Übungsbeispiele Normalverteilung

1)
Die Körpergröße von Männern sei normalverteilt mit
a)
b)
c)
µ = 170cm und σ = 10cm
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Mann zwischen 160 cm und 185
cm groß ist?
33% der Männer sind größer als ..... ?
Wie lautet ein zum Mittelwert symmetrisches Intervall, in dem die Körpergröße der Männer mit
92% Wahrscheinlichkeit liegt?
2)
85% der Äpfel, die ein Obstbauer erntet, sind zwischen 120 g und 180 g schwer. Berechne unter den
Annahme, dass das Gewicht der Äpfel normalverteilt ist und das Intervall [120;180] symmetrisch zum
Erwartungswert liegt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig ausgewählter Apfel schwerer als 155 g
ist!
3)
Eine Maschine füllt 1-Liter-Flaschen mit einer Standardabweichung von σ = 0,06 Liter. Dabei soll 0,98
Liter als eine untere Toleranzgrenze in nicht mehr als 4% aller Füllungen unterschritten werden. Auf
welchen Mittelwert µ muss die Maschine dazu eingestellt werden? In wie vielen Flaschen ist dann mehr
als 1 Liter enthalten?
4)
In einer Molkerei werden 1-Liter-Milchpackungen abgefüllt. Dabei wird eine Füllmenge von 960 ml bis
1050 ml toleriert. Aus statistischen Untersuchungen weiß man, dass in 2,5% der Fälle die tolerierte
Füllmenge unterschritten und in 3,6% der Fälle überschritten wird. Wie viel Prozent der Packungen
enthalten zwischen 0,98 und 1,02 Liter Milch?
5)
Für eine Glühbirne wird bei einer Standardabweichung von 50 h eine durchschnittliche Brenndauer von
800 Stunden angegeben.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine derartige Glühbirne a) eine Lebensdauer von
mindestens 900 Stunden hat b) nach nur 675-stündigem Gebrauch bereits kaputt ist c) zwischen
770 und 840 Stunden leuchtet?
b) Berechne jenes zum Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Brennbauer mit a) 80% b)
90% c) 99% Wahrscheinlichkeit liegt!
6)
2% der erwachsenen Bevölkerung eines gewissen Landes sind kleiner als 1,5 Meter, während 3% größer
als 2 Meter sind. Nimm an, dass die Größe normalverteilt ist und berechne, wie viel Prozent der
Bevölkerung zwischen 1,7 Meter und 1,8 Meter groß sind!
7)
Bei einem Intelligenztest erreichten 20% der Teilnehmer mindestens 515 Punkte, während 10% der
Teilnehmer sogar mindestens 526 Punkte erreichten. Wie viel Punkte wurden von 2/3 aller Teilnehmer
mindestens erreicht?
Nimm dazu an, dass die erreichten Punkte normalverteilt sind!
Wie groß sind µ und σ ?
Anleitung Bsp.4) (und ähnlich Bsp.6+7)
I) P(X ≤ 960) = P(Z ≤
960 −µ
960 −µ
960 −µ
)=
= 0,25 σ
σ
σ
1050 −µ
1050 −µ
)=1= 0,036 σ
σ
Φ(
II) P(X ≥ 1050) = P(Z ≥
)
Φ(
2 Gleichungen für µ und σ …
)
=-1,96 960- µ =-1,28 σ
Φ( 1050σ −µ ) =0,964 1050 −µ
σ
=1,8 1050- µ =1,8 σ
Lösungen: 1a) 77,45% b) 174,3cm c) [ 152,5 , 187.5 ] 2) 40,5% 3) 1,085 Liter ; 92,22% 4)57,62%
5a) 2,28% ; 0,62% ; 51,38% b) [ 736 ; 864 ] ; [ 718 , 882 ] ; [671 ; 929 ] 6) µ ≈1,76m , σ ≈0,127m , 30,6%
7)
µ ≈493 , σ ≈25 , 482 Punkte
Übungsbeispiele zur Normalverteilung
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Version 11.3.2006