Lineare Algebra ¨Ubungsblatt 1: Vektorrechnung

Lineare Algebra Übungsblatt 1: Vektorrechnung
Ã
!
4
1. Gegeben sind die Vektoren ~a =
, ~b =
1
grafisch den Vektor ~r = 1 ~c − ~a + 2~b.
Ã
0
−3
!
Ã
und ~c =
−2
4
!
. Bestimmen Sie rechnerisch und
2


6


2. Gegeben ist der Vektor ~r =  −2  . Berechnen Sie die Länge von ~r, den zugehörigen Einsvektor
3
und den Winkel zwischen ~r und den Koordinatenachsen.


1


3. Bilden Sie das Skalarprodukt des Vektors ~r =  −2  mit den Vektoren
4


2


(a) ~a =  −1 
−2


4


~
(b) b =  4 
1


−2


(c) ~c =  4 
−8
Welche Lage haben die Vektoren im Fall b), c) zueinander?




4
6

 ~


4. Gegeben sind die Vektoren ~a =  5  , b =  3  . Welchen Winkel schließen der Summenvektor
3
−1
~
~
~
~c = ~a + b und der Differenzenvektor d = ~a − b miteinander ein?
5. Ein Vektor ~a schließt mit der x-Achse den Winkel α = 45o ,√mit der z-Achse den Winkel γ = 120o und
mit der y-Achse einen spitzen Winkel ein. Seine Länge ist 2. Berechnen Sie ~a.




100
2




6. Ein Körper wird durch die Kraft F~ =  50  N auf dem Weg ~s =  5  m bewegt. Welche Arbeit
−12
10
muss geleistet werden?


5


~
7. Ein Massepunkt wird durch die Kraft F =  −2  N geradlinig von P1 = (1; 20; 5)m nach P2 =
−3
(6; 3; 0)m verschoben. Welche Arbeit leistet die Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor ~s = P1~P2 ?




6
4




~
8. Durch die beiden Ortsvektoren ~a =  −2  und b =  0  ist ein Dreieck 0AB aufgespannt.
−3
1
Bestimmen Sie den Fußpunkt C der Höhe h von A auf die Seite 0B. Welchen Betrag hat die Höhe h?




1
1
2




9. Berechnen Sie ~a × ~b für ~a =  2  und ~b =  0 
−3
1




2
1




10. Welcher Einheitsvektor ist orthogonal zu den Vektoren ~a =  −5  und ~b =  0  ?
3
−2
Lineare Algebra Lösungen Vektorrechnung
Ã
1. ~r =
!
−5
−5

6
7
− 27
3
7

2. | ~r |= 7, e~r = 


 , Winkel mit x-Achse: α = 31, 00o , Winkel mit y-Achse: β = 106, 60o , Winkel
mit z-Achse: γ = 64, 62o
3. (a) ~r · ~a = −4
(b) ~r · ~b = 0, ~r ist senkrecht zu ~b.
(c) ~r · ~c = −42, ~r ist parallel zu ~c.
4. ϕ = 86, 4o


5. ~a = 
1
√
2
√2
− 22



6. W = 330J
7. W = 74J, ϕ = 49, 31o
³
8. Fußpunkt C =

2
7
14
5 ; 0; − 5



9. ~a × ~b =  − 52 
−1


10

1 
10. e~v = √174
 7 
5
´
, h = 3, 35