Didaktik der Geometrie - Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)

Jürgen Roth
Didaktik der Geometrie
Modul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.1
Inhalt
Didaktik der Geometrie
1
Ziele und Inhalte
2
Begriffsbildung
3
Konstruieren
4
Argumentieren und Beweisen
5
Problemlösen
6
Entdeckendes Lernen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.2
Didaktik der Geometrie
Kapitel 2: Begriffsbildung
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.3
Inhalt
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.1 Was macht einen Begriff aus?
2.2 Wie lernt man einen Begriff?
2.3 Unterrichtsphasen beim Erarbeiten zentraler Begriffe
2.4 Begriffe klassifizieren
2.5 Maßbegriffe: Flächen- und Rauminhalt
2.6 Objektbegriffe: Dreieck und Viereck
2.7 Abbildungsbegriffe: Kongruenzabbildungen
2.8 Winkelbegriff
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.4
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.1 Was macht einen Begriff aus?
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.5
Was ist ein Begriff?
Begriffe
sind die Bausteine des Wissens,
charakterisieren eine ganze
Klasse von Objekten,
werden gewonnen durch
Konstruktion (genetische Definition),
Spezifikation aus einem Oberbegriff
(charakterisierende Definition),
verdichten Informationen,
organisieren das Verhalten,
sind die Grundlage der
sprachlichen Kommunikation,
beeinflussen die Leistungen des
Gedächtnisses und das Problemlösen.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.6
Rolle von Begriffen
Vollrath, Roth (2012): Grundlagen des
Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe.
Spektrum Akademischer Verlag, S. 227f
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.7
Begriffe und Problemlösen
Begriffe als …
Quelle von
Problemstellungen
Mittel zum Präzisieren
von Problemstellungen
Lösungshilfen für
Probleme
Begriff: Umkreis
Welche Polygone besitzen einen Umkreis?
„Wann sind Figuren ähnlich?“
Begriff: Ähnlichkeitsabbildung
Dreieckskonstruktion
Begriff: Ortslinie
Lösungen von
Problemen
Schnittfläche beim Schneiden einer Wurst
Begriff: Ellipse
Mittel zur Sicherung
von Problemlösungen
Wo liegen die Orte, von denen man eine
Strecke unter einem rechten Winkel sieht?
Begriff: Thaleskreis
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.8
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.2 Wie lernt man einen Begriff?
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.9
Modelle langfristigen
Begriffslernens: Lernen …
durch Erweiterung
Neue Objekte beseitigen
Grenzen, auf die man beim
Operieren mit bisherigen
Objekten stößt. → Vertrautes
erscheint in neuem Licht.
Beispiele:
Erarbeitung des
Flächeninhaltsbegriffs
Drehung als doppelte
Achsenspiegelung
als Ersteigen von Stufen
Reflexion und Analyse bereits
erworbenen Wissens führt zu
Wissen höherer Qualität.
→ Höhere Stufe
Vgl. Stufen des
Begriffsverständnisses
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.10
Stufen des
Begriffsverständnisses
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 119ff
Intuitives Begriffsverständnis
Rechteck
Der Begriff als Phänomen.
Beispiele (er)kennen.
Inhaltliches Begriffsverständnis
Der Begriff als Träger von Eigenschaften
Eigenschaften kennen.
Seiten
1
2
3
4
5
Integriertes Begriffsverständnis
6
Größe
1
2
Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
Beziehungen von Eigenschaften untereinander
und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen.
3
4
5
1
6
2
3
Größe
4
5
1
6
2
3
Größe
4
5
6
Größe
1
1
2
2
3
Formales Begriffsverständnis
3
4
4
5
5
6
6
Größe
Einbettung des Begriffs in einen
axiomatischen Aufbau der Geometrie.
Größe
1
2
3
4
5
6
Beispiele:
(1) Gesetzmäßigkeiten bewiesen.
(2) Gleichwertigkeit verschiedener Definitionen erkennen.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Größe
2.11
Vorgänge beim Lernen
geometrischer Begriffe
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 103-111
Aufbau angemessener Vorstellungen (mentaler Modelle) durch
Handlungen
an konkreten Objekten
Wahrnehmungen
an Gegenständen und Bildern
Beschreibungen
von geometrischen Objekten (z.B. Kopfgeometrie)
Erwerb von Kenntnissen
Kenntnis charakteristischer Eigenschaften.
Aneignung von Fähigkeiten
Konstruieren von Figuren
Berechnen von Längen, Flächen- & Rauminhalten
Fähigkeit zum Problemlösen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.12
Verstehen eines Begriffs
Lernende haben einen Begriff verstanden, wenn sie
Bezeichnung des Begriffs kennen,
Beispiele angeben und jeweils begründen können,
warum es sich um ein Beispiel handelt,
Gegenbeispiele angeben und begründen
können, weshalb etwas nicht unter den
Begriff fällt,
charakteristische Eigenschaften des Begriffs
kennen (Dies umfasst die Fähigkeit zur
Angabe von Definitionen.),
Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,
mit dem Begriff arbeiten können
(z. B. beim Konstruieren und beim Problemlösen).
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.13
Erarbeiten eines Begriffs
Erfahrungen zum Begriff sammeln
Handlungen (enaktive Repräsentation)
Objekte darbieten
Beispiele für Begriffe
(ikonische Repräsentation)
Merkmale entdecken
Prinzip der Variation
Prinzip des Kontrasts
Sprache (benennen, beschreiben)
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.14
Weigand et al. (2009): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, S. 111-115
Definition erarbeiten
Genetische Definition
Charakterisierende Definition
Oberbegriff angeben
Definierende Eigenschaft
 notwendige und hinreichende
Bedingung für den Begriff
Präsenzübung:
Geben Sie
für den Begriff
Parallelogramm
mehrere
verschiedene
Definitionen an.
Kritisch Reflektieren
Definition durch möglichst
„schwache“ Forderung
Bezeichnung
Herkunft
evtl. Abgrenzung gegen
Umgangssprache
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.15
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.3 Unterrichtsphasen beim
Erarbeiten zentraler Begriffe
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.16
Unterrichtsphasen bei
zentralen Begriffen
Einstieg
In einem geeigneten Problemkontext können erste
Vorstellungen vom Begriff entwickelt werden.
Erarbeitung
Umfang und Inhalt des Begriffs herausarbeiten.
Sicherung
Ergebnisse festhalten
Lernerfolg überprüfen
(z. B. Beispiele und Gegenbeispiele für den Begriff identifizieren lassen)
Vertiefung
Querverbindungen zu anderen Begriffen herstellen
Spezialfälle (insbesondere Grenzfälle) betrachten
(Z. B. auch Variation der definierenden Eigenschaften)
Anwendungen …
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.17
Relationsbegriff
Tangente an einen Kreis
https://www.geogebra.org/m/WWf7MvD3
Einstieg
Wie viele Punkte können ein Kreis
und eine Gerade gemeinsam haben?
Erarbeitung
Lagemöglichkeiten von
Gerade und Kreis untersuchen.
Sicherung
Ergebnisse festhalten
Passante
Tangente
Sekante
(Zentrale
⇒
⇒
⇒
⇒
keine gem. Punkte
ein Berührpunkt
2 Schnittpunkte
Sekante durch M)
Lernerfolg überprüfen
Tangente zeichnen!
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.18
Beispiel: Tangente
an einen Kreis
Vertiefung:
Besitzt die Figur aus Kreis
und Tangente eine
Symmetrieachse?
Ja! ⇒ Tangente steht
senkrecht auf dem
Berührpunktradius.
Wie kann man die Tangente
konstruieren?
https://www.geogebra.org/m/WWf7MvD3
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.19
Beispiel: Tangente
an einen Kreis
Vertiefung:
Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?
Skizziere Sie!
Wie kann man die Tangenten konstruieren?
M
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
P
2.20
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.4 Begriffe klassifizieren
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.21
Welche Arten geometrischer
Begriffe gibt es?
Inhaltliche Einteilung
Figurenbegriffe
Abbildungsbegriffe
Maßbegriffe
Logische Einteilung
Objektbegriffe (bzw.
Eigenschaftsbegriffe)
Strukturelle Einteilung
Ein geometrischer Objektoder Abbildungsbegriff heißt
invariant gegenüber einer
Abbildungsgruppe 𝐺, falls jede
Abbildung aus 𝐺 den Umfang
des Begriffs auf sich abbildet.
Relationsbegriffe
Funktionsbegriffe
Axiomatische Einteilung
Grundbegriffe
Kein Grundbegriff sollte mit Hilfe
anderer Grundbegriffe definiert
werden können!
definierte Begriffe
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.22
Inhaltliche Einteilung
geometrischer Begriffe
Ebene
Begriffe
Räumliche
Begriffe
Figurenbegriffe
Abbildungsbegriffe
Maßbegriffe
Gerade
Strecke
Vieleck
Kreis
parallel
kongruent
achsensymmetrisch
Geradenspiegelung
Drehung (Punkt)
Kongruenzabbildung
zentrische Streckung
Länge
Winkelgröße
Flächeninhalt
Ebene
Ebenenspiegelung
Drehung (Achse)
Kongruenzabbildung
zentrische Streckung
Volumen
Kugel
parallel
kongruent
ebenensymmetrisch
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.23
Logische Einteilung
geometrischer Begriffe
Objektbegriffe
Relationsbegriffe
Funktionsbegriffe
Objekte einer
Grundmenge G
beschreiben
Beziehungen
zwischen
geometrischen
Figuren.
Die wichtigsten
Funktionsbegriffe in
der Geometrie sind
die Maßbegriffe.
(z. B. ebene Figuren,
räumliche Figuren,
bijektive Abbildungen)
die gemeinsame
Eigenschaften
besitzen lassen
sich zu einer
Untermenge
zusammenfassen,
die den Umfang
eines Objektbegriffs in G bildet.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Relation
in einer
Figurenmenge
Relation
zwischen zwei
Figurenmengen
(Länge, Winkelmaß,
Flächeninhalt & Volumen)
Sie sind Funktionen,
deren
Definitionsbereich
eine spezielle
Figurenmenge und
deren Zielmenge
eine Menge von
Größen ist.
2.24
Relationsbegriffe in einer
Figurenmenge (Beispiele)
Relation
Figurenmenge
ist kongruent zu
Figuren der Ebene oder des Raumes
ist ähnlich zu
Figuren der Ebene oder des Raumes
ist zerlegungsgleich zu
Vielecke oder Körper
ist parallel zu
Geraden der Ebene oder des Raumes;
Ebenen des Raumes
ist orthogonal zu
Geraden der Ebene oder des Raumes;
Ebenen des Raumes
ist Wechselwinkel zu
Winkel der Ebene
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.25
Relationsbegriffe zwischen
zwei Figurenmengen
Relation
Vorbereich
Nachbereich
ist orthogonal zu
Geraden im Raum
Ebenen
ist Tangente an
Geraden
Kreise
hat als Tangente
Kreise
Geraden
ist Mittelsenkrechte von
Geraden
Strecken
hat als Mittelsenkrechte
Strecken
Geraden
ist Umkreis von
Kreise
Dreiecke
hat als Umkreis
Dreiecke
Kreise
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.26
Funktionsbegriffe
Funktion
Definitionsmenge
Zielmenge
hat als Mittelsenkrechte
Menge d. Strecken
Menge d. Geraden
hat als Umkreis
Menge d. Dreiecke
Menge d. Kreise
Längenmaßfunktion
Winkelmaßfunktion
Menge d. Strecken
Menge d. Winkel
Flächeninhaltsfunktion
Menge d. Vielecke
Volumenmaßfunktion
Polyeder
Menge d. Längen
Menge der
Winkelmaße
Menge der
Flächeninhalte
Menge der
Volumina
Für diese Maßfunktionen ist in den jeweiligen Mengen eine Addition „+“ und eine Kleinerrelation „<“
definiert. Diese Struktur ist zur Struktur der nichtnegativen reellen Zahlen bzgl. Addition und
Kleinerrelation isomorph.  Zahlnamen können zur Bezeichnung der Größen benutzt werden.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.27
pingo.upb.de  9877
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.5 Maßbegriffe:
Flächen- und Rauminhalt
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.28
Beispiel:
Themenkreis Flächeninhalt
Flächeninhalt?!
Axiome des
Flächeninhalts
Flächenmessung
Seitenlängen
aus ℕ
Flächenvergleich
Ergänzungsgleichheit
Zerlegungsgleichheit
Seitenlängen
aus ℚ+
Seitenlängen
aus ℝ+
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.29
Stufen bei der
Behandlung von Größen
Franke, M. (2003): Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, S. 201-215
1. Stufe:
Erfahrungen in Sach- und Spielsituationen sammeln
2. Stufe:
Direktes Vergleichen von Repräsentanten
3. Stufe:
Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter
Maßeinheiten
ein drittes Objekt als Vermittler benutzen
ein Objekt als selbst gewählte Einheit benutzen
4. Stufe:
Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter
Maßeinheiten, Messen mit verschiedenen
Messgeräten
5. Stufe:
Umrechnen: Verfeinern und Vergröbern der
Maßeinheiten
6. Stufe:
Aufbau von Größenvorstellungen
7. Stufe:
Rechnen mit Größen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.30
Axiome des Flächeninhalts
Nichtnegativität
Die Maßzahl 𝐴 des Flächeninhalts
ist nichtnegativ. (𝐴 ≥ 0)
Normierung
Ein Quadrat der Seitenlänge 1 LE
hat den Flächeninhalt 𝐴  1 LE 2.
1 LE
1 LE2 1 LE
Additivität
Der Flächeninhalt einer Figur ist
gleich der Summe der Flächeninhalte
der Teilfiguren, in die die Fläche zerlegt
werden kann.
Kongruenzaxiom
Kongruente Figuren haben
denselben Flächeninhalt.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.31
Rechtecksflächeninhalt 𝒂, 𝒃 ∈ ℕ
Flächenmessung
Auslegen mit Einheitsquadraten
𝑏 Reihen, zu je 𝑎 Einheitsquadraten
⇒𝐴=𝑎·𝑏
𝒃
Grundvorstellung
zum Messen
(1) Festlegen einer
Maßeinheit
(2) Auslegen mit
der festgelegten
Maßeinheit
(3) Anzahl der
zum Auslegen
benötigten
Maßeinheiten
→ Maßzahl der
gesuchten Größe
1 LE²
𝒂
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.32
Rechtecksflächeninhalt
𝒑 𝒓
,
𝒒 𝒔
∈ ℚ+
Idee
Ein Rechteck mit den Kanten𝑝 𝑟
längen 𝑞 , 𝑠 ℚ lässt sich nicht
mit Einheitsquadraten auslegen.
Verfeinern der Einteilung beider
𝑝∙𝑠 𝑟∙𝑞
Kantenlängen führt zu 𝑞∙𝑠 , 𝑠∙𝑞 ℚ.
𝑝 2
=
𝑞 3
2∙5
=
3∙5
𝑝∙𝑠
=
𝑞∙𝑠
In das Einheitsquadrat passen
folglich 𝑞 ∙ 𝑠 ∙ 𝑞 ∙ 𝑠 = 𝑞 ∙ 𝑠 2
kleine Teilquadrate. (Im Beispiel:
3∙5 ∙ 3∙5 = 3∙5
2
= 152 = 225)
𝑟 4 4∙3 𝑟∙𝑞
= =
=
𝑠 5 5∙3 𝑠∙𝑞
Ein Teilquadrat besitzt also den
1
1
Flächeninhalt 𝑞∙𝑠 2 LE² = 225 LE².
Flächenmessung
Auslegen mit Teilquadraten ergibt 𝑝 ∙ 𝑠 Zeilen mit je 𝑟 ∙ 𝑞 Quadraten.
𝐴= 𝑝∙𝑠 ∙ 𝑟∙𝑞 ∙
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
1
𝑞∙𝑠 2
=
𝑝∙𝑠 ∙ 𝑟∙𝑞
𝑞∙𝑠 2
=
𝑝∙𝑠∙𝑟∙𝑞
𝑞∙𝑠∙𝑞∙𝑠
=
𝑝∙𝑟
𝑞∙𝑠
𝑝 𝑟
=𝑞∙𝑠
2.33
Rechtecksflächeninhalt 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ+
𝐵1
𝐵2
𝐵3
𝐵4
𝑏4 𝒃
𝑏3 𝑏
2
𝑏1
𝑎 = 𝑎𝑛 ; 𝐴 𝑛
𝑏 = {[𝑏𝑛; 𝐵𝑛]}
mit
𝑎𝑛, 𝑏𝑛, 𝐴𝑛, 𝐵𝑛ℚ+
 {[𝑎𝑛𝑏𝑛; 𝐴𝑛𝐵𝑛]} = 𝑎𝑏
ist eine Intervallschachtellung
für den Flächeninhalt
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
𝑎1
𝒂
𝑎2
𝑎3
𝑎4
𝐴2 𝐴1
𝐴4
𝐴3
2.34
Tangram
Zerlegungsgleichheit
http://www.juergen-roth.de/dynageo/tangram/katze.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.35
Tangram
Zerlegungsgleichheit
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.36
hen
Flächeninhaltsbestimmung
Rechteck
Flächenmessung, d. h. Auslegen
mit Einheitsquadraten (bzw.
Intervallschachtelung)
C
C
h
h
A
g
B
A
B
Das Dreieck kann an den Eckpunkten
verändert werden
Dreieck
Flächenvergleich mit dem Rechteck
R
Regler nach rechts ziehen
-------------->
Polygon
Triangulierung
(Einteilen in Dreiecke)
Kreis
Intervallschachtellung
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/dreiecke/6-f.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.37
Kreisinhaltsbestimmung
http://www.geogebratube.org/student/m279
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.38
Fläche der Antarktis
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung
auf und erkläre, wie du zu
deiner Schätzung
gekommen bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das bei
deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
Kilometer
200 400 600 800
0
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
1000
2.39
Idee: „Auslegen“ mit
Einheitsquadraten
Fläche mit Schelfeistafeln:
13 975 000 km2
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung
auf und erkläre, wie du zu
deiner Schätzung
gekommen bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das bei
deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
Kilometer
200 400 600 800
0
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
1000
2.40
Idee: Vergleichen mit einer
einfachen Fläche
Fläche mit Schelfeistafeln:
13 975 000 km2
Schätze die Fläche der
Antarktis, indem du den
Maßstab der Karte benutzt.
Schreibe deine Rechnung
auf und erkläre, wie du zu
deiner Schätzung
gekommen bist.
(Du kannst in der Karte
zeichnen, wenn dir das bei
deiner Schätzung hilft.)
PISA-Aufgabe
Kilometer
200 400 600 800
0
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
1000
2.41
Parallelogramm
D
A
C
B
D
A
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
C
B
2.42
Parallelogramm
Parallelogrammflächen, die in
der Länge einer Seite und der
zugehörigen Höhe übereinstimmen sind zerlegungsgleich.
Beweisidee:
ΔADF ~ ΔBCE
Voraussetzung:
[CD]  [EF]  
F
E
C
E
B
A
C
D
A
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
D
F
B
2.43
Parallelogramm
𝑫
𝑨
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
𝑪
𝑩
2.44
Flächeninhaltsbestimmung
beim Trapez
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.45
Flächeninhaltsbestimmung
beim Trapez
𝐴𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧 = 𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚 + 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘
𝒄
1
𝒉
𝒉
𝒂
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
= 𝒄 ⋅ 𝒉 + 2 (𝒂 − 𝒄) ⋅ 𝒉
1
2
1
2
= 𝒄⋅𝒉+ 𝒂⋅𝒉− 𝒄⋅𝒉
1
2
1
2
= 𝒂⋅𝒉+ 𝒄⋅𝒉 =
𝒂+𝒄
⋅𝒉
2
2.46
Flächeninhaltsbestimmung
beim Trapez
𝒄
𝐴𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧 = 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘1 + 𝐴𝐷𝑟𝑒𝑖𝑒𝑐𝑘2
𝒉
𝒉
𝒂
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
1
1
= 2𝒄⋅ 𝒉 + 2𝒂⋅ 𝒉
=
𝒂+𝒄
⋅𝒉
2
2.47
Rauminhaltsbegriff
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
Herleitung
Volumen Dreiecksprisma
Weitgehend analog zum
Flächeninhaltsbegriff
Aber: Satz von Dehn beachten!
Satz von Dehn (vgl. Text!)
Zwei rauminhaltsgleiche
Polyeder sind im Allgemeinen
weder zerlegungs- noch
ergänzungsgleich.
Quadervolumen
Volumen gerades Prisma
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.48
Rauminhaltsbegriff
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
Zylindervolumen
Pyramidenvolumen
Vgl. Text!
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.49
Rauminhaltsbegriff
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
Satz von Cavalieri (vgl. Text!)
Zwei Körper gleicher Höhe sind
volumengleich, wenn sie in
jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte haben.
Text lesen!
Prinzip von Cavalieri
Satz von Dehn
Volumen der Pyramide
Kugelvolumen/Kugeloberfläche
Kugelvolumen
Herleitung über den
Satz von Cavalieri (vgl. Text)
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.50
Kugelvolumen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.51
Kugelvolumen
r
r
Es muss noch gezeigt werden, dass die Flächeninhalte der
Schnittflächen in der Höhe h in beiden Körpern gleich groß sind.
𝐴Schnittfläche = 𝜌 2 ⋅ 𝜋
= 𝑟 2 − ℎ2 ⋅ 𝜋
𝐴Schnittfläche = 𝑟 2 ⋅ 𝜋 − ℎ2 ⋅ 𝜋
= 𝑟 2 − ℎ2 ⋅ 𝜋
Nach dem Prinzip von Cavalieri gilt also:
1
𝑉Halbkugel = 𝑉Zylinder − 𝑉Kegel = 𝐺 ⋅ 𝑟 − ⋅ 𝐺 ⋅ 𝑟
3
2 3
2 2
2
= ⋅𝐺⋅𝑟 = ⋅𝑟 𝜋⋅𝑟 = ⋅𝑟 𝜋
3
3
3
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
⇒
𝑉Kugel
2 3
= ⋅𝑟 𝜋
3
2.52
Exkurs: Netze von Körpern
Videos aus: www.madin.net → Grundbegriffe der Geometrie
http://www.juergen-roth.de/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.53
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.6 Objektbegriffe:
Dreieck und Viereck
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.54
Objektbegriffe
Ein Haus der Vierecke
Viereck
Trapez
symmetr.
Trapez
Parallelogramm
Rechteck
Drachenviereck
Raute
Quadrat
http://www.juergen-roth.de/dynageo/vierecke/viereck_begriffshierarchie.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.55
Objektbegriffe
Dreiecksgrundformen
Dreiecksbegriffe
rechtwinklig
spitzwinklig
stumpfwinklig
gleichschenklig
gleichseitig
als „bewegliche“
Strukturen aufbauen.
„Merkbild“
Im Merkbild sind Bewegungen kondensiert.
Wissensabruf benötigt Bewegliches Denken
Ziel
Begriffe deutlich flexibler verfügbar machen
als mit statischen Prototypen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/index.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.56
Gleichschenklige Dreiecke
1) Bewege den Punkt 𝐶 so, dass Dreiecke entstehen, die
a) gleichschenklig mit |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| sind,
b) gleichschenklig mit |𝐴𝐶| = |𝐴𝐵| sind,
c) gleichschenklig mit |𝐵𝐶| = |𝐴𝐵| sind.
2) Angabe von Kurven (Begründung)
3) Widerlegen bzw. vertrauensbildende Maßnahme
durch Binden von 𝐶
an die Kurven.
4) Beobachtung der
Innenwinkel
→ Basiswinkelsatz
5) Gleichseitige Dreiecke
75 °
3,6 cm
C

4,5 cm

A
60 °

5 cm
B
45 °
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.57
Dreiecksgrundformen
„Merkbild“
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/dreiecksgrundformen_zusammenschau.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.58
Eckpunkt wandert
auf einer Kurve
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/eckpunkt_auf_parabel.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.59
Prüfungsaufgabe
Roth (2011). Computerwerkzeuge und Prüfungen – Probleme, Lösungsansätze und Chancen.
Aufgabe
𝑽
Der Punkt 𝑽
wird entlang der
eingezeichneten
Kurve nach
links unten
bewegt.
𝑾
Welche
Dreiecksgrundformen nimmt
das Dreieck
𝑼𝑽𝑾 dabei der
Reihe nach an?
𝑼
In: Kortenkamp et al. (Hrsg.): Computerwerkzeuge und Prüfungen (S. 67-79). Hildesheim: Franzbecker
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.60
Kongruenzabbildungen
http://www.mcescher.com/
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.61
Kongruenzabbildungen
http://www.uni-koeln.de/math-nat-fak/didaktiken/mathe/Projekte/VisuPro/
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.62
Kongruenzabbildungen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.63
Kongruenzabbildungen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.64
Kongruenzabbildungen?
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.65
Typen von
Kongruenzabbildungen
A

A'
g

A
Z
A
A′
Drehung
Z
Geradenspiegelung
→
v
→
v
A′
→
v
Punktspiegelung
→
v

2
A*
A
s
A'
A
Parallelverschiebung
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Schubspiegelung
A′
2.66
Kongruenzabbildungen?
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.67
Kongruenzabbildungen?
http://www.juergen-roth.de/dynageo/bewegungen/bewegungen.html
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.68
Hierarchie der
Ähnlichkeitsabbildungen
Ähnlichkeitsabbildung
zentr. Streckung
Kongruenzabbildung
(echte) Bewegung
Umwendung
(gleichsinnig)
(ungleichsinnig)
Drehung
Punktspiegelung
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Verschiebung
Geradenspiegelung
(echte) Gleitspiegelung
2.69
Kapitel 2: Begriffsbildung
2.8 Winkelbegriff
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.70
Winkelbegriffe
goniometrisch
elementargeometrisch
analytischgeometrisch
stereometrisch
Winkel eines
geordneten
Paares von
Halbgeraden
in
orientierter
Ebene,
bestimmt
mod 2
Winkel eines
ungeordneten
Paares von
Halbgeraden
in
unorientierter
Ebene,
bestimmt
zwischen 0° und
180°
Winkel eines
geordneten
Paares von
Geraden
in
orientierter
Ebene,
bestimmt
mod 
Winkel eines
ungeordneten
Paares von
Geraden
in
unorientierter
Ebene,
bestimmt
zwischen 0° und
90°
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
2.71
Winkelbegriffe
Durch eine Gerade 𝒈 werden in der Zeichenebene
zwei Halbebenen bestimmt. Eine Halbebene ist die
Menge aller Punkte, die auf einer Seite von 𝒈
liegen, einschließlich 𝒈 selbst.
Die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier Halbebenen,
deren Randgeraden sich in einem Punkt 𝑺 schneiden, heißt
spitzer bzw. überstumpfer Winkel.
Eine Halbgerade nennt man auch Nullwinkel, eine Halbebene
auch gestreckter Winkel.
𝑺
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
𝑺
2.72