Musterlösung zur 3. Hausaufgabe

Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Musterlösung zur 3. Hausaufgabe
- Unterrichtsanalyse 1)
Vorkenntnisse:
Im Rahmen der aktuellen Einheit wurden die folgenden Themen im Unterricht
behandelt.
ƒ
Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal;
ƒ
Konstruktion und Eigenschaften der Achsenspiegelung (Achsensymmetrie);
ƒ
Konstruktion und Eigenschaften der Drehung und Drehsymmetrie;
ƒ
Punktspiegelung und Punktsymmetrie;
ƒ
Winkel: Bezeichnungen und Messung;
ƒ Konstruktion
und
Eigenschaften
der
Verschiebung
und
Verschiebungssymmetrie;
Dabei wurde besonderer Wert auf die Eigenschaften der Kongruenzabbildungen
(Längen und Winkel bleiben erhalten) gelegt.
Das Verfahren der Beweisentwicklung wurde erst in den letzten Unterrichtsstunden
anhand von einfachen Beispielen (Stufen- / Wechselwinkelsatz;
Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck) eingeführt.
2)
Einordnung Lehrplan:
Geometrie, Erfassen und Messen sowie Anwenden (genaue Beschreibung s.
Lehrplan)
Für die Jahrgangsstufen 7/8 sieht der Rahmenplan die Behandlung von Winkeln in
geometrischen Figuren vor. Zu diesem Bereich gehört insbesondere der wichtige
Satz über die Winkelsumme im Dreieck.
Der Winkelsummensatz für Dreiecke ist von grundlegender Bedeutung für den
Aufbau der Geometrie. Seine Aussage ist gleichwertig mit dem Parallelenaxiom2
der euklidischen Geometrie. Er bildet die Grundlage für den Beweis der
Winkelsummensätze für Vielecke. Bei der Behandlung der Kongruenzsätze wird er
immer wieder angewandt um die fehlenden Winkelmaße zu bestimmen.
Die Anwendungen des Winkelsummensatzes sind vielfältig. Seine Stärken werden
immer dann deutlich, wenn es darum geht, fehlende, einer Messung unzugänglichen
1
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Winkel zu bestimmen. Dies wird vor allem in der Architektur oder bei der Land- /
Gebäudevermessung oft benötigt.
3)
Kenntnisse und Fähigkeiten, die im Lehrplan angegeben werden:
Im Rahmenplan wird gefordert, dass Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten im
Mathematikunterricht
durch
entdeckendes,
anschauungsgebundenes
und
handlungsorientiertes Lernen erworben werden sollen. Dies lässt sich im besonderen
Maße im Geometrieunterricht verwirklichen: Das aktive Umgehen mit Material und
Objekten,
wie
das
Zeichnen,
Messen,
Falten,
Zerschneiden
oder
Zusammensetzen, steht im Vordergrund der handlungsbezogenen Aktivitäten.
Hierzu erhalten die Schülerinnen und Schüler gleich zu Beginn der Stunde
Gelegenheit, indem sie jeweils ein beliebiges Dreieck zeichnen und die Winkel in
ihrem Dreieck messen. Im weiteren Verlauf der Stunde werden sie ihre Dreiecke ausund zerschneiden, um durch geschicktes Zusammenlegen der Ecken (Winkel) eine
Idee für den Beweis zu finden.
4)
Begründungen?
(Vgl. alternative Begründungen aus der Vorlesung.)
2
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Bei fehlendem Lösungsansatz sollte der Lehrer zunächst nachfragen, was dem
Schüler klar ist bzw. welche Ideen er hat. An diese Ideen sollte er mit der
entsprechenden Begründung ansetzen.
Die Schwierigkeit besteht für die Schüler darin, die Idee in eine logisch aufgebaute
Argumentationskette einzubauen. Hierbei können die folgenden Fragen helfen:
ƒ
Wovon bist du ausgegangen?
ƒ
Wie bist du bei deiner Begründung vorgegangen?
ƒ
Welche mathematischen Operationen (Abbildungen) hast du verwendet?
3
Rinkens/Eilerts
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Wenn keine eigenen Ideen vorhanden sind, sollte der Lehrer dem Schüler einen Tipp
geben. Z.B. lege die Winkel einmal aneinander. Was fällt dir auf?
Die aus der Winkelmessung entstehende Vermutung („Die Summe der Winkel in
jedem Dreieck beträgt 180°“) wird von den Schülerinnen und Schülern meist sofort
für richtig gehalten, ein Beweisbedürfnis besteht nicht. Um die Schülerinnen und
Schüler zu motivieren, diese Vermutung kritisch zu überprüfen, versucht der Lehrer
sie mit Fragen zu provozieren.
Es ist oft schwierig bei den Schülerinnen und Schülern ein Beweisbedürfnis zu
erzeugen. Dies wird aber dringend benötigt, wenn die Schülerinnen und Schüler
wirklich kritisch über eine Beweisidee nachdenken sollen.
Aber in der Jahrgangsstufe 7 findet der Übergang von der Propädeutik der
Geometrie zum beweisenden Geometrieunterricht statt. Es soll nun stärker Wert
gelegt werden auf das Argumentieren und Begründen von Aussagen. An dieser
Stelle haben die Schülerinnen und Schüler oft zum ersten Mal Kontakt mit Beweisen
in der Mathematik. Da die Beweise in der Geometrie oft sehr anschaulich geführt
werden können, bietet sich dieses Thema an, um dieses neue mathematische
Verfahren einzuführen.
In der geplanten Stunde sollen die Schülerinnen und Schüler die Aussage des
Winkelsummensatzes selbsttätig entdecken und eine Beweisidee entwickeln /
nachvollziehen.
5)
Welche Lernziele sollen durch die Unterrichtsstunde erreicht werden?
Die Schülerinnen und Schüler sollen:
ƒ
die Vermutung: „Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°“
formulieren;
ƒ
eine Beweisidee, die u.a. geeignete Verschiebungen verwendet, unter
Zuhilfenahme der abgeschnittenen Ecken entwickeln;
ƒ
einen Beweis für die Aussage des Winkelsummensatzes mündlich führen und
formulieren.
Durch einen handlungsorientierten Einstieg sollen die Schülerinnen und
Schüler motiviert werden die Aussage des Winkelsummensatzes selbsttätig
zu entdecken.
4
Rinkens/Eilerts
6)
Didaktik der Geometrie (Klasse 7 – 10)
WS 08/09
Wie kann der Unterricht nach dieser Stunde weitergehen?
Weitere Unterrichtsthemen:
- Außenwinkel
- Kongruenzsätze
- Flächenberechnung von Dreiecken
7)
Thematik im Schulbuch:
In den meisten Schulbüchern7 findet man den „Parallenbeweis“. Das Problem bei
diesem Beweis liegt in der Entdeckung der Hilfslinie (der Parallele zur Grundseite
durch den gegenüberliegenden Eckpunkt). Es gibt verschiedene Ansätze, damit
diese Hilfslinie nicht „vom Himmel fällt“. Eine Möglichkeit besteht darin, eine Fläche
mit kongruenten Dreiecken zu parkettieren und dann in dem entstehenden Muster
jeweils gleiche Winkel (farbig) zu markieren.
8)
Vergleiche das Vorgehen der oben aufgeführten Unterrichtsstunde mit
dem Vorgehen in dem von dir ausgewählten Buch.
Aufgrund der gewählten Abfolge der aktuellen Unterrichtseinheit hat der Lehrer sich
für eine andere Beweisidee entschieden.
Da
bisher
die
Abbildungen
Spiegeln,
Drehen,
Verschieben
und
ihre
Kongruenzeigenschaften behandelt wurden, bietet die „Abreißmethode“ eine
Möglichkeit um die erworbenen Kenntnisse für den Beweis einzusetzen.
Hierbei werden die Ecken eines beliebigen Dreiecks abgeschnitten und zu einem
gestreckten Winkel zusammengelegt. Dies ist sicher ein beeindruckendes Ergebnis,
aber noch kein Beweis. Diesen erhält man, wenn man die abgeschnittenen Winkeln
α und β entlang einer Dreieckseite parallel verschiebt. Mit C als
gemeinsamen
Scheitelpunkt
bilden
sie
zusammen
mit
dem
Scheitelwinkel von γ einen gestreckten Winkel.
Die für den mathematischen Beweis erforderliche Hilfslinie ergibt sich
dann als Verlängerung der beiden Schenkel der Winkel α und β
parallel zur Grundseite.
5