Grundwissen Arithmetik - Teil 2 - (geschicktes) Rechnen mit Zahlen

Grundwissen Arithmetik - Teil 2
- (geschicktes) Rechnen mit Zahlen
- Teilbarkeit
heute Anschaulich geometrisches Argumentieren
im Bereich der Arithmetik:
3. Beispiel zum „AGA“
Das Produkt einer Zahl mit sich selbst ist immer um
Eins größer als das Produkt der beiden Zahlen, die
ich erhalte, wenn ich die Zahl um Eins erhöhe und
um Eins erniedrige.
- gegenläufiges additives Verändern bei Produkten
- Differenzen von Spiegelzahlen
- die „Zauberkugel“
Aufgabe 1: Drücke diesen Sachverhalt formal aus
eine mögliche Lösung: x! x – 1 = (x+1)! (x–1)
- Treppenzahlen
oder: (x+1)! (x–1) + 1 = x! x
(1) Das Produkt einer Zahl mit sich selbst ist immer um Eins größer als das
(1) Das Produkt einer Zahl mit sich selbst ist immer um Eins größer als das
Produkt der beiden Zahlen, die ich erhalte, wenn ich die Zahl um Eins
Produkt der beiden Zahlen, die ich erhalte, wenn ich die Zahl um Eins
erhöhe und um Eins erniedrige.
erhöhe und um Eins erniedrige.
Entferne ich einen Streifen der
Breite n-1 und der Höhe 1
Entferne ich einen Streifen der
Breite n-1 und der Höhe 1
und füge ihn rechts vertikal an
dann erhalte ich ein
(n–1)!(n+1) Rechteck, das um 1
kleiner ist als das n!n Quadrat
Anschaulich geometrische Argumentation zur Beobachtung
4. Beispiel zum „AGA“
Aufgabe:
73-37 =
:9=
Beobachtung:
92-29 =
:9=
Differenzen zweistelliger
85-58 =
:9=
41-14=
:9=
81-18=
:9=
62-26=
:9=
„Spiegelzahlen“ sind
73
Vielfache von 9.
Der Multiplikator ist die
Differenz der Ziffern.
37
Anschaulich geometrische Argumentation zur Beobachtung
(7–3)
92
73
= (7–3)! 9
29
37
(9–2)
92 - 29 = (9–2)! 9
Differenzen zweistelliger „Spiegelzahlen“ sind
Vielfache von 9.
Der Multiplikator ist die Differenz der Ziffern.
Text dazu: Entferne ich die Zehner und die Einer aus der
Darstellung der größeren der beiden Zahlen, so bleiben keine
formale Herleitung:
Einer übrig. Von den Zehnern entfallen so viele ganz, wie der
Sei x>y,
Anzahl der Einer der größeren Zahl entspricht. Von den restlichen
dann ist (10x+y)–(10y+x) = 9x–9y = 9! (x–y)
Zehnern - und das sind so viele, wie der Differenz beider Ziffern
entspricht - wird jeweils ein Einer entfernt. Es bleiben also so viele
Neuner übrig, wie der Differenz der Ziffern entspricht.
5. Beispiel zum „AGA“: Die magische Zauberkugel
73 – ( 3 + 7 )
„Merksatz“:
Subtrahiere ich von einer mehrstelligen Zahl ihre
Ziffernsumme, so ist das Ergebnis ein Vielfaches von 9.
Formal: N – ZS(N) = 9! x ;
Dabei ist N>9 und x>1
„Merksatz“:
Begründung:
Subtrahiere ich von einer mehrstelligen Zahl ihre
Jede mehrstellige Zahl lässt sich als Summe von
Zehnerpotenzen schreiben.
Ziffernsumme, so ist das Ergebnis ein Vielfaches von 9.
342= 100+100+100+10+10+10+10+1+1
Subtrahiere ich von jeder dieser Zehnerpotenzen Eins,
Formal: N – ZS(N) = 9! x ;
Dabei ist N>9 und x>1
100-1+100-1+100-1+10-1+10-1+10-1+10-1+1-1+1-1
ist das Ergebnis eine Summe von Vielfachen von 9,
= 99+99+99+9+9+9+9 , die selbst ein Vielfaches von 9 ist.
= 9! (11+11+11+1+1+1+1)
Begründung:
Jede mehrstellige Zahl lässt sich als Summe von
Zehnerpotenzen schreiben.
342= 100+100+100+10+10+10+10+1+1
Subtrahiere ich von einer mehrstelligen Zahl ihre
Ziffernsumme, so ist das Ergebnis ein Vielfaches von 9.
Formal: N – ZS(N) = 9! x ;
Dabei ist N>9 und x>1
Subtrahiere ich von jeder dieser Zehnerpotenzen Eins,
Folgerung:
100-1+100-1+100-1+10-1+10-1+10-1+10-1+1-1+1-1
Ist die Ziffernsumme einer Zahl durch 9 teilbar (ein
Vielfaches von 9), so ist auch die Zahl durch 9 teilbar.
ist das Ergebnis eine Summe von Vielfachen von 9,
= 99+99+99+9+9+9+9 , die selbst ein Vielfaches von 9 ist.
Die Umkehrung dieses Satzes gilt auch.
= 9! (11+11+11+1+1+1+1)
Begründung:
Das Ergebnis ist gleich der Zahl, die ich erhalte, wenn ich
von der Zahl die Ziffernsumme subtrahiere.
Beide Behauptungen folgen unmittelbar aus
den Gleichungen
342 – (3+4+2)
N = 9! x + ZS(N) (siehe oben)
und
ZS(N)= N - 9! x
6. Beispiel zum „AGA“
Treppenzahlen
Treppenzahl:
2s= z!(a+e)
eine Summe aufeinanderfolgender Zahlen
Ist z gerade,
Jede Treppenzahl hat mindestens einen ungeraden
dann ist a+e
Teiler.
immer
ungerade. Also
Also kann eine Zahl ohne ungeraden Teiler keine
hat s dann
Treppenzahl sein.
einen
ungeraden
Frage: Ist jede Zahl mit einem ungeraden Teiler eine
Treppenzahl?
s= (z:2)!(a+e)
2s= z!(a+e)
Ist z ungerade,
dann ist a+e
immer gerade.
Also hat s dann
e
einen
ungeraden
a
Teiler (z).
z
s= z!((a+e):2)
Teiler
s
e
a
z
s