Der Satz von Turán - TU Darmstadt/Mathematik

Der Satz von Turán
Ulrich Müller
14. Juli 2008
1 Einleitung
Nach Aigner und Ziegler [3] (S.211) stellt der Satz von Turán ein fundamentales Resultat der
Graphentheorie dar mit dem die Extremale Graphentheorie begonnen hat.“ Der Satz liefert
”
eine obere Schranke für die maximale Anzahl von Kanten.
In dieser Arbeit werden zunächst Grundlagen der Graphentheorie behandelt. Anschließend
wird der Satz von Turán vorgestellt und bewiesen.
2 Graphentheoretische Grundlagen
Graphen sind eine Stuktur auf einer Menge, erzeugt durch eine binäre Relation. Relationen
sind z.B. die Vergleichsrelation <“ (1 < 2 < 3 < . . . ) oder die Teilerrelation |“(2|4, 3|12).
”
”
In Anwendungskontexten sind auch Relationen wie zwischen a und b existiert ein Weg“ oder
”
a kennt b “ möglich.
”
Solche Relation stellen Beziehungen zwischen den Elementen der Menge her. Diese Beziehungen können durch Graphen ausgedrückt werden. Das Beispiel 2.1 des Königsberger
Brückenproblems, dass 1736 von Leonhard Euler gelöst wurde und heute als erster Beitrag
zur Graphentheorie verstanden werden kann, soll hier zur Veranschaulichung dienen.
Beispiel 2.1. Das Köningsberger Brückenproblem
Gibt es im Königsberg des 18. Jahrhunderts einen Spaziergang, so dass auf einem Rundweg
jede Brücke genau einmal überquert wird? Abbildung 1 zeigt die Brücken in Königsberg.
Abbildung 1: Brücken in Königsberg
1
2 Graphentheoretische Grundlagen
Der Fluß Pregel teilt die Stadt in vier Teile, einen Teil im Norden (N ), einen im Süden
(S), den Teil im Osten (O) und in der Mitte die Insel (I). Auf die Menge {N, S , O, I}
der Stadtteile kann nun die Relation verbunden durch eine Brücke“ definiert werden, ihr
”
Graph ist in Abbildung 2 dargestellt. An diesem Beispiel sollen nun grundlegende Begriffe der
Graphentheorie geklärt werden.
Abbildung 2: Graph zum Königsberger Brückenproblem
2.1 Definitionen
Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer nichtleeren Knotenmenge V und einer Kantenmenge E. Die Elemente der Knotenmenge heißen Knoten, die Elemente der Kantenmenge
heißen Kanten. Einer Kante sind jeweils zwei Knoten zugeordnet und wir schreiben für eine
Kante e ∈ E auch e = wv mit v, w ∈ V . In diesem Fall nennt man die beiden Knoten v, w
benachbart und die Kante vw inzident zum Knoten v. Die Anzahl aller inzidenten Kanten
zu einem Knoten v wird Knotengrad oder nur Grad genannt und als deg(v) notiert. Im
Rahmen dieser Arbeit gilt für alle Kanten immer vw = wv. Kanten mit dieser Eigenschaft
nennt man ungerichtet. Eine Kante mit e = vv heißt Schlinge. Gibt es in einem Graphen
Kanten e und f , so dass e = vw = f , heißen die Kanten e und f parallel.
Fassen wir in unserem Beispiel der königsberger Brücken, jeweils die parallelen Kanten
zwischen N und I sowie zwischen S und I zu jeweils einer Kante zwischen N und I und
einer Kante zwischen S und I zusammen, so erhalten wir den Graphen G = (V, E) mit
V = {N, I, S, O} und E = {N I, N O, IO, IS, SO}. Dieser ergibt sich durch die Relation durch
”
mindestens eine Brücke verbunden“ auf der Menge V , er ist in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3: einfacher Graph zum Königsberger Brückenproblem
2
3 Der Satz von Turán
Der Graph G enthält keine Schlingen und keine parallelen Kanten. Solche Graphen werden
einfache Graphen genannt. Gilt für einen einfachen Graph, dass je zwei Knoten benachbart
sind, dann heißt der Graph vollständig.
Wer einen umfassenderen Einblick in die Graphentheorie wünscht sei auf [1, 2] verwiesen.
Um das Königsberger Brückenproblem (Beispiel 2.1) nicht unbeantwortet zu lassen, sei kurz
erwähnt, dass es einen solchen Rundweg nur gibt, wenn alle Knoten in einem Graphen gerade
Grade haben. Dies war damals in Königsberg nicht der Fall und somit gab es keinen solchen
Rundweg. Da dieses Problem für den weiteren Teil dieser Arbeit keine Bedeutung mehr hat,
sei auf Stenger [2] Seite 79 verwiesen.
3 Der Satz von Turán
In bestimmten Situationen kann nun die Frage nach der Mächtigkeit von Knoten- oder Kantenmenge interessant sein. Für vollständige Graphen lässt sich folgende Aussage treffen
Satz 3.1. Für einen vollständigen Graph G = (V, E) mit n Knoten gilt:
n
m := |E| =
2
Folgendes Lemma hilft Satz 3.1 zu bewiesen.
Lemma 3.2. In jedem Graphen G = (V, E) mit m Kanten gilt:
X
deg(v) = 2m
(3.1)
v∈V
Beweis.
PDa jeder Kante zwei Knoten zugeordnet sind, wird in der Summe über alle Knotengrade v∈V deg(v) jede Kante zweimal gezählt.
Bemerkung: Dieses Lemma gilt auch bei nicht einfachen Graphen.
Der Beweis zu Satz 3.1 lässt sich nun mit Lemma 3.2 führen:
Beweis. In einem vollständigen Graphen mit n Knoten hat jeder Knoten den Grad deg(v) =
n − 1. Mit Gleichung 3.1 aus Lemma 3.2 gilt nun:
X
2m =
deg(v) = n(n − 1)
v∈V
und somit folgt für |E| = m
m=
n(n − 1) n =
2
2
Somit erhält man eine genaue Angabe über die Kantenzahl im Spezialfall vollständiger
Graphen und eine erste obere Schranke für die Anzahl von Kanten in einem einfachen Graph,
diese gilt es zu verbessern.
3
Literatur
Definition 3.3. (p-Clique) In einem Graphen G = (V, E) wird eine Knotenmenge H ⊂ V
als p-Clique bezeichnet, falls |H| = p und je zwei Knoten in H benachbart sind.
Der Satz von Turán trifft eine genauere Aussage über eine obere Schranke für die Anzahl
von Kanten, unter der Bedingung, dass ein Graph keine p-Clique enthält:
Satz 3.4. (Satz von Turán) Sei p ≥ 2. Falls ein einfacher Graph G = (V, E) mit n Ecken
keine p-Clique enthält, dann gilt
2
1
n
|E| ≤ 1 −
p−1 2
Beweis. *** Beweis ***
Beispiel 3.5. *** Beispiel ***
Literatur
[1] Reinhard Diestel. Graphentheorie. Springer-Verlag, 2006.
[2] Angelika Steger. Diskrete Strukturen (Band 1). Springer-Verlag, 2001.
[3] Martin Aigner und Guenter M. Ziegler. Das Buch der Beweise. Springer-Verlag, 2000.
4