Skript Woche 13

73
3.7. RLC-ELEMENTE IN VIERPOLSCHALTUNGEN
3.7
RLC-Elemente in Vierpolschaltungen
In der Praxis ist ein Einheitssignal eine Überlagerung vieler Frequenzen. Gewünscht: Weiterverarbeitung des Signals wie z.B. dem Herausfiltern gewisser Frequenzen. Das Filtern ist bereits
PSfrag replacements
mit einfachen RLC-Kreisen möglich.
+Q
Grundprinzip:
−Q
d
Z1
Ve (t)
Ia = 0
Va (t)
Z2
Erde
Eingangsspannung: Ve (t) ∼ exp(i ω t)
Ausgangsspannung: Va (t) =?
Idealisierung: Va (t) wird ”stromfrei” gemessen und dann verstärkt.
Berechnung von Va (t):
Ve (t) = (Z1 + Z2 ) · I
Va (t) = Z2 · I
Z2
Va (t)
=
⇒
Ve (t)
Z1 + Z 2
(3.68)
(3.69)
(3.70)
Die rechte Seite beinhaltet auch Phasenverschiebung. Meist interessiert man sich jedoch nur für
den Absolutbetrag.
1. Beispiel:
Z1 = R
Z2 =
1
iωC
PSfrag replacements
74
+Q
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
−Q
Z1
d
Ve (t)
Va (t)
Z2
r
Va i ω1C 1
1
=
Ve R + 1 = |i R C ω + 1| = 1 + R2 C 2 ω 2
iωC
1
C2
1
ω2 2 2
R C
ω2 ⇒ Va (t) ≈ Ve (t)
Va (t) Ve (t)
R2
(3.71)
(3.72)
(3.73)
Interpretation: Gezeigte Schaltung ist ein Tiefpassfilter (tiefe Frequenzen werden durchgelassen).
Bei hohen Frequenzen ZC → 0 ; d.h. am Kondensator liegt nur eine kleine Spannung an.
2. Beispiel:
PSfrag replacements
Z1 =
+Q
1
iωC
Z2 = R
−Q
Z1
d
Ve (t)
Z2
Va (t)
r
Va R
R2 C 2 ω 2
=
=
1
Ve R +
1 + R2 C 2 ω 2
iωC
⇒ Va ≈ Ve wenn ω 2 R2 C 2 1
Kondensator lässt hohe Frequenzen passieren.
⇒ Va Ve wenn ω 2 R2 C 2 1
Kondensator blockiert hohe Frequenzen.
(3.74)
75
3.7. RLC-ELEMENTE IN VIERPOLSCHALTUNGEN
3. Beispiel:
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
Ve (t)
Va (t)
Die Spule blockiert hohe Frequenzen, der Kondensator die niedrigen.
⇒ ”mittlere” Frequenzen werden passieren
Man spricht in diesem Fall von einem ”Bandpass”
Quantitativ:
Va
=
Ve
=
Definiere ω 2 =
γ=
1
LC
R
1
iωC
iωR
L 2
−ω + L1C
iωL +
+R
+
|·
iωR
L
iω
L
iω
L
(3.75)
(3.76)
Eigenfrequenz d. LC-Kreises
R
L
Va
iωγ
⇒
=
2
Ve
(ω0 − ω 2 ) + i ω γ
2
Va ω2 γ 2
⇒ =
2
Ve
(ω02 − ω 2 ) + ω 2 γ 2
Nenner ist klein wenn ω 2 ≈ ω02 (vorausgesetzt γ ist klein)
(3.77)
76
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
PSfrag replacements
+Q
−Q
2γ
d
q
ω02 +
γ 2
2
Va =1
Ve ω=ω0
Verhältnis des Quadrats fällt auf die Hälfte ab, wenn
2
ωH
γ2
1
=
2 2
2
2
(ω02 − ωH
) + ωH
γ2
1
=
2
(ω2 −ω2 )
1 + ω0 2 γH2
|·
1
ω2 γ 2
1
ω2 γ 2
H
2
⇒ ω02 − ωH
2
2
= ωH
γ2
2
= ±ωH γ
ω02 − ωH
2
ωH
± γ ωH − ω02 = 0
r
γ 2
γ
ωH = ± ± ω02 −
2
2
⇒
γ
2
(3.78)
ist Halbwertsbreite
4. Beispiel:
PSfrag replacements
+Q
−Q
d
Ve (t)
Va (t)
77
3.8. SCHALTUNGEN MIT RÜCKKOPPLUNG; OPERATIONSVERSTÄRKER
”Sperrfilter” siehe Hausaufgaben
Kompliziertere Filter können u.a. mit Operationsverstärkern realisiert werden.
3.8
Schaltungen
mit
Rückkopplung;
Operations-
verstärker
Definition eines Operationsverstärkers (OP):
PSfrag replacements
+Q
−Q
IOP
d Vein
Vaus
idealer OP:
Vaus = λ · Vein
λ→∞
(3.79)
IOP = 0
(3.80)
Innenleben eines OP → siehe E-Technik
Einfache Schaltungen spielen eine wichtige Rolle insbesondere in der Regelungstechnik. z.B:
PSfrag replacements
78
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
+Q
−Q
Z2
d
V1
I
Va (t)
Z1
Ve (t)
Beschreibung der Schaltung:
Vepassiv + Z1 · I + Z2 · I + Va = 0
äußere Masche
äußere Masche
V 1 + Z2 · I + V a = 0
V −Gleichung
V a = λ · V1
(3.81)
(3.82)
(3.83)
Für λ = endlich muss Gleichungssystem explizit gelöst werden.
Für λ → ∞ muss Eingangsspannung am OP gleich null sein, also V1 = 0
⇒I=−
⇒
Vepassiv
Va
Z2
Va
=0
+ Z1 · −
Z2
Z2
· V passiv
Z1 e
Z2
= − · Ee
Z1
⇒ Va =
(3.84)
V pass → −Ee
(3.85)
Diskussion von Spezialfällen:
• Z1 = R 1 ; Z2 = R 2
⇒ Va = −
R2
· Ee
R1
(3.86)
79
3.8. SCHALTUNGEN MIT RÜCKKOPPLUNG; OPERATIONSVERSTÄRKER
⇒ Absolutwert der Spannung wird um
R2
R1
verstärkt, Phasenverschiebung um 180◦
⇒ Kombination von idealen OP und Schiebewiderständen ermöglicht eine beliebige
Verstärkung einzustellen. Dies kann für sogenannte ”Proportionalverstärker” verwendet
werden, z.B. wenn Ve ∼ (Tjetzt − Tsoll ) mit T =Temperatur.
• Z1 =
1
; Z2 = R
iωC
Va = −i ω C R · Ee
d
Va (t) = −C R · E(t)
dt
(3.87)
(3.88)
Der Vorfaktor −C R hängt nicht von der Frequenz ab.
⇒ Va (t) ∼ Änderung der Spannung E(t) für beliebige Überlagerung von Frequenzen. Dies
kann für sogenannte ”Differenzregler” benutzt werden, z.B. Va (t) wird reduziert wenn
Temperatur stark ansteigt, selbst wenn die Solltemperatur noch nicht erreicht ist.
• Z1 = R ; Z 2 = i ω L
Va = −i ω
L
·E
R
(3.89)
ist analog zu Punkt 2
• Wenn die Multiplikation mit i ω multiplizieren bedeutet, dann heißt Multiplikation mit
1
iω
integrieren.
PSfrag replacements
+Q
−Q
Va (t)
d Ve (t)
Va = −
1
· Ee
iωC R
(3.90)
PSfrag replacements
80
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE SCHALTUNGEN
+Q
⇒ Integrationsregler.
Wenn die Temperatur in der Vergangenheit im Mittel unter der
−Q
Solltemperatur gelegen
hat, dann kann mit einem Integrationsregler die “Heizleistung” V a
d
erhöht werden.
P
I
D
R
C
L
Re
Va (t)
Ve (t)
I
P
Z2
=
Z1
z}|{
R +
z }| {
D
z}|{
1
+iωL
iωC
Re
Oft kann man sowohl den Proportional- (P), Integrations- (I) und Differenzregler (D) zu einem
PID-Regler kombinieren, um eine gewisse (mit der Zeit schwankende) Größe nahe an ihrem Sollwert zu halten. Die Wahl der Parameter bedarf dann eine genaue Analyse des Gesamtsystems,
was Gegenstand der Regelungstechnik ist. Prinzipiell können Regler aber schon mit relativ einfachen Prinzipien der verstanden werden.