Folien der 13. Vorlesung

Optimierung
Vorlesung 13
Letze Woche
• Branch&Bound
– Suchbaum
– Nach Möglichkeit nicht komplett durchsuchen
– Abschätzungen nach oben und unten
• Suchheuristiken
–
–
–
–
•
Randomisierte Lokale Suche
Simulated Annealing
Metropolis
Evolutionäre Algorithmen
Reminder: Frage zweiter Prüfungstermin. Vermutlich 30. oder 31.3.
Prüfungsanmeldung zum 2.Termin WS 14/15: 02.03. - 06.03.2015
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Heutiges Thema:
• Was passiert, wenn
viele gleichzeitig
versuchen zu optimieren?
• Alltagsbeispiel Straßenverkehr: Jeder wählt die
Route, die seine Fahrzeit minimiert.
• Mögliche Fragestellungen:
–
–
–
–
Was für “Lösungen” “enstehen” dann?
Wie gut sind diese?
Wie können dieser beeinflusst werden?
Können wir sie (effizient) berechnen?
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(Algorithmische) Spieltheorie
“In algorithmic game theory we analytically
study scenarios involving the interaction of
rational agents, such as traffic systems with
selfish agents (e.g., cars) routing through a
network…”
Vorlesung im nächsten Wintersemester im
Master
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Das Verkehrsmodell von Wardrop
• Graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸)
• Für jede Kante 𝑒 ∈ 𝐸 eine Latenzfunktion
ℓ𝑒 : ℝ → ℝ.
Beispiel: ℓ𝑒 𝑥 = 2𝑥 + 1
• Eine Menge von Triplen 𝑞𝑖 , 𝑠𝑖 , 𝑑𝑖 ∈ 𝑉 × 𝑉 ×
ℝ+
Fluss der Menge 𝑑𝑖 von 𝑞𝑖 nach 𝑠𝑖 (Demand).
• Die Flüsse bestehen aus unendliche vielen,
unendlich kleinen “Partikeln”
• Jeder “Partikel” wählt selbst seine Route.
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Ein einfaches Beispiel
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Flüsse
• Jeder “Partikel” aus 𝑞𝑖 , 𝑠𝑖 , 𝑑𝑖 wählt einen 𝑞𝑖 𝑠𝑖 -Pfad aus 𝒫𝑖
• Auf einem Pfad 𝑃 ∈ 𝒫𝑖 , ergibt Fluss auf 𝑓𝑃 .
• Fluss auf einer Kante 𝑒: 𝑓𝑒 = 𝑃:𝑒∈𝑃 𝑓𝑝
• Latenz, Verzögerung einer Kante: ℓ𝑒 (𝑓𝑒 )
• Auf einem Pfad entsprechend:
ℓ𝑃 𝑓 =
• 𝒫=
𝑖 𝒫𝑖
ℓ𝑒 (𝑓𝑒 )
𝑒∈P
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Wardrop Gleichgewicht
Jeder „Partikel“ wählt den Pfad mit der
geringsten Latenz.
Definition
Ein Fluss 𝑓 ist im Gleichgewicht, wenn für jedes
Paar 𝑃1 , 𝑃2 ∈ 𝒫𝑖 mit 𝑓𝑃1 > 0 gilt, dass
ℓ𝑃1 𝑓 ≤ ℓ𝑃2 (𝑓).
Beobachtung
Bei einem solchen Fluss, hat jeder genutzte 𝑞𝑖 𝑠𝑖 -Pfad die gleiche Latenz!
(und jeder ungenutzte Pfad keine kleinere)
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Existenz
• Gibt es einen solchen Gleichgewichtsfluss überhaupt immer?
• Ja, denn die Lösung folgenden Optimierungsproblems ist ein
Gleichgewichtsfluss:
Minimiere Φ 𝑓 =
𝑓𝑒
𝑒∈𝐸 0
ℓ𝑒 𝑡 𝑑𝑡
Unter den Nebenbedingungen, dass 𝑓 ein gültiger Fluss ist,
der alle Demands erfüllt.
• Warum?
• Intuitiv:
– Nimm an es könnte sich jemand verbessern: Widerspruch
– Konvexität
• Formal: Otimalitätsbedingung Konvexer Optimierung
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Wie gut ist ein Gleichgewicht
Definition
Die Kosten eines Flusses 𝑓 sind
𝐶 𝑓 =
𝑓𝑃 ⋅ ℓ𝑃 (𝑓) =
𝑃∈𝒫
𝑓𝑒 ⋅ ℓ𝑒 (𝑓𝑒 ) .
𝑒∈𝐸
Einen Fluss minimaler Kosten bezeichnen wir auch
als optimal.
• Die Kosten eines Gleichgewichtsflusses können
höher sein als die Kosten des optimalen Flusses.
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Ein einfaches Beispiel
Demand=1
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Preis der Anarchie
• Frage: Um wieviel schlechter ist der
Gleichgewichtsfluss als der optimale Fluss?
• Oder: Wieviel verlieren wir durch fehlende,
zentrale Koordinierung?
Definition Price of Anarchy (PoA)
𝐶(𝑓)
𝐶(𝑓∗ )
Der Preis der Anarchie 𝜌 = max
wobei 𝑓 ein
Gleichgewichtsfluss und 𝑓 ∗ der optimale Fluss ist.
• Es ist also die Worst-Case-Ratio zwischen einem
Gleichgewichts- und einem optimalen Fluss.
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Price der Anarchie von Wardropflüssen
Theorem
Der Price der Anarchie von Instanzen mit
4
linearen Latenzfunktionen ist .
3
Plakativ: Die durchschnittliche Fahrzeit im
Straßenverkehr (mit unendlich kleinen Autos,
bei linearer Abhängigkeit der Fahrzeit) ist nur
um 33% schlechter als eine optimale Lösung.
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Vorbereitung
Lemma 1
Ein Fluss 𝑓 ist Gleichgewichtsfluss genau dann
wenn für jeden Fluss 𝑔 gilt:
𝑓𝑝 ⋅ ℓ𝑝 𝑓 ≤
𝑃∈𝒫
𝑔𝑝 ⋅ ℓ𝑝 𝑓
𝑃∈𝒫
Beweis des Theorems (Tafelanschrieb)
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Lemma 2
Für jede Kante 𝑒 ∈ 𝐸 gilt
𝑔𝑒 ℓ𝑒 𝑓𝑒 − ℓ𝑒 𝑔𝑒
1
≤ 𝑓𝑒 ℓ𝑒 𝑓𝑒 .
4
Beweis
1. Fall 𝒇𝒆 < 𝒈𝒆 : Dann gilt ℓ𝑒 𝑓𝑒 ≤ ℓ𝑒 (𝑔𝑒 ) und linke
Seite ≤ 0.
2. 2.Fall 𝒇𝒆 ≥ 𝒈𝒆 : Vergleiche die Fläche in folgendem
Diagramm:
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Beweis des Theorems (Fortsetzung Tafelanschrieb)
Andere Latenzfunktionen
Theorem [Roughgarden, Tardos 2001]
Für positive Polynome vom Grad höchstens 𝑑 ist
der Preis der Anarchy ist höchstens 𝑑 + 1.
Theorem
Für quadratische Latenzfunktionen ist der Preis der
1
Anarchy ist höchstens
2 = 1,625.
1−
3 3
Merke: Verteile und Egoistische “Optimierung”
kann ineffizient sein. Wie sehr, kommt drauf an.
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Straßenbau kann schädlich sein
Oder: Das Braess Paradoxon:
•
Dietrich Braess: „Über ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung“ in: Unternehmensforschung
12, 258–268 (1968)
Ohne zusätzliche Kante: Gleichgewicht ist optimal:
1
1
1 1
⋅ 1+
+ ⋅
+ 1 = 1,5
2
2
2 2
Mit zusätzlicher Kante: Neues Gleichgewicht hat Kosten:
1⋅1+1⋅0+1⋅1=2
Kann man auch in der Realität bebachten: Siehe z.B.:
What if They Closed 42d Street and Nobody Noticed? New York
Times, December 25, 1990
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Aber Autos sind nicht unendenlich klein…
Wardrops Verkehrsmodell ist zwar i.A. eine gute
Annäherung an die Realität und auch sehr
praktikabel, aber was ist bei eher „diskreten“
Situationen?
Einfaches Beispiel:
• 3 Fahrzeuge wollen von 𝑠 nach 𝑡.
• Entspricht 3 unteilbaren Flüssen der
Größe 1.
• Gleichgewicht?
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Congestion Games [Rosenthal 73]
Die diskrete oder auch atomare Version des
Wardrop Modells.
• Menge von Spielern 𝒩 = {1, … , 𝑛} Fahrzeuge
• Graph G = V, E Straßennetz
– Mit Latenzfunktionen ℓ𝑒 : ℕ → ℕ
– Und einem Quelle/Senke Paar 𝑞𝑖 , 𝑠𝑖 für jeden
Spieler 𝑖 ∈ 𝒩
• Latenzfunktion bildet die Anzahl der Spieler
auf die Latenz der Kante ab.
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Existenz von Gleichgewichten
Potentialfunktion:
𝑓𝑒
Φ 𝑓 =
ℓ𝑒 (𝑖)
𝑒∈𝐸 𝑖=1
• Entspricht der diskreten Version von Φ im
Wardrop Modell.
• Jedes (lokale) Minimum von Φ 𝑓 ist ein
Gleichgewicht.
• Lokale Nachbarschaft einer Lösung 𝑓: Die Menge
der Lösungen die sich von 𝑓 nur durch die Wahl
eines Spielers unterscheiden.
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Konvergenz und Beweis
• Wir zeigen: Wenn sich ein Spieler durch
ändern der Routenwahl verbessert, dann wird
Φ kleiner.
• Im (lokalen) Minimum kann es also einen
solchen Spieler nicht geben.
Φ 𝑓 −Φ
𝑓′
=
𝑒∈𝐸
𝑓𝑒
𝑖=1 ℓ𝑒 (𝑖)- 𝑒∈𝐸
𝑓𝑒′
𝑖=1 ℓ𝑒 (𝑖)
=⋯=Δ
• Verbessert sich ein Spieler um Δ, dann sinkt Φ
um Δ.
• Φ ist eine exakte Potentialfunktion
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Finden/Berechnen eines Gleichgewichts
• Lokale Suche:
1. Starte mit einer beliebigen initialen Lösung 𝑓
2. Wenn es einen Spieler 𝑖 gibt, der sich auf
einem anderen Pfad verbessern kann, so sei
𝑓 dieses geänderte Lösung.
Beweis der Terminierung und Korrektheit durch
Potentialfunktion Φ.
Frage: Wie lange kann das dauern?
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Konvergenz und Berechenbarkeit
Beobachtung
Die Lokale Suche braucht höchstens
𝑚𝑛 ⋅ max𝑒∈𝐸 𝑙𝑒 (𝑛) Schritte (wobei 𝑚 = |𝐸|).
Beweis
0 ≤ Φ 𝑓 ≤ 𝑚𝑛 ⋅ max 𝑙𝑒 𝑛
𝑒∈𝐸
Und jeder Schritt verringert Φ um mindestens eins.
Behauptung
Es gibt Spiele mit 𝑛 Spielern in denen die Lokale
Suche 𝑂(2𝑛 ) viele Schritte benötigt.
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Zusammenfasung
1. Wardrop‘s Traffic Model
• Non-atomic selfish routing
• Non atomic congestion game
• Selfish flow
– Gleichgewicht existiert immer.
– Preis der Anarchie hängt von den Latenzfunktionen ab.
2. Milchtaichs Modell
• Congestion Games
• Atomic selfish routing
– Existenz, Konvergenz, Lokale Suche.
3. Nächste Woche:
–
–
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