3. Logik Prädikatenlogik Prädikatenlogik In der Aussagenlogik ist es nicht möglich, Aussagen über ganze Klassen von Objekten zu machen, so daß Schlußfolgerungen für individuelle Objekte möglich sind. Es sei gegeben: Martin ist ein Informatiker. Peter ist ein Informatiker. Jeder Informatiker kann programmieren. Wir wollen folgern: Martin kann programmieren. Peter kann programmieren. Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Logik 122 Prädikatenlogik Prädikatenlogische Signatur Mit der Prädikatenlogik (1. Stufe) wollen wir Sachverhalte beschreiben, die folgendes enthalten können. Objekte, z.B. Personen oder Sachen Funktionen auf den Objekten, z.B. Größe, Gewicht, Hochzeitstag Eigenschaften von Objekten Beziehungen zwischen Objekten Aussagen über Objekte, auch quantifizierende Wie in der Aussagenlogik brauchen wir dazu zunächst einen Vorrat an Bezeichnern. Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 123 3. Logik Prädikatenlogik Prädikatenlogische Signatur (2) Definition 3.12. Eine (PL1-)Signatur besteht aus von Funktionssymbolen und von Prädikatensymbolen. einer Menge hat eine feste Stelligkeit "! . Jedes Symbol Ein Funktionssymbol mit der Stelligkeit ! heißt Konstante. einer Menge Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Logik 124 Prädikatenlogik PL1-Terme Funktionssymbole dienen zur Beschreibung von funktionalen Eigenschaften der Objekte. In Verbindung mit Variablen zur Darstellung von Objekte werden Terme gebildet. # % '&)(* # $ Definition 3.13. Es sei eine Menge von Variablensymbolen und sei eine PL1-Signatur. Dann ist die Menge der (PL1-)Terme wie folgt definiert: 1. Jedes Variablensymbol +,-# ist ein PL1-Term. /. ist ein PL1-Term. ein 1 -stelliges Funktionssymbol (1 2 ) und sind 3. Ist 0 354 7676767 398 PL1-Terme, so ist auch 0 3:4 7676;6< 38 ein PL1-Term. 2. Jedes nullstellige Funktionssymbol aus Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 125 PL1-Formeln (2) Prädikatenlogik eine Menge von VariaDefinition 3.15. Es sei blensymbolen und sei eine PL1der PL1Signatur. Dann ist die Menge Formeln wie folgt definiert: 3. Logik N= ` _ `G d _ `G _b _ aG = `G _c Pf _ Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 eine atomare Formel. N= h_ fg G _f Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 127 , dann sind auch 126 ein -stelliges Prädikatensymbol mit und gilt , so ist auch A[ N Y P LJZ XT WG VVVG TXWG A T@O U Q VVGV T@U ML IP J O SR Q Pl1-Formeln. _ e eine PL1-Formel und ` 2. Ist 1. Jedes nullstellige Prädikatensymbol eine atomare Formel. ist eine Menge von VariaDefinition 3.14. Es sei blensymbolen und sei eine PL1Signatur. Dann ist die Menge der atomaren Formeln über und wie folgt definiert: > 3. Ist PL1-Formeln Prädikatenlogik Auf Basis der Terme können wir nun die Formeln der Prädikatenlogik definieren. 3. Logik = PL1-Formeln. ist eine PL1- PL1-Formeln, dann sind auch > und und = 2. Sind 1. Jede atomare Formel über Formel. A^ [ NML L IKFHJ G JZ B]\ E = A BDC >@? NML IKFHJ G E = A BDC >@? ML IKP J O 3. Logik Prädikatenlogik PL1-Formeln (3) Beispiel 3.14. Den anfangs dargestellten Sachverhalt könnten wir durch folgende Formeln ausdrücken. i kjlm&onmpoq<rskut v w 3yx 1 i kjlm&onmpoq<rskuz|{ 3 {<w } + i jl'&~n'p~q<rs) + l n& &q~ + Die Frage, ob Martin und Peter programmieren können, würde dann als PL1-Formel lauten: l n& &qXout v w 39x 1 l'n&&qXouz{ 3 {7w Q FE BP C d NW A 129 ei- Q W NA O Q Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 Q ML IP J O jedem -stelligen Prädikatensymbol zuordnet. ne -stellige Relation 128 sowie einer Abbildung , die jedem -stelligen eine -stellige FunktiFunktionssymbol zuordnet und on > einer nichtleeren Menge , der Trägermenge (Grundbereich, Universum), eine PL1besteht N M L N G IKFJ G A E ? A BDC >? Definition 3.16. Es sei Signatur. Eine -Interpretation aus: Bisher haben wir wieder nur die syntaktische Struktur von Formeln festgelegt. Wir müssen nun die Funktion-, Prädikaten- und Variablensymbole mit einer Bedeutng belegen. 3. Logik Interpretation Prädikatenlogik Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 = d N= A[ Y LJZ 3. Logik für 130 ist die wie : ? f Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 = A ? d = > NA = = [ P f Z J L Y T NA f unter A ? G N T W GV VGV A TU NA ? N T W GV TA U VGV d in G N Die Termauswertung von folgt definierte Funktion N T P Definition 3.18. Gegeben sein ein Term , eine -Interpretation und ei. ne Variablenbelegung eine Definition 3.17. Es sei Interpretation und eine Menge von Variablensymbolen. Dann ist eine Variablenbelegung eine . Funktion Es sind noch nicht alle sprachlichen Symbole der PL mit einer Bedeutung belegt, es fehlen noch die Variablen. Termauswertung Prädikatenlogik 3. Logik > Prädikatenlogik PL1-Semantik -Interpretation, # eine Men eine ¡£¢# ¤ ¥ eine Variablenbelegung. ¡§¦¨ª©«¢o# ¤ bezeichne die Modifikation von ¡ an der Stelle + zu v , d.h: 3 für +¯ ® 3 ­ 3 v für + 3 ¡§¦¨¬© lm&o ±m(² # in unter ¡ Dann ist der Wahrheitswert einer Formel ° ;·¹¸ ) wie folgt definiert: (geschrieben ³ ´°¶µ 3:4 7676767 38 gilt: Für eine atomare Formel º ³ º 3 4 7676767 3 8 µ ;·¹¸ »ps ¢½¼ ³ 3 4 µ ;·¹¸ ;6<6;67 ³ 3 8 µ 7·¾¸ º Definition 3.19. Es sei ge von Variablensymbolen und Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 131 À¿À °¯Á À¿ ° ¿ Für ° 3. Logik Aussagenlogik. } +o° gilt: ³ } +o°¶µ ;·¹¸Ã»ps ¢Ä¼ und Â*° Prädikatenlogik gelten die selben Regeln wie in der Für eine Formel für jedes v É +o° gilt: ³ ÊÉ+o°¶µ 7·¾¸Ã»p'~ ¢Ä¼ es gibt ein v ³ ´°¶µ ;·¹¸ ÅÆHÇÈ"p's gilt Für eine Formel mit ³ ¹°Ëµ ;·¹¸ÅÆÌÇ»ps Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 132 3. Logik Prädikatenlogik Variablenbindungen }+¿ É+ ¿ + ° Definition 3.20. Tritt eine Variable in einer Formel in einer Teilforoder auf, so ist eine gebundene Variable. mel der Form + + Tritt in einer Formel ohne umgebenden Quantor auf, so ist Variable. Eine PL1-Formel auftritt. + 4 76;6<6; + 8 ° heißt geschlossen gdw. in } + 4 6<6;6 } + 8 ° ° ° + eine freie keine freie Variable die in einer Formel frei auftretenden Variablen sind, Wenn dann heißt die Formel der Allabschluss von . Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 ° 133 3. Logik Prädikatenlogik Variablenbindungen (2) + eine Variable und v eine Konstante. + nur frei: zÍ + ÃÎ + + nur gebunden (Allabschluss): } + zà + ÎÍ + + sowohl frei als auch gebunden: zÍ + Á É+ ÎÍ + Ï + nur gebunden (Allabschluss): } + uzà + Á É+ Îà + ÏÏ zÍvk ÎÃuv Grundformel: Beispiel 3.15. Es sei Wissensverarbeitung und Data Mining — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 134