Formale Sprachen und Automaten ¨Ubungsblatt 5 – Lösungen
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Formale Sprachen und Automaten Übungsblatt 5 – Lösungen 08.05.2014 DEAs, NEAs und ε-NEAs 1. Wir haben gelernt, dass ein deterministischer endlicher Automat (DEA) mit der Zustandsmenge Q und dem Alphabet Σ maximal |Q| · |Σ| Übergänge besitzen kann. Wie viele Übergänge kann ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA) maximal haben? Und wie viele kann ein NEA mit ε-Übergängen (ε-NEA) haben? NEA: |Q|2 · |Σ| ε-NEA: |Q|2 · (|Σ| + 1) 2. Führe beim folgenden ε-NEA die ε-Entfernung durch. Gib als Lösung den ε-freien Automaten an. c start q0 a b q4 q3 q2 q1 q1 a start c c q0 b Induktion – mehr davon! 1 q2 c q3 c Rechts siehst du einen Baum mit Knoten und Ästen. Die Knoten, die nicht weiter verzweigen, heißen Blätter – im Beispiel sind es c, d, e und f. Der Baum hat die Höhe 2, denn um vom obersten Knoten, a, zu einem Blatt zu kommen, muss man im Maximalfall 2 Ästen folgen. Ein Baum der Höhe 0 ist ein einzelnes Blatt. Der Beispiel-Baum ist bis zu 3-fach verzweigend, denn von einem Knoten gehen höchstens 3 Äste ab. a b c d e f 3. Beweise durch Induktion: Ein bis zu v-fach verzweigender Baum der Höhe h hat höchstens v h Blätter. Den Beweis führen wir durch Induktion über die Variable h. Wir müssen trotzdem darauf achten, dass wir unsere Aussage auch für beliebige Werte von v zeigen (also dürfen wir keine Einschränkungen für v annehmen). zu beweisen: bmax (v, h) = v h (die maximale Anzahl von Blättern eines Baumes mit Verzweigungsgrad v und Höhe h ist v h ) Induktionsbasis: Ein Baum der Höhe h = 0 besteht aus genau 1 Blatt, also ist die maximale Anzahl von Blättern bmax = 1. Den Verzweigungsgrad v kann man bei diesem Baum nicht erkennen, aber für jede natürliche Zahl v gilt v 0 = 1. Also gilt bmax = v h für alle Bäume der Höhe h = 0. Induktionsschritt: Voraussetzung: bmax (v, h) = v h Behauptung: bmax (v, h + 1) = v h+1 Wir betrachten jetzt einen Baum der Höhe h + 1 mit einem beliebigen Verzweigungsgrad v. Er besteht aus dem obersten Knoten, der maximal v-fach verzweigt. An jedem der maximal v Äste hängt ein Teilbaum. Die Teilbäume haben maximal die Höhe h. Sie verzweigen maximal v-fach (sonst würde dies nicht für den Gesamtbaum gelten). Für den maximal möglichen Teilbaum – Verzweigungsgrad v und Höhe h – sagt unsere Induktionsvoraussetzung: bmax (v, h) = v h . Der maximal mögliche Gesamtbaum hat v dieser Teilbäume, also gilt für ihn: bmax (v, h + 1) = v · bmax (v, h) = v · vh = v h+1 2 q.e.d.
