Risiken, Krisen und Katastrophen - TUM-IAS

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Lehrstuhl für Philosophie und Wissenschaftstheorie / Carl von Linde-Akademie
Risiken,, Krisen,, Katastrophen
p
Wie lassen sich Extremereignisse beherrschen?
Einführung
ü u g
Prof. Dr. Klaus Mainzer
Lehrstuhl für Philosophie und Wissenschaftstheorie
Carl von Linde-Akademie
T h i h U
Technische
Universität
i
ität Mü
München
h
Lehrstuhl für Philosophie und Wissenschaftstheorie / Carl von Linde-Akademie
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Zufall und das Gesetz der großen Zahl
In der Ars conjectandi (1712)
untersucht J. Bernoulli
Z f ll
Zufallsprozesse
( B ffairer
(z.B.
i
Münzwurf), bei denen einzelne
Ereignisse (z.B. Würfel)
unabhängig, also mit konstanter
Wahrscheinlichkeit (z.B. ½)
verteilt sind.
Nach dem Gesetz der großen Zahl wächst bei Vergrößerung der Stichproben
di W
die
Wahrscheinlichkeit,
h
h i li hk it d
dass sich
i h ih
ihre relative
l ti Häufigkeit
Hä fi k it rn (d.h.
(d h A
Anzahl
hl z.B.
B
der Kopfwürfe geteilt durch Stichprobengröße n) dem Grenzwert ½ nähert.
Dabei konzentrieren sich die meisten Stichprobendurchschnitte um ½ und
nehmen in der Form einer Gaußschen Glockenkurve (Normalverteilung) ab.
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Seltene Ereignisse und das Gesetz der kleinen Zahl
1837 veröffentlicht der
französische
Mathematiker S. D.
Poisson seine
„Untersuchungen zur
W h h i li hk it
Wahrscheinlichkeit
von Urteilen in Strafund Zivilsachen.“
Zivilsachen “
Die Poisson-Verteilung liefert Voraussagen über die Anzahl k des Eintretens seltener,
zufälliger und voneinander unabhängiger Ereignisse innerhalb eines bestimmten Intervalls,
wenn aus vorangehender Beobachtung bereits bekannt ist, wie viele Ereignisse man im
Mittel innerhalb dieses Intervalls erwartet. Die Verteilung seltener Ereignisse nach Poisson
b
begründet
ü d t das
d Gesetz
G
t der
d kl
kleinen
i
Z
Zahlen
hl (L.
(L von B
Bortkewitsch
tk it h 1898)
1898).
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F. Lundberg: Risiko der Versicherungsmärkte
In seiner Dissertation von 1903 legte der
schwedische Mathematiker F. Lundberg die
Grundlagen der klassischen
Versicherungsmathematik
g
. Bei einem
Versicherungsunternehmen wird der
Risikoprozess U(t) durch die
Anfangsrisikoreserve
g
u, die eingehenden
g
Prämienzahlungen c und die Summe S(t) der
Schadensausfälle Xi bestimmt:
N ((tt )
U (t )    c  t  S (t ), S (t )   X i , t  0 .
t 1
L db
Lundberg
setzt
t t eine
i homogene
h
P i
Poisson-Verteilung
V t il
N(t) unabhängiger
bhä i
und
d identisch
id ti h
verteilter Einzelschäden sowie eine konstante Prämienrate pro Zeiteinheit voraus.
Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmten, dass der Risikoprozess eines
U t
Unternehmens
h
unter
t den
d Wert
W t Null
N ll sinkt
i kt (Ruinwahrscheinlichkeit
R i
h h i li hk it).
)
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Zufallsdynamik der Risikoprozesse
U(t) für exponentiell verteilte Schadenausfälle
Lundbergs klassische Risikotheorie
trifft nur für kleine Schadenausfälle zu
(Cramér-Lundberg Bedingung). Wie
beeinflussen aber einzelne extreme
Ereignisse den globalen
Risikoprozess?
Pareto-verteilte Schadenausfälle
erfüllen nicht die Cramér- Lundberg
Bedingung.
U(t) für Pareto verteilte Schadenausfälle
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L. B
L
Bachelier:
h li
Zufall der Finanzmärkte
In seiner Dissertation "Théorie de la
Spéculation" führt der französische
Spéculation
Mathematiker L. Bachelier (1870 - 1946)
die statistischen Grundlagen der
klassischen Finanztheorie ein.
ein Dazu
nimmt er an, dass Preisänderungen sich
wie Zufallsbahnen von Molekülen in
einer Brownschen Bewegung bzw.
bzw
Zufallsfolgen beim fairen Münzwurf
verhalten.
In diesem Fall hängt Zufall ab von (1) statistischer Unabhängigkeit („Jede
Preisänderung ist unabhängig von der vorherigen.“), (2) statistischer Stationarität,
und ((3)) Normalverteilung
g („
(„Preisänderungen
g folgen
g der Proportion
p
der Gaußschen
Glockenkurve“).
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Z f ll d
Zufallsdynamik
ik des
d D
Dow Jones
J
Nach Bacheliers klassischer
Finanztheorie ist jede tägliche
Preisänderung unabhängig von der
letzten und folgt dem milden
Zufallsmuster, das die Gaußsche
Verteilungskurve voraussagt.
In diesem Fall sind die meisten
Änderungen
g klein und innerhalb
einer Standardabweichung der
durchschnittlichen Indexänderung.
Tatsächlich weisen die Dow Jones
Variationen große Ausreißer auf, die
in den Gaußschen Standardtafeln
nicht
i ht berücksichtigt
b ü k i hti t werden.
d
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K lP
Karl
Popper und
d der
d schwarze
h
Schwan
S h
Nach dem Philosophen und Wissenschaftstheoretiker Sir Karl Popper (1902-1994)
(1902 1994) sind
allgemeine empirische Gesetze nur
Hypothesen. Sie gelten nur vorläufig, bis sie
durch ein (unverhofftes) Gegenbeispiel
falsifiziert werden.
Europäer glaubten bis ins 17. Jahrhundert:
„Alle Schwäne sind weiß.“
B i der
Bei
d E
Entdeckung
d k
Australiens
A
li
wurden
d
schwarze Schwäne entdeckt.
Eine komplexe
p
g
globale Welt ist
voller Überraschungen.
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B t
Bertrand
dR
Russell
ll und
d der
d naive
i Truthahn
T th h
Viele positive Bestätigungen steigern nicht die
W h h i li hk it einer
Wahrscheinlichkeit
i
allgemeinen
ll
i
A
Annahme
h .
Der britische Logiker und Philosoph Bertrand
Russell (1872-1970) erläutert dieses
I d kti
Induktionsproblem
bl
d
durch
h einen
i
Überraschungsschock:
Jeden Tag wird ein Truthahn von einem Menschen
gefüttert Nach vielen Monaten hält er das für eine
gefüttert.
allgemeine Lebensregel. Am Nachmittag des
Mittwochs vor Erntedankfest wird dem Truthahn
etwas Unerwartetes widerfahren und er wird
seine Überzeugung ändern müssen…
Sind wir naive Truthähne im
Z i l
Zeitalter
der
d Globalisierung?
Gl b li i
?
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Milder Zufall (Bachelier):
Glockenkurve beschreibt korrekt, wie sich Preise verändern.
Varianz und Standard Abweichung (Markowitz):
Gute Risikoabschätzung für einzelne Portfolios.
Sharpe’s Beta und Kapitalkostenschätzung:
Gute Abschätzung des Marktportfolios (CAPM).
Black-Scholes Formel:
Call-Optionen, Hedging, Volatilität etc.
Die kl
Di
klassische
i h
Finanztheorie und
Praxis der
Finanzmärkte geht
von Bacheliers
Annahme des
milden Zufalls aus.
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T b l
Turbulenz
in
i der
d Atmosphäre
A
hä und
d in
i Mä
Märkten
k
Wechselnde Windgeschwindigkeit einer
turbulenten Strömung
Wechselnde Volatilität des Börsenmarkts mit
wilden Preisänderungen von Monat zu Monat
Mit zunehmender Globalisierung der Märkte werden wir gehäuft globale
Fi
Finanzkrisen
ki
erleben,
l b
d
da immer
i
mehr
h Menschen
M
h und
d Institutionen
I tit ti
zusammenwirken und damit die Komplexität der Finanzsysteme wächst.
Entgegen der klassischen Finanztheorie nach Bachelier müssen wir
Frühwarnsysteme für extreme Situationen entwickeln.
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Universelle Theorie von Turbulenzen in Natur und
Gesellschaft?
Turbulente Strömungen werden in der
Physik durch (stochastische) NavierStokes Gleichungen beschrieben.
beschrieben
Wegen ihrer Nicht-Linearität und
Komplexität sind analytische und
numerische Lösungen bei hoher
Turbulenz häufig nicht bekannt.
Zufallsveränderungen von Preisentwicklungen werden daher vereinfacht „wie zahme Störungen“
durch lineare stochastische Differentialgleichungen (Itō)
dX t  cX t dt   0 X t dBt
mit erwarteter Rendite c, konstanter Volatilität 0 und Brownscher Bewegung Bt (nach Bachelier)
beschrieben. Ihre eindeutige Lösung Xt heißt geometrische Brownsche Bewegung und fließt in die
Herleitung der Black-Scholes Formel zur Wertberechnung von z.B. Call-Optionen und anderen
Derivaten mit ein.
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Z h
Zahme
und
d wilde
ild Mä
Märkte
kt
Aufgrund der zugrunde liegenden
Brownschen Bewegung erzeugt die
Black Scholes Formel ein zahmes
Muster wie das Gaußsche weiße
Rauschen.
Beispiele von geometrischen Brownschen Bewegungen
Lineare stochastische
g
g ((SDG)) mit
Differentialgleichungen
konstanten Koeffizienten erklären nicht die
Fluktuationen und Sprünge in realen Daten.
Daher wird die Brownsche Bewegung Bt
d
durch
h -stabile
t bil (Lévy)
(Lé ) Prozesse
P
t ersetzt:
t t
dX t  cX t dt  X t  dt
Numerische Lösung einer SDG mit Nicht-Brownscher Bewegung
Statt der Konstanten 0 kann auch eine
stochastische Volatilität als zeitabhängige
Zufallsfunktion 0= 0(t,) vorausgesetzt
werden.
werden
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Noah Effekt: Unstetigkeit und Einbrüche der Marktdynamik
Noah-Effekt:
Entgegen Bacheliers
Annahme einer
Normalverteilung gibt
es tatsächlich abrupte
Unstetigkeiten und
plötzliche ökonomische
Einbrüche. Mandelbrot
nennt sie "Noah Effekt"
Moses (Genesis) 7,4: “Denn von heute an in
sieben Tagen will ich regnen lassen auf die Erde
vierzig Tage und vierzig Nächte und vertilgen von
dem Erdboden alles Lebendige, was ich gemacht
habe.”
und erinnert damit an
das plötzliche Ereignis
der Sintflut, auf die sich
Noah Dank einer
göttlichen Eingebung
vorbereiten
b
it k
konnte.
t
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Joseph Effekt Langfristiges Marktgedächtnis
Joseph-Effekt:
Die beinahe Zyklen der
M ktd
Marktdynamik
ik werden
d
in der biblischen
Geschichte von Joseph
beschrieben. Er deutet
den Traum des Pharao
prophetisch:
p
p
Sieben
Jahre des Hungers
folgen sieben Jahre des
Wohlstands. Joseph
Moses (Genesis) 41, 28-30: „ ...dass Gott dem Pharao zeigt,
was er vorhat.
h Siehe,
Si h sieben
i b reiche
i h J
Jahre
h werden
d k
kommen
in ganz Ägyptenland. Und nach ihnen werden sieben Jahre
des Hungers kommen, so dass man vergessen wird alle
Fülle in Ägyptenland. Und der Hunger wird das Land
verzehren.“
mahnt den Pharao,
antizyklisch zu handeln,
Vorräte in guten Zeiten
anzulegen und sich auf
die schlechten Zeiten
vorzubereiten
b it .
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-stabile
bil (Lé
(Lévy)) Prozesse
P
Wahrscheinlichkeitsverteilungen P(Sn) von Summen
Sn=X1+…+Xn von identisch verteilten
Zufallsvariablen konvergieren nach dem zentralen
Grenzwertsatz mit wachsendem n zur Gaußschen
Glockenkurve. Sie ist Beispiel für eine stabile
Verteilungsfunktion, die ihre funktionale Form für
verschiedene Werte n nicht ändert.
Nach dem französischen Mathematiker P. Lévy
y
(1886-1971) sind alle stabilen Verteilungen durch
einen Parameter  (0 <   2) bestimmt: = 2
(Gaußsche Verteilung), =1 (Cauchy-Verteilung).
Nicht Gaußsche ((„Lévy
Lévy“)) stochastische Prozesse
mit <2 haben unendliche Varianz. Ihre
Verteilungen haben die Form PL(x)~x-(1+) einer
Potenzfunktion, die (im Unterschied zur Gaußschen
Glockenkurve) stark flukturierende Ausläufer
(„Sprünge“) besitzen.
Im Funktionalraum aller Wahrscheinlichkeitsfunktionen konvergieren
g
die stabilen Verteilungen
g g
gegen
g
charakteristische Attraktoren.
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Hurst Parameter: Märkte mit und ohne Gedächtnis
Hurst-Parameter:
Der Grad der Abhängigkeit zwischen
Preisänderungen
e sä de u ge wird
d du
durch
c de
den Hurst
us
Parameter H gemessen. In der
Standardfinanztheorie (mittlere Reihe)
wird jede Preisänderung als
unabhängig von der vorherigen mit H =
½ angenommen (Brownsche
Bewegung).
Die unterste Reihe zeigt den
nachhaltigen Fall, wenn 1 >H > ½ ist
und langfristige Preistrends auftreten
(Joseph-Effekt).
Die oberste Reihe zeigt den Fall ohne
Nachhaltigkeit, wenn H < ½ und die
Preisentwicklung wild und abrupt ist
(Noah-Effekt).
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Noah Joseph
Noah,
Joseph, und Marktblasen
Zusammenbrüche von Investmentblasen sind Noah-Effekte,
Noah Effekte die nach
spekulativen Wachstumstrends
(Joseph-Effekt) eintreten.
Die Internetblase von z.B. CiscoSystems zeigt, wie enthusiastische
Investoren den Gewinntrend von
1999 in einen schwindelerregenden Aktienpreis extrapolieren. Als
2000 der Gewinn abflachte, stiegen
Investoren fluchtartig aus, und die
Blase begann zu implodieren.
a und H interagieren als Ordnungsparameter in Märkten. Manchmal ist H = 1/α mit
0 < α < 2. Es handelt sich um die α -Levy-stabilen Prozesse mit Selbst-Affinität
(
(unstetige
t ti Ausreißer
A
iß und
d unendliche
dli h Varianz)
V i
) und
d großer
ß empirischer
i i h Evidenz
E id
.
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Selbstähnliche
stochastische
P
Prozesse
( B
(z.B.
Skale
en
P
Preisände
erung
Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz
turbulenter Finanzmärkte
Börsenentwicklungen)
sind skalen
skalen-invariant
invariant
und entsprechen
Potenzgesetzen. In
diesem Fall sind
Zeit
Links: Natürliche Logarithmen täglicher
Endpreise des deutschen Aktien Index
Voraussagen für alle
Skalierungen möglich.
möglich
(DAX) zwischen dem 4. November 1986
und 4
4. August 1993
Rechts: Drei Zeitreihen mit 60 Tagen
täglicher Preise, 60 Wochen
wöchentlicher Preise und 60
Monaten monatlicher Preise.
Zeit
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E t
Extremereignisse
i i
und
d 1/f-Rauschen
R
h
Komplexe
p
Datenreihen besitzen ein
Spektrum, das approximativ 1/fb(b>0)
mit Frequenz f proportional ist. Das
ist das 1/f -Rauschen
Rauschen: z.B. Spektren
mit weißem Rauschen (b=0) von
statistisch unabhängigen und
unkorrelierten Daten
(Normalverteilung, Brownsche
Bewegung) , rosa Rauschen (b=1),
rotes Rauschen(b=2),
=2) und schwarzes
Rauschen (b=3).
Der Grad der Irregularität nimmt mit größer werdendem b ab.
ab Für b > 2 sind die
Korrelationen nachhaltig (Joseph-Effekt), für b < 2 sind die Korrelationen ohne
Nachhaltigkeit. Rosa und rotes Rauschen entspricht am besten der Selbstorganisation
komplexer Strukturen zwischen vollständigem Zufall (weißes Rauschen) und starrer
Regularität (schwarzes Rauschen).
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Frühwarnsysteme für Risiken, Krisen und Katastrophen
Unser Wissen ist
unvollständig,
ll tä di aber
b
erweiterbar:
Der Zufall lässt sich
zwar nicht
berechnen und
kontrollieren. Wir
können aber seine
Systemgesetze
analysieren und
verstehen, um die
Selbstorganisation
nachhaltiger
Entwicklungen zu
ermöglichen!
Aufzeichnung der seismografischen Wellen des Seebebens bei Sumatra (Dezember 2004)
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Komplexes Kausalnetz einer Krisenstrategie
Extreme Störungen im anthropogenen System mit kaskadenhafter Ausbreitung nichtlinearer Effekte (z.B.
g
) weichen von der Normalverteilung
g ab. Kausalnetzwerke helfen, die
Vulkanausbrüche, Erdbeben, Terrorangriffe)
Ausbreitung der Effekte abzuschätzen und ein Krisenmanagement einzurichten.
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Vom Krisenmanagement zur Nachhaltigkeit
Im Zeitalter der Globalisierung
reicht kurzfristiges
Krisenmanagement nicht aus. Die
Dynamik von Extremereignissen
muss in mathematischen
Modellen dargestellt werden, um
sie besser verstehen und
nachhaltig beeinflussen zu
können.
Dazu bedarf es der interdisziplinären Zusammenarbeit von Theorie und Praxis von
Wissenschaft, Wirtschaft und Gesellschaft.
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