Thema G2

Schriftliche Abiturprüfung 2006
Physik 13 k
(Leistungskursniveau)
Thema G1:
Schaltvorgänge am Kondensator
1
Gold Caps
Gold Caps sind Miniaturelektrolytkondensatoren mit enorm hoher Kapazität und endlichem
Innenwiderstand. Sie vertragen aufgrund der Platz sparenden Isolierung im zylinderförmigen
Gehäuse nur geringe Spannungen U < 5,5 V. Als Trägermaterial des Elektrolyten verwendet
man Aktivkohle. Nur 1 g Aktivkohle verfügt über eine innere Oberfläche von A = 1000 m2.
Derartige Kondensatoren eignen sich als Energiespeicher und Überbrückungsstromversorgung in Geräten, in denen Daten im ausgeschalteten Zustand erhalten werden sollen.
1.1 Berechnen Sie den Plattenabstand d eines Plattenkondensators herkömmlicher Bauart mit keramischem Dielektrikum r = 200 und der Kapazität C = 3,3 F, wenn er über die Plattenfläche
von ebenfalls A = 1000 m2 verfügen würde.
1.2 Fahrräder neuerer Bauart besitzen Rückleuchten, die mit einem Dynamo betrieben werden,
aber auch noch im Stillstand leuchten. Verantwortlich dafür ist eine elektronische Schaltung,
mit der die Stromstärke bei I = 0,25 A sowie die Spannung bei U = 2,4 V konstant gehalten werden. Diese Schaltung enthält u. a. einen Gold Cap, dem unter diesen Bedingungen
eine Energie von E = 20 Ws entnommen werden kann.
Berechnen Sie, wie lange das Lämpchen mit der Aufschrift 2,4 V / 0,25 A in der Rückleuchte
während der Rotphase an einer Ampel leuchten könnte, wenn der Gold Cap zuvor voll aufgeladen war.
1.3 Nach dem Aufladen eines Gold Caps der Kapazität C =
3,3 F beträgt seine Spannung U0 = 5,00 V. Die anschließende
Entladung erfolgt über einen Widerstand R = 1,50 k (Bild
1).
Die Entladespannung wird zu den angegebenen Zeitpunkten gemessen:
t in h
U in V
0
5,00
1,00
2,42
2,00
1,17
3,00
0,54
4,00
0,27
5,00
0,13
Zeichnen Sie das entsprechende U(t) - Diagramm.
Ermitteln Sie die Zeitkonstante  = R • C sowie die Zeit tH, in der
die Spannung auf die Hälfte des Anfangswertes abgesunken ist (Halbwertzeit).
Kennzeichnen Sie beide im Diagramm.
Durch die Punkte A(0 | U0) und B( | 0) wird die Tangente an die Entladekurve im Punkt
A eindeutig bestimmt.
Zeichnen Sie die Tangente ein. Erläutern Sie die physikalische Bedeutung des Anstiegs
dieser Tangente.
1.4 Fertigen Sie mit den Messwerten aus 1.3 ein weiteres Diagramm an, auf dessen Ordinatenach U 
se das logarithmische Verhältnis ln 
 der Spannungen und auf dessen Abszissenachse
 U0 
die Zeit t abgetragen werden.
Zeigen Sie, dass mit dieser Darstellung das Zeitverhalten der Spannung nach dem Gesetz
U  t   U 0  e  kt überprüft werden kann.
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
1/10
www.phyma-gae.de
Bestätigen Sie mit mithilfe des Diagramms den Zusammenhang k 
1
.
R C
1.5 Zur Sicherung der Daten bei Stromausfall soll ein Gold Cap als zeitlich begrenzte Spannungsquelle für sieben Tage dienen. Der zu versorgende Speicherbaustein hat einen Innenwiderstand von 4,50 M und eine Mindestspannung von Umin = 4,00 V.
Ermitteln Sie, welche der folgenden im Handel angebotenen Gold Caps dafür geeignet sind,
wenn alle bis zu einer Spannung von U0 = 5,50 V geladen werden können.
C 1 = 0,10F
C2 = 0,22 F
C3 = 0,47 F
C4 = 1,00F
C 5 =1,50F
Berechnen Sie für einen geeigneten Kondensator, wie viel Prozent der ursprünglichen Energie
nach Ablauf von sieben Tagen noch gespeichert ist.
2
Entladung am Kondensator (Schülerexperiment)
In dieser Aufgabe ist ein Experiment durchzuführen. Bearbeiten Sie dazu den Auftrag der
Vorbetrachtung und führen Sie das Experiment durch. Die Auswertung sollte nach den angegebenen Vorgaben erfolgen. Fertigen Sie ein vollständiges Protokoll an.
Auftrag:
Bestimmen Sie die Ladung Q eines Kondensators zu Beginn des Entladevorgangs und berechnen Sie seine Kapazität C.
Vorbetrachtung:
Im Experiment nehmen Sie die Entladung des Kondensators über einen äußeren Widerstand
vor. Die abnehmende Stromstärke soll bei unverändertem Messbereich in konstanten zeitlichen Abständen gemessen werden.
Skizzieren Sie eine entsprechende Schaltung.
Ablauf des Experimentes:
1 Schalten Sie den Elektrolytkondensator mit richtiger Polung und einen Spannungsmesser parallel an die Gleichspannungsquelle. Messen Sie die Ladespannung U0.
2 Öffnen Sie den Ladestromkreis, schließen Sie den Entladekreis und messen Sie den Entladestrom in Abhängigkeit von der Zeit bis sich der Kondensator über einen Ohm’schen
Widerstand nahezu vollständig entladen hat.
3 Wiederholen Sie die Messung für einen zweiten, doppelt so großen Widerstand mit der
gleichen
Ladespannung U0.
Auswertung:
1 Stellen Sie die Abhängigkeit der Stromstärke von der Zeit für beide Widerstände in einem Diagramm grafisch dar.
2 Die Fläche zwischen der Entladekurve l(t) und der Zeitachse ist ein Maß für die vom
Kondensator gespeicherte Ladung.
Ermitteln Sie die jeweils vom Kondensator gespeicherte Ladung.
Vergleichen Sie die von Ihnen ermittelten Ladungen. Entspricht dieser Vergleich Ihren
Erwartungen? Geben Sie Ursachen für mögliche Abweichungen von Ihren Erwartungen
an.
3 Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators.
4 Geben Sie je zwei zufällige und systematische Fehler an.
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
2/10
www.phyma-gae.de
Lösungen:
1.
Gold Caps
1.1. Berechnung des Plattenabstandes:
A
C  0  r 
d
  A
d 0 r
C
8,854 1012 A  s  V 1  m 1  200 103 m 2
d
 5, 37 107 m  0,537 m
3,3 F
A  s  V 1  m 1  m 2 A  s  V 1  m 1  m 2

m
F
A  s  V 1
Berechnung der Leuchtdauer:
E El  U  I  t
d  
1.2
t
E el
20 Ws

 33,33s
U  I 2, 4 V  0, 25 A
t 
1.3
Ws
V A s

s
VA
VA
Diagramm:
U in V
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0
5.000
4.750
4.500
4.250
4.000
3.750
3.500
3.250
3.000
2.750
2.500
2.250
2.000
1.750
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250
0
t in h
Zeitkonstante:
  R C
  1,5 103   3,3F  4,950 103 s  1h 22 min 30s
 Zeitangabe: 1,375 h wäre falsch!
     F  V  A 1  A  s  V 1  s
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
3/10
www.phyma-gae.de
Halbwertzeit:
U  U0  e

t
R C
mit t  t H  U 
t
1
U0
2
t
 H
 H
1
1
U 0  U 0  e R C   e R C
2
2
t
1
 H  ln  
R C
2
1
t H   R  C  ln    R  C  ln  2 
2
t H    ln  2 
mit R  C  
t H  4950s  ln  2   3431, 08s  57,185 min  0,953h
Einzeichnen der Tangente:
5.0
A U in V
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
Tangente
t in h
4.500
4.250
4.000
3.750
3.500
3.250
3.000
2.750
2.500
2.250
2.000
1.750
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250
0
Halbwertzeit B
5.000
0
4.750
0.5
physikalische Bedeutung des Anstiegs:
U
 m 0
R C


1
R
Maß für Entladegeschwindigkeit bzw. für Größe des Entladewiderstandes.
mit U 0 ; C  konst.  m ~
 U 
1.4. Messwerte mit ln 
:
 U0 
t in h
 U 
ln 

 U0 
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
0
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
0
-0,726
-1,452
-2,26
-2,919
-3,650
4/10
www.phyma-gae.de
Graph:
 U 
ln 

 U0 
0.250
0
t in h
-0.250
-0.500
-0.750
-1.000
-1.250
-1.500
-1.750
-2.000
-2.250
-2.500
-2.750
-3.000
-3.250
-3.500
5.000
4.750
4.500
4.250
4.000
3.750
3.500
3.250
3.000
2.750
2.500
2.250
2.000
1.750
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
0
0.250
-3.750
Begründung (Herleitung) –Gesetz:
Gerade vom Typ y  m  x mit m  k
 U 
ln 
  k  t
 Uo 
U
 e  k t
Uo
U  U o  e  k t
Bestätigung des Zusammenhanges:
1
k
R C
1.
k ermitteln:
2.


 U 

 ln 


U

0,
726

1,
452
 0
k
 2,017 104 s 1  Übereinstimmung!
3
t
 3, 6  7, 2  10 s


1
1

 2, 02 104 s 1 
3
1
1
R  C 1,5 10 V  A  3,3A  s  V

Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
5/10
www.phyma-gae.de
1.5
Ermittlung eines geeigneten Gold Capes:
U  U0  e

t
R C
t

U
 e R C
Uo
 U 
t
ln 

R C
 U0 
t
t

 U 
 U0 
R  ln 
 R  ln  U 


 U0 
6, 048 105 s
C
 0, 422 F
 5,50 
6
4,5 10   ln 

 4, 00 
Geeignet sind: C3, C4 und C5 !
C
7 d  7  24  3, 6 103 s  6, 048 105 s
 C 
s A s

F

V
Berechnung des prozentualen Energieanteils:
Beispiel: C3:
1
2
E el7 2  C  U 7
U7 2


E el0 1  C  U 2 U 0 2
0
2
2
E el7
E el0
E el7
E el0
E el7
E el0
t



R C
t
2
 U0  e

2
R C
U

e
  0

U02
U 02
e
e
p
2.
 2

t
R C
mit t  2  7 d  2  6, 048 10 5s 
26,048105 s
4,5106 VA 1 0,47 A s V 1
E el7
E el0
 0,564
100%  56, 4%
Entladung am Kondensator (Schülerexperiment)
Schaltung:
S
U-
V
R
A
C
Experiment:
Aufbau entsprechend Schaltung
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
6/10
www.phyma-gae.de
Messwerte:
Widerstand R1 = 24 k, U0 = 10,0 V
t in s
0
5
10
15
20
25
30
35
I1 in mA
0,417
0,17
0,125
0,07
0,035
0,02
0,012
0,007
I2 in mA
0,417
0,17
0,12
0,065
0,035
0,02
0,013
0,009
I3 in mA
0,417
0,17
0,122
0,06
0,035
0,02
0,013
0,009
I in mA
0,417
0,17
0,122
0,065
0,035
0,02
0,013
0,008
Widerstand R2 = 48 k, U0 = 10,0 V
t in s
I1 in mA
I2 in mA
0
0,208
0,208
5
0,15
0,15
10
0,045
0,047
15
0,017
0,018
20
0,008
0,008
I3 in mA
0,208
0,145
0,046
0,016
0,007
I in mA
0,208
0,148
0,046
0,017
0,008
Berechnung der Anfangstromstärken:
U
10, 0 V
I0,1  0 
 4,17 104 A
R 1 2, 4 104 V  A 1
I0,2 
U0
10, 0 V

 2, 083 104 A
R1 4,8 10 4 V  A 1
Auswertung:
I(t)-Diagramm:
I in mA
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
R1 = 24 kOhm
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Halbwertzeit
0
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
7/10
30.00
27.50
25.00
22.50
20.00
17.50
15.00
12.50
10.00
7.50
5.00
2.50
0
t in s
www.phyma-gae.de
3.000
I in mA
2.750
2.500
2.250
2.000
1.750
1.500
R2 = 48 kOhm
1.250
1.000
0.750
0.500
0.250
Halbwertzeit
0
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
t in s
Ermittlung der Ladung:
dQ
I
dt
 d Q   I dt
QE

QA
mit I   I0  e
tE
d Q  I0   e

t


t
R C
dt
tA
 QQ
tE
QE
A
t
 

  I0     e  

 tA
t
 A 
  tE
t
QE  Q A  Io     e  e  
mit   H
ln  2 


t
 A 
  ttHE
tH


t
Q   Io  H   e ln  2  e ln  2  
ln  2  



t E l n  2 
t l n  2 

 A
t H   tH
Q  Io 
 e
 e tH 

ln  2  


mit t A  0
t E l n  2 
0l n  2 
t E l n  2 



t H   tH
t H   tH
tH



Q  Io 
 e
e
  Io 
 e
 1


ln  2  
ln  2  




Ablesen von tH:
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
8/10
www.phyma-gae.de
Für R 1  24 k :
t H  4, 0s
t E l n  2 

t H   tH
Q1  Io 
e
 1

ln  2  


30,0sl n  2 

4, 0s   4,0s
4
Q1  4,17 10 A 
 e
 1   0, 0012 As  1, 2 mC

ln  2  


Für R 2  48 k :
t H  8, 0s
t E l n  2 

t H   tH

Q2  Io 
 e
 1

ln  2  


20,0sl n  2 

8, 0s   8,0s
4
Q2  2, 08 10 A 
 e
 1   0, 00197 As  1,97 mC

ln  2  


Vergleich der ermittelten Ladungen:
 Beide Ladungen müssten gleich sein
 Abweichungen zwischen beiden Werten zu erwarten wegen Abweichungen bei Messung
 Halbwertzeit aus Graphen bestimmt – Ungenauigkeit
 I0 nicht messbar!
Ursachen für Abweichungen:
 Ablesung der Messwerte vom bewegten Zeiger nicht exakt möglich
 Beim Umlegen des Schalters beginnt sofort der Entladevorgang, aber der Zeiger des Amperemeters erreicht wegen seiner Trägheit erst später seinen Maximalwert
o I0 zu klein - nicht messbar!

 250 F
Berechnung der Kapazität des Kondensators:
Aus erster Messreihe:
t H    ln  2   R  C  ln  2 
tH
8, 0s


 4,81 104 F  481F
3
1
R  ln  2  24 10 V  A  ln  2 

 C  315, 5 F
tH
5, 0s
4
C2 

 1,50 10 F  150 F 

R  ln  2  48 103 V  A 1  ln  2 
C1 
oder:
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
9/10
www.phyma-gae.de
I  I0  e

t
R C
t

I
 e R C
Io
 I
t
ln    
 I0  R  C
t
t

 I
I 
R  ln   R  ln  0 
 I
 I0 
30s
C1 
 0, 000 409 F  409 F
 1, 7 
3
24 10   ln 

 0, 08 
C




 C  262,5 F
20s
C2 
 0, 0001156 F  116 F

2,94


48 103   ln 


 0, 08 

s A s
F
 C  

V
Angeben von jeweils 2 Fehlern:
 systematische Fehler
o Trägheit des Zeigers des Amperemeters
o Nichtberücksichtigung der Joulschen Wärme
 zufällige Fehler
o Zeitpunkt des Ablesens ungenau
o Umlegen des Schalters zu bestimmtem Zeitpunkt
Abitur-Ph-2006-LK-G2.doc
10/10
www.phyma-gae.de