Cayleys Formel Drei Beweise durch geschicktes Z ahlen

Cayleys Formel
Drei Beweise durch geschicktes
Zahlen
Marc Wagner
[email protected]
Ferienakademie, September 1999
1 Vorbetrachtungen
Labeled Trees (nummerierte Baume)
Ein Labeled Tree ist ein zusammenhangender, ungerichteter Graph ohne Zyklen,
dessen Knoten eindeutig bezeichnet sind. Es gibt weder eine ausgezeichnete Wurzel noch sind die A ste eines Knotens in irgendeiner Weise geordnet. Einen solchen
Baum kann man eindeutig beschreiben, indem man zu jedem Knoten die Menge
seiner Nachbarn angibt.
4
v
5@
1
v
@
2
v
3@@
3
v
@v
1
4
v
v
@
@
@v
2
v
@
@
@v
5
4v
5
v
@
@
@v
3
5v
4v
v1
v2
3
v
@
@
@v
2
v1
Abbildung 1: Labeled Trees (die ersten drei sind gleich)
Cayleys Formel
Sei V = f1; 2; : : : ; ng die Menge der Knoten. Mit tn wird die Anzahl der verschiedenen Labeled Trees mit Knotenmenge V bezeichnet. Fur kleine n kann man tn
noch relativ einfach durch Konstruktion aller moglichen Baume und anschliessendes Zahlen ermitteln.
1
u
!t =1=1
1
1
u
u
!t =1=2
2
0
u u
A
Au
u u
A Au
u
u u
@
u @u
u
u
u
u
u u
@
u @u
u u
@
u @u
u u
@
u @u
u
u
u
u
u
Q
A Q
u
u
Au Qu
u
5
u
u
!t =3=3
1
3
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u u
@
u @u
u
@
u @u
u
u
@
@u
u
u
60
60
u u
@
u @u
u u
@
u @u
u u
@
u @u
! t = 16 = 4
4
2
! t = 125 = 5
u
3
5
Abbildung 2: Alle Labeled Trees fur n = 1; 2; 3; 4; 5
Fur beliebige n 1 liefert Arthur Cayleys beruhmte Formel,
tn = nn
2
;
konkrete Werte fur tn. Es gibt mittlerweile eine ganze Reihe von Beweisen dieser
Gleichung, die mit unterschiedlichsten Methoden gefuhrt wurden. Drei davon,
basierend auf relativ einfachen Zahlargumenten, werden im folgenden prasentiert.
2 Beweis durch die Formel von Moon
Multinomialkoezienten
!
Multinomialkoezienten r ; : n: :; r werden deniert durch
k
1
(1)
(x + : : : + xk
1
)n
=
!
X
n
rk
r1
r ; : : :; rk x : : : xk ;
1
2
1
wobei uber alle k-Tupel (r ; : : :; rk ) mit ganzzahligen, nichtnegativen ri summiert
wird, deren Summe n betragt.
Es ist nicht schwierig eine Rekursionsformel fur Multinomialkoezienten herzuleiten. Die Beziehung
1
(x + : : : + xk )n = (x + : : : + xk )n (x + : : : + xk )
1
1
1
1
gilt oensichtlich. Gleichung (1) eingesetzt ergibt
!
X
n
rk
r1
r ; : : : ; rk x : : : xk =
#
!
"X
n
1
s
s
k
1
=
s ; : : :; sk x : : :xk (x + : : : + xk ) ;
wobei links uber alle k-Tupel (r ; : : : ; rk ) summiert wird, deren Summe n betragt,
und rechts uber alle k-Tupel (s ; : : :; sk ) summiert wird, deren Summe n 1
1
1
1
1
1
1
1
betragt. Betrachtet man nur noch ein Glied aus der linken Summe erhalt man
!
#
"
!
n
1
n
r
r
r
r
k
k
1
1
r ; : : : ; rk x : : : xk = r 1; : : : ; rk x : : : xk x + : : : +
#
"
!
n
1
r
r
k
1
+ r ; : : :; r 1 x : : :xk xk ;
k
was zu
!
!
k
X
n
1
n
(2)
r ; : : :; rk = i r ; : : :; ri 1; : : : ; rk
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=1
fuhrt, einer Rekursionsformel die im folgenden Beweis verwendet wird.
Ferner gilt
n
r ; : : :; rk
(3)
1
!
n
r ; : : : ; rk ; 0
=
1
!
;
wie man unschwer aus Gleichung (1) folgern kann.
Formel von Moon
Als Grad eines Knotens bezeichnet man die Anzahl der von ihm ausgehenden
Kanten. t(n; d ; : : : ; dn) sei die Anzahl der verschiedenen Labeled Trees mit der
Knotenmenge V = fv ; v ; : : :; vng fur die di = Grad (vi) gilt (1 i n), das
heisst jedes di ist einem
speziellen Knoten zugeordnet. Es ist klar, dass fur jeden
P
n
Baum mit n Knoten i di = 2n 2 gilt, da jeder solche Baum genau n 1
Kanten hat.
1
1
2
=1
3
v
6
w1
v
w4
w
w2
@
@
@w 5
v
v
w3
@
@
@w 2
v
w
v
7
v
v
v
w3
v
v
7
w5
v
v
w1
w
@
w
4
v
@
@w 6
Abbildung 3: Zwei der von t(7; 2; 3; 1; 3; 1; 1; 1) gezahlten Baume
Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man annehmen d d : : : dn , da sich der Wert von t(n; : : :) nicht andert, wenn man die di untereinander
vertauscht. Mit Sicherheit ist bei einem Baum, der mehr als einen Knoten hat,
dn = 1, denn jeder solche Baum hat mindestens zwei Knoten von denen nur eine
Kante ausgeht. vn ist also mit genau einem anderen Knoten verbunden. Man
kann daher die Rekursionsformel
1
t(n; d ; : : :; dn ) =
(4)
1
nX1
i=1
2
t(n 1; d ; : : :; di 1; : : : ; dn )
1
1
aufstellen. Auf der rechten Seite dieser Gleichung werden alle Baume berucksichtigt, die durch entfernen des Knotens vn und dessen einziger Kante aus den von
t(n; d ; : : :; dn ) gezahlten Baumen entstehen konnen. Die Summe lauft von 1 bis
n 1, weil vn mit jedem der anderen Knoten v bis vn verbunden sein kann,
wobei der Grad des entsprechenden Knotens wegen der nicht zu betrachtenden
Kante um 1 verringert werden muss.
1
1
z
HH
HH
vn z
z
HH
HHz
A
A
A
A
1
Knoten v bis vn
1
Abbildung 4: Zur Veranschaulichung von Gleichung (4)
Die Formel von Moon,
t(n; d ; : : :; dn ) =
1
d
1
4
n 2
1; : : : ; dn 1
!
;
1
fur n 3, di 1 lasst sich nun leicht durch vollstandige Induktion beweisen.
Induktionsanfang
Induktionsanfang
bei n = 3. Ein Baum mit drei Knoten hat genau zwei Kanten.
P
Daraus folgt i di = 4. Man veriziert nun problemlos
3
=1
!
1
;
1; 0; 0
!
1
;
0; 1; 0
!
1
:
0; 0; 1
t(3; 2; 1; 1) = 1 =
t(3; 1; 2; 1) = 1 =
t(3; 1; 1; 2) = 1 =
Induktionsannahme
Die Formel von Moon gilt fur Baume mit n 1 Knoten.
Induktionsschluss
t(n; d ; : : :; dn ; dn ) =
= t(n; d ; : : :; dn ; 1) =
j dn = 1 da d d : : : dn
nX
j Gleichung (4)
= t(n 1; d ; : : :; di 1; : : :; dn ) =
1
1
1
1
1
2
1
=
=
=
=
1
i=1
nX1
1
!
n 3
j Induktionsannahme
d 1; : : :; di 2; : : :; dn 1 =
!
n 2
j Gleichung (2)
d 1; : : : ; dn 1 =
!
n 2
j Gleichung (3)
d 1; : : : ; dn 1; 0 =
!
n 2
j dn = 1 da d d : : : dn
d 1; : : : ; dn 1; dn 1
i=1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Beweis von Cayleys Formel
In Gleichung (1) wird nun n durch n 2, k durch n, ri durch di 1 und xi durch
1 ersetzt.
(x + : : : + xk
1
)n
=
X
!
n
rk
r1
r ; : : : ; rk x : : : xk
1
1
5
j Gleichung (1)
!
X
n 2
j Ersetzen (s. o.)
n =
d 1; : : :; dn 1
X
(5)
nn = t(n; d ; : : :; dn ) fur n 3 j Formel von Moon
Wahrend in der obersten Gleichung noch uber alle k-Tupel (r ; : : : ; rk ) summiert
wird, deren Summe n betragt, wird, bedingt durch die Ersetzungen, in der untersten Gleichung uber alle n-Tupel (d ; : : :; dn ) summiert, deren Summe 2n 2
n
2
1
2
1
1
1
betragt.
Wie bereits erwahnt gilt fur einen Baum mit n Knoten Pni di = 2n 2. Daraus
folgt
=1
X
tn = t(n; d ; : : :; dn )
wenn uber alle n-Tupel (d ; : : :; dn ) summiert wird, deren Summe 2n 2 betragt.
(6)
1
1
Die Gleichungen (5) und (6) fuhren sofort auf
tn = nn
2
fur n 3. Da die Korrektheit dieser Beziehung fur n = 1 und n = 2 leicht von
Hand verzierbar ist, folgt
tn = nn
2
;
Cayleys Formel.
3 Beweis durch Rekursion von Riordan und
Renyi
Aufstellen einer rekursiven Formel
Sei A eine beliebige k-elementige Teilmenge der Knotenmenge V = f1; 2; : : : ; ng.
Mit tn;k wird die Anzahl der verschiedenen Planted Forests (gewurzelte Walder)
mit Knotenmenge V bezeichnet, bestehend aus k Baumen, bei denen die k Wurzeln gerade die Menge A bilden.
6
1
2
v
v
@
v@
@v
3
4
1
2
v
v
v
3
v
4
1
2
v
v
@
v@
@v
3
4
1
2
v
v
v
3
1
v
2
v
v
@
v@
@v
4
3
1
2
1
2
1
2
v
v
v
v
v
v
v
4
v
3
4
v
3
v
4
v
3
v
4
Abbildung 5: t ; = 8 fur A = f1; 2g
42
Es ist oensichtlich, dass es nicht auf einzelnen Elemente der Menge A ankommt,
sondern nur auf deren Machtigkeit.
Im folgenden wird gezeigt, dass die rekursive Beziehung
tn;k
(7)
!
nXk
n k t
=
;k
i
}i
|n {z
i |
{z } |{z}
1
=0
)
)
)
1+
fur n k 1 gilt.
) Sei ohne Beschrankung der Allgemeinheit A = f1; : : : ; kg. Der Knoten 1
kann mit i Knoten, 0 i n k, durch jeweils eine Kante verbunden sein.
1
2
y
QQ
Q
Q
Q
y y
Qy
y
3
y
::::::
k
y
::::::
i Knoten
-
Abbildung 6: Zur Verdeutlichung von )
!
) Es gibt n i k Moglichkeiten die i Nachbarn von Knoten 1 aus der
Knotenmenge fk + 1; : : : ; ng auszuwahlen.
) Entfernt man Knoten 1 und alle seine Kanten erhalt man einen Planted
Forest mit n 1 Knoten, bestehend aus k 1 + i Baumen, dessen Wurzeln
7
gerade die Knoten 2 bis k und die i Nachbarn von Knoten 1 sind. Durch
diese Knoten wird automatisch eine neue Menge A festgelegt.
Damit die Rekursion endet wird t ; = 1 (es gibt genau einen Wald mit 0 Knoten
und 0 Baumen) und tn; = 0 fur n > 0 (es gibt keinen Wald mit einer nichtleeren
Knotenmenge und 0 Baumen) gesetzt.
00
0
i = 0 : 1t 2t
i = 1 : 1t 2t 1t 2t 1t 2t
3t
i=2:
1t
3t
@
@t
2t
4
1t
3t
@
@t
4t
2t
5
5t
1t
4t
2t
@
@t
i=3:
1t
t
5
@
t @t
2t
3 4 5
Abbildung 7: Der erste Rekursionsschritt fur n = 5 und A = f1; 2g
Beweis von Cayleys Formel
Die Gleichung
tn;k = knn
(8)
k
1
fur n k 1 wird durch vollstandige Induktion bewiesen.
Induktionsanfang
Induktionsanfang bei n = 1. t ; = 0 und t ; = 1 ist oensichtlich korrekt.
10
11
Induktionsannahme
Gleichung (8) gilt fur n 1.
Induktionsschluss
nXk
!
n k t
tn;k =
n ;k
i =
i
i
!
nXk
n
k
(k 1 + i)(n 1)n
=
i
i
1
j Gleichung (7)
1+
=0
=0
8
1
k i
=
j Induktionsannahme
!
0
X
n k (n 1 i)(n 1)i =
ji!n k i
=
n
k i
i n k
!
!
nXk
nXk
n
k
n
k
i(n 1)i =
(n 1)i
=
i
i
i
i
n k
nXk n k !
(n k)! i(n 1)i =
i 1n k i X
(
n
1)
=
i
i i!(n k i)!
i
= (n 1 + 1)n k
nXk
j binomischer Satz
(n k) (i (n1)!(nk k1)! i)! (n 1)i =
1
=
1
=0
=0
1
=1
=0
1
i=1
= n
n k
= n
n k
= nn
= nn
k
k
(n
(n
(n
(n
!
nXk
n k 1 (n 1)i =
k)
i 1
i
!
nX
k
n
k
1
(n 1)i1n k i =
j i!i+1
k)
i
i
k)(n 1 + 1)n k =
j binomischer Satz
k)nn k = knn k
1
=1
1
1
=0
1
1
1
Setzt man in Gleichung (8) k = 1 erhalt man
tn; = nn :
Man sieht problemlos, dass tn; = tn. Diese Erkenntnis fuhrt direkt zu
tn = nn ;
2
1
1
2
Cayleys Formel.
4 Beweis durch doppeltes Zahlen
Dieser von Jim Pitman gefuhrte Beweis von Cayleys Formel ist vermutlich der
eleganteste von allen bisher bekannten.
Planted Forests
Ein Planted Forest ist ein Labeled Forest, bei dem jeder Baum einen ausgezeichneten Wurzelknoten enthalt. Sei Fn;k die Menge aller Planted Forests mit n
Knoten und k Baumen. Dann ist Fn; die Menge aller Planted Trees. Sicher ist
jFn; j = ntn, denn zu jedem Labeled Tree mit n Knoten gibt es n Moglichkeiten
einen Wurzelknoten auszuwahlen.
1
1
9
Ein Planted Forest Fn;k 2 Fn;k kann auch als gerichteter Graph betrachtet werden,
bei dem alle Kanten von den Wurzeln weg gerichtet sind. Ein Wald Fn;i enthalt
einen Wald Fn;j falls alle gerichteten Kanten von Fn;j auch in Fn;i vorhanden sind.
In einem solchen Fall ist i j , mit anderen Worten Fn;i hat hochstens so viele
Baume wie Fn;j .
2
1
u
@
Ru
u @
3
4
?
u
8
9
?
u
10
?
u
u
5 u @@
R u6
7 u
2
1
8
u4
3 u?9 5u @@
R u6
10 7 u
?
u
u
@
Ru
u @
u
Abbildung 8: Der linke Planted Forest enthalt den rechten
Verfeinerungssequenzen
Eine Folge F ; F ; : : :; Fk von Planted Forests wird als Verfeinerungssequenz bezeichnet, falls fur alle i gilt: Fi 2 Fn;i und Fi enthalt Fi . Bei vorgegebenem
Fk 2 Fn;k sei
N (Fk ) die Anzahl der verschiedenen Planted Trees, die Fk enthalten und
N (Fk ) die Anzahl der verschiedenen Verfeinerungssequenzen, die mit Fk
enden.
N (Fk ) kann auf zwei Arten ermittelt werden, je nachdem ob man mit den U berlegungen bei F oder bei Fk beginnt.
1
2
+1
1
Start bei F
1
Bei einem Planted Tree, der Fk enthalt, konnen die k 1 Kanten, die nicht zu
Fk gehoren, in beliebiger Reihenfolge, also auf (k 1)! Moglichkeiten, entfernt
werden, um eine Verfeinerungssequenz zu bekommen, die mit Fk endet. Da es
N (Fk ) verschiedene Planted Trees gibt, die Fk enthalten, folgt
(9)
N (Fk ) = N (Fk )(k 1)! :
10
Start bei Fk
Um von Fk nach Fk zu kommen muss eine gerichtete Kante von einem beliebigen
Knoten, dafur gibt es n Moglichkeiten, zu einer Wurzel in einem anderen Baum,
es bleiben k 1 Moglichkeiten, eingefugt werden. Folglich kann dies auf n(k 1)
Arten geschehen.
1
2
1
@
8
R u4
@
u4
u1
u8
@
@
5 R u6 ) 2 u @
9 5u @@
3 ?
R u6
R u3 u
?
u9 u @
10 7 u
7 u
?
?
u10
u
u
@
Ru
u @
u
Abbildung 9: Einfugen einer Kante fuhrt von F zu F
3
2
Analog ermittelt man n(k 2) Alternativen eine Kante einzufugen, die von Fk
nach Fk fuhrt. Wendet man diese U berlegung k 1 mal an, erhalt man schliesslich
1
2
(10)
N (Fk ) = nk (k 1)! :
1
Beweis von Cayleys Formel
Die Gleichungen (9) und (10) fuhren sofort auf die Beziehung
N (Fk ) = nk
fur Fk 2 Fn;k. Fn kann nur aus n isolierten Knoten bestehen, ist also eindeutig
festgelegt. Daher entspricht N (Fn) der Anzahl aller Planted Trees die genau n
Knoten enthalten, also N (Fn) = jFn; j. Wie bereits festgestellt ist jFn; j = ntn.
(11)
Daraus kann man
1
1
1
N (Fn) = ntn
folgern und erhalt dann unter Verwendung von Gleichung (11)
tn = nn
Cayleys Formel.
11
2
;
5 Literaturempfehlung
Weitere Informationen zu diesem und ahnlichen Themen enthalten die Bucher
Proofs from the Book, M. Aigner, G. M. Ziegler, Springer 1998 und
A Course in Combinatorics, J. H. van Lint, R. M. Wilson, Cambridge UP
1992.
12