Latest Appearance Record

Automaten, Spiele, und Logik
Woche 12
4. Juli 2014
Inhalt der heutigen Vorlesung
I
Latest Appearance Record
Puzzle: der unsterbliche Notar
I
I
Notar N ist unsterblich
wiederholt:
I
I
I
I
neue Urkunde U beliebig
tief nehmen
Urkunde lesen
Urkunde oben liegen
ist aber menschlich:
Tief(U)>10 ⇒ 1 Wirbel
zerbrochen
Wieviel Urkunden kann der Notar
unendlich oft lesen?
“Latest Appearance Record”
Sei Σ = {a1 , . . . , an }. Sei A der deterministischer Paritätsautomat,
so dass
I
jeder Zustand von A ist ein Stapel, der Σ ∪ {•} enthält
I
wenn der Automat liest ein Buchstabe, er liegt der oben den
Stapel
I
• zeigt, wo der letzte Buchstabe genommen wurde.
Beispiel: Σ = {a, b, c}, der Automat liest abc
a
b
c
•
a
→
a
•
b
c
b
→
b
a
•
c
c
→
c
b
a
•
a
→ ...
Bemerkung : a unendlich oft gelesen gdw a unendlich oft oben •.
“Latest Appearance Record” (2)
Sei F ⊆ P(Σ) eine Menge von Mengen von Buchstaben
(z.b F = {{a, b}, {a, c}}).
“Latest Appearance Record” (2)
Sei F ⊆ P(Σ) eine Menge von Mengen von Buchstaben
(z.b F = {{a, b}, {a, c}}).
Wir betrachten jetzt die Prioritätsfunktion für den DPA

a1
a2
..
.











 ai 
2i
falls {a1 , . . . , ai } ∈ F

Ω
 •  = 2i + 1 falls {a1 , . . . , ai } 6∈ F


ai+1 


 .. 
 . 
an
“Latest Appearance Record” (3)
Satz
Der DPA akzeptiert ein unendliches Wort w gdw
{a ∈ Σ : |w |a = ∞} ∈ F.
Beweis:
w
w
Sei w ∈ Σω festgenommen und ρ = q1 →1 q2 →2 . . . sein Lauf. Sei
ik die Tiefe von • in qk , und n = lim sup ik .
k→∞
•
ik
•
S1 • S2
•
•
•
•
•
•
S3
•
•
•
•
S4 •
•
n
k
Sei Si die Menge von Buchstaben oben • den i-te Mal, dass die Tiefe von
• gleich n ist. Der Lauf ist akzeptierend gdw Si 6∈ F nur endlich oft
passiert.
Beweis
•
ik
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
n
•
k
I
wenn a unendlich oft am Top ist, dann a nach einer Zeitpunk immer
über n ist (weil unendlich oft gewählt)
I
gegenseitig, wenn a nach einer Zeitpunk immer über n ist, dann
unendlich wird entweder a selbst oder ein b unten a gewählt (weil
ein Zeichen an der Tiefe n regelmässig gewählt wird). Der zweite
kann nur endlich oft passieren, und nach einer Zeitpunkt muss a
selbst gewählt werden, und zwar unendlich oft.
Dann S := {a ∈ Σ : |w |a = ∞} is die Menge von Zeichen, die nach einer
Zeitpunk über n bleiben. Konsequent S1 , . . . , Si , . . . stabilisiert zu S, und
ρ ist akzeptierend gdw S ∈ F.
Anwendung
Satz
Sei A ein DMA. Dann gibt es ein DPA B, so dass L(A) = L(B).
Beweis:
I
QB = Stapel(QA )
I
(q0 , q1 , . . . , qn ) → (qi , q0 , q1 , . . . , qi−1 , •, qi+1 , . . . ) wenn
δA (q0 , a) = qi
I
Ω(q0 , q1 , . . . , qi , •, . . . ) = 2i wenn {q0 , . . . , qi } ∈ FA ,
umsonst 2i + 1.
a
Zusammenfassung
Reduktionnen
I
DPA
DRA/DSA
DMA (generelere Akzeptanzbedingung)
I
DMA
I
DMA/DRA/DSA/DPA erkennenen dieselbe klasse von
Sprachen
DPA
Thema von Michaels Seminar: die ist die Klasse von ω-reguläre
Sprachen.