Prädikatenlogik - www2.inf.h

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3. Logik
Prädikatenlogik
Prädikatenlogik
In der Aussagenlogik ist es nicht möglich, Aussagen über ganze Klassen von Objekten zu machen, so daß Schlußfolgerungen für individuelle
Objekte möglich sind.
Es sei gegeben:
Martin ist ein Informatiker. Peter ist ein Informatiker.
Jeder Informatiker kann programmieren.
Wir wollen folgern:
Martin kann programmieren. Peter kann programmieren.
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3. Logik
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Prädikatenlogik
Prädikatenlogische Signatur
Mit der Prädikatenlogik (1. Stufe) wollen wir Sachverhalte beschreiben,
die folgendes enthalten können.
Objekte, z.B. Personen oder Sachen
Funktionen auf den Objekten, z.B. Größe, Gewicht, Hochzeitstag
Eigenschaften von Objekten
Beziehungen zwischen Objekten
Aussagen über Objekte, auch quantifizierende
Wie in der Aussagenlogik brauchen wir dazu zunächst einen Vorrat an
Bezeichnern.
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3. Logik
Prädikatenlogik
Prädikatenlogische Signatur (2)
Definition 3.12. Eine (PL1-)Signatur
besteht aus
von Funktionssymbolen und
von Prädikatensymbolen.
einer Menge
hat eine feste Stelligkeit "! .
Jedes Symbol Ein Funktionssymbol mit der Stelligkeit ! heißt Konstante.
einer Menge
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3. Logik
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Prädikatenlogik
PL1-Terme
Funktionssymbole dienen zur Beschreibung von funktionalen Eigenschaften der Objekte. In Verbindung mit Variablen zur Darstellung von
Objekte werden Terme gebildet.
#
% '&)(* # $
Definition 3.13. Es sei eine Menge von Variablensymbolen und
sei eine PL1-Signatur. Dann ist die Menge
der
(PL1-)Terme wie folgt definiert:
1. Jedes Variablensymbol
+,-#
ist ein PL1-Term.
/. ist ein PL1-Term.
ein 1 -stelliges Funktionssymbol (1 2 ) und sind
3. Ist 0 354 7676767 398 PL1-Terme, so ist auch 0 3:4 7676;6< 38 ein PL1-Term.
2. Jedes nullstellige Funktionssymbol aus
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PL1-Formeln (2)
Prädikatenlogik
eine Menge von VariaDefinition 3.15. Es sei
blensymbolen und
sei eine PL1der PL1Signatur. Dann ist die Menge
Formeln wie folgt definiert:
3. Logik
N=
`
_
`G
d
_
`G
_b
_ aG
=
`G
_c
Pf
_
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eine atomare Formel.
N=
h_
fg G
_f
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, dann sind auch
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ein -stelliges Prädikatensymbol mit
und gilt
, so ist auch
A[
N
Y P LJZ XT WG
VVVG
TXWG A [email protected] U
Q VVGV
[email protected]
ML
IP J
O SR
Q
Pl1-Formeln.
_
e
eine PL1-Formel und
`
2. Ist
1. Jedes nullstellige Prädikatensymbol
eine atomare Formel.
ist
eine Menge von VariaDefinition 3.14. Es sei
blensymbolen und
sei eine PL1Signatur. Dann ist die Menge der atomaren Formeln
über und wie folgt definiert:
>
3. Ist
PL1-Formeln
Prädikatenlogik
Auf Basis der Terme können wir nun die Formeln
der Prädikatenlogik definieren.
3. Logik
=
PL1-Formeln.
ist eine PL1-
PL1-Formeln, dann sind auch
>
und
und
=
2. Sind
1. Jede atomare Formel über
Formel.
A^ [
NML L
IKFHJ G JZ
B]\
E
= A BDC
>@?
NML
IKFHJ G
E
= A BDC
>@?
ML
IKP J
O
3. Logik
Prädikatenlogik
PL1-Formeln (3)
Beispiel 3.14. Den anfangs dargestellten Sachverhalt könnten wir
durch folgende Formeln ausdrücken.
i kjlm&onmpoq<rskut v
w 3yx 1 i kjlm&onmpoq<rskuz|{ 3 {<w
} + i jl'&~n'p~q<rs) + € l
n‚&
&qƒ~ + Die Frage, ob Martin und Peter programmieren können, würde dann als
PL1-Formel lauten:
l
n‚&
&qXout v w 39x 1 …„l'nƒ&&†qXouz‡{ 3 {7wˆ
Q
 ‹ FE
BP C
 ŒŠ ‹
d
ŠNW  ‹
A
‹
Ž
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ei-
Ž
Q
ŠW ‹
NA ‘ O
‹
Q
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Ž
Q
ML
IP J
O
jedem -stelligen Prädikatensymbol
zuordnet.
ne -stellige Relation
ŠŒ‹
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sowie einer Abbildung , die jedem -stelligen
eine -stellige FunktiFunktionssymbol
zuordnet und
on
>
einer nichtleeren Menge
, der Trägermenge
(Grundbereich, Universum),
eine PL1besteht
N M L N ‹ G
IKFJ G A ŠŒ‹
E ‰?
A BDC
>?
Definition 3.16. Es sei
Signatur. Eine -Interpretation
aus:
Bisher haben wir wieder nur die syntaktische Struktur von Formeln festgelegt. Wir müssen nun die
Funktion-, Prädikaten- und Variablensymbole mit einer Bedeutng belegen.
3. Logik
Interpretation
Prädikatenlogik
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=
ŠŒd ‹
’
N=
A[
Y LJZ
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für
“
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ist die wie
:
?–
f”“ ‹ •
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=
A ŠŒ‹
‰ ? ŒŠ ‹
d
=
’
>
’ NA = =
[ P
f
Z
J
L
Y
‰
T ” ‹ – • NA f’
“
unter
A ŠŒ‹
‰?
‹G
N –•
”“ T ‹ W
GV
–VGV •
”“A T—‹U
NA
‹
?–
•
N” T ‹ W
GV
TA —U VGV
ŠŒd ‹
in
‹G
N
Die Termauswertung von
folgt definierte Funktion
N
’
T
P
Definition 3.18. Gegeben sein ein Term
, eine -Interpretation
und ei.
ne Variablenbelegung
eine Definition 3.17. Es sei
Interpretation und
eine Menge von Variablensymbolen. Dann ist eine Variablenbelegung eine
.
Funktion
Es sind noch nicht alle sprachlichen Symbole der
PL mit einer Bedeutung belegt, es fehlen noch die
Variablen.
Termauswertung
Prädikatenlogik
3. Logik
>
Prädikatenlogik
PL1-Semantik
-Interpretation, # eine Men˜ š™œ›ƒžŸ› eine
¡£¢# ¤  ™¥› eine Variablenbelegung.
¡§¦ƒ¨ª©«¢o# ¤  ™œ› bezeichne die Modifikation von ¡ an der Stelle + zu v ,
d.h:
3 für +¯ ® 3
€
­
3
v für + 3
¡§¦ƒ¨¬©
lm&o
±m(² # in ˜ unter ¡
Dann ist der Wahrheitswert einer Formel ° ›;·¹¸ ) wie folgt definiert:
(geschrieben ³ ´°¶µ
3:4 7676767 38 gilt:
Für eine atomare Formel º
³ º 3 4 7676767 3 8 µ ›;·¹¸ »ps ¢½¼ ³ 3 4 µ ›;·¹¸ ;6<6;67 ³ 3 8 µ ›7·¾¸  › º Definition 3.19. Es sei
ge von Variablensymbolen und
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„À¿À °¯Á À¿ °  ¿
Für °
3. Logik
Aussagenlogik.
} +o° gilt:
³ } +o°¶µ ›;·¹¸Ã»ps ¢Ä¼
und
Â*°
Prädikatenlogik
gelten die selben Regeln wie in der
Für eine Formel
für jedes
v œ™ ›
É +o° gilt:
³ ÊÉ+o°¶µ ›7·¾¸Ã»p'~ ¢Ä¼ es gibt ein v œ™ ›
³ ´°¶µ ›;·¹¸
ÅÆHÇÈ"p's
gilt
Für eine Formel
mit
³ ¹°Ëµ ›;·¹¸ÅÆÌÇ»ps
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3. Logik
Prädikatenlogik
Variablenbindungen
}+¿
É+ ¿
+
°
Definition 3.20. Tritt eine Variable in einer Formel in einer Teilforoder
auf, so ist eine gebundene Variable.
mel der Form
+
+
Tritt in einer Formel ohne umgebenden Quantor auf, so ist
Variable.
Eine PL1-Formel
auftritt.
+ 4 76;6<6; + 8
°
heißt geschlossen gdw. in
} + 4 6<6;6 } + 8 ° °
°
+
eine freie
keine freie Variable
die in einer Formel frei auftretenden Variablen sind,
Wenn
dann heißt die Formel
der Allabschluss von .
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°
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3. Logik
Prädikatenlogik
Variablenbindungen (2)
+ eine Variable und v eine Konstante.
+ nur frei: zÍ + œ ÃÎ + + nur gebunden (Allabschluss): } + zà + € ÎÍ + + sowohl frei als auch gebunden: zÍ + Á É+ ÎÍ + Ï
+ nur gebunden (Allabschluss): } + uzà + Á É+ Îà + ÏÏ
zÍvkœ ÎÃuv
Grundformel:
Beispiel 3.15. Es sei
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