1 Strömungsmechanische Grundlagen 1

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1-i
1 Strömungsmechanische Grundlagen
1
Strömungsmechanische Grundlagen
1
1.1
Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten
1.1.1
Fluide
1.1.2
Extensive und intensive Größen
1.1.3
Zähigkeit und Fließverhalten
1
1
2
4
1.2
Bilanzgleichungen
10
1.3
Hydrostatik
1.3.1
Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik
1.3.2
Auftrieb
1.3.3
Gleichgewicht und Druckverteilung beim Vorhandensein allgemeiner
Volumenkräfte
12
12
16
1.4
Kinematik
1.4.1
Kinematische Grundbegriffe
1.4.2
Kontinuitätsgleichung
1.4.3
Eulersche und Bernoullische Gleichung für stationäre Strömungen
1.4.4
Einfache Anwendungen der Bernoullischen Gleichung
1.4.5
Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömungen
1.4.6
Impulssatz
1.4.7
Energieerhaltung
20
21
23
25
28
32
33
39
1.5
Zusammenfassung
42
1.6
Literatur
42
1.7
Index
43
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1-ii
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Learning Outcome
• Definition der Begriffe Fluid, Kontinuum, extensive und intensive Größen
• Fließverhalten von newtonschen, strukturviskosen und dilatanten Fluiden
• Methodik der Bilanzierung von Energie-, Impuls- und Stoffströmen
• Hydrostatik: Druck- und Auftriebskräfte aus einfachen Kräftebilanzen (Eulersches
Grundgesetz der Hydrostatik, Archimedisches Prinzip)
• Kinematik: Beschreibung der Bewegung eines Fluids, wobei der Ortsvektor eines Fluidelements in Abhängigkeit von der Zeit bestimmt wird
• Die Erhaltungssätze von Masse (Kontinuitäts-Gleichung), Impuls (Impulssatz) und
Energie (Energieerhaltung).
• Euler-Gleichung: Druck- und Geschwindigkeitsverläufe in einer reibungsfreien Strömung, Vereinfachung für stationären Fall: Bernoulli-Gleichung
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1-1
1 Strömungsmechanische Grundlagen
1
Strömungsmechanische Grundlagen
Energie- und Stofftransportvorgänge können durch verschiedene Mechanismen erfolgen, so
basieren Wärmeleitung bzw. Diffusion auf molekularem Transport. Energie kann weiterhin
durch Strahlung übertragen werden. Für technische Anwendungen ist jedoch der konvektive
Transport von weitaus größerer Bedeutung. Neben Energie und Stoff wird dann auch noch der
Strömungsimpuls übertragen. Der konvektive Energie-, Impuls- und Stofftransport ist also an
die Bewegung von Materie gebunden, wobei es sich nahezu ausschließlich um Flüssigkeiten
oder Gase handelt. In diesem Kapitel werden deshalb zunächst wesentliche Eigenschaften von
gasförmigen bzw. flüssigen Stoffen behandelt. Hieran schließt sich die Betrachtung von ruhenden Fluiden an, bei der vor allem das Druckfeld innerhalb eines solchen hergeleitet wird. Den
Abschluss des Kapitels bilden einige fundamentale Beziehungen der Kinematik reibungsfreier
Fluide, die im Wesentlichen auf der eindimensionalen Stromfadentheorie beruhen.
1.1
Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten
Bei festen Körpern und Flüssigkeiten befinden sich die Moleküle alle ungefähr im sogenannten
stabilen Abstand voneinander, so dass sie sowohl der Verringerung als auch der Vergrößerung
des Molekülabstandes und damit ihres Volumens einen großen Widerstand entgegen setzen. Der
Molekülabstand liegt dabei in der Größenordnung des Moleküldurchmessers von etwa 10-10 m.
In Flüssigkeiten sind die Moleküle wie in amorphen Festkörpern unregelmäßig angeordnet, die
Schwingungsamplituden sind allerdings größer und die Platzwechsel wesentlich häufiger. Die
mittlere Lage der Moleküle zueinander ändert sich also permanent.
In einem Gas beträgt der mittlere Abstand der Moleküle bei normalem Druck und Umgebungstemperatur etwa das Zehnfache des stabilen Molekülabstandes von 10-10 m. Die potenzielle
Energie der Anziehungskraft der benachbarten Moleküle ist gegenüber der kinetischen Energie
ihrer Bewegung zu vernachlässigen. Die Moleküle bewegen sich im Wesentlichen unbeeinflusst
voneinander im Raum, wobei es allerdings zu Zusammenstößen zwischen Molekülen kommt.
Die mittlere freie Weglänge zwischen zwei solchen Zusammenstöße beträgt unter Normbedingungen (1 bar, 20°C) ca. 10-7 m, also etwa das Hundertfache des Molekülabstands. Die Bewegungsgeschwindigkeit liegt dabei zwischen 50-70 m/s.
1.1.1
Fluide
Viele Eigenschaften von Gasen und Flüssigkeiten lassen sich durch ein Modellmedium beschreiben: das Fluid. Ein Fluid ist definitionsgemäß durch zwei Eigenschaften bestimmt:
−
Es ist ein Kontinuum.
−
Es kann in der Ruhe an der Oberfläche lediglich Druckkräfte, also weder Zug- noch Scherkräfte (Kräfte tangential zur Oberfläche) aufnehmen.
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
In der Literatur wird der Begriff Fluid abweichend von dieser strengen Definition häufig als
bloßer Sammelbegriff für Flüssigkeiten und Gase verwendet.
Ein Kontinuum lässt sich mit ausreichender Präzision durch das folgende mathematische Modell
erklären:
−
Es besteht aus Teilchen, die wie Punkte keine Ausdehnung und keine Zwischenräume
besitzen. Man kann deshalb jedem Teilchen X des Fluids (in einem bewegten Fluid: zu jer
dem Zeitpunkt t) einen Punkt x des Raumes zuordnen:
r
X = X(x, t )
−
(1.1)
Die charakteristischen physikalischen Größen wie Dichte, Geschwindigkeit, Druck, Temperatur sind Eigenschaften der Teilchen und der Zeit. Wenn also ψ eine solche Größe ist,
dann gilt unter Verwendung von Gl. (1.1):
r
r
ψ = ψ(X, t ) = ψ (X(x, t ), t ) = ψ (x, t )
(1.2)
die Größe ψ lässt sich also wie das Teilchen X als Funktion von Ort und Zeit darstellen.
Eine solche Größe wird als eine Feldgröße bezeichnet.
−
Im Allgemeinen ändern sich die Feldgrößen von Teilchen zu Teilchen und damit auch von
Punkt zu Punkt stetig; die Funktionen ψ (s. Gl. (1.2)) sind dann stetige Funktionen. Es ist
aber auch zugelassen, dass Feldgrößen auf beiden Seiten einzelner Flächen verschiedene
Werte annehmen; eine solche Fläche nennt man eine Diskontinuitätsfläche. Diese treten
z.B. an Phasengrenzen auf.
Ein Fluid kann definitionsgemäß keine Schubspannungen aufnehmen. Noch so geringfügige
Schubspannungen führen demzufolge zu einer Formänderung also einer Bewegung, welche die
Schubspannung abbaut. Als Folge dieser Eigenschaft bedeckt eine ruhende Flüssigkeit unter
dem Einfluss der Schwerkraft den waagerechten Boden eines Gefäßes stets vollständig. (Diese
Betrachtung setzt eine ausreichende Flüssigkeitsmenge voraus, sodass z. B. keine Tropfenbildung aufgrund der Grenzflächenspannung auftritt.)
1.1.2
Extensive und intensive Größen
Eine wesentliche Eigenschaft eines Fluids besteht in dem möglichen Grenzübergang von der
Masse M zur Massendichte (kurz: Dichte ρ ):
ρ≡
dM
dV
(1.3)
und somit auch
dM = ρ dV ,
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M = ∫ ρ dV
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(1.4)
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dV wird als Volumenelement und dM als Massenelement bezeichnet.
Mit diesen Elementen können Rechnungen wie mit den Differenzialen der Infinitesimalrechnung ausgeführt werden. Physikalisch charakterisiert ein Volumenelement dV nichts anderes als
ein kleines Volumen, dessen Abmessungen allerdings wesentlich größer als atomare Größenordnungen sind.
Ein analoger Grenzübergang kann auch für die sog. Massen- oder Volumenkräfte durchgeführt
werden unter Definition der Kraftdichte:
r
r
r dF
d
F
1
V
V
f≡
=
dM ρ dV
(1.5)
r
Vereinbarung: F bezeichnet, wenn nichts anderes ausdrücklich festgelegt, immer die von außen
auf die betrachtete Fluidmenge ausgeübte Kraft.
Von ebenso großer Bedeutung sind die an Oberflächen bzw. Oberflächenelementen angreifenr
den Kräfte. Wirkt auf ein Oberflächenelement dA die Oberflächenkraft dFO , dann ergibt sich
r
der Spannungsvektor τ durch:
r
r dFO
τ≡
dA
(1.6)
Sowohl Kraftdichte als auch Spannungsvektor sind mit Ausnahme der Diskontinuitätsflächen
stetige Funktionen des Ortes.
Grundsätzlich lassen sich zwei verschiedene Arten von physikalischen Größen unterscheiden: es
gibt einerseits Größen wie die Dichte, das spezifische Volumen, die Kraftdichte und den Spannungsvektor, die für jeden Punkt des Raumes definiert sind, und es gibt andererseits Größen wie
das Volumen, die Fläche (offene Fläche oder Oberfläche), die Masse, die Volumenkraft, die
Oberflächenkraft und die (Gesamt-)Kraft, die nur für einen räumlichen Bereich, d.h. ein Volumen, eine Fläche oder (was hier nicht vorgekommen ist) eine Kurve definiert sind. Größen, die
für den Punkt definiert und deshalb mathematisch Funktionen des Ortes sind, werden als intensive Größen bezeichnet; Größen, die für einen räumlichen Bereich definiert sind und die deshalb
nicht Funktionen des Ortes sind, heißen extensive Größe. Dass extensive Größen keine Funktionen des Ortes sind, erkennt man auch daran, dass sie mit intensiven Größen über Bereichsintegrale (Volumen-, Flächen- oder Kurvenintegrale; vgl. Gl. (1.4)) zusammenhängen und solche
Bereichsintegrale sind bestimmte Integrale über die Ortskoordinaten.
Intensive Größen wie die Dichte lassen sich nur in Kontinuen als stetige Funktionen definieren,
sie sind sogar die für Kontinuen typischen Größen. Extensive Größen wie die Kraft sind sowohl
für Kontinuen wie für diskontinuierliche Systeme (z.B. Massenpunkte, Systeme von Massenpunkten) sinnvoll. Aus der Definition von extensiven Größen als Bereichsintegralen resultiert
die folgende wichtige Eigenschaft: Teilt man einen Bereich in mehrere Teilbereiche, so ist die
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extensive Größe für den Gesamtbereich gleich der Summe der extensiven Größen für die Teilbereiche.
Intensive wie extensive Größen können Skalare (Dichte, spezifisches Volumen; Masse) oder
Vektoren (Kraftdichte, Spannungsvektor, Kraft) oder Tensoren höherer Stufe sein.
1.1.3
Zähigkeit und Fließverhalten
Materie setzt der Verschiebung ihrer Moleküle gegeneinander einen Widerstand entgegen. Die
einfachste Konfiguration zur Untersuchung dieser Eigenschaft ist die ebene Scherung: Man
bringt die Materialprobe zwischen zwei parallele Platten und verschiebt z.B. die obere gegen die
untere. Diese Verschiebung überträgt sich infolge der Wandhaftung auf die Materialprobe, und
deren Widerstand gegen die Scherung lässt sich als Schubspannung an den Platten messen.
Bei Fluiden kann eine einmalige Verschiebung der einen Platte nicht zu einer Schubspannung
führen: Sobald die Fluidteilchen ihre neue Lage eingenommen haben, ist das Fluid wieder in
Ruhe und kann dann definitionsgemäß keine Schubspannung mehr übertragen. In einem Fluid
kann eine Schubspannung also nur auftreten, solange sich die eine Platte bewegt und damit
zwischen den Platten eine Scherströmung aufrechterhält wie in Abb. 1.1 dargestellt.
F
bewegt
w = wx
L
y
x
fest
Abb. 1.1 : Ebene Schichtenströmung.
In vielen Fällen hängt die Schubspannung nur vom Verhältnis der Plattengeschwindigkeit w
zum Plattenabstand L ab; dieses Verhältnis ist gleich der zeitlichen Änderung des Scherwinkels, der sogenannten Schergeschwindigkeit oder Scherrate γ& = w / L :
⎛w⎞
τ = f (γ& ) = f ⎜ ⎟ .
⎝L⎠
(1.7)
Grundsätzlich bezeichnet man Medien mit einem solchen Verhalten als viskos oder zäh. Im
einfachsten Fall ist die Schubspannung proportional zur Schergeschwindigkeit; man führt dann
im Allgemeinen die Querkoordinate y und die Geschwindigkeit w (y ) zwischen den Platten ein
und schreibt
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τ=η
dw
dy
(1.8)
.
Solche Medien nennt man linear-viskos oder Newtonsche Fluide. Die Gleichung (1.8) bezeichnet man auch als den Newtonschen Schubspannungsansatz. Die Proportionalitätskonstante η
heißt Viskosität oder Zähigkeit; zur Unterscheidung von der häufig verwendeten Größe
ν=
η
,
ρ
(1.9)
die man kinematische Zähigkeit nennt, heißt η auch dynamische oder absolute Zähigkeit. Auch
der Ausdruck Scherviskosität ist gebräuchlich. η ist zunächst von Stoff zu Stoff verschieden,
darüber hinaus aber auch eine Funktion der Temperatur. Genau genommen hängt η sogar noch
vom Druck ab, die Druckabhängigkeit kann aber fast immer vernachlässigt werden. Die kinematische Viskosität ν lässt sich auch als massenspezifische Viskosität interpretieren.
Viskositäten werden in eindimensionalen Strömungen gemessen. Daher wird das Flüssigkeitsverhalten eingeteilt nach den Scherkräften, die unter eindimensionaler Beanspruchung entstehen. Die entsprechenden grafischen Darstellungen (s. Abb. 1.2) werden als Fließkurven bezeichnet.
Schubspannung τ
B in
gha
τ0
st
ru
m
u
kt
r vi
sk
os
1
n<
d il a
0
0
Scherrate
ta
nt
n>
1
dw
dy
Abb. 1.2 : Fließkurven für verschiedene Fluide
Newtonsche Fluide
Newtonsche Fluide zeigen keinerlei Veränderung der Viskosität unter verschiedenen Scherbeanspruchungen, d. h. die entsprechenden Fließkurven stellen Geraden dar, deren Steigung der
Viskosität η entspricht.
Abb. 1.3 enthält dynamische Viskositäten einer größeren Zahl von Stoffen als Funktion der
reziproken Temperatur. Die Darstellung zeigt, dass die Zahlenwerte der Gasviskositäten alle
etwa innerhalb einer Zehnerpotenz liegen. Dagegen unterscheiden sich diejenigen der FlüssigFachgebiet Verfahrenstechnik
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keiten um mehr als 5 Zehnerpotenzen. Grundsätzlich ergibt sich die Viskosität als innerer Widerstand gegen eine Bewegung aufgrund der Molekularbewegung. Diese führt zu Zusammenstößen von Molekülen unterschiedlicher mittlerer Geschwindigkeiten und demzufolge zu einem
Impulsaustausch. Makroskopisch wird dies als Schubspannung erkennbar. Aufgrund der niedrigen Dichte von Gasen ist die Zahl derartiger Molekülstöße gering und damit deren Viskosität
klein. Wegen der hohen Dichte der Flüssigkeiten ist die Zahl der Molekülstöße und daher auch
deren dynamische Viskosität verhältnismäßig groß. Während Gase mit steigender Temperatur
zäher werden, fällt die Viskosität der Flüssigkeiten in aller Regel mit T ab. Dafür verantwortlich
sind zwei unterschiedliche Mechanismen, von denen der eine in Flüssigkeiten, der andere in
Gasen überwiegt. In Flüssigkeiten müssen bei einer Scherung die intermolekularen Anziehungskräfte überwunden werden. Diese Kräfte werden mit steigender Temperatur in der Regel schwächer, weil sich die Flüssigkeit ausdehnt und der mittlere Abstand wächst. Zusätzlich steigt die
mittlere kinetische Energie der Moleküle und damit die Häufigkeit von Platzwechseln. Beides
führt zu verringerter Zähigkeit bei steigender Temperatur. Da sich die Flüssigkeitsdichte kaum
mit dem Druck ändert, kann die Druckabhängigkeit der Viskosität von Flüssigkeiten fast immer
vernachlässigt werden.
Temperatur in °C
1000 500 300 200
10 2
50
0
-50
-100
Gase
Flüssigkeiten
Gly
ce
rin
Schwefel
kg
ms
dynamische Viskosität η
100
10 0
10 -1
10 -2
P
B le i
10 -3
10 -4
Qu ecksilb er
yl D T
D ip h
se r
W as
W a sserst of
10 -5
10 -6
0
ly k
th
er
u
n- B
tan
ol
E th
K o h le
n d io x
a no
M et
B e n zin
W asser
Methan
g
oly
e
ol
id
h an
D ie th y
nia k
mo
Am
Helium
l
ol
le th e r
Luft
f
0,002
0,004
1/K
0,006
reziproke Temperatur 1/T
Abb. 1.3 : Dynamische Viskosität von verschiedenen Gasen und Flüssigkeit abhängig von der
Temperatur [Kraume 2004].
Der mittlere Molekülabstand bei Gasen ist um etwa eine Größenordnung höher als der von
Flüssigkeiten. Daher können intermolekulare Kräfte zwischen ihnen häufig vernachlässigt
werden (ideale Gase; die Viskosität ist deshalb für ideale Gase bis zu Drücken von 100 bar
nahezu druckunabhängig, obwohl die Molekülabstände bei dieser Druckänderung stark abnehFachgebiet Verfahrenstechnik
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men und damit die zwischen den Molekülen wirkenden Kräfte um Zehnerpotenzen anwachsen).
Mit steigender Temperatur nimmt die Molekularbewegung und damit die Zahl der Molekülzusammenstöße und in der Konsequenz auch die Zähigkeit zu. Die kinetische Gastheorie führt zu
einem Viskositätsanstieg mit T1 2 .
Die in Abb. 1.3 gewählte Auftragungsform zeigt, dass für viele Flüssigkeiten zumindest in
erster Näherung eine Proportionalität
ln η ~
1
T
besteht, da sich ein annähernd linearer Verlauf in dem Diagramm ergibt. Dieser Zusammenhang
kann durch einfache Modellvorstellungen auf molekularer Ebene abgeleitet werden /Eyr 36/.
Das reale Verhalten zeigt allerdings durchaus mehr oder weniger starke Abweichungen von der
einfachen Proportionalität.
Tab. 1.1 unterstreicht nochmals, dass die Transportkoeffizienten von Flüssigkeiten in der Regel
größer als die von Gasen sind.
Tabelle 1.1: Stoffdaten verschiedener Gase und Flüssigkeiten bei 20 ˚C und 1 bar
Luft
O2
N2
H2
CO2
H2O
Ethanol
Glycerin
Jodwasserstoff
Quecksilber
Olivenöl
Honig
1)
ρ
[kg/m³]
1,19
1,33
1,15
0,08
1,95
998,21
789
1260
5,39
136001)
9101)
η
[mPas]
0,018
0,020
0,017
0,008
0,0138
1,002
1,201
1480
636 ⋅ 103
1,500
1 ⋅ 103
50 ⋅ 103
ν
[10-6 m²/s]
15,35
15,26
15,31
106,19
7,05
1,0
1,52
1174,6
118,0
0,11
1100,0
λ
[10-3 W/mK]
25,69
26
25,6
179
14,64
598,4
173
286
6
8330
15,2
a
[10-6 m²/s]
21,47
21,43
21,38
149,22
9,08
0,14
0,09
0,10
4,93
4,9
0,01
0 °C und 1 bar
Nicht-Newtonsche Fluide
Im Gegensatz zu Newtonschen Fluiden resultiert bei nicht-Newtonschen Fluiden aus der Änderung der Scherbeanspruchung eine veränderte Viskosität. Die wesentlichen nicht-Newtonschen
Fluide werden im Folgenden dargestellt.
Pseudoplastische oder strukturviskose Flüssigkeiten zeigen eine Viskositätsabnahme mit steigender Scherbeanspruchung dw / dy (Abb. 1.2). In Abb. 1.4 ist exemplarisch die Abhängigkeit
der Viskosität einer Polyacrylamidlösung von der Scherrate direkt aufgetragen. Für kleine
Scherraten ergibt sich ein konstanter Wert der Viskosität η0 , während bei sehr hohen ScherraFachgebiet Verfahrenstechnik
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ten ebenfalls ein konstanter, aber geringerer Viskositätswert η∞ erreicht wird. Dieses Verhalten
erklärt sich bei Polymerlösungen oder -schmelzen durch die Streckung der Molekülketten infolge der Scherung. Die Moleküle werden beweglicher und die Viskosität nimmt bis auf einen
bestimmten Endwert ab. Geringe Scherraten führen zu keiner wesentlichen Veränderung der
Molekülknäuel, die Viskosität bleibt zunächst unverändert. Völlig analoge Verhältnisse können
in biologischen Systemen auftreten, wenn filamentöse (fädige) Bakterien zu Flockenstrukturen
führen, die unter der Wirkung einer Scherbeanspruchung aufgelöst werden können. Auch in
diesem Fall resultiert strukturviskoses Verhalten.
Einige Suspensionen zeigen bei hohen Feststoffkonzentrationen eine Zunahme der Viskosität
mit der Scherrate. Abb. 1.5 veranschaulicht dies am Beispiel einer Titandioxid-Suspension. Bei
der höchsten Feststoffkonzentration steigt die Viskosität ab einer kritischen Scherrate deutlich
an. Dieses Verhalten lässt sich am Beispiel „nasser Sand“ gut erläutern:
Scheinbare Viskosität η
10 2
Pa .s
Polyacrylamid-Lösung
η0
10 0
10 -2
η∞
10 -4
10 -2
10 0
10 -2
10 4
s-1
10 6
Scherrate
Abb. 1.4 : Viskosität als Funktion des Geschwindigkeitsgradienten für eine PolyacrylamidLösung (nach [Boger u. Yeow, 2002])
10 3
Titandioxid-Lösung
Schubspannung τ
Pa
10 2
10 1
42,5 %
30,0 %
20,8 % 8,3%
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
s -1
10 5
dw
Scherrate
dy
Abb. 1.5 : Fließkurve für eine Titandioxid-Lösung (nach [Boger u. Yeow, 2002])
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Bei geringem Schergefälle, z. B. niedriger Rührerdrehzahl, existiert zwischen den Sandkörnern
ein Wasserfilm, der wie ein Schmiermittel wirkt und die Reibung der Sandkörner aneinander
vermindert. Bei steigenden Geschwindigkeitsgradienten reißt der Wasserfilm auf, und die Sandkörner reiben unmittelbar aneinander. Auch dilatante Flüssigkeiten verhalten sich bei sehr
kleinen und sehr großen Geschwindigkeitsgradienten wie Newtonsche Fluide.
Die charakteristischen Formen der Fließkurven führen zu der Frage, wie der i. A. nichtlineare
Verlauf am zweckmäßigsten analytisch beschrieben werden kann. Solche Ansätze sollen von
möglichst einfacher mathematischer Form sein, um für die Lösung ingenieurmäßiger Aufgaben
angewandt werden zu können. Allerdings müssen die Grenzen der Gültigkeit solcher Ansätze
besonders sorgfältig beachtet werden.
Innerhalb bestimmter Grenzen des Geschwindigkeitsgradienten kann das Fließverhalten dilatanter und strukturviskoser Flüssigkeiten durch einen Potenzansatz beschrieben werden, der von
Ostwald und de Waele aufgestellt wurde.
⎛ ∂w x
τ = k ⎜⎜
⎝ ∂y
⎞
⎟⎟
⎠
n
(1.10)
k ist ein empirischer Zahlenwert, der Ostwaldfaktor genannt wird. n ist der Fließexponent.
Flüssigkeiten, die sich durch diesen Ansatz näherungsweise beschreiben lassen, werden auch
Ostwald-Flüssigkeiten, oder im angelsächsischen power-law-fluids genannt. Der Faktor k ist
stark temperaturabhängig, jedoch im Gegensatz zur Viskosität unabhängig von der Scherrate. n
ist üblicherweise unabhängig von der Temperatur.
Abb. 1.2 beinhaltet Fließkurven, die gemäß Gl. (1.10) berechnet werden. Für n = 1 geht der
Ansatz von Ostwald - de Waele in den Newtonschen Schubspannungsansatz über, k ist dann mit
der Viskosität η identisch. Für n > 1 erhält man eine Kurve für dilatante, für n < 1 für strukturviskose Flüssigkeiten. Für das Beispiel der Polyacrylamid-Lösung in Abb. 1.4 ergibt sich ein
Fließexponent von n = 0,41 .
Die Fließkurve einer Bingham-Flüssigkeit ist ebenfalls in Abb. 1.2 dargestellt. Erst wenn eine
Anfangsschubspannung τ0 überwunden ist, beginnt die Bingham-Flüssigkeit zu fließen. Der
entsprechende Beschreibungsansatz lautet:
τ = τ 0 + ηB
dw x
dy
(1.11)
Abb. 1.6 verdeutlicht dies am Beispiel des Fließverhaltens eines Fleischextraktes. Weitere
Beispiele für Bingham-Flüssigkeiten sind Zahnpasta, Lacke (Vermeidung von „Lacknasen“)
und Ketchup.
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Auf das außerordentlich komplizierte Verhalten thixotroper, rheopexer und anderer nichtNewtonschen Fluide soll an dieser Stelle nicht weiter eingegangen werden. Hier tritt u. a. neben
der Abhängigkeit der Viskosität von der Scherrate noch ein Einfluss der Zeit auf.
100
Fleischextrakt
Schubspannung τ
Pa
60
40
20
0
τ0 = 17,0 Pa
0
4
8
Scherrate
s -1
12
dw
dy
Abb. 1.6 : Fließkurve für Fleischextrakt (nach [Boger u. Yeow, 2002])
1.2
Bilanzgleichungen
Als Bilanzgleichungen bezeichnet man eine Gleichung von der Form:
Die zeitliche Änderung einer extensiven Größe ist gleich einer anderen extensiven Größe.
Eine Reihe von wichtigen Gleichungen der Physik sind Bilanzgleichungen. In der Strömungsmechanik sind dies vor allem vier Grundgleichungen, die hier zunächst stichwortartig erwähnt
werden. Im Laufe der Veranstaltung werden sie im Einzelnen behandelt. Es sind dies die Bilanzgleichungen für:
−
Die Masse (Kontinuitätsgleichung): Die zeitliche Änderung der Masse eines materiellen
Volumens ist null.
−
Den Impuls (Impulssatz): Die zeitliche Änderung des Impulses eines materiellen Volumens
ist gleich der am Volumen angreifenden äußeren Kraft.
−
Den Drehimpuls (Drehimpulssatz): Die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines materiellen Volumens ist gleich dem am Volumen angreifenden Drehmoment.
−
Die Energie (Energiesatz, 1. Hauptsatz der Thermodynamik): Die zeitliche Änderung der
inneren und der kinetischen Energie eines materiellen Volumens ist gleich der durch die
äußeren Kräfte zugeführten Leistung und der Wärmezufuhr.
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Solche Bilanzgleichungen lassen sich für Kontinuen einerseits für ein endliches Volumen (integrale Bilanzgleichung), andererseits für einen Punkt im Strömungsfeld (differenzielle Bilanzgleichung) schreiben.
Reale Strömungen sind nicht reibungsfrei. Infolge der Reibung bildet sich ein Strömungsfeld
aus, das im Allgemeinen lokal als auch zeitlich veränderliche Geschwindigkeiten aufweist.
Temperatur- und Konzentrationsfelder ergeben sich demzufolge nicht nur durch molekularen
Transport, also Wärmeleitung und Diffusion, sondern werden in starkem Maße durch die Strömung bestimmt. Geschwindigkeits-, Temperatur und Konzentrationsfelder ergeben sich als
Lösung der Bilanzgleichungen für Impuls, Energie und Masse.
Die Basis zur Erstellung von Stoff-, Energie- (Wärme-) und Impulsbilanzen stellen die Erhaltungssätze für Masse, Energie und Impuls dar. Differenzielle Bilanzgleichungen werden erstellt,
wenn es gilt, einen Vorgang in einem differenziellen Volumenelement eines Apparates oder an
der Grenzfläche zweier Phasen zu untersuchen. Dazu ist es notwendig, die entsprechenden
Differenzialgleichungen sowie die dazugehörigen Randbedingungen aufzustellen und diese zu
integrieren. Differenzielle Bilanzgleichungen werden unter anderem zur Berechnung der
Geschwindigkeits-, Konzentrations- und Temperaturprofile in einem System bzw. an dessen
Grenzflächen verwendet.
Integrale Bilanzgleichungen dienen zur Ermittlung der in ein System ein- bzw. austretenden
Ströme. Unter System wird der endlich große Bilanzbereich verstanden, meist der dreidimensionale Raum vom Volumen V. Technisch kann es ein Apparat, ein Teilbereich (z.B. ein Katalysator, ein Tropfen) eine Verfahrensstufe oder eine vollständige Produktionsanlage sein. Es interessieren in diesem Falle nicht die Vorgänge im Innern eines Apparates, sondern das betreffende
System als Ganzes. Die Grenze des Systems (Bilanzgrenze) ist eine konkrete Wand bzw. Oberfläche oder eine gedachte Grenze, die bei einem geometrisch dreidimensionalen System dann
als eine Fläche gegeben ist, die das System vollständig einschließt.
Das betrachtete System steht i. a. mit der Umgebung (als Rest des Gesamtsystems) in stofflicher, energetischer sowie kräftemäßiger Wechselwirkung. Man unterscheidet Systeme in folgende Gruppen:
• abgeschlossenes System:
die Transportströme sind null.
• geschlossene Systeme:
alle Stofftransportströme sind null,
Energieströme können auftreten.
• offene Systeme:
Stoffströme treten über die Systemgrenzen.
Die allgemeine Bilanzgleichung der einzelnen Austauschgrößen lässt sich im Fall eines offenen
Systems in nachstehender Weise formulieren, wobei unter einer Menge hierbei die Menge der
betreffenden Austauschgröße verstanden wird. Austauschgrößen sind Energie, Impuls und
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1-12
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Stoffmenge.
⎡ Änderung der
⎤ ⎡Summe der
⎤ ⎡Summe der
⎤ ⎡Summe der
⎤
⎢im System
⎥ + ⎢aus dem System ⎥ − ⎢in das System
⎥ = ⎢im System
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣gespeicherten Mengen ⎥⎦ ⎢⎣austretenden Mengen ⎥⎦ ⎢⎣eintretenden Mengen ⎥⎦ ⎢⎣gewandelte n Mengen ⎥⎦
&
S&
A&
Z&
W
(1.12)
Bei einem abgeschlossenen System entfällt der zweite und dritte Term.
1.3
1.3.1
Hydrostatik
Eulersches Grundgesetz der Hydrostatik
Die Hydrostatik betrachtet Fluide im Zustand der Ruhe. Hierbei ist insbesondere das Druckfeld
in einem solchen Fluid aufgrund von Volumenkräften (z.B. des Schwerefelds) bedeutsam, das
durch das sog. Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik beschrieben wird. Hierbei geht man von
dem Kräftegleichgewicht an einem sehr kleinen Quader gemäß Abb. 1.7 aus.
p(
x,y
+
y,z
)
p(x,y,z+∆z)
z + ∆z
p(x+∆x,y,z)
M
z
p(x,y,z)
y
f
y + ∆y
p(
x,y
,
z)
x
z
x
y
x + ∆x
p(x,y,z)
Abb. 1.7 : Kräftebilanz an einem sehr kleinen Quader
r
Im Mittelpunkt des Quaders wirkt der Druck p (x,y,z) und die Kraftdichte f (x,y,z) mit den drei
Komponenten fx (x, y, z ), fy (x, y, z ) und f z (x, y, z ) :
rr r
r
r
r
f (r ) = f (x, y, z ) = e x ⋅ f x (x, y, z ) + e y f y (x, y, z ) + e z f z (x, y, z ) .
(1.13)
Auf die Seitenflächen des Quaders wirkt der Druck p(x,y,z).
Das Kräftegleichgewicht bedeutet, dass die Summe aus der (von der Kraftdichte herrührenden)
Volumenkraft und den (vom Druck herrührenden) Oberflächenkräften null sein muss. Da Kräfte
Vektoren sind, muss diese Bedingung für alle Koordinatenrichtungen erfüllt sein. Die yKoordinate der Volumenkraft ist:
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1-13
1 Strömungsmechanische Grundlagen
∆FVy = ρ ⋅ f y ⋅ ∆x ∆y ∆z .
(1.14)
Da die Druckkräfte auf den Flächen, an denen sie angreifen, senkrecht stehen, liefern nur die
beiden Druckkräfte Beiträge zum Kräftegleichgewicht in y-Richtung, die normal auf der durch
∆x und ∆z aufgespannten Fläche stehen. Die resultierenden Kräfte unterscheiden sich zwar
nur um einen kleinen Betrag, da sie aber in unterschiedliche Richtungen wirken, also ihre Differenz in das Kräftegleichgewicht eingeht, muss diese geringe Differenz ermittelt werden. Die
Variation des Drucks innerhalb einer Fläche muss nicht berücksichtigt werden, sondern nur die
Druckänderung bezüglich der gegenüberliegenden Flächen, d.h. man behandelt bei der betreffenden Komponente die Querschnittsflächen als klein von höherer Ordnung gegenüber dem
Flächenabstand. Für die Druckkräfte in y-Richtung gilt demzufolge
F0y (y ) − F0 y (y + ∆y ) = [p (x, y, z ) − p (x, y + ∆y, z )]∆x ⋅ ∆z .
(1.15)
(Anmerkung: Diese Gleichung stellt eine sehr einfache Form einer Impulsbilanz gemäß Gl.
(1.12)dar, denn hier treten keinerlei Impulsströme sondern ausschließlich Kräfte auf.)
Da der Druck von allen Koordinatenrichtungen abhängen kann, muss der Taylorsche Satz wie
folgt geschrieben werden:
p(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) = p(x, y, z ) +
∂p
∂p
∂p
∆x +
∆y +
∆z + ... .
∂x
∂y
∂z
(1.16)
Für die y-Koordinate der Oberflächenkraft ergibt sich entsprechend:
⎡ ∂p
⎤
F0 y (y ) − F0 y (y + ∆y ) = ⎢−
∆y + .....⎥ ∆x ∆z .
⎣ ∂y
⎦
(1.17)
Aus den Gln. (1.4) und (1.17) erhält man dann für die y-Koordinate der insgesamt auf das
Fluidelement wirkenden Kraft
⎡ ∂p
⎤
∆Fy = ρ ⋅ f y ∆x ∆y ∆z + ⎢−
∆y + .....⎥ ∆x ∆z .
⎣ ∂y
⎦
Lässt man die Kantenlängen des Quaders nunmehr gegen null gehen, so entfallen bei der Taylor- ρ Reihenentwicklung alle Terme höherer Ordnung und ∆Fy wird zu dFy bzw. das Produkt
∆x ∆y ∆y geht über in dV :
⎛
∂p ⎞
⎟ dV
dFy = ⎜⎜ ρf y −
∂y ⎟⎠
⎝
(1.18)
und eine entsprechende Betrachtung für die beiden anderen Koordinatenrichtungen führt aus
Symmetriegründen auf die Beziehungen:
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
∂p ⎞
⎛
dFx = ⎜ ρf x −
⎟ dV
∂x ⎠
⎝
(1.19)
(1.20)
∂p ⎞
⎛
dFz = ⎜ ρf z −
⎟ dV .
∂z ⎠
⎝
Diese drei Gleichungen lassen sich mit
r ∂p r ∂p r ∂p
ex
+ ey
+ ez
= grad p
∂x
∂y
∂z
(1.21)
zu der Vektorgleichung
(
)
r
r
dF = ρf − grad p dV
(1.22)
⎛
∂p ⎞
⎟ dV
dFi = ⎜⎜ ρfi −
∂x i ⎟⎠
⎝
(1.23)
bzw.
zusammenfassen.
Im Gleichgewicht muss diese Kraft verschwinden. Da dV nicht null ist, ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung
r
(1.24)
ρf = grad p
bzw.
ρfi =
∂p
∂x i
(1.25)
Dies ist das Eulersche Grundgesetz der Hydrostatik. Man kann daraus ablesen, dass in einem
ruhenden Fluid der Druckgradient in Richtung der Kraftdichte weist, also die Isobaren (die
Flächen gleichen Druckes) überall auf dem Kraftfeld senkrecht stehen.
Druckverteilung in einer schweren Flüssigkeit
Im Folgenden wird ein inkompressibles Fluid betrachtet, d.h. ein Fluid, dessen Dichte ρ weder
von der Temperatur noch vom Druck abhängt, also eine Materialkonstante ist: ρ = const. Das
kann man im Allgemeinen bei Flüssigkeiten, aber mit oft ausreichender Näherung auch bei
Gasen bei Höhenunterschieden unter 250 m voraussetzen. Dann lässt sich das Eulersche Grundgesetz (1.24) in der Form
r
p
f = grad .
ρ
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(1.26)
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
schreiben. Wenn in einem kartesischen Koordinatensystem die z-Achse entgegen der Schwerkraft orientiert ist, gilt:
r
f = (0,0,−g) .
(1.27)
Für den Spezialfall des Schwerefelds ergibt sich:
g (z 2 − z1 ) +
p 2 − p1
= 0.
ρ
(1.28)
Als Beispiel sei die Zunahme des Druckes in einem Wasserbecken mit der Tiefe, die sog. hydrostatische Druckverteilung betrachtet. Dabei ist es üblich, den Ursprung des Koordinatensystems in die Wasseroberfläche zu legen und die z-Achse abweichend von den bisherigen Gleichungen in Richtung der Schwerkraft zu orientieren. Mit z1 = 0, z 2 = z, p1 = p 0 und
p 2 = p(z ) folgt dann aus Gl. (1.28)
p(z ) = p 0 + ρgz .
(1.29)
Eine Folge dieser Gleichung ist das Gesetz von den kommunizierenden Gefäßen: sind zwei mit
einer Flüssigkeit gefüllte Gefäße durch eine Rohrleitung verbunden, so ist die Flüssigkeit in der
Rohrleitung genau dann in Ruhe, wenn der Flüssigkeitsspiegel in beiden Gefäßen gleich hoch
ist. Zum Beweis sei die Rohrleitung durch ein verschlossenes Ventil unterbrochen. Wenn jetzt,
wie in Abb. 1.8 der Flüssigkeitsspiegel links die Höhe H1 und rechts die Höhe H2 < H1 besitzt,
herrscht nach Gl. (1.29) links vom Ventil der Druck p1 = p 0 + ρgH1 und rechts vom Ventil der
Druck p 2 = p 0 + ρgH2 , d.h. es ist p1 > p 2 . Öffnet man das Ventil strömt Flüssigkeit vom linken Gefäß in das rechte, bis der Druckunterschied ausgeglichen, d.h. der Wasserspiegel in
beiden Gefäßen gleich hoch ist.
H1
p1
p2
H2
Abb. 1.8 : Kommunizierende Gefäße.
Dies entspricht der Feststellung, dass eine freie Flüssigkeitsoberfläche stets die Gestalt einer
horizontalen Fläche aufweist. Dies gilt auch dann, wenn bei einem zusammenhängenden Volumen die Oberflächen zwar keine zusammenhängende Fläche bilden, aber denselben Druck an
der Oberfläche haben.
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
Eine weitere Konsequenz der Gl. (1.29) besteht in dem sog. hydrostatischen Paradoxon. Betrachtet man die in Abb. 1.9 dargestellten Flüssigkeitsbehälter der gleichen Grundfläche und
Höhe, so ist der Druck am Boden p = p 0 + ρgh in allen drei Fällen identisch. Bei gleicher Bodenfläche stimmt auch die Druckkraft überein, obwohl das Gewicht der Flüssigkeit in den drei
Behältern verschieden ist. Allgemein besagt das hydrostatische Paradoxon, dass die Druckkraft
auf einen Behälterboden wesentlich kleiner oder größer als die Gewichtskraft des Wassers im
Behälter sein kann.
h
F
F
F
Abb. 1.9 : Hydrostatisches Paradoxon.
1.3.2
Auftrieb
Als Archimedisches Prinzip bekannt ist der Satz: Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper
beliebiger Gestalt erfährt eine Gewichtsverminderung, die dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge gleich ist (Auftrieb).
Dieser Satz wird ohne jede Rechnung durch ein Gedankenexperiment einsichtig, indem man den
betrachteten Körper vom Volumen V durch einen Körper mit der Dichte der umgebenden Flüssigkeit ρ f ersetzt. Dieser Körper muss offensichtlich mit der umgebenden Flüssigkeit im Gleichgewicht sein, denn für das statische Gleichgewicht ist die Dichte die einzige relevante Größe.
r
Dann ist die resultierende Druckkraft FA aber entgegengesetzt gleich der auf den Körper wirkenden Gewichtskraft, d.h.
r
r
FA = g ρ f V e z .
(1.30)
Ihre Wirkungslinie geht durch den Schwerpunkt des Körpers hindurch, der identisch ist mit dem
Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeitsmenge V. Führt man nun wieder den ursprünglichen Körper
r
mit der Dichte ρK ein, so darf die Auftriebskraft FA , die nur vom Druck der umgebenden Flüssigkeit
herrührt, dadurch nicht geändert werden, es gilt also Gl. (1.30) unverändert.
Die Ableitung lässt sich aber auch leicht direkt führen, indem man den eingetauchten Körper in eine
Folge von vertikalen Prismen zerlegt und für diese den Beitrag zur Auftriebskraft explizit berechnet (s.
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1-17
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Abb. 1.10). Da die Oberflächenelemente dA 1 und dA 2 in der folgenden Weise mit dem Querschnitt dA
des Prismas zusammenhängen
cos α1 dA 1 = cos α 2 dA 2 = dA ,
(1.31)
lässt sich die Auftriebskraft, d.h. die z-Komponente der Druckkraft, auf eine einfache Form bringen,
wobei Gl. (1.29) benutzt wird:
dF A = p 2 dA 2 cos α 2 − p 1 dA 1 cos α 1 = (p 2 − p 1 ) dA = g ρ f h dA = g ρ f dV
(1.32
)
Die Integration über sämtliche infinitesimale Prismen führt sofort zu
FA = ∫ g ρ f dV = gρ f V
(1.33)
1
p
α1
dA
1
Das ist die skalare Form von Gl. (1.30). Man zeigt leicht die Vollständigkeit der Übereinstimmung,
indem man nachweist, dass die auf den Körper wirkenden Druckkräfte keine resultierende Horizontalkomponente besitzen.
h
dA
α2
p
2
dA
2
Abb. 1.10 : Druckkräfte an einem eingetauchten Körper
Auf beide Weisen kann man einfach ableiten, dass für einen nur teilweise eintauchenden, also schwimmenden Körper das Archimedische Prinzip unverändert gilt. Da in diesem Fall die Auftriebskraft dem
Gewicht entgegengesetzt gleich ist, muss das Gesamtgewicht des Körpers gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge sein.
1.3.3
Gleichgewicht und Druckverteilung beim Vorhandensein allgemeiner Volumenkräfte
In diesem Abschnitt werden die Auswirkungen von beliebigen massebezogenen Volumenkräften
rr r
r
r
f (r ) = e x f x (x, y, z ) + e y f y (x, y, z ) + e z f z (x, y, z )
auf eine dichtebeständige Flüssigkeit betrachtet.
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(1.34)
1-18
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten
Bei der Rotationsbewegung einer Flüssigkeit handelt es sich im Allgemeinen nicht um ein statisches
sondern um ein fluiddynamisches Problem. Erfolgt die Rotation aber stationär mit überall gleicher Winkelgeschwindigkeit, so kann man sie - vom Standpunkt eines mitrotierenden Beobachters aus - als statistisches Problem auffassen. Zur Wirkung der Schwerkraft tritt dann diejenige der Zentrifugalkräfte dazu.
Erfolgt die Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die vertikale z-Achse (s. Abb. 1.11), so ist die
Dichte der massenbezogenen Volumenkräfte gegeben durch
fx = ω2 x , fy = ω2 y , fz = −g
(1.35)
z
ω
y
ρ ω2 y dV
ρ ω2 r dV
ρ ω2 r
dV
y
p0
ρ ω2 x dV
ρg
x
r
x
x
Abb. 1.11 : Kräfte auf ein rotierendes Volumenelement
Mit Gl. (1.24) ergibt sich durch Integration der drei Komponenten:
px =
ρ
ρ 2 2
ω x , p y = ω2 y 2 , p z = p 0 − ρgz
2
2
(1.36)
Hieraus folgt die Druckverteilung:
p (r, z ) = p 0 +
ρ 2 2
ω r − gρz
2
(1.37)
Der Druck nimmt nicht nur von oben nach unten zu, sondern ebenso mit wachsendem Abstand von der
Achse. Es seien r0 und z 0 und die Koordinaten der Flüssigkeitsoberfläche für welche p = p 0 gilt. Dann
folgt aus Gl. (1.36) für die Oberfläche:
z0 =
ω2
2
r0
2g
(1.38)
Sie hat also für Form eines Rotationsparaboloids. Das Gleiche gilt für alle Flächen konstanten Drucks
p = p1 (Isobaren):
z1 =
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ω 2 2 p1 − p 0
r1 −
2g
gρ
(1.39)
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1-19
1 Strömungsmechanische Grundlagen
r
Man sieht dies anschaulich leicht folgendermaßen ein: Wenn ρ f = grad p gilt, so muss diese Kraft auf
den Niveauflächen von p, d.h. den Isobaren, senkrecht stehen. Dies ergibt für die Steigung einer Isobaren:
f
dz
ρω2r
=− r =
dr
fz
gρ
(1.40)
woraus durch Integration sofort G. (1.38), allerdings mit unbestimmter Konstante folgt.
Bei der gleichmäßig rotierenden Flüssigkeit ist die resultierende Druckkraft auf mitbewegte Festkörper das Analogon zur Auftriebskraft - von Interesse. Entsprechend dem Gedankenexperiment zum Auftrieb
(s. Abschn. 1.2.2) überlegt man hier, dass diese Kraft mit der Zentrifugalkraft, die auf die verdrängte
Flüssigkeitsmenge ausgeübt wird, im Gleichgewicht stehen muss. Sie ist also nach innen gerichtet, und
ihr Betrag ist ρ f V ω2 rS , wobei rS den Abstand des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeitsmenge
bedeutet.
Hiermit ist die Wirkungsweise von Zentrifugen zu erklären. Die auf ein homogenes Teilchen mit der
Dichte ρK wirkende resultierende Radialkraft ist
FR = (ρK − ρ f ) V ω2 rS
(1.41)
Für ρK > ρ f ist sie nach außen, für ρ K < ρ f nach innen gerichtet. Der Erdbeschleunigung g in der
Auftriebsgleichung entspricht hier das Produkt ω 2 rS . Dieses kann in technischen Zentrifugen um
mehrere Zehnerpotenzen größer realisiert werden als g, in den sog. Ultrazentrifugen sogar bis zu einem
Faktor von der Größenordnung 106.
Der gleiche Effekt wird in sog. Zyklonen zur Staubabscheidung aus Gasen verwendet. Hier wird das Gas
in einem zylinder- oder trichterförmigen Gefäß auf Schraubenbahnen geführt. Dabei schlägt sich der
Staub an den Wänden nieder. Für die Druckverteilung in Zyklonen oder Gaszentrifugen kann allerdings
Gl. (1.36) nicht angewendet werden, da diese die Bedingung der Dichtebeständigkeit zur Voraussetzung
hat. Hier gelten allerdings die Gln. (1.34)unverändert, und man kann diese in Gl. (1.33) einsetzen. In
Zylinderkoordinaten lauten diese dann:
∂p
= ρ ω2 r ,
∂r
∂p
= −g ρ .
∂z
(1.42)
Für die Integration benötigt man Aussagen über den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte. Wenn
man den Schwereeinfluss vernachlässigen und isotherme Bedingungen voraussetzen kann, so folgt für
ideale Gase meist ρ = p / RmT und anstelle der beiden partiellen Differenzialgleichungen die gewöhnliche Differenzialgleichung
dp
p
=
ω2 r ,
dr R m T
(1.43)
die durch Separation der Variablen gelöst wird. Auf diese Weise findet man für die Druckverteilung in
einer Gaszentrifuge:
ω2r 2
p = p 0 exp
.
2 RmT
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(1.44)
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1-20
1 Strömungsmechanische Grundlagen
wobei p 0 den Druck auf der Achse bedeutet.
Druckverteilungen in einer gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit
Auf analoge Weise kann man die Druckverteilung und insbesondere die Neigung der freien Oberfläche
bei einer in horizontaler Richtung gleichmäßig beschleunigten Flüssigkeit bestimmen, vgl. Abb. 1.12.
Man fasst das Produkt aus Dichte und Beschleunigung ρ ⋅ a , mit negativem Vorzeichen versehen, als
sog. d'Alembert-Kraft auf - sie stellt die Analogie zur Zentrifugalkraft dar. Dann folgt für die Neigung
der freien Oberfläche, ebenso wir für diejenige der Isobaren:
tan α = −
dz f x − aρ a
= .
=
=
dx f z − gρ g
(1.45)
Die Neigung ist also durch das Verhältnis von Horizontal- und Vertikalbeschleunigung gegeben.
z
x
aρ
a
α
gρ
α
Abb. 1.12 : Spiegelneigung in einer horizontal beschleunigten Flüssigkeit
1.4
Kinematik
Die Kinematik einer Strömung beschreibt die Bewegung eines Fluids ohne Berücksichtigung der
Kräfte, die diese Bewegung verursachen. Damit befindet sich die Kinematik in der Mitte zwischen Geometrie und Mechanik. Die Geometrie betrachtet räumliche Konfigurationen (Anordnungen), die entweder als zeitlich unveränderlich oder nur zu einem bestimmten Zeitpunkt
untersucht werden. Die Mechanik dagegen behandelt Bewegungen als Folge bestimmter Kräfte.
r
Das Ziel der Kinematik ist die Berechnung des Ortsvektors x (t ) eines Fluidelements und damit
die Bestimmung der Bewegung dieses Elements in Abhängigkeit von der Zeit t bezüglich eines
festgelegten Koordinatensystems (x, y, z ) für ein vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld
r
w w x , w y , w z . Unter einem Fluidelement wird dabei eine abgeschlossene Flüssigkeitsmenge
sehr geringer Ausdehnung verstanden. Je kleiner dieses Fluidelement ist, desto näher kommt es
einem Massenpunkt, für den allein die kinematischen Betrachtungen in strengem Sinn Gültigkeit besitzen.
(
)
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1-21
1 Strömungsmechanische Grundlagen
1.4.1
Kinematische Grundbegriffe
Verfolgt man wie in Abb. 1.13 die Bahn eines Fluidelements bzw. die Teilchenbahn eines der
Strömung beigefügten Teilchens mit fortschreitender Zeit, so wird der Ausgangsort der Teilr
chenbewegung zur Zeit t = 0 mit dem Ortsvektor x = x 0 y 0 z 0 festgelegt. Zum Zeitpunkt
r
t 1 > 0 hat sich das Teilchen entlang der skizzierten Bahnkurve an den Ort x (t 1 ) bewegt und
r
r
zum Zeitpunkt t 2 > t 1 zum Ort x (t 2 ) usw. Die momentane Position x des betrachteten Teilchens ist also ein Funktion des Ausgangsortes x 0 und der Zeit t . Die Teilchenbahn oder Bahnlinie schreibt sich damit:
(
)
r rr
x = f (x 0 , t ) .
(1.46)
Die gewöhnliche Differenzialgleichung für die Berechnung der Teilchenbahn lautet für ein
r
vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld w w x , w y , w z :
(
)
r
dx r r
= w (x, t ) .
dt
(1.47)
Dies ist nichts anderes als die wohlbekannte Definitionsgleichung der Geschwindigkeit. Für die
einzelnen Geschwindigkeitskomponenten lauten die Differenzialgleichungen
dx
= w x (x, y, z, t ) ,
dt
dy
= w y (x, y, z, t ) ,
dt
dz
= w z (x, y, z, t ) .
dt
(1.48)
Es handelt sich um ein System gewöhnlicher Differenzialgleichungen 1. Ordnung. Die Teilchenbahn berechnet sich durch Integration dieser Differenzialgleichungen mit der Anfangsber
r
dingung x 0 = x (t = 0 ) .
r r
Für eine stationäre Strömung ist das Geschwindigkeitsfeld w( x ) unabhängig von der Zeit t
r
dx r r
= w (x )
dt
t=0
Te
i lc
bah
he n
(1.49)
t1 > 0
n
x(t1)
t2 > t1
x0
x(t2 )
t 3 > t2
x(t3 )
z
y
x
Abb. 1.13 : Teilchenbahn
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
Im Allgemeinen ist nicht die Bewegung in Form von Gl. (1.46), sondern das Geschwindigkeitsr r r
r
feld w = w (x, t ) gegeben. Die Teilchenbahn x ergibt sich dann durch Integration der Gl.
(1.49). Eine weitere Möglichkeit Strömungen zu beschreiben sind Stromlinien (s. Abb. 1.14).
Diese zeigen zu einem bestimmten Zeitpunkt t n das Richtungsfeld des Geschwindigkeitsvektors
r
w an. Da die Tangenten an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt parallel zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet sind, lautet die Bestimmungsgleichung für die Stromlinie
r
r
w × dx = 0
(1.50)
Daraus folgt das Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung für die Stromlinie:
dx
dy dz
=
=
wx wy wz
(1.51)
w
d
z
y
w
s=
dt
Stromlinie
wy
wz
t = tn
x
Abb. 1.14 : Stromlinie
Die Stromlinien berechnen sich wiederum durch Integration nach Trennung der Variablen.
Damit sind sie die Integralkurven des Richtungsfeldes des vorgegebenen Geschwindigkeitsvekr
tors w .
Bei stationärer Strömung fallen Strom- und Bahnlinien zusammen: ein Teilchen entfernt sich nie
von der Stromlinie, auf der es sich einmal befindet. Andersfalls müsste sich nämlich das Teilchen quer zu den Stromlinien bewegen. Dann würde aber seine Geschwindigkeitsrichtung nicht
mit der Stromlinienrichtung übereinstimmen, was der Definition der Stromlinien widerspricht.
Für instationäre Strömungen unterscheiden sich die Teilchenbahnen von den Stromlinien, was
die Interpretation instationärer Strömungen schwierig gestaltet. Ein einfaches Strömungsbeispiel
soll dies veranschaulichen. In Abb. 1.15 wird ein Zylinder mit konstanter Geschwindigkeit
w ∞ durch ein ruhendes Fluid bewegt. Die Teilchenbahn durchläuft beim Vorbeibewegen des
Zylinders eine Schleife, während die Momentaufnahme der Stromlinien geschlossene Kurven
zeigen. Dies ist das Strömungsfeld, das ein außenstehender, ruhender Beobachter sieht. Ganz
anders sieht das Strömungsbild aus, wenn man sich mit dem Zylinder mitbewegt. Man sieht
dann die konstante Anströmung w ∞ auf sich zukommen, und die Strömung wird zeitunabhängig. Statt der geschlossenen Stromlinien bilden sich stationäre Stromlinien von links nach rechts
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1-23
1 Strömungsmechanische Grundlagen
verlaufend aus, die mit den Bahnlinien zusammenfallen. Je nachdem in welchem Bezugssystem
man sich befindet, kann das Strömungsfeld also völlig anders aussehen. Physikalisch ausgedrückt, heißt dies, Stromlinien und Teilchenbahnen sind nicht invariant beim Wechsel des
Inertialsystems (Ortstransformation mit konstanter Translationsgeschwindigkeit).
w∞
w∞
Teilchen ruhender
Beobachter
w∞
Stromlinen ruhender
Beobachter
Stromlinen mitbewegter
Beobachter
Abb. 1.15 : Zylinderumströmung; ruhender und mitbewegter Beobachter
1.4.2
Kontinuitätsgleichung
Vor der Ableitung der strömungsmechanischen Grundgleichungen für allgemein dreidimenr
sionale und zeitabhängige Strömungsprobleme mit w (x, y, z, t ) , p(x, y, z, t ) , ρ (x, y, z, t ) ,
e (x, y, z, t ) wird in diesem Abschnitt die eindimensionale Stromfadentheorie zunächst für in-
kompressible Strömungen abgeleitet. Die Grundlagen und Methoden der eindimensionalen
Stromfadentheorie werden auch heute noch in der Industrie für den Vorentwurf neuer Produkte
eingesetzt. Neben dem grundsätzlichen Verständnis für Strömungsvorgänge ist es deshalb auch
aus praktischen Gründen bedeutsam, die eindimensionale Stromfadentheorie als Einstieg in die
theoretische Behandlung von Strömungen abzuleiten.
Die eindimensionale Geschwindigkeitskomponente w (s ) ist ausschließlich eine Funktion einer
Koordinate s , die als Stromfadenkoordinate bezeichnet wird. Zur Einführung dieser eindimensionalen Stromfadenkoordinate s ist es nützlich den Begriff der Stromröhre zu definieren. Bilden die Stromlinien eine geschlossene Fläche, wie dies in Abb. 1.16 dargestellt ist, nennt man
diese Mantelfläche Stromröhre.
Abb. 1.16 : Stromröhre
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
Da die Stromlinien per Definition die Tangenten der Geschwindigkeitsvektoren sind, tritt durch
den Mantel der Stromröhre keine Fluidmasse. Das bedeutet, dass durchströmte Kanäle mit
festen Wänden Stromröhren bilden. Sind die Änderungen der Strömungsgrößen über den Querschnitt der Stromröhre klein gegenüber den Änderungen längs der Stromröhre, lassen sich die
näherungsweise eindimensionalen Änderungen der Strömungsgrößen entlang des abstrahierten
Stromfadens berechnen. Das Bild eines Strömungsfeldes wird umso genauer durch Stromfäden
dargestellt, je kleiner deren Querschnitte sind. Strömungen durch Rohre und in Gerinnen können als einziger Stromfaden behandelt werden, wenn man über den Querschnitt gemittelte Werte der Strömungsgrößen benutzt. Hierin liegt die Bedeutung der Stromfadentheorie in der Technik: Es ist mit ihrer Hilfe oft möglich, zwei- oder gar dreidimensionale Strömungen näherungsweise eindimensional zu behandeln.
Für einen solchen Stromfaden wird die Kontinuitätsgleichung im Folgenden hergeleitet. Es sei s
die Bogenlänge längs der Mittellinie des Stromfadens, dann sind alle Strömungsgrößen im
Stromfaden nur Funktionen von s und t, und für das Volumenelement gilt:
dV = A (s, t ) ds
(1.52)
Es werde jetzt ein materielles Volumen betrachtet, das zum Zeitpunkt t das Stück eines Stromfadens
zwischen den Querschnitten A 1(s1(t ), t ) und A 2 (s 2 (t ), t ) und zum Zeitpunkt t + ∆t das Stück zwischen den Querschnitten A 1 (s1 (t + ∆t ), t + ∆t ) und A 2 (s 2 (t + ∆t ), t + ∆t ) ausfüllt (vgl. Abb. 1.17).
Die Skizze ist für einen raumfesten Mantel gezeichnet, um sie nicht unübersichtlicher als nötig zu machen; die Überlegungen gelten aber auch für einen bewegten Mantel, also eine nicht richtungsstationäre
Strömung.
s
s 2(t+∆t)
s2 (t)
s 1(t+∆t)
s 1(t)
Abb. 1.17 : Stromfaden in einer Stromröhre
Da die Masse eines materiellen Volumens konstant bleibt, gilt für ein solches materielles Stück eines
Stromfadens:
s (t )
d 2
ρ(s, t ) A (s, t ) ds = 0
dt s ∫(t )
(1.53)
1
Für die Ableitung eines Integrals nach der Zeit, dessen Integrand und dessen Grenzen von der Zeit abhängen, gilt die Leibnizsche Regel:
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1-25
1 Strömungsmechanische Grundlagen
d
dt
s 2 (t )
s 2 (t )
ds
ds
∂F(s, t )
ds + F(s 2 , t ) 2 − F(s1, t ) 1
∂t
dt
dt
s (t )
∫ F(s, t ) ds = ∫
s1 (t )
(1.54)
1
Damit wird aus Gl. (1.52)
s1 (t )
ds
ds 2
∂ρA
ds + ρ 2 A 2 2 − ρ1A 1
=0
∂
t
dt
dt
s (t )
∫
(1.55)
1
und mit ds / dt = w erhält man schließlich
s2
∫
s1
∂ρA
ds + ρ 2 w 2 A 2 − ρ1w 1A 1 = 0
∂t
(1.56)
(Anmerkung: Zu dieser Gleichung gelangt man auch durch Anwendung der allgemeinen Bilanzgleichung
(1.12), indem das als Menge die Masse bilanziert wird.)
Sowohl in Gl. (1.55) als auch (1.56) ist jedes Glied ausschließlich eine Funktion der Zeit. Die Gleichung
gilt also zwischen zwei beliebigen Querschnitten eines Stromfadens zum selben Zeitpunkt. Wie man sich
das durch den Stromfaden und diese beiden Querschnitte gebildete Volumen zeitlich fortgesetzt denkt,
ob man es also als ein mit der Strömung mitbewegtes oder als ein raumfestes Volumen betrachtet, ist für
die Anwendung der Gleichung ohne Bedeutung.
Für die stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids durch einen Stromfaden folgt:
w 1A 1 = w 2 A 2 , wA = const. , wdA + Adw = 0 .
(1.57)
In einem Stromfaden ist wA gerade der Volumenstrom durch einen Querschnitt des Stromfadens
V& = wA .
(1.58)
Für die stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids ist demnach der Volumenstrom durch
einen Stromfaden und wie sich leicht zeigen lässt auch durch eine Stromröhre in jedem Querschnitt gleich:
V& 1 = V& 2 ,
1.4.3
V& = const. ,
dV& = 0 .
(1.59)
Eulersche und Bernoullische Gleichung für stationäre Strömungen
In einer strömenden Flüssigkeit treten außer dem Druck im Allgemeinen Schubspannungen auf
(vgl. Abschnitt 1.1). Dies ist immer dann der Fall, wenn sich die Flüssigkeit bei der Bewegung
"deformiert", d.h. wenn sie nicht wie ein starrer Körper als Ganzes bewegt (z.B. rotiert). Man
kann diese Schubspannungen aber oft gegenüber dem Druck vernachlässigen. Dann spricht man
von reibungsfreier Strömung; das Auftreten der Schubspannungen bezeichnet man auch als
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1-26
1 Strömungsmechanische Grundlagen
innere Reibung der Flüssigkeit. Nur einige Erfahrung lehrt, ob eine Strömung als reibungsfrei
angesehen werden kann oder nicht. Derartige Erfahrungen ergeben sich durch die Beschäftigung
mit konkreten Strömungsvorgängen.
Bei reibungsfreien Strömungen kann man mit den Schubspannungen eine Erscheinung vernachlässigen, die in einer realen Strömung immer auftritt: das Haften der Flüssigkeit an festen Wänden. Bei einer reibungsfreien Strömung darf man daher annehmen, dass die Flüssigkeit an festen
Wänden tangential mit endlicher Geschwindigkeit entlang strömt. In Wirklichkeit sinkt allerdings die Geschwindigkeit nahe einer ruhenden Wand in einer Grenzschicht auf null ab, wie
dies Abb. 1.18 zeigt. (In Abschn. 2.2 und 2.3 werden Grenzschichtströmungen genauer behandelt.) Man kann deshalb die Bedingung dafür, dass eine Strömung als reibungsfrei betrachtet
werden darf, meistens auch so formulieren: Die Grenzschichten an festen Wänden müssen so
dünn bleiben, dass ihre Dicke gegen die übrigen Abmessungen des Strömungsfeldes vernachlässigt werden kann. Die Grenzschichten bleiben im Allgemeinen dann dünn, wenn eine bestimmte
den Strömungsvorgang charakterisierende dimensionslose Zahl, die sog. Reynoldszahl, groß ist.
w
Grenzschicht
Abb. 1.18 : Geschwindigkeitsprofil bei der Umströmung eines festen Körpers
Es soll zunächst die Bewegungsgleichung für einen Stromfaden formuliert werden, der in eine
reibungsfreie Außenströmung bzw. reibungsfreie Kernströmung eines Kanals gelegt wird. Diese
Bewegungsgleichung stellt erneut eine Form der allgemeinen Bilanzgleichung (1.12)dar, in der
als zu bilanzierende Menge der Impuls eingesetzt wird. Bei der Kräftebilanz entlang eines ausgewählten Stromfadenelements dV (s. Abb. 1.19) kann in erster Näherung die Querschnittsänderung entlang des Stromfadens vernachlässigt werden. Die Bewegungsgleichung lautet Masse ·
Beschleunigung = Summe aller angreifenden Kräfte. Für das Volumenelement dV gilt also
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1-27
1 Strömungsmechanische Grundlagen
ds
Abb. 1.19 : Kräftebilanz am Stromfadenelement dV
dM ⋅ a = ∑ Fi .
(1.60)
i
Allgemein gilt für die Beschleunigung a eines Strömungsfeldes:
r
r
r
r
r
r
r dw ∂w
r
r
∂w
∂w
∂w ∂w
=
a=
+ wx
+ wy
+ wz
=
+ (w ⋅ ∇ ) w
(1.61)
∂t
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
r
r
mit dem Skalarprodukt (w ⋅ ∇ ) aus dem Geschwindigkeitsvektor w und dem Nabla-Operator
∇ = (∂ / ∂x, ∂ / ∂y, ∂ / ∂z ) .
Für den eindimensionalen Stromfaden schreibt sich Gl. (1.61):
a=
dw ∂w
∂w
=
+w⋅
.
dt
∂s
∂t
(1.62)
für die angenommene stationäre Strömung gilt b = w ⋅ (dw / ds ) . Die Masse des in Abb. 1.19
betrachteten Volumenelements dV ist dM = ρ ⋅ dA ds . Die am Volumenelement angreifenden
Kräfte sind die Druckkräfte und die Gravitation, deren Komponenten entlang der Stromfadenkoordinate ins Gleichgewicht gesetzt werden. Damit ergibt sich:
ρ ⋅ dA ⋅ ds ⋅
dw
∂w ⎞
⎛ ∂w
= ρ ⋅ dA ⋅ ds ⋅ ⎜
+w⋅
⎟
dt
∂s ⎠
⎝ ∂t
∂p
⎛
⎞
= p ⋅ dA − ⎜ p +
⋅ ds ⎟ ⋅ dA − ρ ⋅ g ⋅ dA ⋅ ds ⋅ cos(ϕ) ,
∂s
⎝
⎠
(1.63)
cos(ϕ) = dz / ds und Division durch ρ ⋅ dA ⋅ ds liefert die Euler-Gleichung für den Stromfaden
dw ∂w
1 ∂p
dz
∂w
− g⋅
=
+w⋅
=− ⋅
dt
ds
∂t
∂s
ρ ∂s
.
(1.64)
Für stationäre Strömungen sind alle Größen nur Funktionen von s und es folgt:
dw
d ⎛ w2
⎜
=
w⋅
ds ds ⎜⎝ 2
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⎞
1 dp
dz
⎟=− ⋅
− g⋅
.
⎟
ds
ρ ds
⎠
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(1.65)
1-28
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Die Integration längs des Stromfadens s vom Ort 1 mit w 1, p1 und s1, z1 zum Ort 2 mit
w 2 , p 2 und s 2 , z 2 liefert:
(
)
p
2
1 2
1
w 2 − w 12 + ∫ ⋅ dp + g ⋅ (z 2 − z1 ) = 0 .
2
ρ
p
(1.66)
1
Für die betrachtete inkompressible Strömung ist ρ = const. , so dass der Faktor 1 ρ vor das
Integral gezogen wird, und man erhält die Bernoulli-Gleichung für inkompressible stationäre
reibungsfreie Strömungen. Die Dimension ist Energie pro Masse:
w 22 p 2
w2 p
+
+ g ⋅ z 2 = 1 + 1 + g ⋅ z1 = konst.
2
ρ
2
ρ
(1.67)
Alternativ dazu wird häufig auch die Bernoulli-Gleichung der Dimension Energie pro Volumen
angewandt:
p2 +
1
1
⋅ ρ ⋅ w 22 + ρ ⋅ g ⋅ z 2 = p1 + ⋅ ρ ⋅ w 12 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = konst.
2
2
(1.68)
An einem beliebigen Ort lautet die Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömungen:
1
p + ⋅ ρ ⋅ w 2 + ρ ⋅ g ⋅ z = konst. oder
2
p w2
+
+ g ⋅ z = konst.
ρ
2
(1.69)
Die Konstante fasst dabei die drei bekannten Terme an einem Ausgangszustand zusammen. Sie
hat für alle Punkte längs s eines Stromfadens den gleichen Wert, kann sich jedoch von Stromfaden zu Stromfaden ändern. Die Bernoulli-Gleichung ist eine algebraische Gleichung und liefert
den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck.
1.4.4
Einfache Anwendungen der Bernoullischen Gleichung
Torricellische Ausflussformel
An einem großen, nach oben offenen Flüssigkeitsreservoir sei, wie in Abb. 1.20 dargestellt, ein
Ablaufrohr angeschlossen. Hierbei sei der Querschnitt A 2 der Ausflussöffnung so klein gegen
den des Behälters A 1 , dass die Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels und damit die
Geschwindigkeit der Flüssigkeit unmittelbar am Spiegel vernachlässigt werden kann. Wendet
man die Bernoullische Gleichung (1.69) auf einen vom Spiegel bis in die Ausflussöffnung
führenden Stromfaden an (Abb. 1.20), so erhält man wegen p1 = p 2 = p 0 (=Atmosphärendruck)
und w 1 = 0, w 2 = w
p0 +
ρ 2
ρ
0 + ρgh = p 0 + w 2 + ρg0
2
2
oder
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(1.70)
1-29
1 Strömungsmechanische Grundlagen
w 2 = 2gh;
w = 2gh
(1.71)
Die Ausflussgeschwindigkeit w hängt also nur von der Höhendifferenz h zwischen Ausflussöffnung und Flüssigkeitsspiegel im Behälter ab und ist gerade so groß, als fielen die Flüssigkeitsteilchen die Höhe h frei herab.
p0
p0
1
h
1
p0
w
p0
2
a)
b)
2
w
Abb. 1.20 : Flüssigkeitsbehälter mit Ablaufrohr
Man kann mit Hilfe des Resultats (1.71) die Zeit ∆t berechnen, die für die Leerung des Behälters von
einer Anfangshöhe h a auf eine Endhöhe h e benötigt wird: Im Zeitintervall dt strömt aus der Austrittsöffnung das Flüssigkeitsvolumen w A 2 dt aus. Um dieses Volumen vermindert sich der Inhalt des
Behälters; bei einer Spiegelsenkung von h auf h + dh (mit dh < 0 ) in der Zeit dt ist die Inhaltsverringerung − A 1 dh . Also gilt:
− A 1 dh = wA 2 dt
(1.72)
Setzt man w nach Gl. (1.71) ein, so ergibt sich:
dt = −
A 1 dh
⋅
2g A 2 h
1
⋅
(1.73)
Die Integration mit der Anfangsbedingung h = ha für t = 0 liefert den folgenden Zusammenhang
zwischen Entleerungszeit ∆t und Spiegelhöhe he :
∆t
A
∆t = ∫ dt = −
⋅ 1
2g A 2
0
1
he
∫
ha
dh
h
=
2 A1
⋅
g A2
(h
a
− he
)
(1.74)
Prandtlrohr und Staurohr
Zur Messung des Gesamtdrucks und des statischen Drucks eines strömenden Mediums werden
schlanke, zylindrische Strömungssonden eingesetzt, mit denen auch die StrömungsgeschwinFachgebiet Verfahrenstechnik
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1-30
1 Strömungsmechanische Grundlagen
digkeit bestimmt werden kann. Auf der Oberfläche eines ruhenden, von einem Fluid umströmten festen Körpers gibt es mindestens einen Punkt den Staupunkt, in dem die Strömungsgeschwindigkeit null ist (s. Abb. 1.21). Die auf den Staupunkt führende Stromlinie heißt Staustromlinie. Bei vielen technisch wichtigen Strömungsvorgängen spielen Höhenunterschiede im
Strömungsfeld keine große Rolle. Druckunterschiede in verschiedenen Punkten einer Stromlinie
gehen dann im Wesentlichen auf Geschwindigkeitsunterschiede und nicht auf Höhenunterschiede zurück. Anstelle von Gl. (1.68) kann man dann die einfachere Form
Abb. 1.21 : Umströmung eines festen Körpers
p+
ρ 2
w =C
2
(1.75)
der Bernoullischen Gleichung benutzen. Die Druckunterschiede in einer Strömung infolge von
Geschwindigkeitsunterschieden sind im Allgemeinen von der Größenordnung eines charakterisρ
tischen Staudrucks w c2 , wobei w c eine charakteristische Geschwindigkeit ist. Die auf Hö2
henunterschiede zurückgehenden Druckunterschiede sind von der Größenordnung ρg ∆z ,
wobei ∆z ein charakteristischer Höhenunterschied im Strömungsfeld ist. Gl. (1.76) ist daher im
ρ 2
Allgemeinen anwendbar, wenn
w c >> ρ g ∆z oder w c2 >> 2 g ∆z ist. – In der folgenden
2
Herleitung wird vorausgesetzt, dass Gl. (1.76)angewandt werden darf; die durch Höhenunterschiede hervorgerufenen Druckunterschiede werden vernachlässigt.
Führt man in eine homogene Parallelströmung die Geschwindigkeit w ∞ eine sogenannte Staudrucksonde oder Pitotrohr, wie in Abb. 1.22 dargestellt, ein, so kann man damit den Gesamtdruck p ges messen. Dabei wird das Staurohr nicht vom Medium durchströmt. Nach Gl. (1.75)
ist der Gesamtdruck p ges = p + ρ w 2 2 längs einer Stromlinie konstant. Im Staupunkt eines
umströmten Körpers stimmt aber der Druck p stau mit dem Gesamtdruck p ges auf der Staustromlinie überein:
p stau = p +
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ρ 2
w = pges
2
(1.76)
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1-31
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Abb. 1.22 : Staudrucksonde oder Pitotrohr zur Messung des Gesamtdrucks
Das angeschlossene Manometer zeigt die Differenz
p ges − p0 = p ∞ +
ρ
2
w ∞ − p0
2
(1.77)
an. p0 ist hierbei z.B. der Umgebungs- oder auch ein anderer Referenzdruck.
Die Messung des statischen Drucks kann mit einer Drucksonde (s. Abb. 1.23) erfolgen. Hierbei
handelt es sich wie beim Staurohr um ein rundes, vorn gut abgerundetes Rohr, das genau in
Strömungsrichtung gebracht wird. In einiger Entfernung vom vorderen Staupunkt werden kleine
Bohrungen bzw. ein Ringschlitz angebracht. Im Innern der Sonde stellt sich dann der statische
Druck der Strömung ein. Wichtig ist, dass die Bohrungen nicht zu weit vorn liegen, da sich die
Strömung dort noch nicht an die Sonde angelegt hat und demzufolge noch ein Unterdruckgebiet
besteht.
w
ρf
Abb. 1.23 : Drucksonde
Die Kombination eines Staurohrs mit einer Drucksonde stellt das sog. Prandtlrohr (s. Abb.
1.24) dar, mit dem die Geschwindigkeit eines strömenden Mediums gemessen werden kann. An
der seitlichen Druckanbohrung in der schlanken zylindrischen Sonde hat die Strömungsgeschwindigkeit den Wert w ∞ (die von dem stumpfen Sondenkopf verursachte Störung
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1-32
1 Strömungsmechanische Grundlagen
w∞
w∞
w=0
Abb. 1.24 : Prandtlrohr. Links: schematische Darstellung, rechts: Anwendung in der Luftfahrt.
der Parallelströmung ist dort abgeklungen). An der Druckanbohrung im Staupunkt ist die Strömungsgeschwindigkeit null (man beachte, dass kein Fluid durch die Druckanbohrungen strömt,
da das Manometer nicht durchströmt werden kann).
Aus der Bernoullischen Gleichung folgt, dass das Manometer die Differenz der an den beiden
2
Bohrungen vorhandenen Staudrücke anzeigt, hier also die Größe (ρ 2 ) w ∞ . Aus der Manome-
teranzeige lässt sich somit w ∞ ermitteln.
1.4.5
Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömungen
Für instationäre Strömungen muss die partielle zeitliche Ableitung ∂w / ∂t der Euler-Gleichung (1.64)
ebenfalls längs des Stromfadens s integriert werden. Dabei ist die Integration bei fester Zeit t von s1 bis
s2 durchzuführen. Es ergibt sich die Bernoulli-Gleichung für instationäre eindimensionale Strömungen:
s2
w 22 − w 12 p 2 − p1
∂w
∫ ∂t ds + 2 + ρ + g(z 2 − z1 ) = 0.
s
(1.78)
1
Der Wert des Integrals gibt die spezifische Beschleunigungsarbeit wieder.
Flüssigkeitsschwingung in einem gekrümmten Rohr
Als Anwendungsbeispiel für Gl. (1.78) werden die Flüssigkeitsschwingungen in einem Rohr der in Abb.
1.25 skizzierten Gestalt betrachtet. Das Rohr besitze einen konstanten Querschnitt. In der Ruhelage
stehen die Flüssigkeitsspiegel in beiden Rohrschenkeln gleich hoch. Die Auslenkung x der Spiegel aus
der Ruhelage ist in beiden Schenkeln gleich groß, weil sich die Länge 1 des Flüssigkeitsfadens wegen
der Konstanz des Rohrquerschnitts bei der Schwingung nicht ändert. Wendet man Gl. (1.78) auf die
gestrichelt skizzierte von Punkt 1 nach Punkt 2 führende Stromlinie an und beachtet dabei, dass
p1 = p 2 = p 0 (Atmosphärendruck) und w = x& sowie ∂w / ∂t = &x& , so erhält man dann:
ρl&x& + p 0 +
ρ
ρ 2
x& + ρgx sin β = p 0 + x& 2 − ρgx sin α
2
2
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(1.79)
1-33
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Hieraus ergibt sich die Schwingungsgleichung:
&x& +
g
(sin α + sin β) x = 0
l
(1.80)
Die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung ist nach Gl. (1.79):
ω=
g
(sin α + sin β)
l
(1.81)
Die Schwingungsdauer ist t = 2π / ω . Für α = β = 90 o ist das Rohr ein U-Rohr mit parallelen, vertikalen Schenkeln und es ist
ω=
g
l/ 2
(1.82)
Hier stimmt also die Schwingungsdauer mit derjenigen eines mathematischen Pendels (Punktpendels) der
Länge l/2 überein.
Abb. 1.25 : Schwingende Flüssigkeit in einem gekrümmten Rohr.
1.4.6
Impulssatz
Die Berechnung der Bewegung eines Fluids als Folge bestimmter Kräfte erfolgt, wie bereits in
Abschn. 1.4.3 praktiziert, mit Hilfe der Bilanzgleichung für den Impuls. Hierbei sind zwei
grundsätzliche Formen zu unterscheiden. Die differenzielle Form, wie sie für reibungsfreie
Strömungen als Euler-Gleichung vorliegt, wird als Bewegungsgleichung bezeichnet. Dagegen
wird die integrale Form Impulssatz genannt.
Die Bilanzgleichung für den Impuls lautet für ein materielles Volumen:
Die Zunahme an Impuls in einem materiellen Volumen ist gleich der daran von außen angreifenden Kraft.
r
Ein Volumenelement dV mit der Dichte ρ und der Geschwindigkeit w besitzt den Impuls
r
r
d I = ρ w dV . Der Impuls eines endlichen Volumens ist demnach:
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1-34
1 Strömungsmechanische Grundlagen
r
r
I = ∫ ρ w dV
(1.83)
Die an einem endlichen Volumen angreifenden Kräfte setzen sich aus Volumen- und Oberflächenkräften
zusammen (s. Abschn. 1.1.2). Für die insgesamt an einem Volumen angreifende Kraft gilt:
r
r
F = ∫ ρ f dV + ∫ σ dA
1
424
3 1
42
4
3
r
(1.84)
F0
Fv
Der Impulssatz lautet demnach für ein materielles Volumen
r
r
d
ρ w dV = ∫ ρ f dV + ∫ σ dA
∫
dt V~
~
~
V ,V
A ,A
(1.85)
~
Dabei ist V ein beliebig gewähltes materielles Volumen in dem betrachteten bewegten Kontinuum und
~
~
A seine Oberfläche; V ist das raumfeste Volumen, das sich zum betrachteten Zeitpunkt mit V gerade
~
deckt, und A seine Oberfläche. Nach dem Impulssatz ist zunächst auch auf der rechten Seite über V und
~
A zu integrieren; solange aber von einem Integral keine zeitliche Ableitung gebildet wird, ist es offen-
bar gleich, welchen der beiden Bereiche man nimmt. Zu dem betrachteten Zeitpunkt stimmen beide
Volumina (und alle ihre Eigenschaften wir ihre Masse, ihr Impuls oder die auf die Volumina ausgeübte
Kraft) definitionsgemäß überein, nur ihre zeitlichen Ableitungen sind verschieden. Zukünftig wird bei
allen Integralen, von denen keine zeitliche Ableitung zu bilden ist, auf die Angabe, ob der Integrationsbereich materiell oder raumfest ist, verzichtet.
Wendet man den Impulssatz (1.85) allein für reibungsfreie Fluide an, so entfallen sämtliche Schubspannungen. Als Oberflächenkräfte treten nur noch Druckkräfte auf. Der Impulssatz lautet dann:
r
r
d
ρ
w
dV
=
ρ
∫ f dV − ∫ pdA
dt V∫~
(1.86)
Um den Impulssatz im Weiteren auf einen Stromfaden zu spezialisieren, wird auf der linken Seite nach
Gl. (1.52) dV = A ds eingesetzt, so dass sich folgender Zusammenhang ergibt:
r
s (t )
s2
r
r
r
ds
ds 2
∂ρwA
d 2 r
d
− ρ1 w 1 A 1 1 .
ρ w dV =
ρ w A ds = ∫
ds + ρ 2 w 2 A 2
∫
∫
dt
∂t
dt
dt s (t )
dt V~
s1
1
r
r
& und
Mit w = w ⋅ e, ρ w A = M
r
d
ρ w dV =
∫
dt V~
ds
= w folgt:
dt
& ⋅ er
r
r
∂M
∫ ∂t ds + M& 2 w 2 e 2 − M& 1 w 1 e1
s
s2
1
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(1.87)
1-35
1 Strömungsmechanische Grundlagen
r
Auf der rechten Seite wird für die Volumenkraft FV eingesetzt (sie ist im Schwerefeld gleich dem Produkt ausr dem Gewicht des Fluids im betrachteten Volumen und
r der Erdbeschleunigung und wird deshalb
häufig FG rgenannt). Die Oberflächenkraft wird in die Kraft FM auf den Mantel des Stromfadens und in
die Kraft FE auf die Endflächen des Stromfadens zerlegt. In der Regel kann man die in den Endflächen
wirkenden Reibungskräfte gegenüber den Druckkräften in den Endflächen und den Kräften auf den
Mantel vernachlässigen. Dann kann man für die Kraft auf die Endflächen
r
r
r
FE = p1A 1e1 − p 2 A 2 e 2
(1.88)
& er
r
r
∂M
& w er − M
& w er = F + F + p A er − p A er
ds
+
M
2
2 2
1
1 1
V
M
1 1 1
2 2 2
∫ ∂t
s
(1.89)
schreiben.
Der Impulssatz (1.85) lautet:
s2
1
In dieser Form ist der Impulssatz für den Stromfaden leicht anschaulich interpretierbar: In Gl.
(1.89) steht wie in Gl. (1.85) links die Änderung des Impulses in dem betrachteten Stromfadenabschnitt und rechts die daran von außen angreifende Kraft. Auf der linken Seite stellt der erste
Term, das sogenannte instationäre Glied, die lokale Impulsänderung dar, die beiden anderen
zusammen bilden die konvektive Impulsänderung, d.h. die Differenz aus dem aus dem Stromfaden austretenden und dem in ihn eintretenden Impulsstrom. Auf der rechten Seite stellt der erste
Term die Volumenkraft und der Rest die Oberflächenkraft dar; sie zerfällt in die Mantelkraft
und die Kraft auf die beiden Endflächen des Stromfadenabschnitts.
r
Statt der von außen auf den Mantel ausgeübten Kraft FM verwendet man häufig die vom Fluid
auf den Mantel ausgeübte Reaktionskraft
r
r
RM = − FM
(1.90)
r
Löst man den Impulssatz nach R M auf, so lautet er:
s2 & r
r
r
r
r
& w +p A e − M
& w + p A e − ∂Me ds
RM = FV + M
1
1
1 1
1
2 2
2 2
2
∫ ∂t
s
[
]
[
]
(1.91)
1
Bei vielen technischen Anwendungen wird der Mantel des Stromfadens von einer festen Wand
r
gebildet, auf die von innen die Reaktionskraft R M und von außen die vom äußeren Luftdruck
r
r
r
p 0 herrührende Kraft FM0 = −p 0 ∫ dA wirkt; dabei sind die Flächenelemente dA wieder nach
außen orientiert, und die Integration ist über den ganzen Mantel des Stromfadenabschnitts zu
erstrecken. Technisch wichtig ist dann häufig die Resultierende
r
r
r
R W = R M + FM0
(1.92)
r
r
dieser beiden Kräfte, die im Unterschied zur Reaktionskraft R M als Reaktionswandkraft R W bezeichnet wird. Um im Impulssatz die Reaktionswandkraft einzuführen, berücksichtigt man, dass
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die vom äußeren Luftdruck (unter Vernachlässigung des Schwerefeldes) auf einen beliebigen
Körper, also auch auf die gesamte Oberfläche des Stromfadenabschnitts, ausgeübte Kraft null ist
(anderenfalls müsste aus dem Druck auf einen Körper eine resultierende Kraft entstehen):
r
r
r
FM0 + p 0 A 1 e1 − p 0 A 2 e 2 = 0
Dann erhält man
s2
& er
r
r
r
r
∂M
&
&
ds
R W = FV + M1w 1 + (p1 − p 0 ) A 1 e1 − M2 w 2 + (p 2 − p 0 ) A 2 e 2 − ∫
∂
t
s
[
]
[
]
.
(1.93)
1
Alle bis jetzt hergeleiteten Formen des Impulssatzes gelten für:
−
stationäre und instationäre Strömungen,
−
kompressible und inkompressible Fluide,
−
reibungsfreie Fluide,
−
nur einen Stromfadenabschnitt.
Stationäre Strömungen
Wendet man den Impulssatz auf stationäre Strömungen an, so ist der Massenstrom nach Gl.
(1.57) unabhängig vom Querschnitt, und Gl. (1.93) vereinfacht sich zu
r
r
r r
R W = FV + J1 − J2
(1.94)
mit dem sogenannten erweiterten Impulsstrom ( ν steht für die verschiedenen Querschnitte):
[
]
r
& ⋅ w + (p − p ) ⋅ A er
Jν = M
ν
ν
0
ν
ν
(1.95)
Beispielhaft für die Anwendung des Impulssatzes sei zunächst die stationäre Strömung eines
inkompressiblen, reibungsfreien Fluids, das in einem horizontalen Krümmer um den Winkel α
umgelenkt wird, betrachtet (s. Abb. 1.26). Die Reaktionswandkraft soll nach Größe und Richtung berechnet werden.
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Abb. 1.26 : Durchströmung eines liegenden Krümmers.
Zwischen den Querschnitten 1 und 2 des Krümmers werden die Kontinuitätsgleichung (1.57),
die Bernoullische Gleichung (1.67) und der Impulssatz (1.93) angesetzt:
w1 A1 = w 2 A 2
(1.96)
w 12 p1 w 22 p 2
+
=
+
2
2
ρ
ρ
(1.97)
und
[
]
[
]
r
r
& ⋅ w + (p − p ) A er
& ⋅ w + (p − p ) A er − M
R W = FV + M
1
1
0
1
1
2
2
0
2
2
r
Die Volumenkraft FV resultiert aus dem Gewicht des Fluids im Krümmer:
r
r
FV = −ρ ⋅ g ⋅ V e z
(1.98)
(1.99)
r
r
Für das eingezeichnete Koordinatensystem haben e1 und e 2 die Komponenten
r
e1 = (0, 1, 0 )
r
e 2 = (sin α, cos α, 0 )
(1.100)
Es seien w 1, p1 und p 0 bekannt, dann ergeben sich die drei Koordinaten der Reaktionswandkraft
(1.98) unter Verwendung von (1.96), (1.97), (1.99) und (1.100) zu
⎡ρ
R W x = − ⎢ w 12
⎣⎢ 2
⎤
⎛ A 12 ⎞
⎟ + (p1 − p 0 )⎥ A 2 sin α ,
⎜1 +
⎜ A2 ⎟
2 ⎠
⎝
⎦⎥
⎡ρ
R W y = ρw 12 + (p1 − p 0 ) A 1 − ⎢ w 12
⎢⎣ 2
[
]
⎤
⎛ A 12 ⎞
⎟ + (p1 − p 0 )⎥ A 2 cos α
⎜1 +
⎜ A2 ⎟
⎥⎦
2 ⎠
⎝
und
R W z = −ρgV
Die Größe der Reaktionskraft ergibt sich aus der Beziehung
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
R W = R 2Wx + R 2Wy + R 2Wz
und die Richtung der Kraftangriffslinie in der x, y -Ebene aus:
tan β = R W y / (− R W x )
(1.101)
Als weitere Anwendung des Impulssatzes wird das Verhalten von Freistrahlen betrachtet. Ein Strahl tritt
mit der Geschwindigkeit w aus einer rechteckigen Düse aus (Abb. 1.27; Strahlbreite h und -tiefe b
senkrecht zur Zeichenebene). Der Strahl trifft auf eine Schaufel, die ihn symmetrisch nach zwei Seiten
um den Winkel 180 o − β umlenkt. Zu berechnen ist die von der Flüssigkeit auf die Schaufel ausgeübte
Kraft. Zunächst eine Vorbemerkung: Die Flüssigkeit ist von der ruhenden Atmosphäre mit dem Druck
p0 umgeben. Bei Abschalten des Strahls übt der Druck p0 auf die Innenseite der Schaufel, die bei
eingeschaltetem Strahl von diesem benetzt wird, eine Kraft aus. Diese Kraft wird aber gerade von der
Kraft kompensiert, die auf der nicht benetzten Schaufelrückseite vom Atmosphärendruck p0 erzeugt
wird, denn ein allseits auf die Oberfläche eines beliebigen Körpers wirkender konstanter Druck erzeugt
keine resultierende Kraft. Wird der Impulssatz unter Benutzung des gestrichelt umrandeten Kontrollvolumens (Abb. 1.27) angewendet und die vom Strahl auf die Innenseite der Schaufel ausgeübte Kraft
ausgerechnet, erhält man auch einen Kraftanteil, der auf den Atmosphärendruck p0 zurückgeht und auch
ohne Strahl vorhanden ist. Da dieser Kraftanteil durch den Druck auf der Rückseite kompensiert wird
und daher zur resultierenden Kraft auf die Schaufel nichts beiträgt, ist er bedeutungslos. Dieser Kraftanteil tritt bei der Rechnung gar nicht auf, wenn man einfach p0 gleich null setzt. In diesem Fall ergibt der
Impulssatz als Kraft auf die Schaufelinnenseite nur die von der Strömung erzeugte Kraft. Diese Kraft
stimmt aber auch für p0 ≠ 0 mit der auf die Schaufel wirkenden resultierenden Druckkraft überein.
Abb. 1.27 : Umlenkung eines rechteckigen Freistrahls an einer Schaufel (links); Peltonturbine (rechts)
Da der Druck am Strahlrand konstant ist (= p0 ), muss die Geschwindigkeit dort auch konstant und somit
gleich der Ausströmungsgeschwindigkeit w sein. Es ist plausibel, dass in einiger Entfernung vom
Umlenkgebiet die Stromlinien in beiden Teilstrahlen wieder parallel geworden sind. Dann ist der Druck
über den Strahlquerschnitt konstant (= p0 ). Damit hat dort die Geschwindigkeit auf allen Stromlinien den
selben Wert w ; man sieht dies ein, indem man die Bernoullische-Gleichung auf eine Stromlinie anwendet, die von einem Punkt im ankommenden Parallelstrahl zu einem Punkt im abgehenden Parallelstrahl
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führt. Die Impulsgleichung (für den Impuls in x-Richtung) ergibt nun mit Einführung des Massenstroms
& = ρ ⋅ w ⋅ b ⋅ h (aus den oben erläuterten Gründen wird p = 0 gesetzt):
M
0
& (− w cosβ ) +
−M
1442443
ausfließender
&w
M
{
=
Rw
(1.102)
einfließender
x-Impuls
R w ist die in x - Richtung auf die Schaufel ausgeübte Kraft. Sie ergibt sich aus Gl. (1.102) zu:
& ⋅ w (1 + cos β ) = ρ ⋅ w 2 ⋅ b ⋅ h (1 + cos β )
RW = M
(1.103)
Zusätzlich soll sich die Schaufel nun mit der Geschwindigkeit w 0 von der Düse fortbewegen. Die
Strömung ist für einen mit der Schaufel bewegten Beobachter stationär. Für diesen Beobachter trifft der
Strahl mit der Geschwindigkeit w − w 0 auf die Schaufel, wenn w wie bisher die Austrittsgeschwindigkeit aus der feststehenden Düse bezeichnet. Als Kraft auf die Schaufel ergibt sich somit aus Gleichung
(1.102):
R W = ρ ⋅ (w − w 0 ) b ⋅ h (1 + cos β )
2
(1.104)
Die Leistung P dieser Kraft, d.h. die von ihr pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit, ist P = R W ⋅ w 0 , d.h.:
P = ρ ⋅ (w − w 0 ) w 0 ⋅ b ⋅ h (1 + cos β )
2
(1.105)
Die Leistung wird 0 für w 0 = w und w 0 = 0 . Dazwischen muss es einen Wert w ∗0 geben, für den sie
ein Maximum, Pmax , annimmt. Man findet w ∗0 , indem man den Ausdruck (d) für P nach w 0 differenziert und
null setzt. Es ergibt sich w ∗0 = w 3 und Pmax =
4
ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ w 3 (1 + cos β ) .
27
Überlegungen dieser Art sind u. a. bei der Auslegung von Peltonturbinen von Bedeutung. In einer Peltonturbine trifft ein Flüssigkeitsstrahl auf die auf den Umfang eines Laufrades angeordneten Schaufeln
von der in Abb. 1.27 skizzierten Form. Da ständig neue Schaufeln in den Strahl eintauchen, sind die
obigen Überlegungen über das Maximum der Leistung allerdings etwas zu ändern; es ergibt sich hier
eine Leistungsmaximum für w 0 = w 2 .
1.4.7
Energieerhaltung
Eine weitere Grundgleichung (s. Abschn. 1.3), die für die vollständige mathematische Beschreibung der
Strömungen mit Energietransport oder bei der Berücksichtigung der Arbeitsleistung von Strömungsmaschinen zu behandeln ist, ist die Energieerhaltung. Für die Ableitung der Energiebilanz ergänzen wir die
Prinzipskizze der betrachteten Stromröhre und des Stromfadens der Abb. 1.17 um einen zusätzlichen
& (s. Abb. 1.28).
Wärmestrom Q
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1 Strömungsmechanische Grundlagen
Abb. 1.28 : Stromröhre und Stromfaden mit Wärmestrom
Allgemein gilt für die Energieerhaltung einer stationären und reibungsfreien Strömung, dass die Änderung des Energiestroms im betrachteten Volumenelement dV gleich der Leistungen der angreifenden
& in der Einheit
Kräfte und der Leistung des Wärmestroms ist. Damit berechnet sich der Energiestrom Ε
Watt [W] = [J/s] zu:
⎛
w2 ⎞ & ⎛
w2 ⎞
⎟ ρ⋅w ⋅A
⎟ ⋅ M = ⎜u +
E& = ⎜⎜ u +
⎟
⎜
⎟
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
(1.106)
Mit der auf das Massenelement dM = ρ ⋅ dV bezogenen inneren Energie u und der massenspezifischen
kinetischen Energie w 2 2 . Für die beiden Querschnitte A 1 und A 2 der betrachteten Stromröhre folgt
& = const. :
mit der Kontinuität M
⎛
w 12 ⎞ & ⎛
w 12 ⎞
&
⎜
⎟
⎜
⎟
E1 = ⎜ u1 +
⎟ ⋅ M = ⎜ u1 + 2 ⎟ ⋅ ρ1 ⋅ w 1 ⋅ A 1
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
w 22 ⎞⎟ & ⎛
w 22 ⎞
⎜
&
⎟ ⋅ ρ2 ⋅ w 2 ⋅ A 2
⎜
E2 = u2 +
⋅ M = ⎜ u2 +
⎟
⎜
2 ⎟
2
⎠
⎝
⎝
⎠
(1.107)
(1.108)
Die Leistungen der angreifenden Kräfte (Druckkräfte und Schwerkraft) sowie der Leistung des Wärme& führen bei Vernachlässigung der Reibung zu einer Änderung des Energiestromes von 1 nach 2
stroms Q
gemäß der folgenden Bilanzgleichungen:
&
& +Q
E& 2 − E& 1 = p1 ⋅ A 1 ⋅ w 1 − p 2 ⋅ A 2 ⋅ w 2 + g ⋅ (z1 − z 2 ) M
⎛
w2 ⎞ & ⎛
w2 ⎞ &
& &
⎜ u1 + 1 ⎟ M
⎜ u2 + 2 ⎟ ⋅ M
−
⎟ = p1 ⋅ A 1 ⋅ w 1 − p 2 ⋅ A 2 ⋅ w 2 + g ⋅ (z1 − z 2 ) ⋅ M + Q
⎜
⎟
⎜
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
(1.109)
(1.110)
& = ρ ⋅ w ⋅ A = ρ ⋅ w ⋅ A folgt:
Nach Division durch M
1
1
1
2
2
2
u2 +
p
p2 1
1
& /M
&
+ ⋅ w 22 + g ⋅ z 2 = u1 + 1 + ⋅ w 12 + g ⋅ z1 + Q
ρ2 2
ρ1 2
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(1.111)
1-41
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Mit der Definition der massenspezifischen Enthalpie h = u + p / ρ ergibt sich:
h2 +
1 2
1
& /M
&
⋅ w 2 + g ⋅ z 2 = h1 + ⋅ w 12 + g ⋅ z1 + Q
2
2
(1.112)
Fasst man darin die drei Größen h1 , w 1 und g ⋅ z1 am Querschnitt A 1 als gegebene Größen gemäß
2
h1 + (1 2) ⋅ w 1 + g ⋅ z1 = const. zu einer Konstanten zusammen und betrachtet die Größen am Querschnitt A , so erhält man:
1
h + ⋅ w 2 + g ⋅ z = const.
2
(1.113)
Wird keine Wärme zu- oder abgeführt und damit die innere Energie nicht verändert, so sind der Energiesatz und die Bernoulli-Gleichung identisch. Dies gilt ausschließlich für die in diesem Abschnitt betrachtete inkompressible Strömung.
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1-42
1 Strömungsmechanische Grundlagen
1.5
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird nach einigen wesentlichen Definitionen, u.a. die des Kontinuums, das
Fließverhalten von Gasen und Flüssigkeiten erläutert. Insbesondere der Begriff des Newtonschen Fluids wird ebenso dargestellt wie der Potenzansatz von Ostwald-de Waele für strukturviskose und dilatante Flüssigkeiten.
Die allgemeine Bilanzgleichung für die Austauschgrößen Masse, Impuls und Energie wird
zusammen mit dem Begriff des Systems als Bilanzbereich eingeführt.
Im Bereich der Hydrostatik werden das Eulersche Grundgesetz und der Auftrieb hergeleitet und
anhand einiger typischer Beispiele erläutert.
Der Abschnitt Kinematik basiert auf der Anwendung der eindimensionalen Stromfadentheorie.
Nach Ableitung der Kontinuitätsgleichung wird die Bewegungsgleichung für einen Stromfaden
in einer reibungsfreien Strömung formuliert. Hieraus ergeben sich die Euler- und BernoulliGleichung als wesentliche Ergebnisse. Einige charakteristische Beispiele für Anwendungen der
Bernoulli-Gleichung werden vorgestellt.
Als integrale Form der Kräftebilanz an einem Fluidelement wird der Impulssatz hergeleitet und
an zwei typischen Beispielen erläutert.
Den Abschluss des Kapitels bildet die Energiebilanz für einen Stromfaden.
1.6
Literatur
Allgemein
Becker, E. (1986): Technische Strömungslehre. 6., überarb. Aufl. / bearb. von Eckart Piltz , Teubner,
Stuttgart
Eck, B. (1978): Technische Strömungslehre. 8. Aufl., Springer, Berlin Heidelberg New York
Oertel, H. (1999): Strömungsmechanik. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig Wiesbaden
Schade, H; Kunz, E. (1989): Strömungslehre. 2. Aufl., Walter de Gruyter, Berlin New York
Siekmann, H. E. (2000): Strömungslehre: Grundlagen. Springer, Berlin [u.a.]
Speziell
Boger, D. V.; Yeow, Y. L. (1992): Fluid Mechanics; in: Ullmann's Encyclopedia of industrial chemistry,
Vol. B 1, S. 5-1/5-50.
Kraume, M. (2004): Transportvorgänge in der Verfahrenstechnik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg
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1-43
1 Strömungsmechanische Grundlagen
1.7
Index
Abgeschlossenes System (self-contained system) 1- 12
Allgemeine Bilanzgleichung (general property balance equation) 1- 12
Archimedisches Prinzip (Archimedes principle) 1- 17
Auftrieb (buoyant force) 1- 17
Bahnlinie (path line) 1- 22
Bernoulli-Gleichung (Bernoulli equation) 1- 29
Bingham-Flüssigkeit (Bingham fluid) 1- 10
d'Alembert-Kraft (d’Alembert force) 1- 21
Differenzielle Bilanzgleichung (differential balance equation) 1- 11
Dilatante Flüssigkeiten (shear thickening fluids) 1- 9
Diskontinuitätsfläche (discontinuity surface) 1- 2
Drehimpulssatz (angular momentum equation) 1- 11
Drucksonde (pressure probe) 1- 32
Eindimensionale Stromfadentheorie (one dimensional streamline theory) 1- 24
Energiesatz (energy equation) 1- 11
Euler-Gleichung (Euler equation) 1- 29
Eulersches Grundgesetz (Eulerian fundamental principle) 1- 15
Extensive Größe (extensive property) 1- 3
Feldgröße 1- 2
Fließexponent (flow behaviour index) 1- 10
Fließkurven (flow curve) 1- 5
Fluid (fluid) 1- 1
Fluidelement (fluid element) 1- 21
Flüssigkeiten (liquid) 1- 1
Freistrahlen (free jets) 1- 39
Gas (gas) 1- 1
Geschlossenes System (closed system) 1- 12
Grenzschicht (boundary layer) 1- 27
Hydrostatische Druckverteilung (hydrostatic pressure distribution) 1- 16
Hydrostatisches Paradoxon (hydrostatic paradox) 1- 17
Impulssatz (momentum equation) 1- 11
Innere Reibung (internal friction) 1- 27
Instationäre Strömungen (unsteady flow) 1- 24
Integrale Bilanzgleichung (integral balance equation) 1- 11
Intensive Größen (intensive property) 1- 3
Intermolekulare Anziehungskraft (intermolecular attractive force) 1- 6
Kinematik (kinematics) 1- 21
Kommunizierende Gefäße (communicating vessels) 1- 16
Kontinuitätsgleichung (continuity equation) 1- 11
Kontinuum (continuum) 1- 2
Kraftdichte (body force) 1- 3
Massenelement (mass element) 1- 3
Massenkraft (mass force) 1- 3
Newtonsche Fluide (Newtonian fluid) 1- 5
Newtonscher Schubspannungsansatz (Newton’s law of viscosity) 1- 5
Nicht-Newtonsche Fluide (non-Newtonian fluid) 1- 8
Offenes System (open system) 1- 12
Ostwald und de Waele Ansatz (power-law fluid model) 1- 10
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1-44
1 Strömungsmechanische Grundlagen
Ostwaldfaktor (Ostwald factor/ consistency index) 1- 10
Peltonturbine (Pelton turbine) 1- 41
Prandtlrohr (Prandtl tube) 1- 33
Pseudoplastische Flüssigkeiten (shear thinning fluids) 1- 8
Reaktionskraft (reaction force) 1- 37
Reaktionswandkraft 1- 37
Reibungsfreie Strömung (inviscid flow) 1- 27
Schergeschwindigkeit (shear rate) 1- 4
Scherrate (shear rate) 1- 4
Schubspannung (shear stress) 1- 4
Spannungsvektor (stress vector) 1- 3
Stationäre Strömung (steady flow) 1- 22
Staupunkt (stagnation point) 1- 31
Staurohr (Pitot tube) 1- 32
Stromlinie (streamline) 1- 23
Stromröhre (streamtube) 1- 25
Strukturviskose Flüssigkeiten (shear thinning fluids) 1- 8
Teilchenbahn (path line) 1- 22
Viskosität (viscosity) 1- 5
Volumenelement (volume element) 1- 3
Volumenkraft (body force) 1- 3
Zähigkeit (viscosity) 1- 5
Zentrifuge (centrifuge) 1- 20
Zyklone (cyclone) 1- 20
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