Insbesondere ist die Gruppe C∗ n der Einheiten des Ringes Cn

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Insbesondere ist die Gruppe Cn∗ der Einheiten des Ringes Cn gegeben durch
Cn∗
= {a ∈ Cn ; ggT(a, n) = 1}.
Beweis. Wir arbeiten mit dem Ringhomomorphismus π : Z → Cn , a 7→ r(a; n) aus
Satz 2.2.9.
Zu “(i)⇒(ii)”. Es sei b ∈ Cn mit a · b = 1. Dann gilt π(ab) = π(1) und somit
ab = 1 + ln mit einem l ∈ Z.
Ist ein gemeinsamer Teiler c ∈ Z≥0 von a und n gegeben, so müssen wir zeigen,
dass c = 1 gilt. Wir haben a = a0 c und n = n0 c mit a0 , n0 ∈ Z. Es folgt
1 = ab − ln = a0 cb − ln0 c = c(a0 b − ln0 ).
Diese Gleichung ist offensichtlich nur mit c = 1 zu erfüllen. Folglich ist 1 der größte
gemeinsame Teiler von a und n.
Zu “(ii)⇒(i)”. Wir wählen Zahlen b, l ∈ Z, sodass c := ab − ln minimal ist mit
c > 0. Wir zeigen, dass c dann ein gemeinsamer Teiler von a und n ist.
Zu “c teilt a”. Andernfalls hätte man c0 := r(a; c) > 0 für den Rest von a modulo c.
Mit a = k(a; c)c + c0 ergibt sich
c0 = a − k(a; c)c = a − k(a; c)(ab − ln) = a(1 − k(a; c)b) − (−k(a; c)l)n.
Wegen 0 < c0 < c steht dies im Widerspruch zur Wahl der beiden ganzen Zahlen b
und l.
Ebenso zeigen wir “c teilt n”. Andernfalls hätte man c00 := r(n; c) > 0 für den Rest
von n modulo c. Weiter hat man
c00 = n − k(n; c)c = n − k(n; c)(ab − ln) = a(−k(n; c)b) − (−(1 + k(n; c)l)n.
Wegen 0 < c00 < c steht dies im Widerspruch zur Wahl der beiden ganzen Zahlen b
und l.
Damit ist gezeigt, dass c ein gemeinsamer Teiler von a und n ist. Wegen ggT(a, n) =
1 muss c = 1 gelten. Es folgt ab = 1 + ln, und wir erhalten a ∈ Cn∗ mit
a · b = π(a) · π(b) = π(ab) = π(1) = 1.