Was war am Anfang? - Uni Regensburg/Physik

The Big Bang Theory:
Was war am Anfang?
Ein Vortrag von Anna Morenz
am 09. Januar 2014.
Gliederung
1. Schwierigkeiten des Standardmodells
2. Die inflationäre Expansion als Lösung vieler Rätsel
3. Skalares Feld und Symmetriebrechung
4. Quantenfluktuationen
5. Zusammenfassung
6. Quellen
7. Bilderverzeichnis
1. Die Schwierigkeiten des Standardmodells
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Das ,,Flatness''-Problem
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Das Horizont-Problem
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Fehlende Existenz exotischer Teilchen
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Es gibt keinen Prozess, der die ,,Keime'' der Anisotropie erklären kann.
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Die nicht behebbare Singularität zur Zeit t=0
•
Warum gibt es keine Antimaterie im Kosmos?
•
Woraus besteht die dunkle Materie?
•
Woher kommt die dunkle Energie?
1.1 Das Horizontproblem
Nach dem Standardmodell müsste der beobachtbare Kosmos aus vielen Bereichen bestehen, die
kausal nicht miteinander verbunden sind.
Stattdessen ist er homogen und isotrop in allen seinen Teilen.
1.2. Das ,,Flatness''-Problem
Warum folgt der Kosmos dem unwahrscheinlichen Fall κ=0, also warum ist die Geometrie
euklidisch?
1.3. Die fehlende Existenz exotischer Teilchen
Der heiße Anfang des Kosmos sollte auch zur Entstehung massiver exotischer Teilchen beigetragen
haben, die aber bisher nicht beobachtet wurden.
1.4. Die ,,Keime'' der Anisotropie
Es gibt keinen kausalen Prozess, der die ,,Keime'' der Anisotropien erklären kann, welche
notwendig sind, um die Anisotropien der Hintergrundstrahlung und die heutigen Strukturen des
Kosmos zu verstehen.
1.5. Die Singularität zur Zeit t=0
Das Standardmodell hat bei t=0 eine nicht hebbare Singularität.
Offensichtlich versagt die Allgemeine Relativitätstheorie als klassische Theorie bei sehr frühen
Zeiten (Planckzeit).
2. Die kosmische Inflation
Die Idee kam ursprünglich von Alan Guth. Er arbeitete Ende der 70er Jahre als ,,Postdoctorial
Fellow'' an der Cornwell Universität und beschäftigte sich damals als theoretischer Physiker mit den
,,Grand Unified Theories'' (GUTs).
2.1. GUTs: Die Vereinigung von Wechselwirkungen
Die GUTs vereinigen
•
Die elektromagnetische Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe U(1)
•
Die schwache Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe SU(2)
•
Die starke Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe SU(3)
miteinander.
Sie unterscheiden sich nicht nur in ihrer Stärke und in ihren Reichweiten, sondern auch in der
Symmetrie ihrer inneren Freiheitsgrade, wie z.B. Spin, Isospin, Flavor, etc.
Diese Symmetrien werden Eichsymmetrien genannt.
Man suchte nach einer umfassenden Symmetriegruppe, U(1)*SU(2)*SU(3). Eeine höhere
Symmetrie müsste bei Teilchenenergien auftreten, bei welchen die Extrapolation der gemessenen
Wechselwirkungsparameter zu einem Wert hin konvergiert.
Wir beobachten heute (Punkt A) kosmische Strahlung (CMB, die aus ganz verschiedenen Regionen
des Kosmos kommt, ohne dass sich Unterschiede (bis auf Anisotropien <10-4) feststellen lassen.
Nach der Abbildung war die Zeit, die seit dem Beginn vergangen ist, zu kurz zum Austausch von
Lichtsignalen.
Bei den Energien, wie sie möglicherweise unmittelbar nach dem Urknall herrschten, gab es dann
nur noch eine umfassende Wechselwirkung (,,grand unification'').
Die uns bekannten Wechselwirkungen wären beim Abkühlen durch Brechung der Eichsymmetrien
,,auskondensiert''.
2.2. Der Verlauf der Wechselwirkungsparameter
Wir haben eine experimentelle Absicherung bis 100 GeV, der folgende Bereich bis 1016 GeV heißt
die ,,Wüste''.
2.3. Die magnetischen Monopole
A. Guth untersuchte null-dimensionale Störungen, sog. Magnetische Monopole, die als massive
Teilchen auftreten sollten.
Da bisher noch keine magnetischen Monopole beobachtet werden, muss es einen Mechanismus
geben, der ihr Auftreten sehr unwahrscheinlich macht.
Möglich: Eine Phase exponentieller Expansion, die die Konzentration der magnetischen Monopole
sehr stark verdünnte.
a(t) ~ expαt.
Voraussetzung: Die ,,dunkle Energie'' ist der dominierende Beitrag.
Wir erhalten die Gleichung:
ΩΛ≈1.
a(t) wird so stark anwachsen, dass der Krümmungsterm rechts bald vernachlässigt werden kann.
Die Lösung ist:
Wenn man davon ausgeht, dass Entropie am Anfang sehr klein und von der Größenordnung kB
gewesen ist, dann muss die Zunahme des Volumens
Gewesen sein, und damit sollte die Zunahme des Skalenparameters
Betragen.
•
Der Ansatz löst das Horizontproblem, da sich der Raum rascher ausbreitet als Lichtsignale,
so dass der heute dem Beobachter zugängliche Raum kausal zusammenhängend ist.
•
Der Raum wird euklidisch, ohne dass spezielle Anfangsbedingungen erforderlich sind.
•
Der Beginn der Inflation kann aus E1 > 1016 GeV abgeschätzt werden, was auf eine Zeit
t < 10-38 s führt.
1
•
Der Kosmos wurde anfangs von Quantenfluktuationen des Materiefelds beherrscht. Sie sind
eine mögliche Ursache für die ,,Keime'' der Anisotropie.
2.4. Skalares Feld und Symmetriebrechung
Ein Urfeld, das die Inflation in Gang gesetzt hat, genannt Inflaton-Feld, sollte unabhängig vom
Skalenfaktor a(t), wie auch die dunkle Energie.
Am einfachsten geht man von einem skalaren Feld aus, dies hat den Vorteil, besonders einfach zu
sein.
Wir setzen c=1 und schreiben die Lagrange-Dichte des skalaren Feldes zunächst im MinkowskiRaum wie folgt:
Mit
Der Variationsansatz
führt auf die Euler-Lagrange-Gleichung
woraus man erhält:
Für das Potential kann man verschiedene Ansätze machen. Der einfachste Ansatz ist
Man erhält so die Klein-Gordon-Gleichung
Oder in Fourier-transformierter Form
Das Teilchen (Inflaton), welches durch das skalare Feld beschrieben wird, hat die Masse m und es
gilt der relativistische Energiesatz:
Wobei
Fordert man Homogenität, wird ΔΦ=0.
Will man Phasenumwandlungen beschreiben, sollte das Potential auch Potenzen höherer Ordnung
in Φ enthalten.
Ein Beispiel ist das sogenannte Higgs-Potential
Mit m² < 0 und λ < 0. Das Potential hat bei Φ=0 ein Maximum
Und 2 Minima bei
mit
2.5. Verlauf des Higgs-Potentials
Wenn das Materiefeld ein Potential wie in der vorherigen Abbildung besitzt, dann kann es vor
einem Phasenübergang einen metastabilen Zustand bei Φ=0 einnehmen.
Damit gäbe es ein zeitweise konstantes Λ, das aber schnell wieder abklingen muss, da die
inflationäre Expansion nur kurze Zeit andauern soll (,,the graceful exit problem'').
Für ein skalares Feld im frühen Kosmos gilt für die Lagrange-Dichte
Mit der Euler-Lagrange-Gleichung
Hier ist
.
Nach Einsetzen von gμν und Differenzieren erhält man als Bewegungsgleichung des Feldes eine
modifizierte Klein-Gordon-Gleichung
Oder
Das Glied mit 2 wird im Folgenden weggelassen, als Folge der Homogenität und wegen des
Anwachsens von a² im Nenner.
Setzt man das Potenial ein, so erhält man die Gleichung einer gedämpften Schwingung
Die Schwingung des Feldes wird durch die Expansion des Raumes gedämpft.
Das skalare Feld koppelt in der Robertson-Walker-Metrik von selbst an den expandierenden Raum.
Man spricht von einer minimalen Kopplung, die nur über die Metrik läuft.
Wenn die Dämpfung durch H groß genug ist, bewegt sich das System im aperiodischen Grenzfall,
auch ,,slow roll down'' genannt.
Die zweite Ableitung kann vernachlässigt werden.
Nach Wiedereinsetzen von
Bleibt folgende Gleichung übrig:
Mit dem Energie-Impuls-Tensor Tμν ist es möglich, einen Ausdruck zu finden, der anstelle der
klassischen Dichte steht.
Die Feldtheorie bietet zur Berechnung von Tμν aus der Lagrangedichte des Feldes ein
Standardverfahren an.
Bei Vernachlässigung der Gradientenglieder (Homogenität) und mit c=1 erhält man hieraus
Und
Mit der ,,slow roll condition''
erhält man aus diese beiden Gleichungen letztendlich
Wir suchen zunächst den Zusammenhang von Skalenparameter a und Feld Φ.
Mit der Bedingung, dass sich die Energiedichte des skalaren Feldes wie der Λ-Term verhält und der
Krümmungsterm sowie etwaige vom Volumen abhängige Felder während der inflationären Epoche
schnell genug verschwinden, erhalten wir die Friedmann-Gleichung
Mit der ,,slow roll condition'' erhalten wir außerdem
Und
Durch Differenzieren nach der Zeit ergibt sich
Danach dividieren wir durch
Integrieren über Φ und schreiben links die Hubble-Funktion aus
Nach Integration über die Zeit erhalten wir schließlich
Wobei wir für V(Φ) das einfache quadratische Potential von Andrej Lindes ,,chaotischer Inflation''
verwendet haben.
Wir erhalten
Was integriert nach der Zeit
Ergibt.
Nach Andrej Linde startet das Feld bei etwa
(in Planck-Einheiten). Dann sollte
Sein, damit die Fluktuationen der CMB die richtige Größe bekommen. Die inflationäre Expansion
klingt ab, wenn der Exponent kleiner als 1 wird, also nach einer Zeit von
(mit der Planckzeit
d.h. Die Inflation endet nach etwa
Beim Vergleich der letzten Gleichungen erhalten wir
Nach jeweils einer Hubble-Zeit
vergrößern sich die Längenmaße um den Faktor
e=2,718. Die Zahl der e-Entfaltungen während der inflationären Periode ist
Der Wert von N hängt wesentlich von der Wahl des Potentials V ab.
Mit dem quadratischen Potential wird
In anderen Modellen wird N mit mindestens 60 angesetzt, um das Horizontproblem zu lösen.
•
Die Inflation behebt viele der oben genannten Schwierigkeiten.
•
Sie verlangt eine Epoche beschleunigter Expansion, ä>0, die von der potentiellen
Feldenergie angetrieben wird.
•
Weiterhin müssen die ,,Bedingungen des Abrollens'' erfüllt sein.
•
Wenn es beim Abrollen des skalaren Feldes eine inflationäre Lösung gibt, dann nähern sich
alle linearen Störungen dieser Lösung an und zwar mindestens exponentiell.
4. Quantenfluktuationen
Der Ereignishorizont ist der geometrische Ort aller Punkte ist, von welchen ein Lichtsignal den
Beobachter nicht mehr in endlicher Zeit erreicht.
Bei exponentieller Expansion ist der Abstand zum Ereignishorizont endlich und während der
Inflation bei schwach veränderlichen H(t) fast stationär.
Der Ereignishorizont bildet eine absolute Begrenzung für die Moden
d.h.
des Felds,
. Die Unschärferelation besagt in diesem Fall
Es ist deshalb sinnvoll, nach Fluktuationen
In der Hintergrundstrahlung zu suchen, die als Quantenfluktuationen beginnen, nach Überqueren
des Horizonts stehen geblieben sind und später zu klassischen Störungen anwuchsen.
Ihre räumliche Ausdehnung bekommt durch die Inflation makroskopische Größenordnungen.
Sie bilden die Keime für die Entstehung von Anisotropien in der CMB und für die inhomogenen
Massenverteilungen und später gebildete Strukturen wie Galaxiencluster.
5. Zusammenfassung
•
Die Annahme einer inflationären Epoche löst das Horizontproblem, das Flachheitsproblem,
das Fehlen exotischer Teilchen und die Anisotropien der CMB.
•
Die exponentielle Expansion um einen Faktor größer als exp(60) wird durch die Energie
eines ,,Urfelds'' (Inflaton-Feld) ausgelöst.
•
Die Energie hält sich während der inflationären Epoche auf einem nahezu konstanten Wert,
muss aber danach genügend schnell wieder abklingen.
•
Zwischen Materie und Antimaterie muss es eine geringfügige Asymmetrie gegeben haben,
die durch Inflation nicht zu erklären ist.
•
Die Keime für die Strukturbildung werden durch Quantenfluktuationen des Inflaton-Feldes
gebildet, die durch die Inflation zu makroskopischer Größe aufgebläht werden.
•
Die Singularität bei t=0 kann nur im Rahmen der Quantengravitation behoben werden, die
in inflationären Modellen meist nicht diskutiert wird. Das bedeutet, dass man außerhalb der
Planckgrößen bleibt.
6. Quellenverzeichnis
•
www.wikipedia.org
•
Skript von Wolfgang Gebhardt, Kapitel 8
•
Astronomy & Astrophysics manuscript no. Planck 'inflation' driver, December 6/2013:
Planck 2013 results. XXII. Constraints on inflation.
•
A.R. Liddle, D. Lyth, Cosmological inflation and large scale structure. Chap. 7.1., 7.2.
•
J.N. Islam, An introduction to mathematical cosmology. Chap. 3.2.
7. Bilderverzeichnis
•
Skript von Wolfgang Gebhardt, Kapitel 8