1 4. Grundschaltungen der Nachrichtentechnik 4.1 Allgemeines
Werbung
BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 4. Grundschaltungen der Nachrichtentechnik 4.1 Allgemeines Schaltungen der Nachrichtentechnik unterscheiden sich in Aufbau und Prinzip wesentlich von denen der Energietechnik. Den Aufbau des Netzes der Energietechnik, nämlich z. B. des Drehstromnetzes für die Energieversorgung, zeigt Abb. 4.1. Verbraucher Quellen Netzwerk (passiv) Abb. 4.1: Netzwerk der Energietechnik Das Netzwerk wird durch eine Anzahl von Quellen, das sind die Generatoren in den Kraftwerken, gespeist. Dabei wird die Leistung der einzelnen Quellen durchaus sehr unterschiedlich sein können. Das Netz ist aber so aufgebaut, dass alle Quellen nur Wechselspannungen und -ströme einer bestimmten festen Frequenz liefern (z. B. 50 Hz, 60 Hz). Lässt man mal die geographische Ausdehnung außer Betracht, so sind alle Generatoren auch phasenstarr gekoppelt. Es treten also im Idealfall auch Spannungsspitzen und Nulldurchgänge überall gleichzeitig auf. Im Idealfall sind Spannungen und Ströme stets sinus-förmig. Ein frequenzabhängiges Übertragungsverhalten des Netzwerks Quelle und Verbraucher spielt keine Rolle. Alle Bauelemente im Netzwerk sind passiv. Die Verbraucher sind ebenfalls passive Netzwerke, die aber sehr unterschiedliche Charakteristiken haben können (ohmsche, induktive, kapazitive Elemente). In der Energietechnik wird man versuchen, ein Netzwerk so zu betreiben, dass die vom Generator zum Verbraucher übertragene Scheinleistung möglichst nahe bei der Wirkleistung liegt. Dazu werden z. B. stark induktive Verbraucher, das sind insbesondere elektrische Maschinen, durch zusätzliche Kapazitäten "kompensiert". Auch werden die Innenwiderstände der Generatoren und die Widerstände zwischen Eingang und Ausgang des Übertragungsnetzes möglichst klein gehalten. Das Entwurfsziel ist also die Energieübertragung bei möglichst geringen Verlusten. Ri RL Übetragungsnetzwerk U0 Abb. 4.2: Übertragungsnetzwerk mit Widerständen 1 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 In der Energietechnik wird in der Regel der Widerstand des Verbrauchers (RL) wesentlich höher sein als der des Generators, da die im jeweiligen Widerstand umgesetzte Leistung dem Wert des Widerstandes proportional ist. In traditionellen Systemen der Energietechnik gab es nur einen Übergang zwischen Wechselstrom und Gleichstrom (Gleichrichtung) und umgekehrt (Wechselrichtung). Bei neueren Systemen, z. B. für elektrische Antriebe, werden auch Spannungen und Ströme bestimmter Frequenz benötigt und (meistens aus Drehstrom über Gleichstrom) erzeugt. Diese Technik wird heute als Leistungselektronik bezeichnet. Dagegen sind Übertragungssysteme der Nachrichtentechnik völlig anders geartet (Abb. 4.3). Ri u (t) Übertragungsnetzwerk ZL (frequenzabhängig) Quelle Verbraucher Abb. 4.3: Übertragungssystem der Nachrichtentechnik Die Quelle wird in der Regel ein Signal mit komplexem zeitlichem Verlauf liefern, das nicht nur eine Frequenz beinhaltet, sondern ein komplexes Frequenzgemisch, z. B. in einem Sprach-Signal. Das Übertragungsnetzwerk wird seinerseits dieses Signal bearbeiten (z. B. gezielt filtern, verstärken, speichern, umcodieren etc.) und schließlich an einen (oder mehrere) Verbraucher weitergeben. Es spielt dabei oft eine wesentliche Rolle, dass das Ausgangssignal dem Eingangssignal trotz manchmal komplexer signalverarbeitender Prozesse dem Eingangssignal weitgehend entspricht, also z. B. keine Verzerrungen aufweist. Der Wirkungsgrad der Übertragung ist meistens nur von sekundärer Bedeutung. Dagegen spielt die gute Ausnutzung der von der Quelle verfügbaren Leistung eine wesentliche Rolle. In der Darstellung nach 4.2 würde ein nachrichtentechnisches System dann optimal betrieben, wenn die mögliche Leistung der Quelle am besten ausgenutzt wird. Das ist dann der Fall, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist. Da allerdings die Übertragungssysteme der Nachrichtentechnik nur sehr selten den Charakter einer idealen Leitung haben, spielen solche Aspekte im wesentlichen nur bei Übertragungsleitungen im höheren Frequenzbereich eine größere Rolle. Ein ganz wesentlicher Teil der Nachrichtentechnik beschäftigt sich damit, Baugruppen und Systeme zur Signalverarbeitung und zur Signalübertragung zu entwickeln. Wir wollen in diesem Kapitel die wichtigsten elementaren Baugruppen und die Methoden und Hilfsmittel zu ihrer Beschreibung und Berechnung kennenlernen. 4.2 Vierpole (Zweitore) 4.2.1 Einführung In Vorlesungen der Physik sollten Eigenschaften von Zweipol-Bauelementen vermittelt worden sein, wie z. B. eine frequenzabhängige Impedanz (Schein-Widerstand) und Admittanz (Schein-Leitwert). Baugruppen, welche Eingangsspannungen und -ströme in mehr oder weniger veränderter Form zu einem Ausgang übertragen, beschreibt man in der Nachrichtentechnik als Vierpole oder auch Zweitore. 2 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Ie Ia 1 2 Ue Übertragungsfunktion Ua Ua = f (Ue) 1' 2' Abb. 4.4 Vierpol (Zweitor) In der Nachrichtentechnik kann man die meisten Vorgänge der Signalübertragung mittels der Vierpol-Darstellung beschreiben. Der Vierpol selbst kann dabei ganz unterschiedlich ausgeführt sein. Es kann sich z. B. um einen Verstärker, ein frequenzabhängiges Übertragungsglied (Filter), aber auch um eine Übertragungsleitung handeln. Im allgemeinen wird der Vierpol auch eine Verzögerung zwischen einem Signal am Eingang und der Antwort am Ausgang beschreiben müssen. Findet eine Verstärkung statt, so spricht man auch von einem aktiven Vierpol. Aktive Vierpole enthalten notwendigerweise aktive Bauelemente wie Transistoren, dagegen kommen passive Vierpole mit Widerständen, Kondensatoren und Spulen aus. Generell unterscheidet man sogenannte kontinuierliche Systeme von diskreten Systemen. In der analogen Nachrichtentechnik ist bei der Signalübertragung meistens ein kontinuierlicher Wertebereich der Signale möglich, z. B. wird die Spannung an einem Lautsprecher, welche aus elektrischen Wechselströmen zwischen ca. 15 Hz und 15 kHz besteht, jede Spannung z. B. zwischen 0 V und 10 V annehmen können. Typisch für die Analogtechnik ist darüber hinaus, dass die Höhe dieser Spannung selbst den Inhalt der Information bestimmt. In zeitdiskreten Systemen, das sind die der Digitaltechnik, ist der Informationsgehalt weitgehend von der Höhe einer Signalspannung abgekoppelt. Die Information ist dadurch bestimmt, dass zu bestimmten Zeiten Signalwechsel zwischen einem „low“ oder „high“-Niveaus stattfinden, wobei die absolute Höhe dieser Niveaus in relativ großem Rahmen schwanken darf. Der wesentliche Vorteil ist die viel größere Störfestigkeit. Die Vierpol-Darstellung wird also verwendet, um allgemein das Verhalten frequenzabhängiger Netzwerke zu beschreiben. Die wichtigsten Typen von Vierpolen der Nachrichtentechnik sind: - Verstärker: Verstärker sind aktive Baugruppen, die ein Eingangssignal mit einer Vergrößerung der Spannung und des Stroms am Ausgang ausgeben. Oft ist dabei von Bedeutung, dass das verstärkte Signal dabei seine Form behält, also nicht verzerrt wird. In diesem Fall liegt ein linearer Verstärker vor. - Filter: Filter sind Baugruppen, welche bei einem Spektrum verschiedener Frequenzen am Schaltungseingang ein frequenzabhängiges Durchlassverhalten aufweisen, also manche Frequenzen sperren und andere durchlassen. - Übertragungsleitungen: Ideale Übertragungsleitungen transportieren ein Eingangssignal ohne Verluste und Verzerrungen vom Eingang zum Ausgang. Typisch ist eine zeitliche Verzögerung um die Laufzeit auf der Übertragungsstrecke. In der Realität sind Übertragungsleitungen in dem Sinne nicht-ideal, da sie Signale dämpfen (abschwächen) und oft auch ein frequenzabhängiges Übertragungsverhalten zeigen. - Mischer und Modulatoren / Demodulatoren 3 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Mischer sind aktive oder passive Bauelemente, welche ein Signal von einem Frequenzbereich in einen anderen umsetzen. Modulatoren prägen ein (niederfrequentes) Nutzsignal einem hochfrequenten Trägersignal auf, Demodulatoren dienen zur Rückgewinnung des Nutzsignals (z. B. im Rundfunkgerät). Mit dem Einzug der Digitaltechnik in die Nachrichtentechnik sind weitere Übertragungselemente von großer Bedeutung: - Wandler zwischen analogen und digitalen Signalen (D / A und A / D - Wandler) - Abtast- und Halteglieder Das sind Bauelemente, welche analoge Eingangssignale periodisch abtasten und ihren Momentanwert für eine Zeit (analog) speichern. Für die Beschreibung des Verhaltes bezüglich der Strom- und Spannungsgrößen am Eingang und Ausgang eines Vierpols hat die Elektrotechnik eine angepasste Theorie entwickelt. Diese eignet sich jedoch im wesentlichen nur für kontinuierliche Vorgänge und wird meistens auch nur bei linearen oder wenigstens annähernd linearen Beziehungen verwendet. 4.2.2 Vierpol-Parameter Das Verhalten eines Vierpols lässt sich generell über vier Parameter beschreiben. - Eingangswiderstand oder Eingangsleitwert am Eingang (d. h. Strom-Spannungsbeziehung am Eingang) Das ist die Eingangsimpedanz oder Eingangs-Admittanz - Ausgangswiderstand oder Ausgangsleitwert, d. h. Strom-Spannungsbeziehung am Ausgang Das ist die Ausgangs-Impedanz oder Ausgangs-Admittanz - Übertragung von Spannung / Strom vom Eingang auf den Ausgang Das ist die Vorwärts-Übertragungsimpedanz oder -Admittanz - Übertragung von Spannung / Strom vom Ausgang auf den Eingang Das ist der Rückwärts-Übertragungsimpedanz oder -Admittanz Diese Parameter sind stets unter bestimmten Nebenbedingungen definiert . Die Strom-und Spannungsgrößen werden dabei als komplexe Werte definiert. Strom und Spannung können also unterschiedliche Phasenlagen haben und sind damit durch ebenfalls komplexe Widerstände oder Leitwerte verbunden. Man kann die Abhängigkeiten zwischen Spannungen und Strömen am Vierpol wie folgt definieren, wobei "1" jetzt jeweils für den Eingang, "2" für den Ausgang steht: U1 = Z11 I1 + Z12 I2 U2 = Z21 I1 + Z22 I2 Daraus folgt auch gleich die Definition für die Parameter: Z11 = U1 / I1 Z22 = U2 / I2 für für I2 = 0 I1 = 0 Leerlauf-Eingangsimpdedanz Leerlauf-Ausgangsimpedanz 4 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Z12 = U1 / I2 Z21 = U2 / I1 für für I1 = 0 I2 = 0 Rückwärts-Übertragungsimpedanz Vorwärts-Übertragungsimpedanz Die Abhängigkeit wird also durch die Elemente einer Widerstands-Matrix angegeben: [Z] = Z11 Z12 (Z21 Z22) Die Übertragungseigenschaften eines Netzwerkes werden also z. B. durch seine Impedanzmatrix beschrieben. In der Praxis noch gebräuchlicher ist die Admittanzmatrix: I1 = Y11 U1 + Y12 U2 I2 = Y21 U1 + Y22 U2 Die Parameter sind: Y11 = I1 / U1 Y12 = I1 / U2 Y21 = I2 / U1 für für für I2 = 0 I2 = 0 I1 = 0 Y22 = I2 / U2 für I1 = 0 Leerlauf-Eingangsadmittanz Rückwärts-Übertragungsleitwert Vorwärts-Übertragungsleitwert (auch Steilheit genannt) Leerlauf-Ausgangsadmittanz Diese Parameter werden in der Regel für eine bestimmte Frequenz angegeben, z. B. in Datenblättern für Transistoren. Mittels dieser Parameter kann man dann Schaltungen recht bequem berechnen, wobei das so charakterisierte Element eine "Black Box" sein kann. Es gibt noch weitere Typen von Vierpol-Parametern. Praktisch verwendet werden die sogenannten Hybrid-Parameter (H-Parameter), bei denen die einzelnen Parameter unterschiedliche Dimensionen haben (also nicht alle Impedanzen oder Admittanzen sind), die sogenannten Ketten-Parameter und die sogenannten Streuparameter (speziell für Hochfrequenz-Schaltungen). Bei letzteren bezieht sich das Verhalten des Vierpols nicht auf Spannungen und Ströme, sondern auf Leistungen, weil man bei manchen Bauelementen der Hochfrequenztechnik Spannungen und Ströme nicht mehr definieren kann. Der Vollständigkeit halber sollen die H-Parameter und die Ketten-Parameter hier noch dargestellt werden: Hier gilt: U1 = H11 I1 + H12 U2 I2 = H21 I1 + H22 U2 Die Kettenparameter sind definiert als: U1 = A11 U2 + A12 (-I2) I1 = A21 U2 + A22 (-I2) 5 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Bei den Ketten-Parametern werden abweichend von der sonstigen Notation die Ströme am Ausgang der Vierpols positiv gezählt, wenn sie aus dem Vierpol herausfließen. Parallelschaltung Serienschaltung Serien- Parallelschaltung Kettenschaltung Abb. 4.5: Zusammenschaltung von Vierpolen Z-, Y-, H-, (Hybrid-) und Kettenparameter beziehen sich alle auf Spannungen und Ströme. Um Serien-, Parallel- und Kettenschaltungen von Vierpolen einfach ausführen zu können, gibt es eindeutige Vorschriften zur Umrechnung dieser Parameter ineinander. Für eine Parallelschaltung von Vierpolen ist es z. B. günstig, sie in der Darstellung über die Y-Parameter vorliegen zu haben, weil man dann die Eingangsleitwerte einfach addieren kann. Für die Kettenschaltung bietet entsprechend die Kettenmatrix Vorteile. I2 U1 I1 1/H22 H11 U2 H21 I1 U1 I1 I2 Y11 U2 Y22 Y21 U1 Abb. 4.6: Transistor-Ersatzschaltbilder mit H- und Y-Parametern Praktisch verwendet werden Vierpol-Parameter immer noch in der Verstärkertechnik. In Abb. 4.6 sind die vereinfachten Ersatzschaltungen eines Transistors mit H- und mit Y-Parametern dargestellt. Wesentlicher Teil ist dabei jeweils eine Stromquelle für den Ausgang, die durch Spannungen oder Ströme am Eingang gesteuert ist. Solche Ersatzschaltungen gelten allerdings oft nur für einen bestimmten Arbeitspunkt der Schaltung und für kleine Signalamplituden, also für den sogenannten "Kleinsignalbetrieb". Für den Betrieb bei großen Signalamplituiden, und dazu gehört die ganze Digitaltechnik, kann man die nicht-linearen Eigenschaften von Halbleiter-Bauelementen nicht mehr vernachlässigen. 6 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 4.2.3 Übertragungsfunktion Die Übertragungseigenschaften eines Netzwerkes beschreibt auch die Übertragungsfunktion F = Ua / Ue. Sie wird in der Regel aber nur für den Fall linearer Netzwerke verwendet. Ihre vielleicht größte Bedeutung hat sie in der klassischen elektrischen Steuerungs- und Regelungs-technik. Grundsätzlich kann man den Verlauf von Signalen, d. h. Spannungen und Strömen, in Abhängigkeit von der Zeit, aber auch in Abhängigkeit von der Frequenz beschreiben. Während die Vierpol-Parameter in der Regel den "elektronischen" Blick darstellen, also für eine bestimmte Frequenz die Abhängigkeit von Spannungen und Strömen zwischen Ein- und Ausgang darstellen, wird die Übetragungsfunktion meistens zur Darstellung der Frequenzabhängigkeit genutzt. Mit der Darstellung von Impedanzen und Admittanzen als frequenzabhängige Größen haben wir bereits implizit eine Transformation des Zeitverhaltens einer Schaltung in den Frequenzbereich vorgenommen, unter der Voraussetzung, dass Spannungen und Ströme sinusförmig sein sollten. 1 2 R Uin C Uout 2' 1' Abb. 4.7: RC-Netzwerk als Vierpol Allgemein gilt: ir = R * ur ic = C d uc / dt uin = ur + uc uout = uc ic = ir R * (uin - uc) = C d uc / dt Zur Bestimmung des Verlaufs von uout ist also diese Differentialgleichung zu lösen. Die Lösung ist recht einfach, wenn man die Zeitabhängigkeit von uin (t) als harmonisch vorgibt: uin (t) = Uo cos ωt Geht man von anderen als harmonischen Signalen aus, z. B. sind auf Leitungen der Digitaltechnik Rechteck- förmige Signale zu finden, so wird man in der Praxis diese Gleichung in der Zeit diskretisieren, als jeweils für sehr kurze Zeitsbschnitte dt betrachten und numerisch zu lösen versuchen. Die mit der Einschränkung auf eine harmonische Schwingung erfolgte Umwandlung der Gleichung lässt jetzt auch eine Vereinfachung zu: Mit uc (t) = Uc sin ω t kann man schreiben: 7 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 C d uc / dt = ic = ωC Uc cos ωt Wenn man die komplexe Schreibweise einführt, so wird: Zc = - j / ω C In der komplexen Darstellung kann man dann auf die Amplituden von Strom und Spannung übergehen: Uout = Zc Ic = Zc U0 (R + Zc) Uout = U0 / (R - j/ωC) * (-j /ωC) -j Uout / U0 = (- j / ωC) / (R - j/ωc) = ------------- = (ω R C -j) 1 -------------( 1 - j ω RC) Die Übertragungsfunktion dieses Vierpoles ist nach Betrag und Phase frequenzabhängig. Für f = 0 ist die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung. Für f gegen unendlich geht die Ausgangsspannung gegen null. Schaltungen mit einem derartigen frequenzabhängigen Verfahren werden in der Nachrichtentechnik generell als "Filter" bezeichnet, weil sie manche Frequenzen aus einem Eingangssignal herausfiltern und andere mehr oder weniger gut durchlassen. Für die graphische Darstellung der Übertragungsfunktion wählt man oft das sogenannte BodeDiagramm. Amplitudengang F und Phasengang f der Übertragungsfunktion sind in Abhängigkeit von einer normierten Frequenz f0 aufgetragen, wobei die Frequenzachse logarithmisch dargestellt ist (im Zehner-Logarithmus). Auch die Amplitude wird in logarithmischem Maßstab dargestellt, meistens normiert auf eine maximale Amplitude A0 der Übertragungsfunktion. Die aufgetragene Größe ist dann die normierte Abweichung von der Ausgangsamplitude A0, meistens gemessen in dB mit: F / dB = -20 lg (Ua/Ue) Dagegen wird die Phase in Abhängigkeit von der normierten Frequenz linear positiv oder negativ aufgetragen. Typisch für die hier vorgestellte Filterschaltung erster Ordnung ist, dass dort, wo die Amplitude auf den 1 durch Quadratwurzel 2-fachen Wert gefallen ist (3 dB-Abfall), die Phasenverschiebung 45 Grad erreicht. Dieser spezielle Punkt wird bei Filterschaltungen oft als "Grenzfrequenz" bezeichnet. 8 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 F 3 dB Amplitudengang fg lg (f/f0) Φ 90 45 Phasengang lg (f/f0) -45 -90 Abb. 4.8: Bode-Diagramm Die Grenzfrequenz errechnet sich zu: fo = fg = 1/(2π R C) Oft werden Amplituden- und Phasenverlauf im Bode-Diagramm mit technisch brauchbaren Näherungen angegeben. Es soll der hier verwendete Tiefpass als Beispiel gelten. Für f << f0 (Grenzfrequenz) ist der Amplitudengang gegeben durch eine Gerade bei 0 dB. Meistens wird diese Näherung bis zu f / f0 = 0,1 angesetzt. Für f >> f0 ist der Amplitudengang gegeben durch eine Gerade gegeben, die mit 20 dB / Dekade sinkt. Für f << f0 wird zunächst der Phasengang als konstant angenommen. Ab f = 0,1 f0 fällt die Phase mit 45 Grad pro Dekade, erreicht also bei f = 10 f0 den Endwert von – 90 Grad. Bei f = f0 ist die Amplitude um 3 dB gefallen, die Phase hat dann genau – 45 Grad erreicht. Bei anderen Netzwerken kann das Bode-Diagramm natürlich ein von diesem Schema abweichendes Verhalten aufweisen. 4.3 Vierpole mit Filtereigenschaften 4.3.1 Einführung Die vorstehend betrachtete Schaltung hat ein Filter-Verhalten, das man in der Nachrichtentechnik als Tiefpass bezeichnet. Andere Typen von Filtern sind Hochpässe, Bandpässe und Bandsperren (Abb. 4.9). 9 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Tiefpass Hochpass A A ideal real ω ωg Bandpass A ω ωg Bandsperre A ω gu ω go ω ω gu ω go ω Abb. 4.9: Grundtypen von Filtern Bezüglich der grundsätzlichen Verhaltens unterscheidet man drei Typen von Filtern: - Tiefpässe: Durchlassbereich bei niedrigen Frequenzen, Sperrbereich bei hohen Frequenzen Hochpässe: Sperrbereich bei niedrigen Frequenzem, Durchlassbereich bei hohen Frequenzen Bandpässe: Sperrbereich bei niedrigen und hohen Frequenzen, dazwischen ein Durchlassbereich Bandsperren: Durchlassbereich bei niedrigen und hohen Frequenzen, dazwischen ein Sperrbereich. Gekennzeichnet sind Filter durch verschiedene Eigenschaften: Der Übergang vom Sperrbereich zum Durchlassbereich und umgekehrt ist jeweils durch die Grenzfrequenz ωg gekennzeichnet. Das ist die Frequenz, bei der die vom Vierpol an den Lastwiderstand übertragene Leistung auf den halben Maximalwert abfällt. Entsprechend fällt die Spannung am Ausgang auf Umax / 2 (1/2) ab. In einem anderen Maßstab wird dies auch als "3 dB-Abfall" bezeichnet. Tiefpass und Hochpass haben nur je eine Grenzfrequenz, Bandpass und Bandsperre haben jeweils zwei Grenzfrequenzen. In Abb. 4.9 sind die verschiedenen Typen von Filtern idealisiert und angedeutet auch mit realem Verhalten dargestellt. Im Idealfall haben die Filter senkrechte Flanken bei der jeweiligen Grenzfrequenz. Reale Filter haben dagegen jeweils einen kontinuierlichen Übergang vom Durchlassin den Sperrbereich. Die mehr oder weniger große Steilheit dieser Flanken ist bestimmt durch die Ordnung des Filter. Für das vorstehend betrachtete Netzwerk liegt ein sogenannter Tiefpass erster Ordnung vor, da die Frequenzabhängigkeit linear ist. Natürlich kann man auch Tiefpässe höherer Ordnung bauen, bei denen eine quadratische, kubische oder biquadratische Abhängigkeit von der Frequenz besteht. Entsprechend bezeichnet man dann solche Schaltungen und Tiefpass zweiter, dritter oder vierter Ordnung. Entsprechend gibt es natürlich auch andere Filterschaltungen unterschiedlicher Ordnung. 10 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Filter unterscheidet man auch bezüglich ihres physikalischen Aufbaus: Passive Filter enthalten nur passive Bauelemente (Widerstände, Induktivitäten, Kapazitäten). Aktive Filter enthalten dagegen auch Verstärkerbausteine. RC-Filter bestehen nur aus Widerständen und Kondensatoren. LC-Filter sind dagegen vorwiegend aus Spulen und Kondensatoren aufgebaut. Eine spezielle Klasse von Filtern ist aus Schaltern und Kondensatoren aufgebaut. Digitale Filter setzen zunächst analoge Signale in digitale Werte um und "rechnen" dann das Frequenzverhalten aus. Man kann damit vorwiegend Filter für sehr niedrige Frequenzen realisieren. 4.3.2 RC-Filter RC-Filter sind grundsätzlich nur aus Widerständen und Kapazitäten aufgebaut. Der einstufige RC-Tiefpass von Abb. 4.7 ist ein Beispiel für einen einfachen Tiefpass erster Ordnung. Ein zweistufiges RC-Tiefpassfilter ist in Abb. 4.10 dargestellt. R1 R2 1 2 C1 C2 1' 2' Abb. 4.10: Zweistufiges RC-Tiefpassfilter Für das Verhalten der Schaltung sind die sogenannten "Zeitkonstanten" Τ1 = C1R1 und Τ2 = R2C2 charakteristisch. Die Übertragungsfunktion des einstufigen Filters konnte man auch als: Ua / Ue = 1 / (1 + jωT1) darstellen. Für das zweistufige Filter gilt dann: Ua / Ue = 1 / ((1 + jωT1) (1 + jωT2)). Wie sich Amplituden- und Phasengang eines solchen Filters insgesamt verhalten, kann man am besten wieder im Bode-Diagramm ablesen. 11 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 F Amplitudengang -20dB /Dek. - 40 dB / Dekade lg (f/f0) Φ fg1 fg2 Phasengang 0,1 fg1 10 fg1 0,1 fg2 10 fg2 lg (f/f0) -45 -90 -135 -180 Abb. 4.11: Bode-Diagramm des zweistufigen RC-Tiefpass-Filters (vereinfacht) In der vereinfachten Darstellung fällt jetzt die Amplitude mit -20 dB / Dekade ab der niedrigeren Grenzfrequenz fg1 = 1 / T1. Die Phase fällt ab 0,1 fg1 mit -45 Grad pro Dekade und erreicht bei 10 fg1 einen Wert von -90 Grad. Bis hierher gleicht das Verhalten exakt dem eines einstufigen RC-Tiefpassfilters. Die zweite Stufe wirkt sich ab fg2 = 1 / T2 mit einem Abfall der Amplitude von -40 dB pro Dekade aus. Die zusätzliche Phasendrehung durch diese zweite Stufe wirkt sich so aus, dass bei fg2 eine Phasendrehung von -135 Grad erreicht wird, bei 10 fg2 schließlich der Endwert von -180 Grad. Tatsächlich kann man natürlich auch dreistufige Filter bauen, bei denen sich schließlich eine Phasendrehung von 270 Grad und ein Abfall der Amplitude um 60 dB proDekade erreicht würde. Solche Schaltungen werden tatsächlich gebaut, um in bestimmten Schaltungen (z. B. Oszillatoren) Phasendrehungen von 180 Grad zwischen Eingang und Ausgang sicher zu erreichen. Für Filterschaltungen werden häufig Netzwerke benötigt, welche: - eine geringe Dämpfung des Signals im Durchgangsbereich aufweisen eine hohe Flankensteilheit beim Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich aufweisen eine hohe Dämpfung im Sperrbereich bieten. Dazu eignen sich RC-Netzwerke nicht besonders. Man wird bevorzugt Netzwerke aus Induktivitäten und Kapazitäten verwenden, sogenannte LC-Filter. 4.3.3 LC-Tiefpass und -Hochpass Wir haben bereits im 4. Kapitel Zusammenschaltungen aus Induktivitäten und Kapazitäten als Netzwerke mit frequenzabhängigem Widerstand kennengelernt. Man kann also mit einigem Recht vermuten, dass man auf der Basis von LC-Schwingkreisen auch halbwegs brauchbare Hoch- bzw. Tiefpassfilter aufgebaut werden können. 12 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Tiefpaß R L UC Uo UL C Ausgang Hochpaß R Uo UC UL Ausgang Abb. 4.12: LC-Tiefpass- und Hochpass-Filter Für die Spannungsabfälle in der aus einer R-L-C-Reihenschaltung bestehenden Filterschaltung gilt: UC / U0 = ω02 / N UL / U0 = (j ω)2 / N UR / U0 = j ω ω0 / ρ N Mit: ρ = 1 /[ R (L / C) 1/2] ω02 = 1 / LC N = ω02 + (ω0/ρ) j + (jω)2 Für f = 0 wirkt der Kondensator als Leerlauf, die Spule als Kurzschluss. Damit erfolgt beim Tiefpass eine verlustlose Signalübertragung vom Eingang auf den Ausgang (auch ohne Phasenverschiebung). Beim Hochpass ist dagegen der Ausgang vom Eingang durch den Kondensator getrennt, darüber hinaus ist der Ausgang durch die Induktivität kurzgeschlossen. Für sehr hohe Frequenzen tritt genau der umgekehrte Fall auf. Die Resonanzfrequenz f0 ist gegeben durch die Thomsonsche Schwingungsformel: f0 = 1/2π (LC) -1/2 Mittels L und C bekommen wir stets einen Filter-Kreis zweiter Ordnung. Da aber auch Resonanzphänomene eine Rolle spielen, weisen Filter dieser Art typischerweise in der Nähe der Resonanzfrequenz eine Überhöhung der Spannung am Ausgang auf. Den Effekt im BodeDiagramm zeigt Abb. 4.13. 13 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Amplitudengang F Renonanzüberhöhung ρ - 40 dB / Dekade lg (f/f0) f0 Amplitudengang F Renonanzüberhöhung ρ -+40 dB / Dekade lg (f/f0) f0 Abb. 4.13: Amplitudengang im Bode-Diagramm für LC-Tiefpass / Hochpass-Filter Die Überhöhung ist proportional der Güte des Resonanzkreises. Beim Tiefpassfilter fällt die Amplitude oberhalb der Grenzfrequenz mit -40 dB / Dekade, beim Hochpass steuft die Kurve unterhalb der Grenzfrequenz entsprechend an. Faktisch gibt es keine "idealen" Hochpässe, zu hohen Frequenzen hin wird die Amplitude stets durch die beschränkte Bandbreite der aktiven Bauelemente (Transistoren) begrenzt. LC-Filter dieser Art werden häufig in Hifi-Anlagen eingesetzt. Um den Frequenzbereich hörbarer akkustischer Signale optimal überdecken zu können, sind in der Praxis mindestens zwei Lautsprecher (Tieftöner, Hochtöner), in sehr hochwertigen Anlagen auch drei Lautsprecher (Tieftöner, Hochtöner, Mitteltöner) notwendig. Sie erhalten jeweils nicht das ganze Spektrum (15 Hz bis 25 kHz) hörbarer akkustischer Signale, sondern durch das Vorschalten von Filtern als sogenannte "Frequenzweiche" jeweils nur einen abgestimmten Teil des Spektrums (Abb. 4.14). Ri L1 C2 C1 Uo Tieftöner L2 Hochtöner Abb. 4.14: Frequenzweiche in Audio-Lautsprechersystemen Natürlich ist es durchaus möglich, auch LC-Filter höherer als zweiter Ordnung zu bauen oder auch RC- und LC-Filter zu kombinieren. Der wesentliche Vorteil besteht in steileren Filter-Flanken (80 dB / Dekade Abfall bzw., bei Hochpässen, Anstieg).) 14 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 R Uo L1 L2 UC UL C1 C2 Ausgang Abb. 4.15: LC-Tiefpass-Filter 4. Ordnung Filter mit extrem steilen Flanken wurden vorrangig in der kommerziellen analogen Fernmelde-technik benötigt. 4.3.4 Bandpässe und Bandsperren Weitere in der Praxis benötigte Filtertypen sind Bandpässe und Bandsperren. Bandpässe lassen einen bestimmten Frequenzbereich an Ausgang erscheinen, während andere Frequenzen unterdrückt werden. Bei Bandsperren wird dagegen ein bestimmter Frequenzbereich selektiv gesperrt. Mit einer einfachen LC-Schaltung kann man ein Bandpassfilter wie in Abb. 4.16 gezeigt realisieren. R L C U out Uo RL Ausgang R Uo R Ausgang U out C Abb. 4.16: Bandpassfilter Entweder ist der Lastwiderstand in einen Serien-Schwingkreis eingeschlossen, in dem bei Resonanz an den Elementen eine maximale Spannung anfließt, oder ein Parallel-Resonanzkreis bildet einen Nebenschluss zum Ausgangswiderstand. Dann ist bei Resonanz die Ausgangsspannung maximal, weil der Parallelschwingkreis einen sehr hohen Eingangswiderstand aufweist. Den Amplitudengang im Bode-Diagramm zeigt Abb. 5.16. Der Anstieg oder Abfall an den Flanken beträgt hier + - 20 dB / Dekade, die Resonanzüberhöhung ist wieder durch die Güte des Schwingkreises bestimmt. 15 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 lg A ρ - 20 bB / Dekade 20 dB / Dekade lg f/f0 f0 Abb. 4.17: Amplitudengang beim LC-Bandpassfilter Würde man in Abb. 4.17 den jeweils den Serien- und Reihenschwingkreise vertauschen, so würde dies zu einem Bandsperre-Verhalten führen, wobei die Flankensteilheiten denen in Abb. 4.18 entsprechen. Die Charakteristik eines Schwingkreises ist oft für reale Bandpässe und Bandsperren ungünstig. Man benötigt z. B (Abb. 4.18) eine große Flankensteilheit in Kombination mit einer geringen Durchlassdämpfung über einen breiteren Frequenzbereich, z. B. die 15 kHz für den UKW-Rundfunk oder 5 MHz für eine Fernsehbild. Solche Filter lassen sich dann nur durch mehrstufige LCNetzwerke realisieren, die zu Filtern 10. oder höherer Ordnung führen. Ao fg1 fg2 f Abb. 4.18: Bandpassfilter höherer Ordnung In der Vergangenheit (seit den 30er Jahren) sind umfassende Kataloge vielstufiger LC-Filter mit unterschiedlicher Charakteristik entwickelt und publiziert worden, die Filtertechnik hat sich zu einem Spezialzweig der Nachrichtentechnik entwickelt. Ein wesentliches Problem bestand stets in der Größe und dem Gewicht von Spulen mit hoher Induktivität. Deshalb waren LC-Filter für niedrige Frequenzen (unterhalb 1 kHz) in guter Qualität kaum verfügbar. Man behalf sich mit RC-Filtern, die aber stets vergleichsweise höhere Dämpfungen und flachere Flanken aufweisen. Hier haben dann erst neuartige Filtertypen, die mittels aktiver Bauelemente auf dem IC realisierbar sind, zu wesentlich besseren Ergebnissen geführt. Man unterscheidet: - aktive RC-Filter (meistens mit Operationsverstärkern) Schalter-Kondensator-Filter digitale Filter. 16 BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00 Als schmalbandige Filter für höhere Frequenzen werden Quarz-Kristalle eingesetzt. Quarze sind mechanisch / elektrische Bauelemente, bei denen im Resonanzfall bestimmte, von den Dimensionen des Kristalls abhängige Schwingungen auftreten. Im "elektrischen" Ersatzschaltbild entsprechen sie Resonanzkreisen mit Güten von 10 000 und mehr. Die meisten Quarze sind so gebaut, dass sie dicht nebeneinander eine Reihen- und eine Parallelresonanz aufweisen. Die ReihenResonanz wird meistens genutzt, z. B. auch, um in digitalen Schaltungen den Takt stabil zu halten. Schaltzeichen Ersatzschaltbild L Cr Cp Abb. 4.19: Quarz mit Symbol und Ersatzschaltbild Quarze sind stets sogenannte „diskrete“ Bauelemente, man kann sie nicht in monolithisch integrierter Form zusammen mit aktiven Bauelementen fertigen. Deshalb ist auch beim PC der Quarz, welcher den Prozessor-Takt steuert, diskret aufgebaut. Die Nachrichtentechnik war in der Vergangenheit stark durch Verstärker- und Filterschaltungen mit sogenannten „diskreten“ Bauelementen bestimmt. Seit etwa 20 Jahren hat sich aber das Schwergewicht immer mehr zu integrierten Schaltungen und zu digitalen Bausteinen verlagert. Der Schaltungstechniker muss dazu ganz gewaltig umlernen. Z. B. sind auf integrierten Schaltungen Induktivitäten kaum realisierbar. 17
