Zusammenfassung

Zusammenfassung der Ergebnisse der Dissertation
On b-colorings and b-continuity of graphs
von
Dipl.-Math. Mais Alkhateeb
Institut für Diskrete Mathematik und Algebra, TU Bergakademie Freiberg
Eine b-Färbung eines Graphen G mit k Farben ist eine zulässige Knotenfärbung, bei der jede
Farbklasse wenigstens einen farbdominierenden Knoten enthält, d.h. einen Knoten, der Nachbarn in allen anderen k − 1 Farbklassen besitzt. Die b-chromatische Zahl χb (G) ist die größte
Zahl k, für die eine b-Färbung von G mit k Farben existiert. Des Weiteren nennt man einen
Graphen G b-kontinuierlich, wenn es b-Färbungen von G mit k Farben für alle natürlichen
Zahlen k mit χ(G) ≤ k ≤ χb (G) gibt. Da die Bestimmung der b-chromatischen Zahl und die
Entscheidung, ob ein Graph b-kontinuierlich ist, im Allgemeinen N P−schwere Probleme sind,
ist man vor allem an Resultaten für spezielle Graphenklassen interessiert.
In dieser Doktorarbeit wurden für verschiedene Graphenklassen exakte Werte bzw. eine Schranke
für die b-chromatische Zahl ermittelt. Als Beispiele seien hier Graphen genannt, deren minimaler Grad, Unabhängigkeitszahl, oder Cliquen Zahl nahe bei ihren Knotenzahlen sind. Dann
haben wir die bipartiten Graphen betrachtet. Die Untersuchungen zu bipartiten Graphen G
e einer bipartiten Variante des
basieren vor allem auf der Betrachtung des Bi-Komplements G,
gewöhnlichen Komplements G, die sich für die Berechnung von χb (G) als sehr nützlich erwies. Außerdem wurden die Graphen untersucht, deren b-chromatische Zahlen nahe bei ihrem
t-Grad sind. Neben den Ergebnissen zur b-chromatischen Zahl wurden auch einige Ergebnisse
zur b-Kontinuität erzielt, inbesondere für die Graphen, deren b-chromatische Zahl in der Arbeit bereits berechnet wurden. So konnte z.B. nachgewiesen werden, dass alle Halin Graphen
b-kontinuierlich sind.
Kennwörter: Graphenfärbungen / b-Färbungen / b-Kontinuität