b) Einseitiger Test – Alternativhypothese - WiSo

Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
3 Intervallschätzung, Hypothesentests und Prognose
3.1 Intervallschätzer
• Bisher: Punktschätzung von Parametern, d.h. mit Hilfe der Daten wird ein wahrscheinlicher Wert für
den unbekannten Parameter geschätzt.
• Bei der Intervallschätzung wird ein Wertebereich geschätzt, der mit einer gewissen
Wahrscheinlichkeit den wahren Parameter einschließt.
• Die Verteilung der Parameter ist hier besonders wichtig. Wir treffen im Folgenden Annahme SR6, da
daraus die Normalverteilung des KQ-Schätzers folgt.
• Durch Umformung gewinnt man aus b2 eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z mit
Erwartungswert 0 und Varianz 1:
Z=
b2 − β2
σ 2 / ∑ (x i − x) 2
~ N(0, 1)
(3.1.1)
• Wir suchen die kritischen Werte Zc, so dass P(Z ≥ Zc) = P(Z ≤ -Zc) = α/2 bzw. P(- Zc ≤ Z ≤ Zc)= 1 - α.
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Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
Abbildung 3.1a: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung; Quelle: http://campus.unimuenster.de/fileadmin/einrichtung/imib/lehre/skripte/biomathe/bio/script7.html
• Problem: Wir kennen σ² nicht, aber wir können es schätzen, σˆ
2
∑ ê
=
2
i
N−2
.
• Wir ersetzen σ² in (3.1.1) durch σ̂ und erhalten damit eine t-verteilte Wahrscheinlichkeitsverteilung
2
mit N-2 Freiheitsgraden:
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Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
t=
• Allgemein:
b2 − β2
σˆ 2 / ∑ ( x i − x ) 2
=
t=
b2 − β2
vâr(b 2 )
=
b2 − β2
se(b 2 ) ~t (N-2)
b k − βk
se(b k ) ~t (N-2)
(3.1.2)
(3.1.3)
• Suche nach kritischen t-Werten, tc, so dass gilt P(t ≥ tc) = P(t ≤ -tc) = α/2 bzw.
P(- tc ≤ t ≤ tc)= 1 – α
(3.1.4)
Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 51.
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• Setzt man (3.1.2) in die Gleichung (3.1.4) ein, ergibt sich:
b 2 − β2
P(- tc ≤ se(b ) ≤ tc) = 1 – α
2
P(b 2 − t c ⋅ se(b 2 ) ≤ β 2 ≤ b 2 + t c ⋅ se(b 2 )) = 1 − α
(3.1.5)
(3.1.6)
Beispiel Lebensmittelausgaben:
• Wir haben N=40 Beobachtungen, also N-2=40-2=38 Freiheitsgrade, b2=10,21 und se(b2) = 2,09.
• Gesucht wird ein 95%-Konfidenzintervall, also α=0,05.
• Tabellen 3.1 und 3.2 zeigen Ergebnisse wiederholter Stichproben.
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Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 53.
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Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 54.
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Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
3.2 Hypothesentests
3.2.1 Bestandteile eines Hypothesentests
1. Eine Nullhypothese H0
2. Eine Alternativhypothese H1
3. Eine Teststatistik
4. Ein Ablehnungsbereich
5. Eine Schlussfolgerung
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Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
3.2.2 Ablehnungsbereiche für die verschiedenen Alternativhypothesen
a) Einseitiger Test – Alternativhypothese „größer als“ (>)
• H0: ßk=c wird gegen die Alternativhypothese H1: ßk>c getestet. Ist H1 wahr, dann wird der Wert der tStatistik eher größer sein, als der unter der t-Verteilung erwartete.
• Der kritische t-Wert tc, der die Wahrscheinlichkeit α am rechten Rand abgrenzt, entspricht dem (1α)-Perzentil t(1-α,N-2).
Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 57.
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Testentscheidung:
bk − c
=
≥ t (1− α , N − 2 )
t
H0 kann abgelehnt werden, wenn
se(b k )
b) Einseitiger Test – Alternativhypothese „kleiner als“ (<)
• Ist H1: ßk<c wahr, dann wird der Wert der t-Statistik eher kleiner sein als der unter der t-Verteilung
erwartete. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Teststatistik kleiner ist als der kritische t-Wert
für das Signifikanzniveau α.
• Der kritische t-Wert tc, der die Wahrscheinlichkeit α am linken Rand abgrenzt, entspricht dem αPerzentil t(α,N-2). Da die t-Verteilung symmetrisch um Null ist, entspricht das α-Perzentil t(α,N-2) dem
negativen Wert des (1-α)-Perzentils t(1-α,N-2).
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Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 58.
Testentscheidung:
bk − c
=
≤ t ( α , N −2) .
t
H0 kann abgelehnt werden, wenn
se(b k )
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c) Zweiseitiger Test – Alternativhypothese „ungleich“ (≠)
• Ist H1: ßk≠c wahr, dann wird der Wert der t-Statistik im Vergleich zum erwarteten Wert unter der tVerteilung entweder sehr groß oder sehr klein sein.
• Die kritischen t-Werte sind so definiert, dass die Wahrscheinlichkeit für die t-Statistik in einen der
beiden Ränder zu fallen jeweils α/2 ist.
Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 58.
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Testentscheidung:
bk − c
bk − c
t
t
=
≤
t
=
≥ t (1−α / 2, N −2 ) .
(
/
2
,
N
2
)
α
−
oder
H0 kann abgelehnt werden, wenn
se(b k )
se(b k )
3.2.3 Typ I und Typ II Fehler
• Die Testentscheidung ist korrekt, wenn
−
die Nullhypothese falsch ist und verworfen wird,
−
die Nullhypothese wahr ist und nicht verworfen wird.
• Die Testentscheidung ist nicht korrekt, wenn
−
die Nullhypothese wahr ist und verworfen wird (Typ I Fehler). Der Typ I Fehler geschieht
mit Wahrscheinlichkeit α, dem Signifikanzniveau;
−
die Nullhypothese falsch ist und nicht verworfen wird (Typ II Fehler). Diese
Fehlerwahrscheinlichkeit hängt vom wahren, unbeobachteten Parameterwert ab und kann
deshalb nicht von uns direkt kontrolliert werden.
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3.2.4 Der p-Wert
• Alternativ kann auch der p-Wert für einen Hypothesentest herangezogen werden.
• Der p-Wert eines Tests beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die t-Verteilung einen Wert annimmt,
der mindestens so groß (einseitig „>“), höchstens so groß (einseitig „<“) oder mindestens so groß wie
der absolute Wert (zweiseitig) des Stichprobenwerts der t-Statistik ist.
• Die Berechnung des p-Werts ist also abhängig von der Alternativhypothese:
• falls H1: ßk > c, p = Wahrscheinlichkeit rechts von t
• falls H1: ßk < c, p = Wahrscheinlichkeit links von t
• falls H1: ßk ≠ c, p = Summe der Wahrscheinlichkeiten rechts von t und links von -t
Für alle gilt die Testentscheidung:
Wenn der p-Wert kleiner ist als das gewählte α, dann kann H0 abgelehnt werden.
Beispiel Lebensmittelausgaben: Einseitiger Test „<“
• Wie in 3.2 testen wir: H0: ß2=15 vs. H1: ß2<15.
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Figure 3.6: The p-value for a left-tail test
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 66
Beispiel Lebensmittelausgaben: Zweiseitiger Signifikanztest
• H0: ß2=0 vs. H1: ß2≠0
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• Bei Schätzungen mit statistischen Programmen wird standardmäßig der p-Wert für den zweiseitigen
Signifikanztest angegeben.
Regressionsoutput: (Datensatz: food.dta)
Source
SS
df
MS
Model
Residual
190626.98
304505.173
1
38
190626.98
8013.29403
Total
495132.153
39
12695.6962
food_exp
Coef.
income
_cons
10.20964
83.41601
Number of obs
F( 1,
38)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
Std. Err.
t
P>|t|
2.093263
43.41016
4.88
1.92
0.000
0.062
=
=
=
=
=
=
40
23.79
0.0000
0.3850
0.3688
89.517
[95% Conf. Interval]
5.972052
-4.463272
14.44723
171.2953
Quelle: Eigene Berechnung
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3.3 Prognosen mit dem KQ-Schätzer
• Wir möchten für einen bestimmten Wert der erklärenden Variable, x0, den dazugehörigen Wert der
abhängigen Variable, y0, wissen.
• Wir nehmen an, dass SR1-SR6 gelten, so dass
y0=ß1+ß2x0+e0
(3.3.1)
• Die KQ-Vorhersage, ŷ0 , basiert auf der angepassten Regressionsgerade:
ŷ=
b1 + b 2 x 0
0
(3.3.2)
• Um die Güte der Vorhersage einschätzen zu können, betrachten wir den Vorhersagefehler, der
möglichst klein gehalten werden soll:
f = y0 − yˆ 0 = (β1 + β2 x 0 + e0 ) − (b1 + b 2 x 0 )
(3.3.3)
• Der Erwartungswert von f ist:
E(f ) = β1 + β 2 x 0 + E(e 0 ) − [E(b1 ) + E(b 2 ) x 0 ]
= β1 + β 2 x 0 + 0 − [β1 + β 2 x 0 ]
=0
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(3.3.4)
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• Außerdem gilt:
 1
(x 0 − x) 2 
var(f ) = var( y 0 − ŷ 0 ) = var( ŷ 0 ) + var(e 0 ) = σ 1 + +
2 
N
(
x
x
)
−
∑ i


2
(3.3.5)
• Die Varianz des Vorhersagefehlers kann geschätzt werden, indem σ2 durch den Schätzwert
σ̂ 2 ersetzt wird:
 1
(x 0 − x) 2 
vâr(f ) = σˆ 1 + +
2
−
N
(
x
x
)
∑ i


2
σˆ 2
= σˆ +
+ ( x 0 − x ) 2 vâr(b 2 )
N
(3.3.6)
2
• Analog zum Intervallschätzer können wir mithilfe der t-Verteilung ein Vorhersageintervall
bestimmen.
ŷ0 ± t c ⋅ se(f )
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(3.3.7)
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Kapitel 3: Intervallschätzung, Hypothesentests, Prognose
Quelle: Hill, Griffths, Lim (2008), S. 78.
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