Höhere Mathematik 1 - M10 - Technische Universität München

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. J. Hartl
Dr. C. Eder
Dr. P. Huck
Dr. H. Petermeier
WS 2005/2006
Blatt 2
Höhere Mathematik 1
(Wissenschaftszentrum Weihenstephan)
1. Eine ganze Zahl n heißt gerade, wenn es eine ganze Zahl z gibt, so dass
n = 2 · z ist. Andernfalls heißt n ungerade, und es gibt eine ganze Zahl z, so
dass n = 2 · z + 1 ist.
Man beweise:
a) Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
b) Das Quadrat jeder ungeraden Zahl ist ungerade.
2. Es seien drei endliche Mengen A, B, C gegeben. Man zeige: Es gilt:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
3. Die Menge der reellen Zahlen bezeichnen wir mit R. Ist a ∈ R kleiner als b ∈ R,
so schreiben wir kurz a < b; ist a kleiner als b oder gleich b, so schreiben wir
kurz a ≤ b. Skizzieren Sie die Punktmenge im R2 , die beschrieben wird durch
die Ungleichung
a) x − y < 0;
b) y < x2 ;
c) (x + 1)2 + (y − 1)2 ≤ 41 .
4. Addieren Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . , 998, 999, 1000.
5. Die uns aus der Schule bekannten Zahlen sind angeordnet. (Wenn Sie in der
Schule bereits komplexe Zahlen kennengelernt haben, denken Sie im folgenden
bitte nur an die reellen Zahlen.)
Für je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der folgenden Beziehungen:
a ist kleiner als b oder a ist gleich b oder b ist kleiner als a,
kurz: a kleiner b oder a gleich b oder b kleiner a, in Zeichen:
a < b oder a = b oder b < a.
Statt b < a schreibt man auch a > b.
Statt a = b oder a < b, kurz a = b ∨ a < b, schreibt man auch a ≤ b.
Statt a = b oder a > b, kurz a = b ∨ a > b, schreibt man auch a ≥ b.
Welche der folgenden Aussagen sind für jedes Paar a, b von reellen Zahlen
wahr? Jeweils Begründung!
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a) a ≤ b ⇒ a < b;
b) a < b ⇒ a ≤ b;
c) a < b ∨ b < a;
d) a ≤ b ∨ b ≤ a;
e) a < b ∨ a = b ∨ b < a;
f ) a ≤ b ∨ a = b ∨ b ≤ a;
g) a ≤ b ∨ b ≥ a.
6. Welche der folgenden Ausdrücke sind für je zwei Aussagen A und B wahr?
a) A ⇒ A;
b) A ∨ B ⇒ A;
c) A ∧ B ⇒ A;
d) A ⇒ A ∨ B;
e) ¬(¬A);
f ) ¬((¬A) ∧ A);
g) A ⇒ A ∧ B.
7. Gilt für je zwei Mengen M , N die Aussage (*)?
M ⊂ N ⇒ M ∩ N 6= ∅
(∗)
8. Im Hof stehen zwei Fässer mit einer Lösung. Das eine Fass hat die Nummer
1 und enthält laut Aufschrift 40%ige Lösung. Die Konzentration im anderen
Fass, dem Fass mit der Nummer 2 ist nicht bekannt, weil sich das Etikett
gelöst hat. Der zuständige Mitarbeiter ist nicht erreichbar. Aber auf seinem
Schreibtisch findet sich eine Notiz: ”Um 55%ige Lösung zu erhalten mische
zwei Anteile aus Fass 1 mit drei Anteilen aus Fass 2.“ Wie stark ist die Lösung
in Fass 2?
Die Aufgaben 1 bis 4 sollen in der Übung am Dienstag, dem 8. November 2005
besprochen werden. Die Aufgaben 5 bis 8 sind zur häuslichen Bearbeitung gedacht.
Gelegenheit zu Fragen gibt es nach der Vorlesung und nach der Übung sowie in den
Tutorübungen.
Der Mathematiker und Philosoph Bertrand Russell (1872 - 1970) wurde von
einem Journalisten gefragt, ob es stimme, dass man aus einer einzigen falschen
Voraussetzung alles schließen könne. Als er die Frage bejahte, bat der Journalist
ihn, aus der Voraussetzung ”3 = 4“ zu folgern, dass er der Papst sei. ”Ganz
einfach“, sagte Bertrand Russell. ”Wenn 3 = 4 ist, ziehen wir auf beiden Seiten der
Gleichung 2 ab. Dann folgt 1 = 2. Der Papst und ich sind zwei. Wenn zwei gleich
eins ist, sind der Papst und ich also eins. Folglich bin ich der Papst.“
mündliche Überlieferung
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