Feynmandiagramme für Anfänger 1 Einleitung

i
Feynmandiagramme für Anfänger
Thorsten Ohl
— Universität Würzburg —
[email protected]
40. Herbstschule Maria Laach, 2.–12. September 2008
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Inhaltsverzeichnis
ii
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
◦ Streuamplituden ◦ Lorentztransformationen ◦ Schrödingergleichung ◦ Einheiten
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
11
◦ Klein-Gordon Gleichung ◦ Freie Spin-0 Teilchen ◦ Anti-Teilchen ◦ Dirac-Gleichung
◦ Gamma-Matrizen ◦ Freie Spin-1/2 Teilchen ◦ Freie Spin-1 Teilchen
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
◦ S-Matrix ◦ Propagatoren ◦ Feynmanregeln ◦ Wirkungsquerschnitt ◦ Kinematik
◦ Phasenraum
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
◦ e+ e− → µ+ µ− ◦ Spursätze ◦ Wirkungsquerschnitt ◦ FORM ◦ Bhabha-Streuung ◦ FORM
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
◦ Feynman-Regeln ◦ 3-Jet Produktion
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
86
◦ Propagatoren ◦ Feynman-Regeln ◦ Higgs-Strahlung
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Einleitung
1
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Streuamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Th. Ohl
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Streuamplituden
2
Postulat der Quantenmechanik: Ein
Beschleuniger präpariert einen
Anfangszustand |ini , der sich durch die zu
untersuchende Wechselwirkung S verändert und
ein Detektor mißt den Überlapp des
entstehenden Zustandes mit einem
Endzustand |outi.
Die Übergangswahrscheinlichkeit P ist durch das Betragsquadrat der Übergangsamplitude A
gegeben:
Ain→out = hout S ini
(1a)
Pin→out = |Ain→out |2
(1b)
Sofern es sich bei |ini oder |outi nicht um reine Zustände handelt, müssen die entsprechenden
Übergangswahrscheinlichkeiten addiert (z. B. Spins) oder integriert (z. B. Winkelauflösung) werden.
Th. Ohl
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Streuamplituden
3
Aufgabenstellung:
1. Beschreibe |ini und |outi:
• reine Zustände: vollständig polarisierte Elektronen, Muonen, Photonen
⇒ Dirac-Gleichung, Klein-Gordon Gleichung, etc.
• Mischungen: Protonen, teilweise polarisierte oder unpolarisierte Elektronen, Muonen,
Photonen . . .
2. Berechne S (bzw. den Teil von S, der für hout S ini gebraucht wird)
• Quantenelektrodynamik (QED)
• Quantenchromodynamik (QCD)
• Standardmodell
• “Neue Physik”
⇒ Feynman Regeln
3. quadriere Ain→out und integriere Pin→out
• Monte Carlo
Th. Ohl
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Lorentztransformationen
4
Postulat der Relativitätstheorie: Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich.
Insbesondere liegt die Wellenfront einer sich ausbreitenden Kugelwelle für jeden Beobachter bei
|~x| = ct
(2)
Mit der Notation x0 = ct heißt das, daß die Lösungen von
x20 − ~x2 = 0
(2 ′ )
in jedem Koordinatensystem gleich sein müssen und man kann zeigen, daß aus Homogenität und
Isotropie folgt, daß allgemein
x2 = x20 − ~x2
(3)
in jedem Koordinatensystem gleich sein muß.
Notationen:
• 3er-Vektoren: (kovariant bzgl. Drehungen)
~x = (x1 , x2 , x3 )
(4)
• 4er-Vektoren: (kovariant bzgl. Drehungen und boosts)
x = (x0 ; ~x) = (x0 ; x1 , x2 , x3 ) = (x0 ; −x1 , −x2 , −x3 )
Th. Ohl
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(5)
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Lorentztransformationen
• Metrik:
gµν = g
und
xµ =
3
X
µν
1 0
0 −1
= 0 0
0 0
gµν xν ,
0
0
−1
0
3
X
xµ =
5
0
0
0
−1
(6)
gµν xν
(7)
ν=0
ν=0
• Summenkonvention:
xp =
3
X
xµ pµ = xµ pµ = xµ pµ = gµν xµ pν = gµν xµ pν
µ=0
3
X
= x0 p0 −
xi pi = x0 p0 − xi pi = x0 p0 − ~x~p (8)
i=1
NB: xp ist invariant, weil 2xp = (x + p)2 − x2 − p2 !
• Lorentztransformation Λ:
2
′
xµ → xµ′ = Λµν xν (mit x ′ = x2 ) ⇐⇒ gµµ ′ = Λµν Λµ ′ ν gνν ′
Th. Ohl
• Ableitungen:
(9)
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Lorentztransformationen
6
∂
∂
µ
f(x) = ∂µ
f(x) = ∂µ f(x)
x f(x) = ∂ f(x) ,
∂xµ
∂xµ
(10)
ν
µ
zum Beispiel: ∂µ
x (xp) = ∂(xν p )/∂xµ = p
Aufgabe 1 Berechnen Sie die Ableitungen nach x
∂µ e−ipx ,
(a∂)(b∂)e−ipx ,
∂2 e−ipx
(11)
für konstante 4er-Vektoren a, b und p.
Lösung 1
∂µ e−ipx = −ipµ e−ipx
(12a)
(a∂)(b∂)e−ipx = −(ap)(bp)e−ipx
(12b)
∂2 e−ipx = −i(p∂)e−ipx = −p2 e−ipx
Th. Ohl
(12c)
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Lorentztransformationen
7
Aufgabe 2 Zeigen Sie
∂µ xµ = 4
µ
(NB: ∂µ x =
gµν ∂xµ /∂xν
und
gµν
=
δµν )
(13a)
und berechnen Sie
2
∂2 e−x /2
(13b)
∂µ xµ = gµν ∂xµ /∂xν = gµν δµν = gµµ = 4
2
2
2
2
∂2 e−x /2 = −∂µ xµ e−x /2 = −xµ ∂µ e−x /2 − (∂µ xµ ) e−x /2
(14a)
Lösung 2
2
= xµ xµ e−x /2 − gµµ e−x
Th. Ohl
2
/2
2
= (x2 − 4)e−x /2
Feynmandiagramme für Anfänger
(14b)
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Schrödingergleichung
8
Wellenfunktionen erfüllen die Schrödingergleichung
ih
d
Ψ(t) = HΨ(t)
dt
(15a)
mit der Lösung
Ψ(t + δt) = e−iH·δt/h Ψ(t)
und damit
Ain→out = hout S ini = lim
t1 →−∞
t2 →+∞
D
out(t2 ) e−iH·(t2 −t1 )/h in(t1 )
(15b)
E
(16)
Probleme:
Teilchenerzeugung und -vernichtung in der Natur beobachtet, kann aber durch
Wellenfunktionen (ohne zweite Quantisierung“, d. h. Feldoperatoren) nicht beschrieben
”
werden.
Lorentz-Kovarianz von (15) nicht manifest und freie Einteilchen-Gleichung
ih
d
Ψ(t) =
dt
2
1 ~
∇ Ψ(t)
ihc
(17)
ist manifest nicht kovariant!
Th. Ohl
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Einheiten
9
Wir benutzen ab jetzt Einheiten mit den natürlichen Größenordnungen für Quantenmechanik und
relativistische Kinematik
h = c = 1.
(18)
Geschwindigkeiten und Wirkungen sind somit dimensionslos und deshalb
1
.
[Energie] = [Impuls] = [Masse] =
Länge
(19)
Insbesondere werden die Feynmanregeln später Wirkungsquerschnitte in Einheiten von [Energie−2 ]
liefern, z. B.
4πα2
σ=
(20)
3E2
Die wichtigen Umrechnungsfaktoren sind
hc = 197.327 053(59) MeV fm
(21)
(hc)2 = 0.389 379 66(23) TeV2 nb
(22)
(TeV2 nb = GeV2 mb) und somit
σ=
Th. Ohl
4πα2
0.39 nb
3(E/TeV)2
(20 ′ )
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Asymptotische Zustände
10
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Klein-Gordon Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Freie Spin-0 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Anti-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Gamma-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Freie Spin-1/2 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Freie Spin-1 Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
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Asymptotische Zustände
11
Beschreibung durch Wellengleichungen
1. linear: Superpositionsprinzip der Quantenmechanik.
2. relativistisch: Matrixelemente von Observablen müssen sich unter Drehungen und boosts wie
Skalare, Vierer-Vektoren, Tensoren etc. transformieren.
3. Energie-Impuls Relation: E2 = ~p2 + m2
Zu beschreibende Objekte:
• Spin-0 Teilchen: elementar noch(?) nicht beobachtet, aber möglich: Higgs
– eine invariante Komponente
• Spin-1/2 Teilchen: Leptonen, Quarks
– mindestens zwei Komponenten: Spinor unter räumlichen Drehungen
• Spin-1 Teilchen: Eichbosonen
– masselos zwei Komponenten, massiv drei Komponenten: Polarisationen
Th. Ohl
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Klein-Gordon Gleichung
12
h
i
(i∂0 )2 φ(x) = (−i~∂)2 + m2 φ(x)
(23)
ist offensichtlich eine kovariante Wellengleichung, weil:
∂2 + m2 φ(x) = 0
(24)
Fouriertransformation
φ(x) =
Z
Z 4
d4 p −ipx
d p −ipx
,
i∂
φ(x)
=
pµ φ̃(p) , usw.
e
e
φ̃(p)
µ
(2π)4
(2π)4
also
(25)
p2 − m2 φ̃(p) = 0
p0
”‘Massenschale”’:
p
p0 = + ~p2 + m2 ,
2
p = m2 , p0 > 0
|~p|
(24 ′ )
Korrekte relativistische
p
Dispersion E = + ~p2 + m2
p
Was ist mit E = − ~p2 + m2 ?
p
p0 = − ~p2 + m2
Th. Ohl
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Freie Spin-0 Teilchen
13
Allgemeine Lösung
d4 p
2πΘ(p0 )δ(p2 − m2 ) φ(+) (~p)e−ipx + φ(−) (~p)eipx
4
(2π)
Z
d3~p φ(+) (~p)e−ipx + φ(−) (~p)eipx
=
(2π)3 2p0 √ 2 2
p0 = ~
p +m
Z
f φ(+) (~p)e−ipx + φ(−) (~p)eipx
= dp
φ(x) =
Z
(26)
~ (x) = ∂µ jµ (x) = 0 aus Lösungen φ1 und φ2 der Klein-GordonErhaltener Strom ∂0 j0 (x) − ∇~
Gleichung (mit gleicher Masse):
←
→
jµ (x) = φ∗1 (x)i ∂µ φ2 (x) = φ∗1 (x)[i∂µ φ2 (x)] − [i∂µ φ∗1 (x)]φ2 (x)
(27)
∂µ jµ (x) = ∂µ φ∗1 (x)[i∂µ φ2 (x)] − ∂µ [i∂µ φ∗1 (x)]φ2 (x)
= i[∂µ φ∗1 (x)][∂µ φ2 (x)] + iφ∗1 (x)[∂2 φ2 (x)] − i[∂2 φ∗1 (x)]φ2 (x)−i[∂µ φ∗1 (x)][∂µ φ2 (x)]
= −iφ∗1 (x)m2 φ2 (x) + im2 φ∗1 (x)φ2 (x) = 0
Th. Ohl
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(28)
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Freie Spin-0 Teilchen
14
Invarianter Überlapp aus erhaltenem Strom:
Q=
Z
d3~x j0 (x) =
x0 =t
Z
←
→
d3~x φ∗1 (x)i ∂0 φ2 (x)
x0 =t
←
→
←
→
1
d3~p
(+)∗
(+)
(−)∗
(+)
φ1 (~p)φ2 (~p) · eip0 t i ∂0 e−ip0 t + φ1 (−~p)φ2 (~p) · e−ip0 t i ∂0 e−ip0 t
=
3
(2π) 2p0 2p0
←
→
←
→
(+)∗
(−)
(−)∗
(−)
+ φ1 (~p)φ2 (−~p) · eip0 t i ∂0 eip0 t + φ1 (−~p)φ2 (−~p) · e−ip0 t i ∂0 eip0 t
Z
f φ(+)∗ (~p)φ(+) (~p) − φ(−)∗ (~p)φ(−) (~p)
(29)
= dp
2
2
1
1
Z
Normierung nur positiv für positive Massenschale!
∴ j0 (x) kann nicht als Wahrscheinlichkeitsstrom interpretiert werden . . .
. . . ohnehin sorgt die negative Massenschale dafür, daß die Energie nicht nach unten
beschränkt ist, daß also kein Grundzustand existiert.
∴ φ(x) darf nicht als Schrödinger-Wellenfunktion interpretiert werden.
Th. Ohl
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Anti-Teilchen
15
Beobachtungen:
• Für freie Felder sind positive und negative Massenschale unabhängig
∴ die negative Massenschale kann wegprojeziert werden . . .
. . . alle lokalen Lorentz-invarianten Wechselwirkungen vermischen positive und negative
Massenschale (s. u.)
. . . asymptotische Zustände wurden als nicht-wechselwirkend angenommen
∴ negative Massenschale darf dort uminterpretiert werden.
Andererseits:
• Die Amplitude φ(+) (~p)e−ipx auf der positiven Massenschale entspricht dem Impuls +~p, aber
die Amplitude φ(−) (~p)e+ipx auf der negativen Massenschale entspricht dem umgekehrten
Impuls −~p.
∴ Der Formalismus ist dann konsistent, wenn alle anderen Quantenzahlen ebenfalls umgedreht
werden.
∵ Im stationären Zustand sind
Q, ~p
−Q, −~p
nicht zu unterscheiden.
Th. Ohl
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Anti-Teilchen
16
∴ Die Zustände auf der negativen Massenschale beschreiben nicht Teilchen mit negativer
”
Energie“, sondern Anti-Teilchen mit entgegengesetzten Quantenzahlen.
Im stationären Zustand kann man noch eine Stufe weiter gehen: anstelle von Anti-Teilchen vorwärts
in der Zeit
kann man Teilchen rückwärts in der Zeit betrachten, ohne daß in der Bilanz ein Unterschied zu
bemerken ist.
es ist nicht offensichtlich, daß diese Interpretation auch bei eingeschalteten Wechselwirkungen
Sinn macht.
später wird gezeigt wie alles zusammenpaßt
NB: es handelt sich nur um eine rechnerisch nützliche Interpretation, nicht um Zeitreisen“, weil wir
”
einen stationären Zustand betrachten. Die Betrachtungsweise mit sich vorwärts bewegenden
Anti-Teilchen ist äquivalent, aber ohne Quantenfeldtheorie nicht zu bewältigen.
Th. Ohl
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Dirac-Gleichung
17
(γµ ∂µ )2 = ∂2
(30)
Forderung: finde Objekte“ γµ , so daß
”
dann erfüllen die Lösungen der Dirac-Gleichung
(iγµ ∂µ − m) ψ(x) = 0
(31)
automatisch die Klein-Gordon Gleichung:
(iγµ ∂µ + m) (iγµ ∂µ − m) ψ(x) = −∂2 − m2 ψ(x) = 0
(32)
Die Dirac-Gleichung ist offensichtlich linear und ihre Lösungen erfüllen die relativistische
Energie-Impuls Relation.
 Kann man Objekte“ γµ konstruieren, die die Bedingung (30) erfüllen?
”
Eine hinreichende Bedingung dafür ist
[γµ , γν ]+ = γµ γν +γν γµ = 2gµν · 1
(33)
weil die partiellen Ableitungen vertauschen: ∂µ ∂ν = ∂ν ∂µ .
Wichtige Notation: Feynman-Slash:
a
/ = γµ aµ = γµ aµ
(34)
[a
/, b
/ ]+ = a
/b
/ +b
/a
/ = 2 · ab = 2 · aµ bµ
(33 ′ )
also
Th. Ohl
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Gamma-Matrizen
18
Pauli-Matrizen:
3
h
i
X
ǫklm σm
σk , σl = σk σl − σl σk = 2i
σk
†
(35a)
m=1
= σk
(35b)
mit total antisymmetrischem Tensor ǫ:
ǫ123 = ǫ231 = ǫ312 = 1, ǫ213 = ǫ321 = ǫ132 = −1
(36)
0 1
0 −i
1 0
, σ2 =
, σ3 =
1 0
i 0
0 −1
(37)
konkret:
σ1 =
und dafür
σk σl = δkl 1 + i
3
X
ǫklm σm
(38)
m=1
insbesondere
h
i
σk , σl = 2δkl 1
(39)
+
Th. Ohl
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Gamma-Matrizen
19
Dirac-Realisierung der Dirac-Matrizen:
γ0 =
1 0
0
, γi =
−σi
0 −1
σi
0
(40)
Es gibt unendlich viele weitere Realisierungen, aber keine mit kleineren Matrizen.
Überprüfung der Anti-Vertauschungsrelationen durch explizite Rechnung (siehe auch Aufgabe 3),
NB: Blockmatrizen werden multipliziert wie gewöhnliche Matrizen, aber die Matrixelemente
vertauschen nicht.
2
1 0
1 0
1 0
γ0 =
=
=1
(41a)
0 −1
0 −1
0 1
0 i
1 0
1 0
0
σi
0
σi
γ , γ + = γ0 γi + γi γ0 =
+
−σi 0
−σi 0
0 −1
0 −1
0
(−σi ) · 1
0
1 · σi
0
−σi
0 σi
+
= 0 (41b)
=
+
=
i
i
i
i
(−1) · (−σ )
0
−σ
0
σ
0
σ · (−1)
0
Aufgabe 3 Überprüfen Sie den Rest (k, l = 1, 2, 3) der Anti-Vertauschungsrelationen (33):
[γk , γl ]+ = −2δkl · 1 .
Th. Ohl
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(42)
Maria Laach 2008
Gamma-Matrizen
20
Lösung 3
γk , γl
+
=
0
−σk
σk
0
0
−σl
σl
0
−σk σl
0
+ (k ←→ l) =
k l + (k ←→ l)
0
−σ σ
1 0
−[σk , σl ]+
0
(43a)
= −2δkl 0 1
=
k
l
0
−[σ , σ ]+
Für (40) gilt offensichtlich
γ†0 = γ0 ,
γ†i = − γi
(44)
2
2
was aufgrund von (γ0 ) = 1 (d. h. γ0 hat reelle Eigenwerte) und (γi ) = − 1 (d. h. γi hat imaginäre
Eigenwerte) für alle Realisierungen gelten muß. Die Dirac-Adjunktion für Matrizen
A = γ0 A† γ0 , γµ = γ0 ㆵ γ0 = γµ
(45)
ist deshalb nützlich.
NB: auf der nächsten Seite werden wir noch die Dirac-Adjunktion für Spaltenvektoren
v = v† γ0
(46)
kennenlernen.
Th. Ohl
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Freie Spin-1/2 Teilchen
Ansatz:
21
Z
f ψ(+) (p)e−ipx + ψ(−) (p)eipx
ψ(x) = dp
(p
/ − m) ψ(+) (p) = 0
(i∂
/ − m) ψ(x) = 0 ⇔
(p
/ + m) ψ(−) (p) = 0
(47)
(48)
Adjungierte Lösung
erfüllt
Z
f ψ̄(+) (p)eipx + ψ̄(−) (p)e−ipx
ψ̄(x) = ψ(x)† γ0 = dp
(49)
←
−
/ = i∂µ ψ̄(x)γµ = i∂µ ψ(x)† γ0 γµ γ0 γ0
ψ̄(x)i ∂
= i∂µ ψ(x)† 㵆 γ0 = (−i∂µ γµ ψ(x))† γ0 = (−i∂
/ ψ(x)) = −mψ̄(x)
also
bzw.:
←
−
/ + m = 0,
ψ̄(x) i ∂
(51)
ψ̄(+) (p) (p
/ − m) = 0
(52a)
(−)
ψ̄
Th. Ohl
(50)
(p) (p
/ + m) = 0
Feynmandiagramme für Anfänger
(52b)
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Freie Spin-1/2 Teilchen
22
Allgemeine Lösungen:
ψ(+) (p) =
2
X
uk (p)bk (p)
(53a)
vk (p)dk (p)
(53b)
k=1
ψ(−) (p) =
2
X
k=1
mit den vier unabhängigen Lösungen u1 (p), u2 (p), v1 (p), v2 (p)
(p
/ − m)uk (p) = 0
(p
/ + m)vk (p) = 0
(54a)
(54b)
und den zugehörigen skalaren Entwicklungskoeffizienten b1 (p), b2 (p), d1 (p) und d2 (p).
Im Ruhesystem p
/ = mγ0 , vereinfacht sich die Dirac-Gleichung zu
0
0
uk (~0) = 0
0 −2m · 1
2m · 1 0
vk (~0) = 0
m(γ0 + 1)vk (~0) =
0
0
m(γ0 − 1)uk (~0) =
Th. Ohl
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(55a)
(55b)
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Freie Spin-1/2 Teilchen
23
mit den Lösungen
 
1
√
0
2m 0 ,
0
0
√
0
v1 (~0) = 2m 0 ,
1
u1 (~0) =
und für beliebige Impulse
0
√
1
2m 0
0
0
√
0
v2 (~0) = 2m 1
0
u2 (~0) =
(56a)
(56b)
p
/+m
uk (~0)
2m(p0 + m)
p
/−m
vk (p) = p
vk (~0)
2m(p0 + m)
uk (p) = p
(57a)
(57b)
Daß es sich um Lösungen handelt, ist wegen (p
/ + m)(p
/ − m) = p2 − m2 offensichtlich.
Die Motivation der nicht offensichtlich kovarianten Normierung ist in Aufgabe 4 erklärt.
√
NB: Der explizite Faktor 2m in (56) läßt dem Grenzübergang m → 0 problematisch erscheinen. Die
Wahl der Normierung ist trotzdem günstig, weil die nachfolgede Formel (60) einen glatten
Grenzübergang für m → 0 hat und unten nur noch (60) benötigt werden ird. [Für m → 0 existieren die
Spinoren im Ruhesystem (56) ohnehin nicht . . . ]
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
24
Vergleiche das innere Produkt eines Zeilenvektors und eines Spaltenvektors
a1
a2

b1
n

 b2 
 X
ai bi
· · · an  .  =
.
 . 

(58)
i=1
bn
mit dem äußeren Produkt eines Spaltenvektors und eines Zeilenvektors:


a1
 a2 
 
 .  b1
 .. 
b2
an

a1

 a2 

· · · bm =  .  ⊗ b1
 .. 

b2
an

a1 b1

 a2 b1
· · · bm =  .
 ..
an b1

a1 bm
a2 bm 

.. 
. 
a1 b2
a2 b2
..
.
...
...
an b2
. . . an bm
(59)
Aufgabe 4 Geben Sie ūk (p) und v̄k (p) an und zeigen Sie, daß für p2 = m2
2
X
uk (p)ūk (p) = p
/ + m,
k=1
2
X
vk (p)v̄k (p) = p
/−m
(60)
k=1
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
25
Lösung 4
ūk (p) = u†k (p)γ0 = u†k (~0)γ0 γ0 p
p
/−m
v̄k (p) = v̄k (~0) p
2m(p0 + m)
p
/† + m
p
/+m
γ0 = ūk (~0) p
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
(61a)
(61b)
Aus Definition und Multiplikation mit γ0 von rechts
2
X
uk (~0)ūk (~0) = m(γ0 + 1),
k=1
Also
vk (~0)v̄k (~0) = m(γ0 − 1)
(62)
k=1
2
X
uk (p)ūk (p) =
k=1
2
X
k=1
und (60) folgt aus
2
X
vk (p)v̄k (p) =
(p
/ + m) m(γ0 + 1) (p
/ + m)
2m(p0 + m)
(63a)
(p
/ − m) m(γ0 − 1) (p
/ − m)
2m(p0 + m)
(63b)
(p
/ ± m)(γ0 ± 1)(p
/ ± m) = p
/ γ0 p
/ ± (mγ0 p
/ + mp
/ γ0 ) + m2 γ0 ± (p
/ ± m)2
= −p2 γ0 + 2p0 p
/ ± 2p0 m + m2 γ0 + 2m(p
/ ± m) = 2(p0 + m)(p
/ ± m) .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(64)
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
26
Aufgabe 5 Berechnen Sie (immer für p2 = m2 )
ūk (p)ul (p) , v̄k (p)vl (p) , ūk (p)vl (p) , v̄k (p)ul (p) .
(65)
Lösung 5
p
/+m
1
p
/+m
p
ūk (p)ul (p) = ūk (~0) p
ul (~0) =
ūk (~0)(p
/ + m)ul (~0)
p0 + m
2m(p0 + m) 2m(p0 + m)
1
ūk (~0)(p0 + m)ul (~0) = ūk (~0)ul (~0) = 2mδkl
=
p0 + m
p
/−m
p
/−m
−1
p
v̄k (~0)(p
/ − m)vl (~0)
v̄k (p)vl (p) = v̄k (~0) p
vl (~0) =
p0 + m
2m(p0 + m) 2m(p0 + m)
1
=
v̄k (~0)(p0 + m)vl (~0) = v̄k (~0)vl (~0) = −2m · δkl
p0 + m
p
/−m
p
/+m
p
vl (~0) = 0
ūk (p)vl (p) = ūk (~0) p
2m(p0 + m) 2m(p0 + m)
p
/+m
p
/−m
p
ul (~0) = 0
v̄k (p)ul (p) = v̄k (~0) p
2m(p0 + m) 2m(p0 + m)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(66a)
(66b)
(66c)
(66d)
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
27
Aufgabe 6 Berechnen Sie (immer für p2 = m2 )
ūk (p)γµ ul (p) , v̄k (p)γµ vl (p) , ūk (~p)γ0 vl (−~p) , v̄k (−~p)γ0 ul (~p) .
(67)
Lösung 6
p
/+m
1
p
/+m
γµ p
ul (~0) =
ūk (~0)2pµ (p
/ + m)ul (~0)
ūk (p)γµ ul (p) = ūk (~0) p
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
2pµ
1
=
ūk (~0)(p0 + m)ul (~0) = 2pµ
ūk (~0)ul (~0) = 2pµ δkl (68a)
2m(p0 + m)
2m
v̄k (p)γµ vl (p) = v̄k (~0) p
p
/−m
1
p
/−m
v̄k (~0)2pµ (p
/ − m)vl (~0)
γµ p
vl (~0) =
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
−2pµ
1
=
v̄k (~0)(p0 + m)vl (~0) = −2pµ
v̄k (~0)vl (~0) = 2pµ δkl (68b)
2m(p0 + m)
2m
p
/† − m
p
/+m
γ0 p
vl (~0)
ūk (~p)γ0 vl (−~p) = ūk (~0) p
2m(p0 + m)
2m(p0 + m)
p
/+m
p
/−m
p
= ūk (~0) p
γ0 vl (~0) = 0 (69a)
2m(p0 + m) 2m(p0 + m)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
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Freie Spin-1/2 Teilchen
28
Es gibt insgesamt 16 unabhängige (anti-)hermitische 4 × 4-Matrizen:
1
γµ
σµν =
i
[γµ , γν ]−
2
γ5 γµ
γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3
1 Skalar“
”
4 Vektor“
”
(70a)
(70b)
6
(70c)
Tensor“
”
4 Axialvektor“
”
1 Pseudoskalar“
”
(70d)
(70e)
NB: Die nackten“ Gamma-Matrizen transformieren sich nicht wie Vektor, Tensor, Axialvektor oder
”
Pseudoskalar. Vielmehr sind von links und rechts noch nicht-triviale Transformationen L(Λ)
anzubringen, z. B.:
γµ → Λµν L(Λ)γν L−1 (Λ)
(71)
Weil aber
ψ(x) → L(Λ)ψ(Λ−1 x) , ψ̄(x) → ψ̄(Λ−1 x)L−1 (Λ)
(72)
gilt, kompensieren sich die L(Λ) in Sandwiches
ψ̄(x)γµ ψ(y) → ψ̄(Λ−1 x)L−1 (Λ)Λµν L(Λ)γν L−1 (Λ)L(Λ)ψ(Λ−1 x) = Λµν ψ̄(Λ−1 x)γν ψ(Λ−1 x)
(73)
und die L(Λ) können in der Berechnung von Matrixelementen ignoriert werden. Der Sprachgebrauch
Vektor, Tensor, Axialvektor und Pseudoskalar ist also legitim.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
29
γ5 γ2 = iγ0 γ1 γ2 γ3 γ2 = −iγ0 γ1 γ2 γ2 γ3 = iγ0 γ2 γ1 γ2 γ3 = −iγ2 γ0 γ1 γ2 γ3 = −iγ2 γ5
(74)
Aufgabe 7 Berechnen Sie [γ5 , γµ ]+
Lösung 7
Weil jede γµ genau einmal vorkommt und mit den restlichen drei anti-vertauscht, gilt für jedes µ
[γ5 , γµ ]+ = 0
(75)
Aufgabe 8 Zeigen Sie die Erhaltung des Vektorstroms für Lösungen ψ1 (x) und ψ2 (x) der DiracGleichung (31) und (51)
∂µ ψ̄1 (x)γµ ψ2 (x) = 0 .
(76)
Lösung 8 Produktregel
←
−
−
→
i∂µ ψ̄1 (x)γµ ψ2 (x) = ψ̄1 (x) i ∂
/ +i∂
/ ψ2 (x) = ψ̄1 (x) −m + m ψ2 (x) = 0 .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(77)
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
30
invarianter Überlapp aus erhaltenem Strom:
Q=
Z
d3~x j0 (x) =
x0 =t
Z
d3~x ψ̄1 (x)γ0 ψ2 (x) =
x0 =t
=
Z
Z
d3~x ψ†1 (x)ψ2 (x)
x0 =t
d3~p
1
(−)†
(+)
(+)†
(+)
ψ1 (~p)ψ2 (~p) + ψ1 (−~p)ψ2 (~p) · e−2ip0 t
3
(2π) 2p0 2p0
(+)†
(−)
(−)†
(−)
+ ψ1 (~p)ψ2 (−~p) · e2ip0 t + ψ1 (−~p)ψ2 (−~p)
=
Z
2 X
d3~p
b†1,k (p)b2,k (~p) + d†1,k (p)d2,k (~p)
(78)
(2π)3 2p0
k=1
Normierung überall positiv . . .
Alle Wasser laufen ins Meer, doch wird das Wasser nicht voller; an den Ort, da sie herfließen, fließen
sie wieder hin (Prediger: 1, 7).
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
31
Aufgabe 9 Zeigen Sie die partielle Erhaltung des Axialvektorstroms für Lösungen ψ1 (x) und ψ2 (x)
der Dirac-Gleichung
∂µ ψ̄1 (x)γµ γ5 ψ2 (x) = 2imψ̄1 (x)γ5 ψ2 (x) .
(79)
Lösung 9 Produktregel und [γ5 , γµ ]+ = 0:
←
←
−
−
→ −
−
→
i∂µ ψ̄1 (x)γµ γ5 ψ2 (x) = ψ̄1 (x) i ∂
/ γ5 + i ∂
/ γ5 ψ2 (x) = ψ̄1 (x) i ∂
/ γ5 − γ5 i ∂
/ ψ2 (x)
= ψ̄1 (x) −mγ5 − γ5 m ψ2 (x) = −2mψ̄1 (x)γ5 ψ2 (x) .
Aufgabe 10 Berechnen Sie σkl =
i
2
(80)
[γk , γl ]− in der Dirac-Realisierung (k, l = 1, 2, 3).
Lösung 10
− 2iσkl =
0
−σk
σk
0
0
−σl
σl
0
− (k ←→ l)
−[σk , σl ]−
=
0
also
σkl = ǫklm
Th. Ohl
σm
0
0
−[σk , σl ]−
0
σm
Feynmandiagramme für Anfänger
= −2iǫklm
σm
0
0
σm
(81)
(82)
Maria Laach 2008
Freie Spin-1/2 Teilchen
32
Somit können die {σ23 , σ31 , σ12 } die Rolle der {σ1 , σ2 , σ3 } übernehmen und im Ruhesystem zwischen
spin up und spin down unterscheiden:
1
1
σ12 u1 (~0) = + u1 (~0) ,
2
2
1
1
σ12 v1 (~0) = + v1 (~0) ,
2
2
1
1
σ12 u2 (~0) = − u2 (~0)
2
2
1
1
σ12 v2 (~0) = − v2 (~0)
2
2
(83a)
(83b)
Analog zur Interpretation des negativen Massenschale für skalare Teilchen, werden für Spin-1/2
Teilchen die Lösungen negativer Energie“ als Anti-Teilchen interpretiert, die sich in der Raum-Zeit in
”
umgekehrter Richtung bewegen:
• uk (p) Amplitude für ein Teilchen im Anfangszustand
• vk (p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Endzustand
• ūk (p) Amplitude für ein Teilchen im Endzustand
• v̄k (p) Amplitude für ein Anti-Teilchen im Anfangszustand
Zusätzlich müssen natürlich die Spins ausgetauscht werden, damit die Bilanzen stimmen:
Q, ~p, s
−Q, −~p, −s
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1 Teilchen
0
E
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ = E1
2
E3
Manifest kovariante Maxwell-Gleichungen:
−E1
0
B3
−B2
−E2
−B3
0
B1
33
−E3 
B2 
−B1
0
(84)
∂µ Fµν = jν , ǫµνρσ ∂ν Fρσ = 0
(85)
mit notwendig erhaltenem Strom ∂µ jµ = 0.
(gµν ∂2 − ∂µ ∂ν )Aν = jµ
(85 ′ )
Eichinvarianz: Fµν ändert sich nicht, wenn
Aµ (x) → Aµ (x) − ∂µ ω(x)
(86)
(gµν ∂2 − (1 − ξ)∂µ ∂ν )Aν = jµ
(87)
∂µ Fµν + M2 Aν = jν
(88)
(gµν (∂2 + M2 ) − ∂µ ∂ν )Aν = jµ
(88 ′ )
M2 ∂ν Aν = 0
(89)
Spezielle Eichbedingung ∂µ Aµ = 0: ∂2 Aµ = jµ . Allgemeiner (nicht der allgemeinste Fall):
Expliziter Massenterm
bzw.
Kontraktion mit ∂µ :
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Freie Spin-1 Teilchen
34
Polarisationsvektoren masseloser Vektorbosonen für k = (k0 ; 0, 0, k0 ):
1
ǫ± = ǫ∗∓ = √ (0; 1, ±i, 0)
2
(90)
mit (wobei c = (1; 0, 0, −1))
∗
′
ǫµ
λ ǫλ ′ ,µ = −δλλ
(91a)
ǫµ
λ kµ = 0
X
ν,∗
µν
+
ǫµ
λ ǫλ = −g
λ=−1,+1
(91b)
cµ k ν + cν k µ
ck
(92)
Polarisationsvektoren für massive Vektorbosonen für k = (k0 ; |~k| sin θ cos φ, |~k| sin θ sin φ, |~k| cos θ):
e∓iφ
ǫ± = ǫ∗∓ = √ (0; cos θ cos φ ∓ i sin φ, cos θ sin φ ± i cos φ, − sin θ)
2
k0 ~
ǫ0 =
(|k|/k0 ; sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) = ǫ∗0
M
(93a)
(93b)
mit (91) und
kµ kν
M2
(94)
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
X
λ=−1,0,+1
Th. Ohl
ν,∗
µν
+
ǫµ
λ ǫλ = −g
Wechselwirkungen
35
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Feynmanregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
S-Matrix
36
Photonen fern von jeder elektrischen Ladung erfüllen
(0)
∂2 Aµ
(x) = 0
(95)
mit den gezeigten Lösungen. In der Gegenwart von Ladungen koppeln Photonen an den
elektromagnetischen Strom
∂2 Aµ (x) = jµ (x) = −eψ̄(x)γµ ψ(x) + . . .
(96)
und die Lösungen sind komplizierter.
Annahme: es gebe eine Funktion D, die
erfüllt. Dann ist
(0)
(∂2 + m2 )D(x, m) = −δ4 (x)
(97)
Z
(0)
Aµ (x) = Aµ
(x) − d4 yD(x − y, 0)jµ (y)
(98)
für jede Lösung Aµ (x) der homogenen Gleichung (95) eine Lösung der inhomogenen
Gleichung (96)
Z
Z
h
i
h
i
(0)
∂2 Aµ (x) = ∂2 Aµ
(x) − d4 y ∂2 D(x − y, 0) jµ (y) = 0 − d4 y −δ4 (x − y) jµ (y) = jµ (x)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(99)
Maria Laach 2008
Propagatoren
37
Interpretation: der Strom jµ (y) wirkt am Raum-Zeit Punkt y als Quelle für Photonen, die vom
Propagator D(x − y, 0) zum Raum-Zeit Punkt x propagiert“ werden.
”
D(x − y, 0)
Aµ (x)
(98 ′ )
jµ (y)
NB: Retardierung ist in (98) eingebaut, weil über die vierdimensionale Raum-Zeit integriert wird, nicht
über den dreidimensionalen Raum.
Aufgabe 11 Zeigen Sie, daß
S(x, m) = (i∂
/ + m) D(x, m)
(100)
der Feynman-Propagator S für Dirac-Teilchen der Masse m ist, d. h.
(i∂
/ − m) S(x, m) = δ4 (x)
2
2
(101)
4
falls (∂ + m )D(x, m) = −δ (x).
Lösung 11
Th. Ohl
(i∂
/ − m) S(x, m) = −∂2 − m2 D(x, m) = δ4 (x)
Feynmandiagramme für Anfänger
(102)
Maria Laach 2008
Propagatoren
38
Was aber ist die Quelle ??? für das Dirac-Feld?
S(x − y, m)
ψ(x)
(103)
???(y)
Betrachte dazu die Dirac-Gleichung mit Wechselwirkung:
(i∂
/ − eA
/ (x) − m) ψ(x) = 0
(104)
(i∂
/ − m) ψ(x) = eA
/ (x)ψ(x)
(104 ′ )
Z
ψ(x) = ψ(0) (x) + d4 yS(x − y, m)eA
/ (y)ψ(y)
(105)
bzw.
mit der formalen Lösung
die sich graphisch als
S(x − y, m)
ψ(x)
(105 ′ )
darstellen läßt.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
39
(105) ist analog zu (98), sofern dort der Strom jµ (y) = −eψ̄(y)γµ ψ(y) eingesetzt wird:
Z
(0)
Aµ (x) = Aµ
(x) − d4 yD(x − y, 0)eψ̄(y)γµ ψ(y)
(106)
also z. B.:
D(x − y, 0)
Aµ (x)
(106 ′ )
Die Gleichungen (98) und (106) sind noch keine geschlossenen Lösungen, sondern
wechselseitig gekoppelte Integralgleichungen
Wechselseitig rekursives Einsetzen von (98) und (106) ergibt Reihenentwicklung
Z
Z
ψ(x) = ψ(0) (x) + d4 yS(x − y, m)eA
/ (y)ψ(y) = ψ(0) (x) + e d4 yS(x − y, m)A
/ (0) (y)ψ(0) (y)
Z
+ e2 d4 yd4 z S(x − y, m)A
/ (0) (y)S(y − z, m)A
/ (0) (z)ψ(0) (z)
− S(x − y, m)γµ ψ(0) (y)D(y − z, m)ψ̄(z)γµ ψ(z) + O(e3 ) (107)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
graphisch:
(0)
Aµ (y)
(0)
Aµ (z)
ψ(0) (z)
40
ψ(0) (y)
ψ(x)
ψ(0) (z)
S(x − y, m)
S(y − z, m)
ψ(0) (z)
ψ(x)
S(x − y, m)
D(y − z, 0)
(107 ′ )
Wenn du Gott ein Gelübde thust, so verzeuch nicht, es zu halten; denn er hat kein
Gefallen an den Narren. Was du gelobest, das halt (Prediger: 5, 3).
 Existiert D(x − y, m) überhaupt, oder ist es nur ein (mehr oder weniger frommer) Wunsch?
∴ Ausrechnen!
Es genügt
∂2 + m2 D(x, m) = −δ4 (x)
(108)
zu lösen, weil (fast) alle anderen Propagatoren durch Ableitungen daraus berechnet werden
können.
Aufgrund der Translationsinvarianz bietet sich Fouriertransformation an . . .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
Formal (mit ǫ → 0+):
41
Z
1
d4 p −ipx
e
(109)
(2π)4
p2 − m2 + iǫ
Z
Z 4
d4 p −ipx
d p −ipx −p2 + m2
∂2 + m2 D(x, m) =
=−
e
e
= −δ4 (x)
(110)
(2π)4
p2 − m2 + iǫ
(2π)4
p
Singularitäten im Integral über p0 bei ± |~p|2 + m2 (das +iǫ ist eine Abkürzung für die Wahl des
Integrationsweges):
D(x, m) =
Imp0
−
p2
p
|~
p|2 + m2
+
p
Rep0
|~
p|2 + m2
√ 2 2
E=+ |~
p| +m
1
1
1
=
=
2
2
2
2
− m + iǫ
(p0 ) − (|~p| + m ) + iǫ
(p0 )2 − E2 + iǫ
1
1
1
1
1
1
E>0
=
−
=
(111)
=
(p0 )2 − (E − iǫ)2
p0 − E + iǫ p0 + E − iǫ
2E p0 − E + iǫ p0 + E − iǫ
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
42
Imp0
Vorwärts in der Zeit:
x0 > 0 :
lim e−ip0 x0 → 0
(112a)
p0 →−i∞
Rep0
und der Integrationsweg in (109) kann unten
geschlossen werden.
Imp0
Rückwärts in der Zeit:
x0 < 0 :
lim e−ip0 x0 → 0
(112b)
p0 →+i∞
Rep0
und der Integrationsweg in (109) kann oben
geschlossen werden.
Konsequenz:
Z
Z 4
1
d p −ipx
e
Φ ′ (x) = d4 y D(x − y, m)Φ(y) =
Φ̃(p)
(2π)4
p2 − m2 + iǫ
p
der Teil vonpΦ̃(p) mit p0 = + |~p|2 + m2 wird in die Zukunft propagiert und der Teil von Φ̃(p)
mit p0 = − |~p|2 + m2 wird in die Vergangenheit propagiert. [Alle anderen Kombinationen sind
prinzipiell möglich, aber inkompatibel mit der Kausalität . . . ]
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(113)
Maria Laach 2008
Propagatoren
43
Compton-Streuung in nichtrelativistischer Störungsrechnung hat sowohl Streuung, als auch
Paarerzeugung und Paarvernichtung:
t1
t2
t1
t2
+
t1
+
+
t1
(114)
t2
t2
∵ Zwischenzustände genügen nicht der Energie-Erhaltung: Abstand der Vertices kann raumartig
sein.
zeitliche Ordnung von t1 und t2 hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht definiert!
Feynmans geniale Interpretation:
p
• Teilchen mit p0 = + |~p|2 + m2 werden in die Zukunft propagiert
p
• Anti-Teilchen mit p0 = − |~p|2 + m2 und Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen werden in
die Vergangenheit propagiert
∴ Ladung entlang der Pfeilrichtung in (114) erhalten!
Die vier nichtrelativistischen Diagramme in (114) können mit dem Feynman-Propagator
paarweise zu kovarianten Ausdrücken zusammengefaßt werden
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
44
t1
t1
1
E−E0 +iǫ
1
E−E0 +iǫ
t2
+
=
1
E+E0 +iǫ
t2
t2
+
1
E+E0 +iǫ
t1
t1
(115a)
1
p2 − m2 + iǫ
=
t2
1
p2 − m2 + iǫ
(115b)
Die Feynmansche Interpretation zeigt, daß die Interpretation der äußeren Anti-Teilchen als in
der Zeit umgekehrte Teilchen auch mit Wechselwirkungen konsistent ist.
Aufgabe 12 Geben Sie den Propagator S(x, m) für Dirac-Teilchen im Impulsraum an.
Lösung 12
S(x, m) = (i∂
/ + m)
Z
1
d4 p −ipx
e
(2π)4
p2 − m2 + iǫ
Z 4
Z 4
d p −ipx
p
/+m
1
d p −ipx
e
=
e
=
(2π)4
p2 − m2 + iǫ
(2π)4
p
/ − m + iǫ
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(116)
Maria Laach 2008
Propagatoren
45
Propagator für masselose Spin-1 Teilchen
k k
ν
−igµν + i(1 − ξ) k2µ+iǫ
2
k + iǫ
(117)
der Eichparameter ξ ist beliebig und Abhängigkeit davon hebt sich im Endergebnis auf (aber noch
nicht in Teilergebnissen).
Propagator für massive Spin-1 Teilchen
k k
µ ν
−igµν + i M
2
k2 − M2 + iǫ
(118)
eindeutig, weil (88 ′ ) im Gegensatz zu (85 ′ ) invertiert werden kann.
 Dies ist nicht, was im Standardmodell passiert! Dort kommt die Masse von der Kopplung an den
Higgs-Sektor , ohne die Eichbedingung (89). Allerdings ist (118) in der niedrigsten Ordnung
äquivalent zum Higgsmechanismus in Unitaritätseichung.
Propagatoren und äußere Zustände sind universell, d. h. die Theorien unterscheiden sich nur durch
die Wechselwirkungsvertices, wie e+ e− γ oder e− νe W + , die unten detailliert diskutiert werden.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Feynmanregeln
46
Äußere Spin-1/2 Teilchen:
p
p
einlaufend:
auslaufend:
⇐⇒ · · · u(p)
⇐⇒ ū(p) · · ·
(119a)
(119b)
⇐⇒ v̄(p) · · ·
⇐⇒ · · · v(p)
(119c)
(119d)
⇐⇒ ǫµ (k)
⇐⇒ ǫ∗µ (k)
(119e)
(119f)
Äußere Spin-1/2 Anti-Teilchen:
p
p
einlaufend:
auslaufend:
Äußere Spin-1 Teilchen:
k
einlaufend:
auslaufend:
k
Innere Teilchen und Anti-Teilchen mit Impulsvorzeichen immer relativ zur Pfeil- (d. h. Ladungs-)
Richtung:
p
i
Spin-1/2:
⇐⇒
(120a)
p
/ − m + iǫ
Spin-1 (m = 0):
Th. Ohl
k
k k
⇐⇒
ν
−igµν + i(1 − ξ) k2µ+iǫ
2
k + iǫ
Feynmandiagramme für Anfänger
(120b)
Maria Laach 2008
Feynmanregeln
p
⇐⇒
Spin-0:
47
i
p2 − m2 + iǫ
(120c)
Die S-Matrix enthält immer ein (meistens) uninteressantes diagonales Stück und die globale
Impulserhaltung
S = 1 + (2π)4 δ4 (p1 + p2 − q1 − q2 . . . − . . . qn )iT
(121)
so daß wir uns auf T konzentrieren können. Die Anwendung der folgenden Feynman-Regeln liefert
den Ausdruck für iT :
1. Zeichne alle Diagramme aus Propagatoren und Wechselwirkungsvertices, die den
Anfangszustand mit dem Endzustand verbinden und lege die Impulse der äußeren Linien
entsprechend fest.
2. Nutze die Impulserhaltung an jedem Vertex, um die Impulse der inneren Linien festzulegen.
3. Verfolge jede zusammenhängende Fermionenlinie entgegen der Pfeilrichtung und schreibe den
entsprechenden Ausdruck aus Propagatoren und Vertices.
4. Vervollständige iT durch die verbleibenden Propagatoren und Vertices.
5. Addiere die Diagramme mit Vorzeichen, so daß das Ergebnis anti-symmetrisch unter dem
Austausch von äußeren (Anti-)Fermionen ist.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Feynmanregeln
48
• In Diagrammen mit Schleifen sind nicht alle Impulse festgelegt, z. B.:
p−k
k
k
p
und über die freien Impulse ist mit
Z
zu integrieren.
d4 p
···
(2π)4
(122)
es gibt unendlich viele Schleifendiagramme zu jedem Prozeß!
• die Schleifendiagramme haben aber mehr Vertices und damit eine höhere Ordnung der
Kopplungskonstanten
in schwach wechselwirkenden Theorien können die Beiträge von Schleifendiagrammen
sukzessive in Störungsrechnung berücksichtigt werden.
Gegenstand einer der anderen Übungen . . .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Wirkungsquerschnitt
49
Definition aus physikalischen Größen
σ (∆Φ) =
R (∆Φ)
j
(123)
∆Φ = Phasenraumbereich
σ (∆Φ) = Wirkungsquerschnitt für Streuung in ∆Φ
R (∆Φ) = Ereignisrate in ∆Φ
(124a)
(124b)
(124c)
j = einfallender Fluß
(124d)
Der einfallende Fluß j ist für fixed targed Experimente die Anzahl der einfallenden Teilchen pro
Zeiteinheit und pro Flächenelement.
Differentieller Wirkungsquerschnitt:
σ (∆Φ) =
Z
dσ
(Φ)dΦ
dΦ
(125)
∆Φ
Phasenraumelement dΦ, z. B. dΩ = sin θdθdφ für 2 → 2.
Eine sorgfältige Konstruktion von Wellenpaketen für die einlaufenden Teilchen erlaubt es, den
differentiellen Wirkungsquerschnitt durch die Streuamplitude T und das Phasenraumvolumen
auszudrücken. Hier genüge die nachfolgende Formel ohne Beweis.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Wirkungsquerschnitt
50
Allgemeine Formel für 2 → n Prozesse:
p2
qn
p1
q1
q2
1
1
g2 . . . dq
gn (2π)4 δ4 (p1 + p2 − q1 − q2 . . . − . . . qn )
g1 dq
Q
|T |2 dq
dσ = q
4 (p1 p2 )2 − m21 m22 i ni !
wobei wieder
d3~p (2π)3 2p0 f=
dp
für Fermionen und Bosonen.
p0 =
(126)
(127)
√
~
p2 +m2
 In der älteren Literatur andere Normierung der Fermionen (Faktor 2m). Heute nur sinnvoll für
schwere Quarks, weil damit Hochenergielimes (m → 0) trickreicher . . .
Erklärung des Symmetriefaktors:
ni =
Th. Ohl
Anzahl identischer Teilchen der
Spezies i im Endzustand
(128)
Feynmandiagramme für Anfänger
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Kinematik
Einfachstes Beispiel: 2 → 2
51
p2
q2
p1
q1
Invarianten: Mandelstam Variable
s = (p1 + p2 )2 = (q1 + q2 )2
(Gesamtenergie)
(129a)
t = (q1 − p1 )2 = (q2 − p2 )2
(Impulsübertrag)
(129b)
u = (q1 − p2 )2 = (q2 − p1 )2
(129c)
Mandelstam-Beziehung aufgrund der Impulserhaltung:
s + t + u = p21 + p22 + q21 + q22 =
4
X
m2i
(130)
i=1
und bei hohen Energien E ≫ m gilt
Th. Ohl
p1/2 = (E; 0, 0, ±E)
q1/2 = (E; ±E sin θ cos φ, ±E sin θ sin φ, ±E cos θ)
(131a)
(131b)
s = 4E2 , t = −2E2 (1 − cos θ) , u = −2E2 (1 + cos θ)
(132)
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Phasenraum
52
Zwei Teilchen:
Z
Z
d3~p2
1
|~p1 |2 d|p1 |dΩ1
d3~p1
(2π)4 δ4 (p1 + p2 − P) =
δ(E1 (|~p1 |) + E2 (|~p1 |) − E)
3
3
2
(2π) 2E1 (2π) 2E2
16π
E1 E2
Z
Z
1
1
|~p1 |E1 dE1 dΩ1
|~p1 |
=
δ(E
+
E
(E
)
−
E)=
d cos θ1 dφ1
1
2
1
16π2
E1 E2
16π2
E
(133)
∆
Der zweite Schritt in (133) folgt, weil wegen E2 = |~p|2 + m2 unabhängig von der Masse |~p|d|~p| = EdE
gilt. Im dritten Schritt wurde
d(E1 + E2 (E1 ) − E)
= 1 + E1 /E2 = E/E2
dE1
(134)
benutzt. ∆ in (133) ist der Bereich des Phasenraums, in dem die Energie-Impuls-Erhaltung erfüllt sein
kann (i. A. nicht trivial, siehe z. B. Aufgabe 25).
Spezialfall: Hochenergie-Limes im Schwerpunktssystem: |~p1 | = |~p2 | = E/2 + O(m/|~p2 |2 ).
1
32π2
Th. Ohl
Z1
−1
d cos θ1
Z 2π
dφ1
(133 ′ )
0
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
QED
53
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
+ −
+ −
e e →µ µ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Spursätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
FORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Bhabha-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
FORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
QED
54
Quantenelektrodynamik: wechselwirkende Elektronen, Positronen und Photonen.
Einziger Wechselwirkungsvertex für Fermionen:
k, µ
p
f
= iQf eγµ
(135)
f
p′
mit der elektrischen Ladung Qf des Fermions f (z. B. Qe = −1).
Für skalare Teilchen gibt es einen weiteren (“sea gull”) Vertex:
k, µ
p
s
k ′, ν
= iQs e(pµ +
pµ′ )
k, µ
= 2iQ2s e2 gµν
,
(136)
s
p′
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
e+ e− → µ+ µ−
55
v̄(p2 )
iT =
v(q2 )
−ieγρ
−ieγσ
(137)
−igρσ
(p1 + p2 )2 + iǫ
u(p1 )
ū(q1 )
−igρσ
1
ū(q1 )(−ieγσ )v(q2 ) = ie2 [v̄(p2 )γρ u(p1 )] [ū(q1 )γρ v(q2 )]
iT = v̄(p2 )(−ieγρ )u(p1 )
(p1 + p2 )2 + iǫ
s
(138)
1
[v̄(p2 )γρ1 u(p1 )ū(p1 )γρ2 v(p2 )] [ū(q1 )γρ1 v(q2 )v̄(q2 )γρ2 u(q1 )]
s2
X
1
/ 1 + me )γρ2 ]tr [(q
/ 1 + mµ )γρ1 (q
/ 2 − mµ )γρ2 ]
T T † = e4 2 tr [(p
/ 2 − me )γρ1 (p
s
T T † = e4
(139)
spins
= e4
Th. Ohl
1
Lρ ρ (p1 , p2 , me )Lρ1 ρ2 (q1 , q2 , mµ )
s2 2 1
Feynmandiagramme für Anfänger
(140)
Maria Laach 2008
Spursätze
ū(p)Γ u(q) =
4
X
56
ūk (p)Γkl ul (q) =
k,l=1
4
X
Γkl ul (q)ūk (p)
(141)
k,l=1
Mit der Notation für das Tensorprodukt


u1 (q)ū1 (p) · · · u1 (q)ū4 (p)


..
..
..
u(q) ⊗ ū(p) = 

.
.
.
(142)
u4 (q)ū1 (p) · · · u4 (q)ū4 (p)
folgt
ū(p)Γ u(q) =
4
X
k,l=1
Γkl [u(q) ⊗ ū(p)]lk =
4
X
k=1
(Γ [u(q) ⊗ ū(p)])kk
(143)
Mit der weiteren Notation für die Spur
tr(A) =
4
X
Akk
(144)
k=1
folgt schließlich die Darstellung des Matrixelements:
Th. Ohl
ū(p)Γ u(p) = tr(Γ [u(p) ⊗ ū(p)])
(145)
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Spursätze
57
Unabhängig von der konkreten Realisierung der Dirac-Matrizen, haben Spuren über Dirac-Matrizen
die folgenden Eigenschaften
tr(1) = 4
(33)
1
/b
/) =
/b
/ ) + tr (b
/a
/ ) = tr(1) · ab = 4 · ab
tr (a
tr (a
2
(γ5 γ5 = 1)
/ 1 ) = tr (a
/1a
/2a
/ 3 ) = tr (a
/1a
/2 · · · a
/ 2n+1 )
=
tr (a
tr (a
/1a
/2 · · · a
/ n ) = tr (a
/n · · · a
/2a
/1)
/ ) = tr(γ5 a
/b
/ ) = tr(γ5 a
/b
/ c/) = 0
tr(γ5 ) = tr(γ5 a
0
(146a)
(146b)
(146c)
(146d)
(146e)
tr(γ5 a
/b
/ c/d
/ ) = 4i · ǫ(a, b, c, d)
(146f)
die durch Anwendung der Anti-Vertauschungsrelationen (33) bewiesen werden können ((146d)
verwendet die Existenz einer Ladungskonjugationsmatrix).
Kontraktionsformeln werden ähnlich bewiesen:
γµ a
/ γµ = −2 · a
/
γµ a
/b
/ c/γµ = −2 · c/b
/a
/
γµ γµ = 4
/b
/ γµ = 4 · ab
γµ a
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Spursätze
(147a)
(147b)
(147c)
(147d)
Maria Laach 2008
58
Einer der Spursätze soll Ihnen aber nicht erspart bleiben, weil der Beweis es leichter macht, sich die
Formel zu merken . . .
Aufgabe 13 Berechnen Sie
tr (a
/b
/ c/d
/)
(148)
mit Hilfe der Anti-Vertauschungsrelationen (33) und der zyklischen Vertauschbarkeit unter der Spur
tr(AB) = tr(BA) .
(149)
Nutzen Sie einen uralten Trick: Aber viele, die da sind die Ersten, werden die Letzten, und die Letzten
werden die Ersten sein (Matthäus: 19, 30).
Lösung 13
tr (a
/b
/ c/d
/ ) = + tr (b
/ c/d
/a
/ ) = − tr (b
/ c/a
/d
/ ) + 2 · ad · tr (b
/ c/)
= + tr (b
/a
/ c/d
/ ) − 2 · ac · tr (b
/d
/ ) + 2 · ad · 4 · bc
= − tr (a
/b
/ c/d
/ ) + 2 · ab · tr (c/d
/ ) − 2 · ac · 4 · bd + 2 · ad · 4 · bc
also
tr (a
/b
/ c/d
/ ) = 4 · (ab · cd − ac · bd + ad · bc)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(148 ′ )
Maria Laach 2008
Spursätze
59
Aufgabe 14 Berechnen Sie die Spur Lµν (p, q, m) = tr [(p
/ + m)γµ (q
/ − m)γν ].
Lösung 14
/ γµ q
/ γν ] − m2 tr [γµ γν ]
Lµν = tr [(p
/ + m)γµ (q
/ − m)γν ] = tr [p
= 4 · (pµ qν − gµν pq + pν qµ ) − 4m2 · gµν = 4 · pµ qν + pν qµ − (pq + m2 )gµν
(150)
Aufgabe 15 Berechnen Sie Lρ2 ρ1 (p1 , p2 , 0)Lρ1 ρ2 (q1 , q2 , 0) als Funktion der Mandelstam-Variablen im
Grenzfall hoher Energien, d. h. verschwindender Massen.
Lösung 15
Lρ2 ρ1 Lρ1 ρ2 = 16 · (p1,ρ2 p2,ρ1 + p1,ρ1 p2,ρ2 − p1 p2 gρ2 ρ1 ) qρ1 1 qρ2 2 + qρ1 2 qρ2 1 − q1 q2 gρ1 ρ2
= 8 · 2(p1 q2 )2(p2 q1 ) + 2(p1 q1 )2(p2 q2 ) = 8 · u2 + t2
(151)
N. B.: Kreuzterme“ heben sich auf:
”
(p1,ρ2 p2,ρ1 + p1,ρ1 p2,ρ2 )q1 q2 gρ1 ρ2 + p1 p2 gρ2 ρ1 (qρ1 1 qρ2 2 + qρ1 2 qρ2 1 ) = p1 p2 gρ2 ρ1 q1 q2 gρ1 ρ2
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Wirkungsquerschnitt
60
Aufgabe 16 Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
(cos θ, ECM )
dΩ
(152)
für e+ e− → µ+ µ− im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me .
Lösung 16
also
s
s
t = − (1 − cos θ) , u = − (1 + cos θ)
2
2
(153)
1 + cos2 θ
t2 + u2
=
s2
2
(154)
1 1 2gg
1
Q
|T | dq1 dq2 (2π)4 δ4 (p1 + p2 − q1 − q2 )
dσ = q
ni ! 4
2
2
2
i
4 (p1 p2 ) − m1 m2
also
Th. Ohl
1
1 1 2
1 2 1
|T |
|T | dΩ (155)
= p
d cos θdφ =
32π2
64π2 s 4
4 (s/2)2 4
1
1
dσ
=
e4 1 + cos2 θ = α2
1 + cos2 θ
dΩ
64π2 s
4s
Feynmandiagramme für Anfänger
(156)
Maria Laach 2008
Wirkungsquerschnitt
61
Aufgabe 17 Berechnen Sie den totalen Wirkungsquerschnitt
σ(ECM )
(157)
für e+ e− → µ+ µ− im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me .
Lösung 17
Vgl.
Z
Z1
α2
dσ
4πα2
α2
2
σ = dΩ
=
d cos θ 1 + cos2 θ =
=
2π
2π 2 +
dΩ
4s
4s
3
3s
−1
4πα2
√
0.39 nb
3( s/TeV)2
(20 ′′ )
1
e2
=
4π
137.0359895(61)
(159)
σ=
mit
α=
87 fb
8.7 pb
σ= √
= √
( s/TeV)2
( s/100 GeV)2
Th. Ohl
(158)
Feynmandiagramme für Anfänger
(20 ′′ )
Maria Laach 2008
62
FORM
Berechnung durch Computerprogramme für symbolische Manipulation, z. B. FORM.
Variablendeklaration
1:
2:
3:
vector p1, p2, q1, q2;
symbol s, t, u, me, mq;
indices rho1, rho2;
Ausdrücke
4:
5:
6:
7:
8:
local [TT*] =
(g_(1, p2)
* (g_(1, p1)
* (g_(2, q1)
* (g_(2, q2)
+
+
-
me*g_(1))
me*g_(1))
mq*g_(2))
mq*g_(2))
*
*
*
*
g_(1,
g_(1,
g_(2,
g_(2,
rho1)
rho2)
rho1)
rho2);
Berechnung der Spuren
9:
10:
11:
12:
trace4, 1;
trace4, 2;
print;
.sort;
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
63
FORM
Reduktion auf Mandelstam-Variable aus (129)
s = (p1 + p2 )2 = 2m2e + 2p1 p2
(160a)
t = (q2 − p1 )2 = m2q + m2e − 2q2 p1
(160b)
usw.:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
id
id
id
id
id
id
p1.p2
q1.q2
p1.q1
p2.q2
p1.q2
p2.q1
=
=
=
=
=
=
1/2 *
1/2 *
- 1/2
- 1/2
- 1/2
- 1/2
(s (s * (t
* (t
* (u
* (u
2*meˆ2);
2*mqˆ2);
- meˆ2 - meˆ2 - meˆ2 - meˆ2 -
mqˆ2);
mqˆ2);
mqˆ2);
mqˆ2);
menschliche Intelligenz (vgl. (151)): als Funktion von t und u ist der Ausdruck am kompaktesten
19:
20:
21:
22:
id s = - u - t + 2*meˆ2 + 2*mqˆ2;
bracket me, mq;
print;
.sort;
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
FORM
Maria Laach 2008
64
ohl@thopad:˜laach2k$ form laach2k-mumu.frm
FORM by J.Vermaseren,version 3.1(Oct 17 2002) Run at: Fri Aug 29 15:15:01 2008
[TT*] =
64*meˆ2*mqˆ2 + 32*p1.p2*mqˆ2 + 32*p1.q1*p2.q2 + 32*p1.q2*p2.q1 + 32*
q1.q2*meˆ2;
[TT*] =
+ meˆ2*mqˆ2 * ( 96 )
+ meˆ2 * ( - 32*t - 32*u )
+ meˆ4 * ( 48 )
+ mqˆ2 * ( - 32*t - 32*u )
+ mqˆ4 * ( 48 )
+ 8*tˆ2 + 8*uˆ2;
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Bhabha-Streuung
65
Aufgabe 18 Zeichnen Sie alle Feynman-Diagramme für e+ e− → e+ e− ( Bhabha-Streuung“)
”
Lösung 18
e− (p1 )
e− (q1 )
γ[, Z0 ]
iTt =
(161a)
e+ (p2 )
e− (p1 )
e+ (q2 )
e− (q1 )
iTs =
(161b)
0
γ[, Z ]
e+ (p2 )
Th. Ohl
e+ (q2 )
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Bhabha-Streuung
66
Müssen die Diagramme addiert oder subtrahiert werden? Allgemeiner: welche relative Phase haben
die Diagramme?
T T † = (Tt − Ts )(Tt − Ts )† = Tt Tt † − Tt Ts † − Ts Tt † + Ts Ts †
(162)
mit relativen Vorzeichen aus der Anzahl der geschlossenen Fermionschleifen in den quadrierten
”
Diagrammen“:
Tt Tt † = (−1)2 ×
,
Tt Ts † = (−1)1 ×
(163a)
Ts Tt † = (−1)1 ×
,
Ts Ts † = (−1)2 ×
(163b)
alternativ: relative Vorzeichen der Diagramme aus der Permutation der Endpunkte der Fermionlinien
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
FORM
Maria Laach 2008
67
Variablendeklaration wie oben.
Ausdrücke
1
Ts = e2 [v̄(p2 )γρ u(p1 )] [ū(q1 )γρ v(q2 )]
s
21
Tt = e [v̄(p2 )γρ v(q2 )] [ū(q1 )γρ u(p1 )]
t
(164)
(165)
Wie früher:
4:
5:
6:
7:
8:
local [SS*] =
(g_(1, p2)
* (g_(1, p1)
* (g_(2, q1)
* (g_(2, q2)
+
+
-
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(2))
me*g_(2))
*
*
*
*
g_(1,
g_(1,
g_(2,
g_(2,
rho1)
rho2)
rho1)
rho2);
+
+
-
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(2))
me*g_(2))
*
*
*
*
g_(1,
g_(1,
g_(2,
g_(2,
rho1)
rho2)
rho1)
rho2);
ähnlich:
9:
10:
11:
12:
13:
local [TT*] =
(g_(1, q1)
* (g_(1, p1)
* (g_(2, p2)
* (g_(2, q2)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
68
FORM
Die Interferenzterme sind komplizierter und erfordern Spuren von bis zu acht Gammamatrizen:
Ts Tt ∗ = e4
14:
15:
16:
17:
18:
local [ST*] =
(g_(1, p2)
* (g_(1, p1)
* (g_(1, q1)
* (g_(1, q2)
Tt Ts ∗ = e4
19:
20:
21:
22:
23:
local [TS*] =
(g_(1, p2)
* (g_(1, q2)
* (g_(1, q1)
* (g_(1, p1)
1
[v̄(p2 )γρ1 u(p1 )] [ū(p1 )γρ2 u(q1 )] [ū(q1 )γρ1 v(q2 )] [v̄(q2 )γρ2 v(p2 )]
st
+
+
-
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(1))
*
*
*
*
g_(1,
g_(1,
g_(1,
g_(1,
rho1)
rho2)
rho1)
rho2);
1
[v̄(p2 )γρ1 v(q2 )] [v̄(q2 )γρ2 u(q1 )] [ū(q1 )γρ1 u(p1 )] [ū(p1 )γρ2 v(p2 )]
st
+
+
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(1))
me*g_(1))
*
*
*
*
g_(1,
g_(1,
g_(1,
g_(1,
(166)
(167)
rho1)
rho2)
rho1)
rho2);
Berechnung der Spuren wie oben.
24:
25:
26:
trace4, 1;
trace4, 2;
.sort;
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
69
FORM
Reduktion auf Mandelstam-Variable wie oben (aber mµ = me ).
27:
28:
29:
30:
31:
32:
id
id
id
id
id
id
p1.p2
q1.q2
p1.q1
p2.q2
p1.q2
p2.q1
=
=
=
=
=
=
1/2 *
1/2 *
- 1/2
- 1/2
- 1/2
- 1/2
(s (s * (t
* (t
* (u
* (u
2*meˆ2);
2*meˆ2);
- 2*meˆ2);
- 2*meˆ2);
- 2*meˆ2);
- 2*meˆ2);
menschliche Intelligenz: als Funktion von t und u ist der Ausdruck für |Ts |2 am kompaktesten:
33:
34:
35:
36:
id s = - u - t + 4*meˆ2;
bracket me;
print;
.sort;
Der Ausdruck für |Tt |2 ist als Funktion von s und u am kompaktesten . . .
. . . zwei verschiedene Reduktionen im gleichen FORM-Programm erfordern fortgeschrittene
Tricks . . .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
FORM
Maria Laach 2008
70
ohl@thopad:˜laach2k$ form laach2k-bhabha.frm
FORM by J.Vermaseren,version 3.1(Oct 17 2002) Run at: Fri Aug 29 15:15:01 2008
[SS*] =
+ meˆ2 * ( - 64*t - 64*u )
+ meˆ4 * ( 192 )
+ 8*tˆ2 + 8*uˆ2;
[TT*] =
+ meˆ2 * ( - 64*u )
+ meˆ4 * ( 64 )
+ 16*t*u + 8*tˆ2 + 16*uˆ2;
[ST*] =
+ meˆ2 * ( 64*u )
+ meˆ4 * ( - 96 )
- 8*uˆ2;
[TS*] =
+ meˆ2 * ( 64*u )
+ meˆ4 * ( - 96 )
- 8*uˆ2;
NB: |Ts |2 (t, u) = |Tt |2 (s, u)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
71
FORM
Sehr symmetrisches Endergebnis:
X
spins
T T ∗ = 8e4
t2 + u2 s2 + u2 2u2
+
+
s2
t2
st
+ O(m2e )
(168)
Aufgabe 19 Berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
(cos θ)
dΩ
(169)
für Bhabha-Streuung im Bereich min(|s|, |t|, |u|) ≫ me .
[NB: 1 − cos θ = 2 sin2 (θ/2), 1 + cos θ = 2 cos2 (θ/2)]
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
72
FORM
Lösung 19
θ
s
t = − (1 − cos θ) = −s sin2
2
2
θ
s
u = − (1 + cos θ) = −s cos2
2
2
(170a)
(170b)
also
und schließlich
dσ
α2
=
dΩ
2s
Th. Ohl
1 + cos4 θ2
s2 + u2
=
t2
sin4 θ2
cos4 θ
u2
= − 2 θ2 st
sin 2
cos4
1 + cos2 θ 1 + cos4 θ2
−2 2
+
4 θ
2
sin
sin 2
(171a)
(171b)
!
θ
2
θ
2
Feynmandiagramme für Anfänger
=
α2
4s
3 + cos2 θ
1 − cos θ
2
(172)
Maria Laach 2008
QCD
73
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3-Jet Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
86
Maria Laach 2008
Feynman-Regeln
74
erfordert eigentlich eine eigene Vorlesung
∴ nur ein paar Formeln
– Generatoren Ta und total anti-symmetrische Strukturkonstanten fabc :
[Ta , Tb ] = ifabc Tc
(173)
(mit Summationskonvention für c = 1, 2, . . . , (N2c − 1)).
– Normierung und Kontraktionen:
tr (Ta Tb ) =
1
δab
2
(174a)
Ta Ta = C F · 1 =
N2C
−1
·1
2NC
(174b)
facd fbcd = CF · δab
(174c)
Physikalische Freiheitsgrade: Quarks und Gluonen:
k, µ, a
=
p
igγµ Ta
(175a)
p′
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Feynman-Regeln
1
gfa1 a2 a3 gµ1 µ2 (k1µ3 − k2µ3 )
+gfa1 a2 a3 gµ2 µ3 (k2µ1 − k3µ1 )
=
2
75
+gfa1 a2 a3 gµ3 µ1 (k3µ2
−
(175b)
k1µ2 )
3
2
−ig2 fa1 a2 b fa3 a4 b ×
(gµ1 µ3 gµ4 µ2 − gµ1 µ4 gµ2 µ3 )
1
−ig2 fa1 a3 b fa4 a2 b ×
(gµ1 µ4 gµ2 µ3 − gµ1 µ2 gµ3 µ4 )
=
3
(175c)
−ig2 fa1 a4 b fa2 a3 b ×
(gµ1 µ2 gµ3 µ4 − gµ1 µ3 gµ4 µ2 )
4
Faddeev-Popov Geister nur in Schleifenrechnungen nötig.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
76
Quarks sind elektrisch geladen:
k, µ, a
=
p
− ieQq γµ
(176)
p′
und koppeln im Standardmodell (vgl. (213) und (215)) auch an Z0 und W ± .
Aufgabe 20 Zeichnen Sie alle aus den Feynman-Regeln für QED und QCD folgenden
Feynman-Diagramme ohne Schleifen für 3-Jet Produktion
e+ + e− → q + q̄ + g
(beschränken Sie sich dabei auf den PETRA Energiebereich unterhalb der Z0 -Resonanz). Schreiben
Sie die zugehörigen algebraischen Ausdrücke auf.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
Lösung 20
v̄(p2 )
−igµν
(p1 + p2 )2 + iǫ
ieγµ
iT1 =
77
v(q2 )
−ieQγν
ǫ∗ρ (k)
i
q
/1 + k
/ − m + iǫa
−igT γρ
u(p1 )
ū(q1 )
v̄(p2 )
iT2 =
(177a)
−igT a γρ
i
−q
/2 − k
/ − m + iǫ
ieγµ
−igµν
(p1 + p2 )2 + iǫ
v(q2 )
(177b)
ǫ∗ρ (k)
−ieQγν
u(p1 )
ū(q1 )
−i
i
[v̄(p2 )(ieγµ )u(p1 )] (178a)
(−ieQγµ )v(q2 )
iT1 = ū(q1 )(igTa ǫ
/∗ (k))
q
/1 + k
/ − m + iǫ
(p1 + p2 )2 + iǫ
i
−i
[v̄(p2 )(ieγµ )u(p1 )] (178b)
iT2 = ū(q1 )(−ieQγµ )
(igTa ǫ
/∗ (k))v(q2 )
−q
/2 − k
/ − m + iǫ
(p1 + p2 )2 + iǫ
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
Aufgabe 21 Zeigen Sie die Ward-Identität für das Gluon
+ T2 ∗
T1 ∗
ǫµ (k)=kµ
ǫµ (k)=kµ
78
= 0,
(179)
d. h. es werden keine Gluonen mit unphysikalischer Polarisation ǫ∗µ (k) = kµ produziert. Nutzen Sie
dafür die Dirac-Gleichung für äußere Linien, z. B.
1
(k
/+p
/ 1 + m) v(p1 ) = −v(p1 )
−p
/1 − k
/ − m + iǫ
(für k 6= 0)
(180)
Lösung 21
1
1
/+q
/ 1 − m)
γµ v(q2 )
T1 ǫ∗ (k)=kµ = e2 Qg [v̄(p2 )γµ u(p1 )] ū(q1 )Ta (k
µ
s
q
/1 + k
/ − m + iǫ
1
= e2 Qg [v̄(p2 )γµ u(p1 )] ū(q1 )Ta γµ v(q2 ) (181)
s
andererseits
1
1
(k
/+q
/ 2 + m)Ta v(q2 )
T2 ǫ∗ (k)=kµ = e2 Qg [v̄(p2 )γµ u(p1 )] ū(q1 )γµ
µ
s
−q
/2 − k
/ − m + iǫ
1
= −e2 Qg [v̄(p2 )γµ u(p1 )] ū(q1 )Ta γµ v(q2 ) = −T1 ǫ∗ (k)=kµ
µ
s
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
3-Jet Produktion
(182)
Maria Laach 2008
79
Zur Weiterverarbeitung ist es sinnvoll, noch etwas Notation einzuführen:
1
Tn = e2 Qg [v̄(p2 )γµ u(p1 )] Jµ
(q1 , q2 , k, ǫ)
s n
(183)
mit den Strom-Matrixelementen
ū(q1 )Ta ǫ
/∗ (k)(q
/1 + k
/ + m)γµ v(q2 )
(q1 + k)2 − m2 + iǫ
ū(q1 )γµ (−q
/2 − k
/ + m)Ta ǫ
/∗ (k)v(q2 )
Jµ
2 (q1 , q2 , k, ǫ) =
(q2 + k)2 − m2 + iǫ
Jµ
1 (q1 , q2 , k, ǫ) =
Dann
X
|T1 + T2 |2 =
spins, pol.
e 4 g 2 Q2
Lµν (p1 , p2 , 0)Hµν (q1 , q2 , k)
s2
(184a)
(184b)
(185)
mit dem hadronischen Tensor
Hµν (q1 , q2 , k) =
X
Jµ (q1 , q2 , k, ǫ)Jν,∗ (q1 , q2 , k, ǫ)
(186)
spins,ǫ
und
µ
Jµ (q1 , q2 , k, ǫ) = Jµ
1 (q1 , q2 , k, ǫ) + J2 (q1 , q2 , k, ǫ)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(187)
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
80
Völlig analog zu (179) in Aufgabe 21 kann man zeigen, daß
µ
µ
q1 + qµ
Jµ (q1 , q2 , k, ǫ) = 0
2 +k
(188)
und deshalb mit dem Schwerpunktsimpuls p = p1 + p2 = q1 + q2 + k
pµ Hµν (q1 , q2 , k) = pν Hµν (q1 , q2 , k) = 0
(189)
µν
Die Winkelabhängigkeit von H (q1 , q2 , k) enthält sehr viel Information, ist aber unübersichtlich.
Betrachte daher nur die Abhängigkeit von den Energien
x1 =
2q1 p
,
p2
x2 =
2q2 p
,
p2
und integriere über die Winkel
Z
g1 dq
g2 dk
f (2π)4 δ4 (q1 + q2 + k − p) f(x1 , x2 , x3 ) =
dq
x3 =
2kp
p2
(190)
Z
s
dx1 dx2 f(x1 , x2 , 2 − x1 − x2 )
3
128π
(191)
Nach der Winkelintegration kann das Resultat nur vom Schwerpunktsimpuls p und den xi abhängen.
Aus (189) folgt
Z
und
dΩ̃ Hµν (q1 , q2 , k) =
(192)
Z
1
dΩ̃ Hµµ (q1 , q2 , k)
3
H̃(p, x1 , x2 ) = −
Th. Ohl
pµ pν
− gµν H̃(p, x1 , x2 )
2
p
(193)
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
81
Konsequenz der Energieerhaltung:
x1 + x2 + x3 =
2(q1 + q2 + k)p
=2
p2
(194)
Konsequenz der Impulserhaltung für verschwindende Massen:
x1 + x2 > x3 = 2 − x1 − x2
(195)
wobei Gleichheit für parallele q1 und q2 gilt. Also
(195 ′ )
x1 + x2 > 1
x3 = 0
1
0.8
0.6
x2
0.4
x3 = 1
0.2
0
Th. Ohl
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x1
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
82
Für verschwindende Massen:
X Z
pµ pν
4e4 g2 Q2 µ ν
µ
µν
p1 p2 + pν
− gµν H̃(p, x1 , x2 )
dΩ̃ |T1 + T2 |2 =
1 p2 − p1 p2 g
s2
s
spins, pol.
=
4e4 g2 Q2
H̃(p, x1 , x2 ) (196)
s
Phasenraumfaktor:
1
s 1
d2 σ
=
dx1 dx2
2s 128π3 4
X
spins, pol.
Z
dΩ̃ |T1 + T2 |2 =
αs α2 Q2
H̃(p, x1 , x2 )
4s
(197)
Aufgabe 22 Drücken Sie die Invarianten q1 q2 , q1 k und q2 k durch s und die xi aus. (Sie dürfen alle
Teilchen als masselos annehmen).
Lösung 22
1
1
s
(q1 + q2 )2 = (p − k)2 = (1 − x3 )
2
2
2
1
1
s
q1 k = (q1 + k)2 = (p − q2 )2 = (1 − x2 )
2
2
2
1
1
s
q2 k = (q2 + k)2 = (p − q1 )2 = (1 − x1 )
2
2
2
q1 q2 =
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
(198a)
(198b)
(198c)
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
83
Aufgabe 23 Berechnen Sie
d2 σ
(x1 , x2 )
dx1 dx2
(Sie dürfen weiterhin alle Teilchen als masselos annehmen). NB:
(199)
• Berechnen Sie zunächst Hµµ (q1 , q2 , k) als Funktion von q1 q2 , q1 k und q2 k.
• Wegen (179) dürfen Sie dabei
X
ǫµ ǫ∗ν = −gµν
(200)
ǫ
setzen, ohne das Ergebnis zu verfälschen.
• Nutzen Sie die Kontraktionsidentitäten (147) vor der Berechnung von Spuren, um die Spuren
handlich zu halten.
Lösung 23 Vier Spuren:
Hµν (q1 , q2 , k) =
X tr[q
/ 1 Ta ǫ
/∗ (q
/1 + k
/)γµ q
/ 2 γν (q
/1 + k
/)ǫ
/ Ta ]
(2q1 k)2
ǫ
+
X tr[q
/ 1 γµ (−q
/2 − k
/)Ta ǫ
/∗ q
/ 2 γν (q
/1 + k
/)ǫ
/ Ta ]
(2q1 k)(2q2 k)
ǫ
Th. Ohl
+
X tr[q
/ 1 Ta ǫ
/∗ (q
/1 + k
/)γµ q
/2ǫ
/Ta (−q
/2 − k
/)γν ]
(2q1 k)(2q2 k)
ǫ
µ
X tr[q
/ 1 γ (−q
/2 − k
/)Ta ǫ
/∗ q
/2ǫ
/Ta (−q
/2 − k
/)γν ]
+
2
(2q
k)
2
ǫ
Feynmandiagramme für Anfänger
(201)
Maria Laach 2008
3-Jet Produktion
84
Lösung 23 ′ Farbanteil der Quarkspur tr(Ta Ta ) = CF tr(1) = CF NC und Polarisationssumme:
tr[q
/ 1 (q
/1 + k
/)γµ q
/ 2 γν (q
/1 + k
/)]
tr[q
/1q
/ 2 γµ (q
/1 + k
/)(−q
/2 − k
/)γν ]
+ 2CF Nc
(2q1 k)2
(2q1 k)(2q2 k)
tr[q
/ 1 γµ (−q
/2 − k
/)q
/ 2 (−q
/2 − k
/)γν ]
tr[q
/ 1 γµ (−q
/2 − k
/)(q
/1 + k
/)γν q
/2]
+ 2CF Nc
(202)
+ 2CF Nc
2
(2q1 k)(2q2 k)
(2q2 k)
Hµν (q1 , q2 , k) = 2CF Nc
Kontraktion:
tr[q
/ 1 (q
/1 + k
/)q
/ 2 (q
/1 + k
/)]
tr[q
/1q
/2]
+ 8CF Nc (q1 + k)(−q2 − k)
(2q1 k)2
(2q1 k)(2q2 k)
tr[q
/ 1 (−q
/2 − k
/)q
/ 2 (−q
/2 − k
/)]
tr[q
/1q
/2]
− 4CF Nc
+ 8CF Nc (−q2 − k)(q1 + k)
(2q1 k)(2q2 k)
(2q2 k)2
Hµµ (q1 , q2 , k) = −4CF Nc
(203)
Letzte Spuren:
2(q1 k)(q2 k)
(q1 q2 + q1 k + q2 k)(q1 q2 )
2(q1 k)(q2 k)
− 64CF Nc
− 16CF Nc
(2q1 k)2
(2q1 k)(2q2 k)
(2q2 k)2
2
2
x1 + x2
(1 − x3 )
1 − x2
1 − x1
− 16CF Nc
− 8CF Nc
= −8CF Nc
(204)
− 8CF Nc
1 − x2
(1 − x1 )(1 − x2 )
1 − x1
(1 − x1 )(1 − x2 )
Hµµ (q1 , q2 , k) = −16CF Nc
Schließlich:
Th. Ohl
x21 + x22
d2 σ
4πα2 Q2 αs
= Nc
CF
dx1 dx2
3s 2π (1 − x1 )(1 − x2 )
Feynmandiagramme für Anfänger
(205)
Maria Laach 2008
Standardmodell
85
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Asymptotische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3 Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4 QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
5 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
6 Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Th. Ohl
Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Feynman-Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Higgs-Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Standardmodell
(C, T)Y
Leptonen
νe,R (?)
νµ,R (?)
eR

ν
 e,L 
µ
 R
ν
 µ,L 
uR
dR
 
uL 

ντ,R (?)
(1, 1)0
τR

ν
 τ,L 
(1, 1)−2
cR
tR
(3, 1)4/3
sR
 
cL 
bR
 
 tL 

µL
eL
Quarks
dL
sL
Z0
0

−1

0
−1
(1, 2)−1
τL
W±
Y
2
Q = T3 +
(3, 1)−2/3
2
3
1
−
 3
2
 3 
− 13
(3, 2)1/3
bL
Eichbosonen
A
86
g
Higgs
(1, ?)?
Φ (?)
Th. Ohl
?
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Propagatoren
87
Äußere Spin-1 Teilchen:
k
einlaufend:
auslaufend:
⇐⇒ ǫµ (k)
⇐⇒ ǫ∗µ (k)
k
(206a)
(206b)
Innere Teilchen und Anti-Teilchen
• Polarisationssumme:
k k
k
Spin-1 (m 6= 0):
X
⇐⇒
µ ν
−igµν + i M
2
k2 − M2 + iΓ M
ǫµ (k)ǫ∗ν (k) = −gµν +
pol.
(207)
kµ kν
M2
(208)
• unitäre Eichung: ∂µ Dµν = 0. Alternativen
k k
µ ν
−igµν + i(1 − ξ) k2 −ξM
2
k2
−
M2
(209)
+ iΓ M
besser für Strahlungskorrekturen, aber umständlicher.
• endliche Breite Γ : (für geladene Teilchen problematisch, aber nötig)
|D(p, M)|2 ∝
Th. Ohl
1
(p2 − M2 )2 + Γ 2 M2
Feynmandiagramme für Anfänger
(210)
Maria Laach 2008
Feynman-Regeln
88
gV = T3 − 2Q sin2 θw
g A = T3
(211a)
(211b)
Mit der Notation
z. B.
1
1 − 4 sin2 θw
, gA = −
2
2
sind die Feynman-Regeln für neutrale Ströme:
gV = −
(212)
k, µ
p
f
Z0
=
f
−i
g
gf γµ − gfA γµ γ5
2 cos θw V
(213)
− ieQf γµ
(214)
p′
k, µ
p
f
γ
=
f
p′
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Feynman-Regeln
89
geladene Ströme (Vff ′ ist CKM-Matrix):
k, µ
W−
f
p
f
g
1 − γ5
− i √ Vff ′ τ+ γµ
2
2
=
′
(215)
p′
trilineare Eichboson-Kopplungen:
k1 , µ 1
k2 , µ 2
W−
ie cot θw gµ1 µ2 (k1µ3 − k2µ3 )
Z0
+ie cot θw gµ2 µ3 (k2µ1 − k3µ1 )
=
(216)
+ie cot θw gµ3 µ1 (k3µ2 − k1µ2 )
W−
k3 , µ 3
k1 , µ 1
k2 , µ 2
iegµ1 µ2 (k1µ3 − k2µ3 )
γ
W−
+iegµ2 µ3 (k2µ1 − k3µ1 )
=
(217)
+iegµ3 µ1 (k3µ2 − k1µ2 )
W−
k3 , µ 3
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Feynman-Regeln
90
trilineare Higgs-Kopplungen an Fermionen und Eichbosonen:
k
p
f
H
gmf
2MW
(218)
gMZ
gµµ ′
cos θw
(219)
igMW gµµ ′
(220)
−i
=
f
p′
k
p, µ
Z
0
H
=
i
Z0
p ′, µ ′
k
p, µ
W
±
H
=
W±
p ′, µ ′
noch viel mehr Vertices: quadrilineare Kopplungen, Higgs-Selbstkopplungen, etc.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
91
Aufgabe 24 Berechnen Sie die Streuamplitude für Higgs-Strahlung e+ e− → ZH
e+ (p+ )
H(k)
(221)
Z0
e− (p− )
Z0
Z0 (q)
√
und vernachlässigen
Sie dabei konsequent Terme von O(me /MZ ), O(me /MH ), und O(me / s).
√
Außerdem sei s so weit oberhalb der Z-Resonanz, daß die endliche Breite des Z vernachlässigt
werden kann.
Lösung 24 Mit p = p+ + p− :
iT = −i
−igµν + ipµ pν /M2Z gMZ
g
[v̄(p+ )γµ (geV − geA γ5 )u(p− )]
gνρ )ǫ∗,ρ (q)
(i
2 cos θw
cos θw
p2 − M2Z
(222)
Stromerhaltung [v̄(p+ )γµ (geV − geA γ5 )u(p− )] pµ = −2igeA me v̄(p+ )γ5 u(p− ) = O(me )
T =−
Th. Ohl
1
g 2 MZ
[v̄(p+ )ǫ
/∗ (q)(geV − geA γ5 )u(p− )]
2 cos2 θw s − M2Z
Feynmandiagramme für Anfänger
(223)
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
92
Aufgabe 25 Zeigen Sie, daß die Viererimpulse
p− = (E; 0, 0, E)
p+ = (E; 0, 0, −E)
k = (EH ; p sin θ cos φ, p sin θ sin φ, p cos θ)
q = (EZ ; −p sin θ cos φ, −p sin θ sin φ, −p cos θ)
(224a)
(224b)
(224c)
(224d)
mit
q
λ(s, M2H , M2Z )
√
2 s
2
s + MH − M2Z
√
EH =
2 s
s + M2Z − M2H
√
EZ =
2 s
p=
(225a)
(225b)
(225c)
und
λ(a, b, c) = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac − 2bc
(226)
Energie- und Impulserhaltung, sowie die Massenschalenbedingungen für e+ e− → ZH mit me = 0
erfüllen. Berechnen Sie
16(p+ q)(p− q) .
(227)
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
Lösung 25
93
Die Impulserhaltung ist offensichtlich und die Energieerhaltung folgt aus
√
EH + EZ = s = 2E .
(228)
Die Higgs-Massenschale folgt aus
E2H − p2 =
s2 + M4H + M4Z + 2sM2H − 2sM2Z − 2M2H M2Z
4s
s2 + M4H + M4Z − 2sM2H − 2sM2Z − 2M2H M2Z
= M2H , (229)
−
4s
die Z-Massenschale analog: E2Z − p2 = M2Z . Schließlich
4p∓ q = 4E(EZ ± p cos θ) = s + M2Z − M2H ±
also
q
λ(s, M2H , M2Z ) cos θ ,
(230)
16(p+ q)(p− q) = (s + M2Z − M2H )2 − λ(s, M2H , M2Z ) cos2 θ = 4sM2Z + λ(s, M2H , M2Z ) sin2 θ
(231)
Aufgabe 26 Berechnen Sie den unpolarisierten differentiellen Wirkungsquerschnitt
dσ
(θe− H )
dΩ
(232)
für Higgs-Strahlung e+ e− → ZH.
Th. Ohl
Feynmandiagramme für Anfänger
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
94
Lösung 26
X
|T |2 =
spins
g4 M2Z
1
tr (p
/+ǫ
/(q)(geV − geA γ5 )p
/ − (geV − geA γ5 )ǫ
/∗ (q))
4 cos4 θw (s − M2Z )2
=
g4 M2Z
1
(ge 2 + geA 2 ) tr (p
/+ǫ
/(q)p
/−ǫ
/∗ (q))
4 cos4 θw (s − M2Z )2 V
=
Nächster Schritt: Polarisationssumme
X
pol.
X
spins, pol.
=
Th. Ohl
|T |2 =
g4 M2Z (geV 2 + geA 2 )
1
Lµν (p+ , p− , 0)ǫµ (q)ǫ∗ν (q) (233)
4 cos4 θw
(s − M2Z )2
ǫµ (q)ǫ∗ν (q) = −gµν +
qµ qν
M2Z
(234)
g4 M2Z (geV 2 + geA 2 )
qµ qν
1
µ ν
ν
µν
pµ
−gµν +
+ p− + p− p+ − p+ p− g
2
2
4
2
cos θw
(s − MZ )
MZ
g4 (geV 2 + geA 2 ) 8sM2Z + λ(s, M2H , M2Z ) sin2 θ
g4 (geV 2 + geA 2 ) p+ p− M2Z + 2(p+ q)(p− q)
=
cos4 θw
8 cos4 θw
(s − M2Z )2
(s − M2Z )2
Feynmandiagramme für Anfänger
(235)
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
95
Lösung 26 ′ Phasenraum (133):
1 1
dσ
(θe− H ) =
dΩ
2s 16π2
also
dσ
(θe− H ) =
dΩ
q
λ(s, M2H , M2Z )
s
q
λ(s, M2H , M2Z ) 1
2s
4
X
|T |2
(236)
spins, pol.
α2 (geV 2 + geA 2 ) 8sM2Z + λ(s, M2H , M2Z ) sin2 θ
(s − M2Z )2
128s sin4 θw cos4 θw
(237)
Aufgabe 27 Berechnen Sie den integrierten Wirkungsquerschnitt für Higgs-Strahlung e+ e− → ZH.
Lösung 27 Mit
Z
folgt
σ=
Th. Ohl
q
dΩ (a + b sin2 θ) = 4πa +
8π
b
3
(238)
λ(s, M2H , M2Z ) πα2 (ge 2 + ge 2 ) 12sM2 + λ(s, M2 , M2 )
Z
H
Z
V
A
s
(s − M2Z )2
48s sin4 θw cos4 θw
Feynmandiagramme für Anfänger
(239)
Maria Laach 2008
Higgs-Strahlung
96
Lösung 27 ′ oder
σ=
Th. Ohl
q
λ(s, M2H , M2Z ) πα2 (1 + (1 − 4 sin2 θw )2 ) 12sM2 + λ(s, M2 , M2 )
Z
H
Z
s
(s − M2Z )2
192s sin4 θw cos4 θw
Feynmandiagramme für Anfänger
(240)
Maria Laach 2008