d.h man setzt c(v) = 1. Der rekursive
Aufruf des Unterprogramms visit(v) bildet das anfangs
besprochene Verhalten nach: Man geht solange weiter zu
unbesuchten Knoten, bis man in einer Sackgasse, d.h. einem
Knoten, von dem man alle Nachbarn schon besucht hat, landet.
Dann zieht man sich zurück auf den letzten Knoten davor, der
noch unbesuchte Nachbarn hat, und geht von da aus wieder so
weit wie möglich.
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S ATZ
Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph
mit einem Startknoten s oder ein gerichteter Graph mit einer
Wurzel s. Dann ist Algorithmus 2 wohldefiniert und findet für
alle Knoten v ∈ V einen Weg von s nach v.
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B EWEIS
Wir müssen zeigen, dass der Algorithmus nach endlich vielen
Aufrufen des Unterprogramms visit(v) abbricht und dass
am Ende alle Knoten besucht wurden.
Das Unterprogramm visit(v) wird nur für Knoten v mit
c(v) = 0 aufgerufen. Da in Zeile 1 des Unterprogramms
c(v) = 1 gesetzt wird, kann visit(v) also für jeden Knoten
v ∈ V höchstens einmal aufgerufen werden. Daher bricht
Algorithmus 2 nach endlich vielen Aufrufen des
Unterprogramms visit(v) ab.
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B EWEIS (2)
Angenommen, es gäbe nach Abbruch des Algorithmus noch
einen Knoten v0 , der nicht besucht wurde, d.h. c(v0 ) = 0. Da G
zusammenhängend ist, gibt es einen (gerichteten) Weg P von s
nach v0 und auf diesem Weg wurde mindestens s besucht.
Folglich gibt es auf dem Weg (mindestens) ein Paar
aufeinanderfolgender Knoten v1 und v2 mit c(v1 ) = 1 und
c(v2 ) = 0.
Abbildung 2: Illustration des Weges P
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B EWEIS (3)
Andererseits bedeutet c(v1 ) = 1, dass das Unterprogramm
visit(v1 ) aufgerufen wurde. Wegen (v1 , v2 ) ∈ E bzw.
{v1 , v2 } ∈ E wurde dann aber auch visit(v2 ) aufgerufen und
darin c(v2 ) = 1 gesetzt, ein Widerspruch. Daher gilt nach
Abbruch des Algorithmus c(v) = 1 für alle v ∈ V, d.h. alle
Knoten wurden besucht.
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B EMERKUNG
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B EMERKUNG (2)
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T IEFENSUCHE - A NWENDUNG
Gegeben ein Graph mit n Knoten, gefragt ist, ob dieser Graph
zusammenhängend ist oder nicht. Hierfür verwenden wir
folgende Prozedur, die auf DFS beruht:
Angenommen, die Knoten sind v1 , v2 , . . . , vn .
Starte die Suche bei einem beliebigen Knoten und benenne
es in Knoten 1 um.
Falls dieser Knoten keine adjazente Knoten besitzt, so ist
der Graph nicht zusammenhängend.
Falls nicht, dann bezeichne einen der adjazenten Knoten
als Knoten 2 und markiere die Kante {1, 2} als gelesen.
Falls Knoten 2 einen anderen adjazenten Knoten als 1
besitzt, so benenne diesen in Knoten 3 um.
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T IEFENSUCHE - A NWENDUNG (2)
Falls Knoten 2 keinen anderen adjazenten Knoten besitzt,
so gehe zu Knoten 1 zurück und überprüfe, ob Knoten 1
einen anderen adjazenten Knoten besitzt.
Falls die Antwort NEIN ist und n > 2, so ist der Graph
unzusammenhängend.
Falls die Antwort JA ist, so bezeichne einen dieser Knoten
als Knoten 3 und markiere die Kante {2, 3} als gelesen.
Usw...
Die Prozedur läuft bis wir alle Knoten umnummeriert haben.
In diesem Fall ist der Graph zusammenhängend. Falls wir
früher zurück zum Knoten 1 gelangen (also weniger als n
Knoten wurden umnummeriert), dann ist der Graph
unzusammenhängend.
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B EISPIEL
Seien v1 , v2 , . . . , v8 Knoten und die Adjazenzmatrix sei gegeben
durch


0 1 0 0 0 0 0 1
 1 0 1 0 0 1 1 1 


 0 1 0 1 1 1 0 0 


 0 0 1 0 0 0 0 0 

A=
 0 0 1 0 0 0 0 0 .


 0 1 1 0 0 0 1 0 


 0 1 0 0 0 1 0 1 
1 0 0 0 0 0 1 0
v2 → 1
Ein adjazenter Knoten ist v7 (s. Matrix). v7 → 2.
v6 → 3, v3 → 4, v4 → 5 hat keine andere adjazente Knoten,
sodass wir die Prozedur ab Knoten 4 weiter verfolgen.
v5 → 6, usw...
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B EISPIEL
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B EISPIEL : S UCHE NACH M R . X
Jemand gibt euch einen Brief, der fr einen zufällig
ausgewählten Menschen auf der Erde ist: Mr. X. Dieser Brief
soll Mr. X erreichen, darf aber immer nur zwischen Menschen
weitergegeben werden, die sich kennen. Wie findet ihr einen
Weg Mr. X den Brief zukommen zu lassen?
Dieses Problem lässt sich mit Hilfe von Graphen wie folgt
beschreiben: Man ordnet jedem Menschen auf der Erde einen
Knoten zu und fügt zwischen zwei Knoten genau dann eine
Kante ein, wenn die zugehörigen Menschen sich kennen. Dann
erhält man einen sehr großen ungerichteten Graphen mit ca. 7
Milliarden Knoten und muss einen Weg von dem eigenen
Knoten zu dem von Mr. X finden.
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W IE FINDEN WIR EINEN W EG ZU M R . X?
Wir wissen zunächst nur, wen wir selbst kennen und auch
jeder andere Mensch weiß nur, wen er kennt.
Wir überlegen uns zunächst, wen wir alles kennen. Ist Mr.
X darunter, so haben wir das Problem gelst.
Kennen wir Mr. X nicht, so fragen wir alle Menschen, die
wir kennen, ob diese Mr. X kennen.
Kennt einer unserer Bekannten Mr. X, so geben wir ihm
den Brief und er gibt ihn Mr. X.
Kennen unsere Bekannten Mr. X auch nicht, so bitten wir
sie, ihre Bekannten zu fragen, ob die ihn kennen und so
weiter.
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F INDE EINEN W EG VON K NOTEN 1 ZU K NOTEN 10
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L ÖSUNG
Für die Knoten 2, 7 und 11 ist klar, wie ein Weg aussieht, denn
es existiert eine direkte Verbindung. Ausgehend vom Knoten 2
lassen sich die Knoten 3 und 5 erreichen, ausgehend von
Knoten 7 die Knoten 5 (den wir aber schon hatten), 8 und 12,
sowie ausgehend von Knoten 11 der Knoten 8 (zu dem wir
ebenfalls schon einen Weg gefunden haben). Betrachtet man
nun die Knoten 3, 5, 8 und 12 und deren noch nicht erreichte
Nachbarn, so erreicht man die Knoten 4, 6, 9 und 13 und noch
eine Runde später schließlich den Knoten 10. Auf diese Weise
findet man einen Weg vom Knoten 1 zu Knoten 10, tatsächlich
zu allen anderen Knoten im Graphen, und verwendet dabei
ausschließlich das Wissen ber die Nachbarn eines Knotens.
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS)
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B EMERKUNG
Dieser Algorithmus besucht den Graphen in der Breite. Zuerst
besucht man den Startknoten, danach all dessen unbesuchte
Nachfolger, und nun für jeden gefundenen Nachfolger, wieder
alle unbesuchte Nachfolger, usw. Um den Algorithmus zu
implementieren, benutzt man eine Warteschlange (queue).
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS) (2)
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS) (3)
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS)
VARIANTE
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS)
VARIANTE (2)
Der Algorithmus gibt zwei Vektoren zurück: Die Abstände d(v)
geben für jeden Knoten v ∈ V an, wie groß sein Abstand zum
Startknoten s ist, d.h. wie viele Kanten der gefundene Weg
zwischen den beiden Knoten s und v hat.
Der Algorithmus findet zusätzlich auch noch den kürzesten
Weg vom Startknoten s zu allen anderen Knoten, d.h. den Weg
mit den wenigsten Kanten. Die Anzahl der Kanten in einem
solchen kürzesten Weg von s nach v bezeichnet man mit
dist(s, v).
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B REITENSUCHE - B READTH F IRST S EARCH (BFS)
VARIANTE (3)
Der Vorgänger π(v) enthält für jeden Knoten v 6= s den
vorletzten Knoten auf dem Weg von s nach v, also den
Vorgänger von v auf diesem Weg. Kennt man den Vorgänger
π(v), so kann man dessen Vorgänger auslesen und so den Weg
zum Startknoten s zurückverfolgen.
So erhält man den sogenannten Vorgängergraphen
Gπ := (Vπ , Eπ ) mit
Vπ := {v ∈ V | π(v) 6= 0} ∪ {s},
Eπ := {(π(v), v) | v ∈ Vπ \ {s}}.
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S ATZ
Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph
mit einem Startknoten s oder ein gerichteter Graph mit einer
Wurzel s. Dann ist der Algorithmus wohldefiniert und Zahlen
d(v) geben für alle v ∈ V die kürzeste Distanz vom Knoten v
zum Startknoten s an.
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B EWEIS
Abbildung 3: Illustration des Weges P
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B EWEIS (2)
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B EWEIS (3)
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E IGENSCHAFTEN DER B REITENSUCHE
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B REITEN - UND T IEFENSUCHE BFS UND DFS
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P ROBLEMANALYSE UND E NTWURF DER L ÖSUNG
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BFS
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DFS
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H AUSAUFGABE !
Schreibe das entsprechende C++ Programm
Simuliere die beiden Algorithmen aufs Papier mit ein paar
Beispielen.
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