Skript Woche 09

Kapitel 3
Elektrische Schaltungen
3.1
Gleichstrom, Kirchhoffsche Regeln
Gängige Bauelemente in Gleichstromkreisen sind Batterien (z.B. ideale Spannungsquellen), Widerstände und Kondensatoren. Da Schaltkreise sehr kompliziert sein können, benötigen wir formale Regeln für die Rechnungen. Diese Regeln sind unter anderem die Kirchhoffschen Gesetze.
1. Kirchhoffsche Regel: Knotenpunktsatz
”In jedem Knoten (Verzweigungspunkt) fließt immer so viel Ladung hinein wie heraus.”
X
Inein = 0
n∈Knoten
PSfrag replacements
Beispiel:
+Q
−Q
I2
d
I1
I3
45
(3.1)
46
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
I2 ist der herausfließende Strom.
I2 = −I2ein
⇒ I1 =
−I2ein + −I3ein
= I2 + I3
Beachte also immer, dass der Stromfluss eine Richtung hat und nicht nur über den Betrag
definiert ist. Somit ergibt sich als direkte Konsequenz des 1. Kirchhoffschen Gesetzes:
PSfrag replacements
+Q
R1
−Q
d
R2
I0
Rn
I0 = I1 + I2 + .... + In
1
1
1
+
+ .... +
= V ·
R1 R2
Rn
{z
}
|
Reff
Für parallel geschaltete Widerstände gilt somit:
N
X 1
1
=
Reff
Rn
n=1
(3.2)
Wenn N Verzweigungspunkte vorliegen, gibt es dank der Knotenregel N −1 (linear) unabhängige
Gleichungen.
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3.1. GLEICHSTROM, KIRCHHOFFSCHE REGELN
2. Kirchhoffsche Regel: Maschenregel
Summe über alle Spannungen in einem geschlossenen Kreis ist gleich null.
X
n∈geschl.
oder in der Sprache elektrischer Felder
Vn = 0
(3.3)
Kreis
I
E ds = 0. Beispiel:
|{z}
PSfrag replacementsRingintegral
V2
+Q
−Q
d
V1
V1 + V 2 = 0
PSfrag replacements V2 =
=ε
(−V1 )
| {z }
Spannung d. Batterie
+Q
−Q
d
+
−
Die elektrischen ”Feldlinien” in der Batterie sind denen außerhalb entgegengesetzt. Man könnte
daher 3.3 auch schreiben als:
X
n∈passives
X
Vn =
Element
oder → =
n∈geschl.
X
εn = 0
(3.4)
Kreis
VnQuelle
n
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze lassen sich Schaltkreise komplett charakterisieren, weil es
ebensoviele Unbekannte (unbekannte Ströme) wie (linear unabhängige) Gleichungen gibt.
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
Beispiel: Wheatstonsche Brücke
I1
R1
R2
R5
β
I2
+
a
R4
I5
I4
b
c
−
α
γ
R3
R6
I6
I3
I7
d
Knoten ”d” produziert keine neue Gleichung, bzw. wissen wir, dass I7 = I1 ist. Somit haben wir:
3 unabhängige Knoten a, b, c
3 unabhängige Maschen α, β, γ
⇒ 6 linear unabhängige Gleichungen und 6 unbekannte (I1 , ...., I6 )
PSfrag replacements
Damit ist das System genau bestimmt, siehe Übungen.
N Knoten liefern+Q
(N − 1) Gleichungen. In der Wheatstonschen Brücke fließt kein Strom durch
−Q b und c dasselbe elektrische Potential haben. Deshalb kann diese Brücke
R4 , wenn die Knoten
d
zur Messung von (hinreichend
großen) Widerständen verwendet werden.
R1
R2
I1
I3
l1
Rx
R1 =
1 l1
·
σ A
R3
R2 =
1 l2
·
σ A
A
l2
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3.1. GLEICHSTROM, KIRCHHOFFSCHE REGELN
Wenn das Amperemeter keinen Strom anzeigt (die Brücke ist ”abgeglichen”), dann gilt
I1 · R 1 = I 3 · R x
I1 · R 2 = I 3 · R 3
R1
Rx
⇒
=
R2
R3
l1
Rx = R 3 ·
l2
PSfrag replacements
+Q
(3.5)
−Q
d Eichung, beispielsweise über einen Schiebewiderstand (lang, dünn, homogen)
R3 bedarf genauer
Beispiel:
ε2
ε1
+
−
a
+
−
I2
R1
R2
α
R3
β
I1
I3
b
Wie groß ist I2 bei R1 = R2 = R3 als Funktion von ε1 , ε2 ?
I1 − I 2 − I 3 = 0
(a, b) (1)
I1 · R 1 + I 2 · R 2
= ε1
(α)
(2)
−I2 · R2 + I3 · R3
= ε2
(β)
(3)
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KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
Einsetzen von (1) in (3)
−I2 · R2 + (I1 − I2 ) · R3 = ε2
(30 )
Löse (2) nach I1 auf und setze in Gleichung (30 ) ein.
I1 =
1
· (ε1 − I2 · R2 )
R1
R2 · R3
R3
· ε1 −
I2 − R · I2 = ε 2
R1
R1
R2 · R3
R3
⇒
· ε1 − ε 2 = R2 +
+ R 3 · I2
(4)
R1
R1
−I2 · R2 +
Solche Ergebnisse kann man oft schön überprüfen, indem man verschiedene Grenzfälle konstruiert, z.B:
Grenzfall 1: ε1 = 0 , R1 = ∞
−ε2 = (R2 + R3 ) · I2
Grenzfall 2: ε2 = 0 , R3 = ∞ nimm Gleichung (4) ·
R1
R3
⇒ ε1 = (R2 + R3 ) · I2
Für R1 = R2 = R3 ergibt sich
ε1 − ε 2 = 3 · R I 2
Hätten wir bei diesen Grenzfällen einen Widerspruch gefunden, dann hätten wir sogar vermutlich
einen Hinweis gefunden, wo wir einen Fehler gemacht haben.