¨Ubung 3

Übung 3
Balázs Simon
2005.03.04.
1. Bestimme den Wert der 4 griechischen Buchstaben für den Petersen-Graphen!
2. Sei H die Menge aller Graphen, wo e = n gilt. Bestimme
a) min{τ (G) : G ∈ H}
b) min{%(G) : G ∈ H}
3. Der maximale Grad im Graphen G sei d. Beweise, dass d · τ ≥ e gilt!
4. Zeige, dass in einem einfachen Graph α(G)τ (G) ≤ |E(G)| ist!
5. Man gebe den maximalen Fluss und eine minimale Schnittmenge im Netzwerk als eine Funktion von x
an. (x ist eine nicht-negative reelle Zahl.)
6. Man gebe den maximalen Fluss und eine minimale Schnittmenge im Netzwerk als eine Funktion von x
und y an. (x und y sind nicht-negative reelle Zahlen.)
Abbildung 1: Graphen für Aufgabe 5 und Aufgabe 6
7. Die Punkte von G seien die 0 − 1 Folgen der Länge n. Seien a, b ∈ V (G). Von a nach b führt eine Kante
mit Kapazität i, falls man b aus a so bekommt, dass man die 0 an der i-ten Stelle in a auf 1 stellt. Sei
s = (0 . . . 0), t = (1 . . . 1) und fn der maximale Fluss.
a) Wieviel ist f3 ?
b) Beweise, dass fn ≤ 2n−1
8. Sind die folgenden Behauptungen wahr?
a) Wenn alle Kantenkapazitäten in einem Netzwerk gerade sind, dann gibt es einen maximalen Fluss, bei
dem über jede Kante eine gerade Zahl transportiert wird.
b) Wenn alle Kantenkapazitäten in einem Netzwerk gerade sind, dann wird in jedem maximalen Fluss
über jede Kante eine gerade Zahl transportiert.
c) Wenn alle Kantenkapazitäten in einem Netzwerk ungerade sind, dann gibt es einen maximalen Fluss,
bei dem über jede Kante eine ungerade Zahl transportiert wird.
d) Wenn alle Kantenkapazitäten in einem Netzwerk ungerade sind, dann wird in jedem maximalen Fluss
über jede Kante eine ungerade Zahl transportiert.
1