¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 10
Abgabe am Mittwoch, den 25.06.2014, 12:15 Uhr
Lese Kapitel 4 im Diestel, bis vor Abschnitt 4.3 (Beweise sind optional).
Aufgabe 1 (Verständnisaufgabe, 4 Punkte) Bestimme für die folgenden Graphen ihre chromatische Zahl und ihren chromatischen Index. Für alle n, m, `, K n ,
Kn,m , Kn,m,` , C n . Was sind chromatische Zahl und chromatischer Index von einem
Baum? Was ist die chromatische Zahl von zwei Kreisen, die sich in genau zwei Punkten schneiden?
Aufgabe 2 (Beweisaufgabe, 4 Punkte) Wir schauen uns den folgenden Algorithmus reach an. Dabei nehmen wir an, dass die Methode succ(G, v) uns die Menge
aller Nachfolger ( successors“) von v in G gibt.
”
Algorithm 1: reach(G, v)
1 Input: directed Graph G = (V, E), v ∈ V ;
2 R ← ∅;
3 T ← {v};
4 while T 6= ∅ do
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Let u ∈ T ;
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R ← R ∪ {u};
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T ← (T ∪ succ(G, u)) \ R;
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return R;
Intuitiv ist R die Menge der bisher erreichten Knoten, T die Menge der noch zu
bearbeitenden ( Todo“) Knoten.
”
Zeige formal, dass zu gegebenem gerichteten Graphen G = (V, E) und Knoten
v ∈ V der Algorithmus die Menge der von v erreichbaren (reachable) Knoten in
G errechnet (sprich: reach(G, v) = {u ∈ V | v →G u}). Dazu muss auch gezeigt
werden, dass der Algorithmus nicht in eine Endlosschleife gerät ( Terminierung des
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Algorithmus“).
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Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
Aufgabe 3 (Knobelaufgabe, 4 Punkte) Finde zu jedem n > 1 einen bipartiten
Graphen mit 2n Knoten, für den der Greedy-Algorithmus (gegeben im Diestel in Abschnitt 4.2) bei (un)geeigneter Eckenaufzählung n statt 2 Farben benötigt.
Aufgabe 4 (Modellierungsaufgabe, 4 Punkte) Modelliere die folgenden zwei
Fragestellungen als Graphprobleme.
(a) Wieviele Farben reichen aus, um die Länder einer Landkarte so zu färben, da
zwei Länder mit gemeinsamer Grenze stets verschieden gefärbt sind?
(b) Wieviele Tage mu ein Parlament für Ausschusssitzungen anberaumen, wenn
jeder Ausschuss einen Tag lang tagen will und einige Parlamentsmitglieder in
mehreren Ausschüssen sitzen?
Bonusmaterial
Als Bonus behandeln wir in dieser Aufgabenserie einen meiner Lieblingssätze
überhaupt, das Lemma von König. Es ist nicht schwer zu zeigen, aber dennoch sehr
hilfreich und anwendbar in vielen Situationen.
Ein verwurzelter gerichteter Baum ist ein gerichteter Graph, bei dem alle Kanten
von der Wurzel weg zeigen“ und welcher ein Baum ist; die Wurzel ist dabei der
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einzige Knoten mit Eingangsgrad 0.
Theorem 1 (Lemma von König) Sei G ein unendlicher gerichteter Baum mit
Wurzel w so, dass jeder Knoten endlichen (ausgangs-) Grad hat. Dann gibt es einen
unendlichen gerichteten Pfad (vi )i∈N .
Beweis. Wir definieren die Folge (vi )i∈N induktiv wie folgt. Wir setzen v0 = w; wenn
nun vi definiert ist setzen wir vi+1 als ein beliebiger Nachfolger von vi von welchem
aus unendlich viele Knoten erreichbar sind (und vi+1 = vi falls so ein Nachfolger
nicht existiert). Es folgt per Induktion dank dem endlichen Ausgangsgrad, dass wir
in jedem Schritt einen Nachfolger finden, von dem unendlich viele Knoten erreichbar
sind. Damit ist der unendliche gerichtete Pfad gefunden.
Die Tiefe eines verwurzelten Baums T ist die maximale Länge eines Pfades in T
(wobei die Länge eines Pfades die Anzahl der Kanten im Pfad ist). Insbesondere zeigt
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Diskrete Strukturen II
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das Lemma von König also, dass jeder unendliche gerichtete Baum, bei dem jeder
Knoten endlichen Ausgangsgrad hat, unendliche Tiefe besitzt. Die Umkehrung gilt
jedoch nicht, wie die folgende Aufgabe zeigt.
Aufgabe 5 (Bonusaufgabe, 4 Punkte) Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Gebe einen unendlichen gerichteten Baum T an, so dass T Tiefe 1 hat.
(b) Gebe einen unendlichen gerichteten Baum T an, so dass T unendliche Tiefe
hat, aber keinen unendlichen Pfad hat.
Das Lemma von König kann nun in verschiedenen Fällen dadurch angewandt
werden, dass man einen passenden unendlichen Graphen konstruiert. Ein Beispiel ist
die folgende Lösung für die Bonusaufgabe von Aufgabenblatt 4.
Theorem 2 Sei G = (A ∪ B, E) ein abzählbarer bipartiter Graph, in dem jeder
Knoten in A endlichen Grad hat, und so dass
∀S ⊆ A : |N (S)| ≥ |S|.
Dann gibt es eine Paarung, die jedes Element aus A paart.
Beweis. Sei a0 , a1 , . . . eine Aufzählung aller Knoten in A. Wir definieren einen unendlichen verwurzelten Baum wie folgt. Für alle n ∈ N ist jede Paarung, welche genau
die Knoten a0 , . . . , an−1 , ein Knoten im Baum, andere Knoten gibt es nicht. Insbesondere ist ∅, die leere Paarung, ein Knoten im Baum. Wir machen eine gerichtete
Kante von einer Paarung P zu einer Paarung P 0 falls P ⊆ P 0 , und |P | = |P 0 | + 1.
Es ist leicht zu sehen, dass dies einen Baum mit Wurzel ∅ ergibt. Da für alle n ∈ N
die Menge {a0 , . . . , an } eine Paarung hat (mit dem Heiratssatz von Hall), ist dieser
Baum unendlich. Da jeder Knoten in A nur mit endlich vielen Knoten in B verbunden
werden kann, hat in diesem Baum jeder Knoten endlichen Grad.
Sei also nun, mitSdem Lemma von König, (Pi )i∈N ein unendlicher Pfad in diesem
Graphen. Sei P = ∞
i=0 Pi . Da für alle i, j ∈ N mit i < j gilt Pi ⊆ Pj , ist P eine
Paarung in G, welches jedes Element in A paart.
Eine weitere Anwendung ist die folgende Beobachtung zur Färbbarkeit von unendlichen Graphen.
Aufgabe 6 (Bonusaufgabe, 12 Punkte, 1 Klausurpunkt) Sei k ∈ N und sei
G ein (abzählbar) unendlicher Graph, so dass für jede endliche Menge U ⊆ V der
Graph G[U ] k-färbbar ist. Zeige, dass G k-färbbar ist.
Als letztes ist noch zu erwähnen, dass Erweiterungen auf überabzählbare Graphen
auch existieren, aber mit unseren bisherigen Mitteln nicht machbar sind.
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