8. Vorlesung

L ETZTE Ä NDERUNG : 5. D EZEMBER 2006
Vorlesung: Einführung in die Spieltheorie
WS 2006/2007
8. Vorlesung
28. November 2006
2.4
Guido Schäfer
Reduktion der Preis der Anarchie auf Pigou-ähnliche Instanzen
Bezeichne G= ein Graph der aus zwei Knoten V = = {s,t} und zwei parallelen Kanten
E = = {ē, e} besteht (wie im Beispiel von Pigou). Sei C eine Menge von nicht-negativen,
schwach monoton steigenden, differenzierbaren und semi-konvexen Latenzfunktionen,
die insbesondere alle konstanten Funktionen enthält.
Satz 2.4. Sei (G, r, c) eine Selfish Routing Instanz mit Latenzfunktionen (ce )e∈E ∈ C |E| .
2
Dann ist der Preis der Anarchie ρ(G, r, c) ≤ ρ(G= , r= , c= ) mit (c=
e )e∈{ē,e} ∈ C .
Beweis. Sei f ein Nash-Fluss für (G, r, c). Wir fügen für jede Kante e ∈ E eine parallele
Kopie ê hinzu. Den resultierenden Graphen bezeichnen wir mit Ĝ. Definiere die Latenzfunktion ĉe (x) := ce (x) für jede Originalkante e ∈ E und ĉê (x) := ce ( fe ) für jede Kopieˆ um die Instanz (G, r, c) bzw. (Ĝ, r, ĉ) zu bezeichnen.
kante ê. Wir verwenden I und I,
Behauptung 2.1.
ˆ
f ist ein Nash-Fluss für I.
Beweis. f ist ein Nash-Fluss für I. Die Latenz auf der Kante ê ist eine flussunabhängige
Konstante ce ( fe ), die gleich der Latenz auf der Kante e mit Fluss fe ist. Somit wird kein
Fluss von fe von seiner Kante e zu einer Kante ê in Ĝ wechseln wollen. Insbesondere
haben die flussführenden Pfade in Ĝ minimale Kosten; f ist also auch ein Nash-Fluss für
ˆ
die Instanz I.
ˆ
Sei fˆ∗ ein optimaler Fluss für I.
Behauptung 2.2.
Sei g ein zulässiger Fluss für I. Dann gilt: CIˆ( fˆ∗ ) ≤ CI (g).
ˆ Die Kosten eines optimalen Fluss
Beweis. Der Fluss g ist auch ein zulässiger Fluss für I.
ˆf ∗ in Iˆ können also nur kleiner oder gleich den Kosten von g in I sein.
Wir behaupten nun, dass wir durch geschicktes ausbalancieren des Flusses fe zwischen e und ê für alle Kanten e ∈ E einen optimalen Fluss fˆ∗ für Iˆ erzeugen können.
Betrachte eine Kante e ∈ E mit fe > 0. Wir rebalancieren den Fluss fe so, dass die marginalen Kosten bzgl. ĉ auf e und ê identisch sind; d.h. wir bestimmen ein x0 , so dass
ĉ∗e (x0 ) = ĉ∗ê (x0 ). Nach Definition der Latenzfunktionen ĉ in Iˆ ist dies äquivalent zu
ce (x0 ) + x0 · c0e (x0 ) = c∗e (x0 ) = ĉ∗e (x0 ) = ĉ∗ê (x0 ) = c∗e ( fe ) = ce ( fe ).
35
(7)
Behauptung 2.3.
Es existiert immer ein x0 ∈ [0, fe ], so dass (7) erfüllt ist.
Wir definieren fˆe∗ := x0 und fˆê∗ := fe − x0 für jede Kante e ∈ E.
Behauptung 2.4.
ˆ
fˆ∗ ist ein optimaler Fluss für I.
ˆ Ferner haben wir fˆ∗ so
Beweis. fˆ∗ ist nach Konstruktion ein zulässiger Fluss für I.
gewählt, dass er ein Nash-Fluss für die marginalen Kostenfunktionen (ĉ∗e )e∈E ist. Nach
ˆ
Korollar 2.2 ist fˆ∗ damit ein optimaler Fluss für I.
Der Preis der Anarchie für I ergibt sich nun wie folgt: Sei f ∗ ein optimaler Fluss für
I.
CI ( f )
CI ( f )
∑e∈E ce ( fe ) · fe
≤
=
CI ( f ∗ ) CIˆ( fˆ∗ ) ∑e∈E (ĉe ( fˆe∗ ) · fˆe∗ + ĉê ( fˆê∗ ) · fˆê∗ )
∑e∈E ce ( fe ) · fe
=
∑e∈E (ce ( fˆe∗ ) · fˆe∗ + ce ( fe ) · fˆê∗ )
ce ( fe ) · fe
≤ max
e∈E ce ( fˆe∗ ) · fˆe∗ + ce ( f e ) · fˆ∗
ê
Die erste Ungleichung folgt von Behauptung 2.2; die letzte gilt, da ∑i ai / ∑i bi ≤
maxi ai /bi . Wenn wir uns den letzten Ausdruck anschauen, ist dies der Preis der Anarchie
=
auf einer Instanz (G= , r= , c= ) mit r= = fe und c=
ē (x) = ce (x) und ce (x) = ce ( f e ).
Satz 2.4 ist bemerkenswert. Er besagt, dass der Preis der Anarchie einer gegebenen
Instanz (G, r, c) mit Latenzfunktionen aus der Klasse C nicht schlechter ist als der Preis
der Anarchie auf einer Pigou-ähnlichen Instanz mit den entsprechend spezifizierten Latenzfunktionen c= . Bemerke, dass wir im Beweis insbesondere ausnutzen, dass die Klasse
C der Latenzfunktionen alle konstanten Latenzfunktionen beinhaltet.
Zur Illustration betrachten wir die Pigou-ähnliche Instanz (G= , r= , c= ) hier noch einmal (siehe Abbildung 5).
ce (x)
ē
fe
s
t
e
ce ( f e )
Abbildung 5: Pigou-ähnliche Instanz (G= , r= , c= ) aus dem Beweis von Satz 2.4.
Ein Nash-Fluss f ergibt sich durch fē = fe und fe = 0 und hat Kosten C( f ) = ce ( fe ) ·
fe . Ein optimaler Fluss f ∗ weist fē∗ = x0 und fe∗ = fe − x0 zu, so dass
c∗ē (x0 ) = ce (x0 ) + x · c0e (x0 ) = ce ( fe ) = c∗e (x0 ).
36
Die Kosten von f ∗ sind C( f ∗ ) = fē∗ · ce ( fē∗ ) + fe∗ · ce ( fe ). Dies entspricht also genau der
Konstruktion im Beweis von Satz 2.4.
Wir wenden Satz 2.4 nun auf spezielle Klassen von Latenzfunktionen an; wobei wir
uns auf Pigou-ähnliche Instanzen zurückziehen können.
2.4.1
Konstante Latenzfunktionen
Sei
C := {(ce )e∈E : ce (x) = be , be ≥ 0}.
be
ē
r
s
t
e
be
Abbildung 6: Pigou-ähnliche Instanz (G= , r= , c= ) für Latenzfunktionen C .
Es ist leicht zu sehen, dass ein Nash-Fluss die gleichen Kosten hat wie ein optimaler
Fluss (siehe Abbildung 6). Somit gilt ρ(G, r, c) = 1.
2.4.2
Lineare oder konstante Latenzfunktionen
Betrachte
C := {(ce )e∈E : ce (x) = ae · x, ae ≥ 0} ∪ {(ce )e∈E : ce (x) = be , be ≥ 0}.
Letztere Latenzfunktionen haben wir bereits oben charakterisiert. Betrachte nun Funktionen der Form ce (x) = ae · x .
ae · x
ē
r
s
t
e
ae · r
Abbildung 7: Pigou-ähnliche Instanz (G= , r= , c= ) für Latenzfunktionen C .
37
Es gilt: fē = r und fe = 0 ist ein Nash-Fluss. Desweiteren ist fē∗ = x0 und fe∗ = r − x0
ein optimaler Fluss mit
2ae · x0 = ae · r
⇔
x0 = r/2.
Somit gilt:
C( f )
r · ae · r
4
=
= .
∗
C( f ) r/2 · ae · r/2 + r/2 · ae · r 3
2.4.3
Affin lineare Latenzfunktionen
Sei
C := {(ce )e∈E : ce (x) = ae · x + be , ae , be ≥ 0}.
Wir ersetzen jede Kante e ∈ E mit Latenzfunktion ce (x) = ae · x + be durch einen Pfad
aus zwei Kanten mit Latenzfunktion ae · x und be (siehe Abbildung 8). Nash-Flüsse und
optimale Flüsse werden durch diese Kantenersetzung nicht verändert.
ae · x + be
ae · x
be
Abbildung 8: Kantenersetzung
Das resultierende Netzwerk hat Latenzfunktionen wie oben und somit ist der Preis der
Anarchie für Selfish Routing Instanzen mit affin linearen Latenzfunktionen 4/3.
Satz 2.5. Der Preis der Anarchie für eine Selfish Routing Instanz (G, r, c) mit affin linearen Latenzfunktionen ist ρ(G, r, c) ≤ 4/3.
Pigou’s Beispiel zeigt, dass es Instanzen gibt, für die diese Abschätzung scharf ist.
2.4.4
Polynomielle Latenzfunktionen mit Grad p
Sei
(p)
(p−1) p−1
C p := {(ce )e∈E : ce (x) = ae x p +ae
x
(0)
(i)
+· · ·+ae , ae ≥ 0 für alle i ∈ {0, 1, . . . , p}}.
Wir wenden den gleichen Trick an wie oben: Ersetze jede Kante durch einen Pfad aus
p + 1 Kanten und teile die Latenzfunktionen entsprechend auf diesen Kanten auf. Wir
betrachten hier nur die (für die asymptotische Betrachtung relevanten) Kanten der Form
(p)
ae x p ; siehe Abbildung 9. Für die verbleibenden Kanten könnne wir induktiv argumentieren (ähnlich wie oben).
38
(p)
ae · x p
ē
r
s
t
e
(p)
ae · r p
Abbildung 9: Pigou-ähnliche Instanz (G= , r= , c= ) für Latenzfunktionen C .
Für den Nash-Fluss gilt: fē = r und fe = 0. Daher ist C( f ) = a(p) r p+1 . Für den optimalen Fluss muss gelten: fē∗ = x0 und fe∗ = r − x0 , wobei
r
a(p) x0p + x · p · a(p) x0p−1 = a(p) r p ⇔ x0p (p + 1) = r p ⇔ x0 =
(1 + p)1/p
Somit sind die Kosten eines optimalen Flusses
r
a(p) r p
r
C( f ) =
·
+ r−
a(p) · r p
(1 + p)1/p (1 + p)
(1 + p)1/p
1
(p) p+1
= a ·r
1− p·
(1 + p)1+1/p
∗
Betrachtet man nun den Preis der Anarchie für diese Instanz, ergibt sich
−1
1
C( f )
= 1− p·
.
C( f ∗ )
(1 + p)1+1/p
Satz 2.6. Der Preis der Anarchie für Selfish Routing Instanzen (G, r, c) mit Polynomen
vom Grad p als Latenzfunktionen ist
−1
p
1
=Θ
.
ρ(G, r, c) ≤ 1 − p ·
ln p
(1 + p)1+1/p
Ein paar Werte für p:
p
ρ(G, r, c)
1
≈ 1.333
2
≈ 1.626
3
≈ 1.896
...
Tabelle 1: Preis der Anarchie in Abhängigkeit von p.
Satz 2.6 zeigt auch, dass ρ(G, r, c) → ∞ wenn p → ∞ (vgl. auch Aufgabe 2, Übung 4).
Die Intuition ist damit, dass der Preis der Anarchie klein ist, wenn die Latenzfunktionen
relativ moderat ansteigen; wachsen die Latenzfunktionen hingegen schnell, ist der Preis
der Anarchie unbegrenzt.
39
2.5
Alternativer Beweis
Im weiteren Verlauf entwickeln wir einen alternativen Beweis von Satz 2.5; die dabei
gewonnenen Einsichten werden sich später als nützlich erweisen. Wir benötigen zunächst
die folgende Definition:
Definition 2.7. Sei f ein zulässiger fester Fluss für eine Selfish Routing Instaz (G, r, c).
Wir definieren die Kosten eines Flusses x relativ zu f als
C f (x) :=
∑ xe · ce( fe).
e∈E
D.h. die Kosten einer Kante werden durch f vorgegeben; die Flussmenge jedoch durch x.
Mittels dieser Definition ergibt sich eine weitere Charakterisierung von Nash-Flüssen:
Satz 2.7. Sei f ein zulässiger Fluss für die Selfish Routing Instanz (G, r, c) mit nichtnegativen, schwach monoton steigenden und differenzierbaren Latenzfunktionen. Dann
ist f genau dann ein Nash-Fluss, wenn C f ( f ) ≤ C f (x) für alle zulässigen Flüsse x.
Beweis. Sei f ein Nash-Fluss. Nach Korollar 2.1 gilt für jede commodity i ∈ [k] und
P1 ∈ Pi mit fP1 > 0: cP1 ( f ) = ci ( f ). Ferner gilt für jeden Pfad P2 ∈ Pi mit fP2 = 0:
cP2 ( f ) ≥ cP1 ( f ) = ci ( f ). Somit haben wir:
!
!
C f ( f ) = C( f ) =
∑ ∑
ci ( f ) · fP =
i∈[k] P∈Pi
=
∑ ∑
i∈[k] P∈Pi
ci ( f ) · xP ≤
∑ ci( f ) ∑
i∈[k]
∑ ∑
fP
P∈Pi
=
∑ ci( f ) ∑
i∈[k]
xP
P∈Pi
cP ( f ) · xP = C f (x).
i∈[k] P∈Pi
Um die umgekehrte Richtung zu zeigen, nehmen wir an, dass C f ( f ) ≤ C f (x) für alle
zulässigen Flüsse x und f ist kein Nash-Fluss. Dann gibt es eine commodity i ∈ [k] und
zwei Pfade P1 , P2 ∈ Pi mit fP1 > 0 und cP1 ( f ) > cP2 ( f ). Sei x der Fluss, der aus f entsteht,
wenn man den Fluss von P1 auf P2 verlagert. Es gilt:
C f ( f ) −C f (x) = fP1 · cP1 ( f ) − fP1 · cP2 ( f ) = fP1 · (cP1 ( f ) − cP2 ( f )) > 0,
ein Widerspruch.
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