vierseitig
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3. Logik
Prädikatenlogik
Prädikatenlogik
In der Aussagenlogik ist es nicht möglich, Aussagen über ganze Klassen von Objekten zu machen, so daß Schlußfolgerungen für individuelle
Objekte möglich sind.
Es sei gegeben:
Martin ist ein Informatiker. Peter ist ein Informatiker.
Jeder Informatiker kann programmieren.
Wir wollen folgern:
3. Logik
Prädikatenlogische Signatur (2)
.
Prädikatenlogik
besteht aus
heißt Konstante.
hat eine feste Stelligkeit
von Prädikatensymbolen.
von Funktionssymbolen und
Definition 3.12. Eine (PL1-)Signatur
einer Menge
einer Menge
Jedes Symbol
Ein Funktionssymbol mit der Stelligkeit
124
Martin kann programmieren. Peter kann programmieren.
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Prädikatenlogik
122
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3. Logik
Prädikatenlogik
ist ein PL1-Term.
3. Logik
PL1-Terme
Prädikatenlogische Signatur
Funktionssymbole dienen zur Beschreibung von funktionalen Eigenschaften der Objekte. In Verbindung mit Variablen zur Darstellung von
Objekte werden Terme gebildet.
ist ein PL1-Term.
Mit der Prädikatenlogik (1. Stufe) wollen wir Sachverhalte beschreiben,
die folgendes enthalten können.
Definition 3.13. Es sei eine Menge von Variablensymbolen und
sei eine PL1-Signatur. Dann ist die Menge
der
(PL1-)Terme wie folgt definiert:
1. Jedes Variablensymbol
Objekte, z.B. Personen oder Sachen
125
ein -stelliges Funktionssymbol (
) und sind
PL1-Terme, so ist auch
ein PL1-Term.
Funktionen auf den Objekten, z.B. Größe, Gewicht, Hochzeitstag
2. Jedes nullstellige Funktionssymbol aus
3. Ist
Eigenschaften von Objekten
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Beziehungen zwischen Objekten
Aussagen über Objekte, auch quantifizierende
123
Wie in der Aussagenlogik brauchen wir dazu zunächst einen Vorrat an
Bezeichnern.
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3. Logik
Prädikatenlogik
3. Logik
Prädikatenlogik
PL1-Formeln (2)
PL1-Formeln
Definition 3.15. Es sei ! eine Menge von Variablensymbolen und "$#&%('*)*+-,/.10/2436587 sei eine PL1Signatur. Dann ist die Menge '4Y=2QPZ38[QRS%T!\7 der PL1Formeln wie folgt definiert:
Auf Basis der Terme können wir nun die Formeln
der Prädikatenlogik definieren.
1. Jede atomare Formel über
Formel.
2. Sind
]
und
_
^
"
und
!
ist eine PL1-
PL1-Formeln, dann sind auch
Definition 3.14. Es sei ! eine Menge von Variablensymbolen und "$#&%('*)*+-,/.10/2436587 sei eine PL1Signatur. Dann ist die Menge der atomaren Formeln
über " und ! wie folgt definiert:
1. Jedes nullstellige Prädikatensymbol 9;:<08283=5 ist
eine atomare Formel.
]`.a]cbd^\.e]gf?^\.a]ihj^\.a]ikj^
2. Ist 9>:?08283=5 ein @ -stelliges Prädikatensymbol mit
@BADC und gilt EGFH.JIJIJIJ.KEKLM:?NO362QPORS%T!U7 , so ist auch
PL1-Formeln.
3. Ist ] eine PL1-Formel und l>:m! , dann sind auch
9V%WE F .HIXIHIJ.KE L
7
n
lo]p.rqolo]
eine atomare Formel.
Pl1-Formeln.
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einer nichtleeren Menge , der Trägermenge
(Grundbereich, Universum),
v
x
z
{|
}
u
v
x
sowie einer Abbildung , die jedem @ -stelligen
Funktionssymbol >:d'*)*+o, eine @ -stellige FunktiL
on %T78 h zuordnet und
~
|
128
129
ts
ts
st
u
u
u
vwx
vwx
y
y
u
v
x
}
{|
|
z
y
~
vwx
Prädikatenlogik
jedem @ -stelligen Prädikatensymbol 9B:B0/24365 eiL
ne @ -stellige Relation %9o7 zuordnet.
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PL1-Formeln (3)
Definition 3.16. Es sei "
#%('=)/+-,*.108283=5/7 eine PL1Signatur. Eine " -Interpretation M#%.GH7 besteht
aus:
u
126
3. Logik
Bisher haben wir wieder nur die syntaktische Struktur von Formeln festgelegt. Wir müssen nun die
Funktion-, Prädikaten- und Variablensymbole mit einer Bedeutng belegen.
Beispiel 3.14. Den anfangs dargestellten Sachverhalt könnten wir
durch folgende Formeln ausdrücken.
Interpretation
Die Frage, ob Martin und Peter programmieren können, würde dann als
PL1-Formel lauten:
Prädikatenlogik
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3. Logik
127
3. Logik
Für
Aussagenlogik.
Für eine Formel
Für eine Formel
gilt:
gilt:
und
gilt
mit
Prädikatenlogik
Prädikatenlogik
132
gelten die selben Regeln wie in der
für jedes
es gibt ein
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3. Logik
Eine PL1-Formel
auftritt.
heißt geschlossen gdw. in
eine freie
keine freie Variable
133
Wenn
die in einer Formel frei auftretenden Variablen sind,
dann heißt die Formel
der Allabschluss von .
³
Prädikatenlogik
Tritt in einer Formel ohne umgebenden Quantor auf, so ist
Variable.
³
3. Logik
Variablenbindungen
w
w
³
³
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PL1-Semantik
¾
Definition 3.20. Tritt eine Variable in einer Formel in einer Teilformel der Form
oder
auf, so ist eine gebundene Variable.
¿À
¿À
¾
³
³
½
zu ,
Á
»
an der Stelle
unter
¨
·¸
©
·¸
³
{
{
©
¶¶
¶¶
µµ
³
µµ
¬
Q%T7H%e EGFr WH¡ ¢o.XIHIJIJ.¦ E1L6 (H¡ ¢O7
in
»
#
eine -Interpretation, eine Meneine Variablenbelegung.
gilt:
³
130
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131
©
©
¨
»
º
º
³
³
»
w
w
Á
¼
¶¶
©
·¸
©
·¸
³
¬
»
³
³
³
µµ
Á
µµ
³
{
«
¶¶
S%WEGFH.JIJIJIH.1EKL87 (H¡ ¢
§
©
©
¤%(l7
¹
#
«
¨
für l¥:¥!
lO H¡ ¢
ª
² ©
{
­
©
ª
«¬
±
º
³
©
·¸
¶¶
¹
w
Definition 3.18. Gegeben sein ein Term E
:
N43=2QP R %T!U7 , eine " -Interpretation #% .G 7 und eine Variablenbelegung ;/!h .
µµ
«
®
©
·¸
¯°
Die Termauswertung von E in unter ist die wie
folgt definierte Funktion X (H¡ ¢£6NO3626P4R%T!U7h :
¶¶
©
·¸
Definition 3.19. Es sei
ge von Variablensymbolen und
´
Prädikatenlogik
3. Logik
bezeichne die Modifikation von
d.h:
für
für
Dann ist der Wahrheitswert einer Formel
(geschrieben
) wie folgt definiert:
¶¶
·¸
­
Für eine atomare Formel
«
®
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u
µµ
¨
Es sind noch nicht alle sprachlichen Symbole der
PL mit einer Bedeutung belegt, es fehlen noch die
Variablen.
©
¶¶
©
³
µµ
¨
¬
¹
µµ
#
% .G 7
eine " Definition 3.17. Es sei
Interpretation und ! eine Menge von Variablensymbolen. Dann ist eine Variablenbelegung eine
Funktion ;/!ih .
§
Termauswertung
¬
¯°
3. Logik
eine Variable und
eine Konstante.
Variablenbindungen (2)
Beispiel 3.15. Es sei
nur frei:
nur gebunden (Allabschluss):
sowohl frei als auch gebunden:
nur gebunden (Allabschluss):
Â
Á
Â
Â
Á
{
¼
¼
~
~
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Â
Â
~
~
~
Grundformel:
{
{
Prädikatenlogik
134
