¨Ubungen zur Vorlesung Randomisierte Algorithmen SS 2016 Blatt 6

Rolf Wanka
Alexander Raß, Moritz Mühlenthaler
Erlangen, 30. Mai 2016
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2016
Blatt 6
AUFGABE 13:
Gegeben sei eine k-SAT-Eingabe Φ, also eine Boolesche Formel Φ in konjunktiver Normalform
aus m Klauseln über den Booleschen Variablen {x1 , . . . , xn }, bei der jede Klausel die Länge k hat,
d. h. aus genau k Literalen (über unterschiedlichen Variablen) besteht. Z. B. ist
Φ = (x1 ∨ x̄2 ) ∧ (x̄1 ∨ x̄3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ) ∧ (x4 ∨ x̄3 ) ∧ (x4 ∨ x̄1 )
mit m = 5 und n = 4 eine Eingabe von 2-SAT.
Die Frage ist, ob Φ erfüllbar ist.
Ziel dieser Aufgabe ist es, mittels der Probabilistischen Methode zu zeigen: Ist 2k > m, dann ist Φ
erfüllbar.
Sei also Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln über n Booleschen
Variablen, wobei jede Klausel genau die Länge k hat.
(a) Sei C eine Klausel von Φ der Länge k. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällige
Belegung der Variablen C erfüllt?
(b) Zeigen Sie mittels der Probabilistischen Methode: Es gibt eine Belegung der Variablen, so
daß mindestens (1 − 21k ) · m der Klauseln von Φ erfüllt werden.
Hinweis: Indikatorvariable!
(c) Zeigen Sie: Ist 2k > m, dann ist Φ erfüllbar.
Der gesamte Beweis ist unabhängig davon, daß die Klauseln alle die gleiche Länge k haben. Formulieren Sie die Aussage richtig um: Wie muß es heißen?
• Sei 2k > m, und sei Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln
über n Booleschen Variablen, wobei jede Klausel mindestens die Länge k hat. Dann ist Φ
erfüllbar.
oder
• Sei 2k > m, und sei Φ eine Boolesche Formel in konjunktiver Normalform aus m Klauseln
über n Booleschen Variablen, wobei jede Klausel höchstens die Länge k hat. Dann ist Φ
erfüllbar.
Identifizieren Sie die Stelle, die im Beweis von (b) angepaßt werden muß.
AUFGABE 14:
Sei G = (V, E) ein Graph mit n Knoten und m Kanten. Wir haben in der Vorlesung gesehen, daß
der Algorithmus M AX C UT einen Schnitt X = [A, B] der erwarteten Größe E[X] = E[c(A, B)] = 12 m
berechnet. Berechnen Sie die Varianz Var[X] = Var[c(A, B)] und nutzen Sie diese, um zu zeigen:
Pr[|X − E[X]| ≥ c · m] ≤
1
4c2 m
Hinweise: Rechenregeln für die Varianz von 0-1-Zufallsvariablen und die Tschebyscheffsche Ungleichung.
AUFGABE 15:
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. In dieser Aufgabe wollen wir eine Variante des
Färbungsproblems angehen.
G heißt schwach 2-gefärbt, wenn jedem Knoten eine der Farben 0 oder 1 zugeordnet ist und in
jedem Dreieck beide Farben vorkommen. Haben in einem Dreieck uvw alle Knoten die gleiche
Farbe, dann wird uvw einfarbig genannt.
Wir untersuchen nun den folgenden Algorithmus, der eine schwache 2-Färbung zu finden versucht.
A LGORITHMUS W EAK -2-C OL
rate für jeden Knoten u eine Farbe c[u] ∈ {0, 1};
while es gibt ein einfarbiges Dreieck uvw do
wähle einen zufälligen Knoten x ∈ {u, v, w};
(eine Umfärbung)
c[x] := 1 − c[x]
done;
gib c aus.
Wir nehmen jetzt an, daß der Eingabegraph normal“ 3-färbbar ist.
”
(a) Zeigen Sie: G ist schwach 2-färbbar.
(b) Geben Sie eine obere Schranke für die erwartete Anzahl der Umfärbungen an, die W EAK -2C OL benötigt, um eine schwache 2-Färbung zu finden.
Hinweis: Gehen Sie ähnlich der Analyse des 2-SAT-Algorithmus vor. Nehmen Sie eine nor”
male“ 3-Färbung c∗ des Graphen als Referenzfärbung, und benutzen Sie als Zustände die
Anzahl i der Knoten u, für die gilt: c[u] = c∗ [u]. Welches sind hier die Randfälle?
AUFGABE 16:
Für die Analyse des 2-SAT-Algorithmus haben wir ja einen Random Walk auf dem 1-dimensionalen
linearen Array benutzt. Dabei ist der Zustand 0 reflektierend, d. h. wann immer man im Zustand 0
ist, wird im nächsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit 1 in den Zustand 1 gewechselt.
Nehmen Sie nun an, daß man mit Wahrscheinlichkeit 12 im Zustand 0 bleibt und nur mit Wahrscheinlichkeit 21 in den Zustand 1 wechselt. Alles andere bleibt unverändert.
Berechnen Sie nun den Erwartungswert für die Anzahl der Schritte, die benötigt werden, um, gestartet im Zustand i, den Zustand n zu erreichen.