Ghirardi-Rimini-Weber

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Ghirardi-Rimini-Weber-Theorie
1. Einführung
1
2. Vereinigte Dynamik
1
2.1 Spontane Lokalisierung
3
2.2 John Bell
4
3. Der relativistische Aspekt
5
3.1 Vom QMSL zur kontinuierlichen Spontanen Lokalisation (CSL)
5
4. Schlussbemerkungen
5
1. Einführung
Der Begriff der Messung hängt unmittelbar mit dem Problem der Interpretation der Quantentheorie
zusammen und damit auch mit der Frage nach der Beziehung zwischen klassischer und Quantenphysik.
In der Kopenhagener Interpretation der Quantentheorie wird streng zwischen klassischen Objekten und
Quantenobjekten unterschieden. Erstere sind per Postulat in klassischen Begriffen zu beschreiben,
während
Quantenobjekte
durch
Wellenfunktionen
oder
Dichtematrizen
(Dichteoperatoren)
charakterisiert werden. Dieser Bruch hat sich außerordentlich bewährt, wie die Erfolge in der
Anwendung der Quantentheorie zeigen. Häufig wird die Wellenfunktion daher nicht als Beschreibung
realer Objekte, sondern lediglich als Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für
Messergebnisse betrachtet.
Diese Situation ist aber aus mehreren Gründen unbefriedigend, z. B. stellt die zunächst nie wirklich klar
definierte Trennung zwischen Mikro- und Makrowelt ein begriffliches Problem dar, das leicht zu
Inkonsistenzen führen kann, da makroskopische Objekte aus mikroskopischen aufgebaut sind. Es
würde z. B. zu Widersprüchen führen, wenn nicht alle Objekte der Unschärferelation unterlägen.
2. Vereinigte Dynamik
Beinahe alle Probleme, die sich im Zuge der Quantenmechanik ergeben, lassen sich auf die
Berechnung des Verhaltens makroskopischer Objekte und deren Interaktionen mit mikroskopischen
Zuständen zurückführen. Außerdem hängen diese Probleme stark von (theoretisch erlaubten)
lineareren Superpositionen von unterschiedlichen Zuständen eines makroskopischen Systems ab. Die
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Linearität der Quantentheorie führt unweigerlich zu der Annahme solcher Superpositionen. Eine
weitere Schwierigkeit ist die Beschreibung eines makroskopischen Systems auf Bahnen (Trajektorien).
Der Standardausweg ist im so genannten „Reduktionspostulat“ enthalten, welches den Übergang von
einem Reinzustand (der Dichteoperator ist dann ein Projektor) zu einer statistischen Mixtur vorschlägt.
Um es kurz zu wiederholen, der Dichteoperator
ρ = ψ ψ = Ρψ
ist ein statistischer
quantenmechanischer Operator zur Beschreibung von stochastischen Systemen. Er beschreibt einen
„reinen Zustand“, wenn ρ 2 = Ρψ2 = Ρψ = ρ gilt – dies entspricht der Reinheit 1 ( trρ 2 = 1 ),
andernfalls handelt es sich um einen „gemischten Zustand“. Für reduzierte Dichteoperatoren ist die
Reinheit gewöhnlich kleiner als 1, wie wir in der Vorlesung im Kapitel „Density operator. Tow-level
system“ gezeigt haben.
Die Tatsache, dass die Quantentheorie nur Wahrscheinlichkeitsaussagen liefert, hat zu der Auffassung
geführt, es handele sich um eine „statistische“ Theorie. Häufig wird auch behauptet, das stochastische
Verhalten von Quantenobjekten beruhe auf „Störungen“ während der Messung. Dieses Argument
würde jedoch eine (in sich konsistente) dynamische Analyse erfordern.
Es wurden bisher drei verschiedene Lösungsansätze für die oben genannten Schwierigkeiten
vorgeschlagen:
1. Man akzeptiert zwei Entwicklungs-Prinzipien betreffend das unterschiedliche dynamische
Verhalten von mikro- und makroskopischen Objekten. Somit würde sich ein Dualismus in der
Natur ergeben, der die Einführung präziser Kriterien für die Unterscheidung zwischen mikro- und
makroskopischen Objekten fordert.
2. Man limitiert im Prinzip die Gesamtanzahl der Observablen für ein makroskopisches System auf
eine Abelsche Menge, da aus dieser Annahme die Äquivalenz von Rein- und Mischzuständen
folgt. Dies liefert einen Ausweg aus den Schwierigkeiten des Messproblems in der
Quantentheorie. Allerdings wird in der Literatur oftmals nicht eindeutig klar gestellt, ob sich die
Einschränkung auf alle Objekte oder nur auf die durch einen Messapparat erfassbaren bezieht.
3. Eine Lösung die nicht auf einer a priori Teilung in zwei Klassen basiert, jedoch experimentelle
Einschränkungen fordert. Diese Tatsache macht die Definition, was makroskopisch behandelt
werden soll, abhängig von der Geschicklichkeit des Experimentators.
Jeder dieser drei Punkte führt zur Aufgabe der Idee einer vereinheitlichten Herleitung des Verhaltens
aller Objekte durch eine mikroskopische Basis.
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Jedoch präsentierten G. C. Ghirardi, A. Rimini und T. Weber den Versuch einer vereinheitlichten
Beschreibung und veröffentlichten 1985 eine Arbeit mit dem Titel „Unified dynamics for microscopic
and macroscopic systems“.
Sie diskutierten ein dynamisches Modell, in welchem lineare Superpositionen von Zuständen
desselben makroskopischen Objekts, die in weit entfernten räumlichen Regionen lokalisiert sind, von
Natur aus unterdrückt werden. Um diese Unterdrückung zu erhalten, muss die dynamische Gleichung
einen Übergang von einem Reinzustand zu einer statistischen Mixtur bewirken. Eine Möglichkeit dafür,
ist die Erweiterung der dynamischen Gleichung um einen stochastischen Term, der einem
Lokalisationsprozess entspricht. (Dieser Prozess ist mit einer ungefähren Positionsmessung zu
vergleichen.) Die Entwicklung für den Zustand im System nimmt somit folgende Form an:
[
]
d
i
ρ (t ) = − Hˆ , ρ (t ) − λ (ρ (t ) − T [ρ (t )])
dt
h
bzw. für ein N-Teilchen System:
[
]
N
d
i
ρ (t ) = − Hˆ , ρ (t ) − ∑ λi (ρ (t ) − Ti [ρ (t )]) ,
dt
h
i =1
Ti [ρ (t )] =
α
π
∫ dx(e
+∞
− (α / 2 )( qˆ i − x ) 2
ρ (t )e −(α / 2)( qˆ − x )
i
2
)
−∞
T[ρ(t)] steht hierbei für den Lokalisierungsprozess und λ ist die Frequenz dieses Vorgangs. q̂i ist der
Ortsoperator des i-ten Teilchens.
Die Idee eines isolierten Systems verliert dadurch ihre Bedeutung für ein makroskopisches Objekt,
sofern dieses Objekt räumlich sehr nahe Quantenlevels besitzt, so dass beinahe jede Interaktion zu
einem Übergang zwischen ihnen führt. Ein makroskopisches Objekt muss dann als in einer Art
„Thermalbad“ eingebettet betrachtet werden. Die Bewegungsgleichung kann dadurch als eine
Beschreibung der reduzierten Dynamik solch eines nicht-isolierten Systems betrachtet werden.
Es wird angenommen, dass alle mikroskopischen Systeme Gegenstand von Lokalisierungsprozessen
mit einer angemessenen Frequenz sind. GRW betrachten nicht den physikalischen Ursprung solcher
Lokalisierungen für Mikrosysteme, sie postulieren einfach ihr Vorkommen und nennen sie „spontan“.
Diese Annahme stellte sich als vernünftig heraus, sofern man die Parameter der Gleichung so wählt,
dass die Dynamik eines mikroskopischen Systems für alle praktischen Anwendungen mit der Standard
Hamiltonschen Quantendynamik übereinstimmt. Weiters kann somit die Dynamik makroskopischer
Objekte konsistent aus ihren mikroskopischen Komponenten gefolgert werden. Es stellt sich heraus,
dass dadurch auch die lineare Superposition räumlich weit entfernter Zustände verboten ist und das
Modell zu einer Entwicklung führt, die mit der klassischen Mechanik verträglich ist.
2.1 Spontane Lokalisierung
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Die Schlüsselannahme ist, dass jeder elementare Bestandteil eines beliebigen Systems zufälligen und
spontanen Lokalisationsprozessen um ungefähre Positionen unterworfen ist. Dieser Prozess folgt zu
zufälligen Zeiten einer Poissonverteilung mit einer Hauptfrequenz λ . Für ein System von N unterscheidbaren Teilchen werden diese Zufallsprozesse (Treffer) folgenderweise beschrieben (das i-te
Teilchen wird getroffen):
ψ (q1 ,q 2 ,...,q N ) ⇒ ψ x (q1 ,q 2 ,...,q N ) =
Φ x (q1 ,q 2 ,...,q N )
Φ x (q1 ,q 2 ,...,q N )
2
,
3
⎞
⎛ α
⎛α ⎞4
Φ x (q1 ,q 2 ,...,q N ) = ⎜ ⎟ exp⎜ − (q i − x) 2 ⎟ψ (q 1 ,q 2 ,...,q N ).
⎠
⎝ 2
⎝π ⎠
Die Treffer finden mit einer größeren Wahrscheinlichkeit dort statt, wo die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Teilchen höher ist. Diese Beschreibung führt somit nicht-lineare und stochastische Elemente in
die Dynamik ein.
Dieses Modell enthält somit einen so genannten „Trigger-Mechanismus“, das heißt, die Reduktion wird
um so häufiger je mehr Teilchen im System betrachtet werden. Die Trefferfrequenz ist somit proportional zu der Teilchenzahl.
Man kann nun die Parameter λ und 1 / α so wählen, dass das Modell genau die Anforderungen erfüllt, kleine Auswirkungen auf kleine Systeme zu haben, jedoch makroskopische Superpositionen zu
unterdrücken. 1 / α entspricht der Entfernung, nach der die lineare Superposition in eine statistische
Mixtur übergeht, man nennt dies auch die Lokalisierungsdistanz.
Das bedeutet, wählt man λ ≅ 10−16 s −1 und 1 / α ≅ 10 −7 m , so erhält man eine Lokalisierung eines
mikroskopischen Systems alle 108 Jahre, allerdings für ein Makrosystem alle 10-7 Sekunden. Die Superposition eines Mikrosystems bleibt im Gegensatz zu einem makroskopischen System sehr lange erhalten. Schrödinger’s Katze ist somit nur für den Bruchteil einer Sekunde halb tot und lebendig.
2.2 John Bell
Auf einer Konferenz beschrieb John Bell den Kollegen die Arbeit von Ghirardi, Rimini und Weber und
fügte Vorschläge und mögliche Interpretationen für diese Theorie bei:
•
Das Model berücksichtig nicht die symmetrischen Anforderungen für identische Teilchen.
•
Er präsentierte einen indirekten Beweis, dass das Modell Bell’s Lokalität verletzt, indem es die
Unabhängigkeit des Ergebnisses verletzt. Zusätzlich forderte Bell auch, dass die GRW-Theorie
Lorentzinvariant sein soll.
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Grassi und Ghirardi haben gezeigt, das eine Theorie die Bell’s Lokalitätsforderungen verletzt, keine ernsthafte relativistische Generalisierung zulassen kann.
Während der Konferenz besprach Bell auch mögliche Generalisierungen um mit dem Problem der identischen Teilchen richtig umzugehen. Er schlug die Einführung phänomenologischer Parameter vor.
3. Der relativistische Aspekt
Bell erkannte sofort dass das QMSL- Modell (Quantum Mechanics with Spontaneous Localizations) einige charakteristische Merkmale aufzeigte, jedoch fehlte eine relativistische Lorentzinvarianz.
3.1 Vom QMSL zur kontinuierlichen Spontanen Lokalisation (CSL)
Philip Pearle versuchte die Idee der Modifizierung der Schrödingergleichung weiter zu verfolgen. Er arbeitete mit Rimini und Ghirardi zusammen um eine relativistische Generalisierung von QMSL zu erhalten. Er erkannte, dass man die Ideen des GRW-Theorems mit dem stochastischen Formalismus zusammenlegen konnte. Das Ergebnis dieses Ansatzes war ein kontinuierliches spontanes Lokalisierungsmodell, in dem die „Treffer“ kontinuierlich stattfinden. (Der Zustandsvektor unterliegt einer linearen, stochastischen Entwicklungsgleichung.)
Diese Theorie beinhaltet das ursprüngliche GRW-Modell für Vielteilchensysteme und löst zusätzlich
auch das oben angesprochene Problem für identische Teilchen. Das kontinuierlich spontane Lokalisierungs-Modell basiert somit auf einer linearen Gleichung und einer unabhängigen stochastischen Beschreibung. Der einzige Unterschied zur ursprünglichen QMSL ist, dass die stochastischen Prozesse
kontinuierlich stattfinden.
4. Schlussbemerkungen
Ghirardi, Rimini und Weber modifizieren die Standard-Quantenmechanik in einer Art und Weise, sodass sich keine Änderungen für mikroskopische Objekte ergeben, während für makroskopische die
Quantenmechanik in eine stochastische Mechanik, die klassische Merkmale aufweist, übergeführt wird.
Die modifizierte Dynamik bietet eine konsistente Beschreibung der Reduzierung des Wellenpakets der
Quantentheorie.
Eines der Probleme der Ghirardi-Rimini-Weber Theorie ist sicherlich die Tatsache, dass der Einführung
der spontanen Lokalisierungen keine tieferen Naturprinzipien zu Grunde liegen, sondern als Mittel zum
Zweck dient. Die Autoren gehen, wie erwähnt, auch nicht näher auf den physikalischen Ursprung dieses Phänomens ein – sie postulieren es. Es scheint sich daher um eine empirische Beschreibung zu
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handeln, bei der versucht wird, die Parameter der Beobachtung anzupassen. Prinzipiell gibt es auch
Experimente, die versuchen, den Grenzübergang zwischen Mikro- und Makrokosmos zu untersuchen,
wie z.B. die Interferenzexperimente mit Viren bzw. Makromolekülen von Anton Zeilinger.
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