1 4. Grundschaltungen der Nachrichtentechnik 4.1 Allgemeines

BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00
4.
Grundschaltungen der Nachrichtentechnik
4.1
Allgemeines
Schaltungen der Nachrichtentechnik unterscheiden sich in Aufbau und Prinzip wesentlich von denen
der Energietechnik.
Den Aufbau des Netzes der Energietechnik, nämlich z. B. des Drehstromnetzes für die
Energieversorgung, zeigt Abb. 4.1.
Verbraucher
Quellen
Netzwerk
(passiv)
Abb. 4.1: Netzwerk der Energietechnik
Das Netzwerk wird durch eine Anzahl von Quellen, das sind die Generatoren in den Kraftwerken,
gespeist. Dabei wird die Leistung der einzelnen Quellen durchaus sehr unterschiedlich sein können.
Das Netz ist aber so aufgebaut, dass alle Quellen nur Wechselspannungen und -ströme einer
bestimmten festen Frequenz liefern (z. B. 50 Hz, 60 Hz). Lässt man mal die geographische
Ausdehnung außer Betracht, so sind alle Generatoren auch phasenstarr gekoppelt. Es treten also im
Idealfall auch Spannungsspitzen und Nulldurchgänge überall gleichzeitig auf.
Im Idealfall sind Spannungen und Ströme stets sinus-förmig. Ein frequenzabhängiges
Übertragungsverhalten des Netzwerks Quelle und Verbraucher spielt keine Rolle. Alle Bauelemente
im Netzwerk sind passiv. Die Verbraucher sind ebenfalls passive Netzwerke, die aber sehr
unterschiedliche Charakteristiken haben können (ohmsche, induktive, kapazitive Elemente).
In der Energietechnik wird man versuchen, ein Netzwerk so zu betreiben, dass die vom Generator
zum Verbraucher übertragene Scheinleistung möglichst nahe bei der Wirkleistung liegt. Dazu werden
z. B. stark induktive Verbraucher, das sind insbesondere elektrische Maschinen, durch zusätzliche
Kapazitäten "kompensiert". Auch werden die Innenwiderstände der Generatoren und die
Widerstände zwischen Eingang und Ausgang des Übertragungsnetzes möglichst klein gehalten.
Das Entwurfsziel ist also die Energieübertragung bei möglichst geringen Verlusten.
Ri
RL
Übetragungsnetzwerk
U0
Abb. 4.2: Übertragungsnetzwerk mit Widerständen
1
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In der Energietechnik wird in der Regel der Widerstand des Verbrauchers (RL) wesentlich höher sein
als der des Generators, da die im jeweiligen Widerstand umgesetzte Leistung dem Wert des
Widerstandes proportional ist.
In traditionellen Systemen der Energietechnik gab es nur einen Übergang zwischen Wechselstrom
und Gleichstrom (Gleichrichtung) und umgekehrt (Wechselrichtung).
Bei neueren Systemen, z. B. für elektrische Antriebe, werden auch Spannungen und Ströme
bestimmter Frequenz benötigt und (meistens aus Drehstrom über Gleichstrom) erzeugt. Diese
Technik wird heute als Leistungselektronik bezeichnet.
Dagegen sind Übertragungssysteme der Nachrichtentechnik völlig anders geartet (Abb. 4.3).
Ri
u (t)
Übertragungsnetzwerk
ZL
(frequenzabhängig)
Quelle
Verbraucher
Abb. 4.3: Übertragungssystem der Nachrichtentechnik
Die Quelle wird in der Regel ein Signal mit komplexem zeitlichem Verlauf liefern, das nicht nur eine
Frequenz beinhaltet, sondern ein komplexes Frequenzgemisch, z. B. in einem Sprach-Signal.
Das Übertragungsnetzwerk wird seinerseits dieses Signal bearbeiten (z. B. gezielt filtern, verstärken,
speichern, umcodieren etc.) und schließlich an einen (oder mehrere) Verbraucher weitergeben. Es
spielt dabei oft eine wesentliche Rolle, dass das Ausgangssignal dem Eingangssignal trotz manchmal
komplexer signalverarbeitender Prozesse dem Eingangssignal weitgehend entspricht, also z. B. keine
Verzerrungen aufweist.
Der Wirkungsgrad der Übertragung ist meistens nur von sekundärer Bedeutung. Dagegen spielt die
gute Ausnutzung der von der Quelle verfügbaren Leistung eine wesentliche Rolle. In der Darstellung
nach 4.2 würde ein nachrichtentechnisches System dann optimal betrieben, wenn die mögliche
Leistung der Quelle am besten ausgenutzt wird. Das ist dann der Fall, wenn der Lastwiderstand
gleich dem Innenwiderstand der Quelle ist. Da allerdings die Übertragungssysteme der
Nachrichtentechnik nur sehr selten den Charakter einer idealen Leitung haben, spielen solche
Aspekte im wesentlichen nur bei Übertragungsleitungen im höheren Frequenzbereich eine größere
Rolle.
Ein ganz wesentlicher Teil der Nachrichtentechnik beschäftigt sich damit, Baugruppen und Systeme
zur Signalverarbeitung und zur Signalübertragung zu entwickeln. Wir wollen in diesem Kapitel die
wichtigsten elementaren Baugruppen und die Methoden und Hilfsmittel zu ihrer Beschreibung und
Berechnung kennenlernen.
4.2
Vierpole (Zweitore)
4.2.1 Einführung
In Vorlesungen der Physik sollten Eigenschaften von Zweipol-Bauelementen vermittelt worden sein,
wie z. B. eine frequenzabhängige Impedanz (Schein-Widerstand) und Admittanz (Schein-Leitwert).
Baugruppen, welche Eingangsspannungen und -ströme in mehr oder weniger veränderter Form zu
einem Ausgang übertragen, beschreibt man in der Nachrichtentechnik als Vierpole oder auch
Zweitore.
2
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Ie
Ia
1
2
Ue
Übertragungsfunktion
Ua
Ua = f (Ue)
1'
2'
Abb. 4.4 Vierpol (Zweitor)
In der Nachrichtentechnik kann man die meisten Vorgänge der Signalübertragung mittels der
Vierpol-Darstellung beschreiben. Der Vierpol selbst kann dabei ganz unterschiedlich ausgeführt sein.
Es kann sich z. B. um einen Verstärker, ein frequenzabhängiges Übertragungsglied (Filter), aber
auch um eine Übertragungsleitung handeln. Im allgemeinen wird der Vierpol auch eine Verzögerung
zwischen einem Signal am Eingang und der Antwort am Ausgang beschreiben müssen. Findet eine
Verstärkung statt, so spricht man auch von einem aktiven Vierpol.
Aktive Vierpole enthalten notwendigerweise aktive Bauelemente wie Transistoren, dagegen kommen
passive Vierpole mit Widerständen, Kondensatoren und Spulen aus.
Generell unterscheidet man sogenannte kontinuierliche Systeme von diskreten Systemen.
In der analogen Nachrichtentechnik ist bei der Signalübertragung meistens ein kontinuierlicher
Wertebereich der Signale möglich, z. B. wird die Spannung an einem Lautsprecher, welche aus
elektrischen Wechselströmen zwischen ca. 15 Hz und 15 kHz besteht, jede Spannung z. B. zwischen
0 V und 10 V annehmen können. Typisch für die Analogtechnik ist darüber hinaus, dass die Höhe
dieser Spannung selbst den Inhalt der Information bestimmt.
In zeitdiskreten Systemen, das sind die der Digitaltechnik, ist der Informationsgehalt weitgehend von
der Höhe einer Signalspannung abgekoppelt. Die Information ist dadurch bestimmt, dass zu
bestimmten Zeiten Signalwechsel zwischen einem „low“ oder „high“-Niveaus stattfinden, wobei die
absolute Höhe dieser Niveaus in relativ großem Rahmen schwanken darf.
Der wesentliche Vorteil ist die viel größere Störfestigkeit.
Die Vierpol-Darstellung wird also verwendet, um allgemein das Verhalten frequenzabhängiger
Netzwerke zu beschreiben.
Die wichtigsten Typen von Vierpolen der Nachrichtentechnik sind:
- Verstärker:
Verstärker sind aktive Baugruppen, die ein Eingangssignal mit einer Vergrößerung der Spannung
und des Stroms am Ausgang ausgeben. Oft ist dabei von Bedeutung, dass das verstärkte Signal dabei
seine Form behält, also nicht verzerrt wird. In diesem Fall liegt ein linearer Verstärker vor.
- Filter:
Filter sind Baugruppen, welche bei einem Spektrum verschiedener Frequenzen am Schaltungseingang ein frequenzabhängiges Durchlassverhalten aufweisen, also manche Frequenzen sperren und
andere durchlassen.
- Übertragungsleitungen:
Ideale Übertragungsleitungen transportieren ein Eingangssignal ohne Verluste und Verzerrungen
vom Eingang zum Ausgang. Typisch ist eine zeitliche Verzögerung um die Laufzeit auf der
Übertragungsstrecke. In der Realität sind Übertragungsleitungen in dem Sinne nicht-ideal, da sie
Signale dämpfen (abschwächen) und oft auch ein frequenzabhängiges Übertragungsverhalten zeigen.
-
Mischer und Modulatoren / Demodulatoren
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Mischer sind aktive oder passive Bauelemente, welche ein Signal von einem Frequenzbereich in einen
anderen umsetzen. Modulatoren prägen ein (niederfrequentes) Nutzsignal einem hochfrequenten
Trägersignal auf, Demodulatoren dienen zur Rückgewinnung des Nutzsignals (z. B. im
Rundfunkgerät).
Mit dem Einzug der Digitaltechnik in die Nachrichtentechnik sind weitere Übertragungselemente von
großer Bedeutung:
-
Wandler zwischen analogen und digitalen Signalen
(D / A und A / D - Wandler)
- Abtast- und Halteglieder
Das sind Bauelemente, welche analoge Eingangssignale periodisch abtasten und ihren
Momentanwert für eine Zeit (analog) speichern.
Für die Beschreibung des Verhaltes bezüglich der Strom- und Spannungsgrößen am Eingang und
Ausgang eines Vierpols hat die Elektrotechnik eine angepasste Theorie entwickelt.
Diese eignet sich jedoch im wesentlichen nur für kontinuierliche Vorgänge und wird meistens auch
nur bei linearen oder wenigstens annähernd linearen Beziehungen verwendet.
4.2.2 Vierpol-Parameter
Das Verhalten eines Vierpols lässt sich generell über vier Parameter beschreiben.
-
Eingangswiderstand oder Eingangsleitwert am Eingang
(d. h. Strom-Spannungsbeziehung am Eingang)
Das ist die Eingangsimpedanz oder Eingangs-Admittanz
- Ausgangswiderstand oder Ausgangsleitwert, d. h. Strom-Spannungsbeziehung am Ausgang
Das ist die Ausgangs-Impedanz oder Ausgangs-Admittanz
- Übertragung von Spannung / Strom vom Eingang auf den Ausgang
Das ist die Vorwärts-Übertragungsimpedanz oder -Admittanz
- Übertragung von Spannung / Strom vom Ausgang auf den Eingang
Das ist der Rückwärts-Übertragungsimpedanz oder -Admittanz
Diese Parameter sind stets unter bestimmten Nebenbedingungen definiert .
Die Strom-und Spannungsgrößen werden dabei als komplexe Werte definiert. Strom und Spannung
können also unterschiedliche Phasenlagen haben und sind damit durch ebenfalls komplexe
Widerstände oder Leitwerte verbunden.
Man kann die Abhängigkeiten zwischen Spannungen und Strömen am Vierpol wie folgt definieren,
wobei "1" jetzt jeweils für den Eingang, "2" für den Ausgang steht:
U1 = Z11 I1 + Z12 I2
U2 = Z21 I1 + Z22 I2
Daraus folgt auch gleich die Definition für die Parameter:
Z11 = U1 / I1
Z22 = U2 / I2
für
für
I2 = 0
I1 = 0
Leerlauf-Eingangsimpdedanz
Leerlauf-Ausgangsimpedanz
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Z12 = U1 / I2
Z21 = U2 / I1
für
für
I1 = 0
I2 = 0
Rückwärts-Übertragungsimpedanz
Vorwärts-Übertragungsimpedanz
Die Abhängigkeit wird also durch die Elemente einer Widerstands-Matrix angegeben:
[Z] =
Z11 Z12
(Z21 Z22)
Die Übertragungseigenschaften eines Netzwerkes werden also z. B. durch seine Impedanzmatrix
beschrieben.
In der Praxis noch gebräuchlicher ist die Admittanzmatrix:
I1 = Y11 U1 + Y12 U2
I2 = Y21 U1 + Y22 U2
Die Parameter sind:
Y11 = I1 / U1
Y12 = I1 / U2
Y21 = I2 / U1
für
für
für
I2 = 0
I2 = 0
I1 = 0
Y22 = I2 / U2
für
I1 = 0
Leerlauf-Eingangsadmittanz
Rückwärts-Übertragungsleitwert
Vorwärts-Übertragungsleitwert
(auch Steilheit genannt)
Leerlauf-Ausgangsadmittanz
Diese Parameter werden in der Regel für eine bestimmte Frequenz angegeben, z. B. in Datenblättern
für Transistoren. Mittels dieser Parameter kann man dann Schaltungen recht bequem berechnen,
wobei das so charakterisierte Element eine "Black Box" sein kann.
Es gibt noch weitere Typen von Vierpol-Parametern. Praktisch verwendet werden die sogenannten
Hybrid-Parameter (H-Parameter), bei denen die einzelnen Parameter unterschiedliche Dimensionen
haben (also nicht alle Impedanzen oder Admittanzen sind), die sogenannten Ketten-Parameter und
die sogenannten Streuparameter (speziell für Hochfrequenz-Schaltungen). Bei letzteren bezieht sich
das Verhalten des Vierpols nicht auf Spannungen und Ströme, sondern auf Leistungen, weil man bei
manchen Bauelementen der Hochfrequenztechnik Spannungen und Ströme nicht mehr definieren
kann.
Der Vollständigkeit halber sollen die H-Parameter und die Ketten-Parameter hier noch dargestellt
werden:
Hier gilt:
U1 = H11 I1 + H12 U2
I2 = H21 I1 + H22 U2
Die Kettenparameter sind definiert als:
U1 = A11 U2 + A12 (-I2)
I1 = A21 U2 + A22 (-I2)
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Bei den Ketten-Parametern werden abweichend von der sonstigen Notation die Ströme am Ausgang
der Vierpols positiv gezählt, wenn sie aus dem Vierpol herausfließen.
Parallelschaltung
Serienschaltung
Serien- Parallelschaltung
Kettenschaltung
Abb. 4.5: Zusammenschaltung von Vierpolen
Z-, Y-, H-, (Hybrid-) und Kettenparameter beziehen sich alle auf Spannungen und Ströme. Um
Serien-, Parallel- und Kettenschaltungen von Vierpolen einfach ausführen zu können, gibt es
eindeutige Vorschriften zur Umrechnung dieser Parameter ineinander. Für eine Parallelschaltung von
Vierpolen ist es z. B. günstig, sie in der Darstellung über die Y-Parameter vorliegen zu haben, weil
man dann die Eingangsleitwerte einfach addieren kann. Für die Kettenschaltung bietet entsprechend
die Kettenmatrix Vorteile.
I2
U1
I1
1/H22
H11
U2
H21 I1
U1
I1
I2
Y11
U2
Y22
Y21 U1
Abb. 4.6: Transistor-Ersatzschaltbilder mit H- und Y-Parametern
Praktisch verwendet werden Vierpol-Parameter immer noch in der Verstärkertechnik. In Abb. 4.6
sind die vereinfachten Ersatzschaltungen eines Transistors mit H- und mit Y-Parametern dargestellt.
Wesentlicher Teil ist dabei jeweils eine Stromquelle für den Ausgang, die durch Spannungen oder
Ströme am Eingang gesteuert ist. Solche Ersatzschaltungen gelten allerdings oft nur für einen
bestimmten Arbeitspunkt der Schaltung und für kleine Signalamplituden, also für den sogenannten
"Kleinsignalbetrieb". Für den Betrieb bei großen Signalamplituiden, und dazu gehört die ganze
Digitaltechnik, kann man die nicht-linearen Eigenschaften von Halbleiter-Bauelementen nicht mehr
vernachlässigen.
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4.2.3 Übertragungsfunktion
Die Übertragungseigenschaften eines Netzwerkes beschreibt auch die Übertragungsfunktion
F = Ua / Ue. Sie wird in der Regel aber nur für den Fall linearer Netzwerke verwendet. Ihre vielleicht
größte Bedeutung hat sie in der klassischen elektrischen Steuerungs- und Regelungs-technik.
Grundsätzlich kann man den Verlauf von Signalen, d. h. Spannungen und Strömen,
in Abhängigkeit von der Zeit, aber auch in Abhängigkeit von der Frequenz beschreiben. Während die
Vierpol-Parameter in der Regel den "elektronischen" Blick darstellen, also für eine bestimmte
Frequenz die Abhängigkeit von Spannungen und Strömen zwischen Ein- und Ausgang darstellen,
wird die Übetragungsfunktion meistens zur Darstellung der Frequenzabhängigkeit genutzt.
Mit der Darstellung von Impedanzen und Admittanzen als frequenzabhängige Größen haben wir
bereits implizit eine Transformation des Zeitverhaltens einer Schaltung in den Frequenzbereich
vorgenommen, unter der Voraussetzung, dass Spannungen und Ströme sinusförmig sein sollten.
1
2
R
Uin
C
Uout
2'
1'
Abb. 4.7: RC-Netzwerk als Vierpol
Allgemein gilt: ir = R * ur
ic = C d uc / dt
uin = ur + uc
uout = uc
ic = ir
R * (uin - uc) = C d uc / dt
Zur Bestimmung des Verlaufs von uout ist also diese Differentialgleichung zu lösen.
Die Lösung ist recht einfach, wenn man die Zeitabhängigkeit von uin (t) als harmonisch vorgibt:
uin (t) = Uo cos ωt
Geht man von anderen als harmonischen Signalen aus, z. B. sind auf Leitungen der Digitaltechnik
Rechteck- förmige Signale zu finden, so wird man in der Praxis diese Gleichung in der Zeit
diskretisieren, als jeweils für sehr kurze Zeitsbschnitte dt betrachten und numerisch zu lösen
versuchen.
Die mit der Einschränkung auf eine harmonische Schwingung erfolgte Umwandlung
der Gleichung lässt jetzt auch eine Vereinfachung zu:
Mit uc (t) = Uc sin ω t kann man schreiben:
7
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C d uc / dt = ic = ωC Uc cos ωt
Wenn man die komplexe Schreibweise einführt, so wird:
Zc = - j / ω C
In der komplexen Darstellung kann man dann auf die Amplituden von Strom und Spannung
übergehen:
Uout = Zc Ic = Zc U0 (R + Zc)
Uout = U0 / (R - j/ωC) * (-j /ωC)
-j
Uout / U0 = (- j / ωC) / (R - j/ωc) = ------------- =
(ω R C -j)
1
-------------( 1 - j ω RC)
Die Übertragungsfunktion dieses Vierpoles ist nach Betrag und Phase frequenzabhängig.
Für f = 0 ist die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung.
Für f gegen unendlich geht die Ausgangsspannung gegen null.
Schaltungen mit einem derartigen frequenzabhängigen Verfahren werden in der Nachrichtentechnik
generell als "Filter" bezeichnet, weil sie manche Frequenzen aus einem Eingangssignal herausfiltern
und andere mehr oder weniger gut durchlassen.
Für die graphische Darstellung der Übertragungsfunktion wählt man oft das sogenannte BodeDiagramm. Amplitudengang F und Phasengang f der Übertragungsfunktion sind in Abhängigkeit von
einer normierten Frequenz f0 aufgetragen, wobei die Frequenzachse logarithmisch dargestellt ist (im
Zehner-Logarithmus). Auch die Amplitude wird in logarithmischem Maßstab dargestellt, meistens
normiert auf eine maximale Amplitude A0 der Übertragungsfunktion.
Die aufgetragene Größe ist dann die normierte Abweichung von der Ausgangsamplitude A0,
meistens gemessen in dB mit:
F / dB = -20 lg (Ua/Ue)
Dagegen wird die Phase in Abhängigkeit von der normierten Frequenz linear positiv oder negativ
aufgetragen. Typisch für die hier vorgestellte Filterschaltung erster Ordnung ist, dass dort, wo die
Amplitude auf den 1 durch Quadratwurzel 2-fachen Wert gefallen ist (3 dB-Abfall), die
Phasenverschiebung 45 Grad erreicht.
Dieser spezielle Punkt wird bei Filterschaltungen oft als "Grenzfrequenz" bezeichnet.
8
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F
3 dB
Amplitudengang
fg
lg (f/f0)
Φ
90
45
Phasengang
lg (f/f0)
-45
-90
Abb. 4.8: Bode-Diagramm
Die Grenzfrequenz errechnet sich zu: fo = fg = 1/(2π R C)
Oft werden Amplituden- und Phasenverlauf im Bode-Diagramm mit technisch brauchbaren
Näherungen angegeben. Es soll der hier verwendete Tiefpass als Beispiel gelten.
Für f << f0 (Grenzfrequenz) ist der Amplitudengang gegeben durch eine Gerade bei 0 dB. Meistens
wird diese Näherung bis zu f / f0 = 0,1 angesetzt.
Für f >> f0 ist der Amplitudengang gegeben durch eine Gerade gegeben, die mit 20 dB / Dekade
sinkt.
Für f << f0 wird zunächst der Phasengang als konstant angenommen.
Ab f = 0,1 f0 fällt die Phase mit 45 Grad pro Dekade, erreicht also bei f = 10 f0 den Endwert von –
90 Grad.
Bei f = f0 ist die Amplitude um 3 dB gefallen, die Phase hat dann genau – 45 Grad erreicht.
Bei anderen Netzwerken kann das Bode-Diagramm natürlich ein von diesem Schema abweichendes
Verhalten aufweisen.
4.3
Vierpole mit Filtereigenschaften
4.3.1 Einführung
Die vorstehend betrachtete Schaltung hat ein Filter-Verhalten, das man in der Nachrichtentechnik als
Tiefpass bezeichnet. Andere Typen von Filtern sind Hochpässe, Bandpässe und Bandsperren (Abb.
4.9).
9
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Tiefpass
Hochpass
A
A
ideal
real
ω
ωg
Bandpass
A
ω
ωg
Bandsperre
A
ω gu
ω go ω
ω gu
ω go
ω
Abb. 4.9: Grundtypen von Filtern
Bezüglich der grundsätzlichen Verhaltens unterscheidet man drei Typen von Filtern:
-
Tiefpässe: Durchlassbereich bei niedrigen Frequenzen, Sperrbereich bei hohen Frequenzen
Hochpässe: Sperrbereich bei niedrigen Frequenzem, Durchlassbereich bei hohen Frequenzen
Bandpässe: Sperrbereich bei niedrigen und hohen Frequenzen, dazwischen ein Durchlassbereich
Bandsperren: Durchlassbereich bei niedrigen und hohen Frequenzen, dazwischen ein
Sperrbereich.
Gekennzeichnet sind Filter durch verschiedene Eigenschaften:
Der Übergang vom Sperrbereich zum Durchlassbereich und umgekehrt ist jeweils durch die
Grenzfrequenz ωg gekennzeichnet. Das ist die Frequenz, bei der die vom Vierpol an den
Lastwiderstand übertragene Leistung auf den halben Maximalwert abfällt. Entsprechend fällt die
Spannung am Ausgang auf Umax / 2 (1/2) ab.
In einem anderen Maßstab wird dies auch als "3 dB-Abfall" bezeichnet.
Tiefpass und Hochpass haben nur je eine Grenzfrequenz, Bandpass und Bandsperre haben jeweils
zwei Grenzfrequenzen.
In Abb. 4.9 sind die verschiedenen Typen von Filtern idealisiert und angedeutet auch mit realem
Verhalten dargestellt. Im Idealfall haben die Filter senkrechte Flanken bei der jeweiligen
Grenzfrequenz. Reale Filter haben dagegen jeweils einen kontinuierlichen Übergang vom Durchlassin den Sperrbereich. Die mehr oder weniger große Steilheit dieser Flanken ist bestimmt durch die
Ordnung des Filter.
Für das vorstehend betrachtete Netzwerk liegt ein sogenannter Tiefpass erster Ordnung vor, da die
Frequenzabhängigkeit linear ist. Natürlich kann man auch Tiefpässe höherer Ordnung bauen, bei
denen eine quadratische, kubische oder biquadratische Abhängigkeit von der Frequenz besteht.
Entsprechend bezeichnet man dann solche Schaltungen und Tiefpass zweiter, dritter oder vierter
Ordnung.
Entsprechend gibt es natürlich auch andere Filterschaltungen unterschiedlicher Ordnung.
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Filter unterscheidet man auch bezüglich ihres physikalischen Aufbaus:
Passive Filter enthalten nur passive Bauelemente (Widerstände, Induktivitäten, Kapazitäten). Aktive
Filter enthalten dagegen auch Verstärkerbausteine.
RC-Filter bestehen nur aus Widerständen und Kondensatoren. LC-Filter sind dagegen vorwiegend
aus Spulen und Kondensatoren aufgebaut.
Eine spezielle Klasse von Filtern ist aus Schaltern und Kondensatoren aufgebaut.
Digitale Filter setzen zunächst analoge Signale in digitale Werte um und "rechnen" dann das
Frequenzverhalten aus. Man kann damit vorwiegend Filter für sehr niedrige Frequenzen realisieren.
4.3.2 RC-Filter
RC-Filter sind grundsätzlich nur aus Widerständen und Kapazitäten aufgebaut.
Der einstufige RC-Tiefpass von Abb. 4.7 ist ein Beispiel für einen einfachen Tiefpass erster Ordnung.
Ein zweistufiges RC-Tiefpassfilter ist in Abb. 4.10 dargestellt.
R1
R2
1
2
C1
C2
1'
2'
Abb. 4.10: Zweistufiges RC-Tiefpassfilter
Für das Verhalten der Schaltung sind die sogenannten "Zeitkonstanten"
Τ1 = C1R1 und Τ2 = R2C2 charakteristisch.
Die Übertragungsfunktion des einstufigen Filters konnte man auch als:
Ua / Ue = 1 / (1 + jωT1) darstellen.
Für das zweistufige Filter gilt dann:
Ua / Ue = 1 / ((1 + jωT1) (1 + jωT2)).
Wie sich Amplituden- und Phasengang eines solchen Filters insgesamt verhalten, kann man am
besten wieder im Bode-Diagramm ablesen.
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F
Amplitudengang
-20dB /Dek.
- 40 dB / Dekade
lg (f/f0)
Φ
fg1
fg2
Phasengang
0,1 fg1
10 fg1 0,1 fg2
10 fg2
lg (f/f0)
-45
-90
-135
-180
Abb. 4.11: Bode-Diagramm des zweistufigen RC-Tiefpass-Filters (vereinfacht)
In der vereinfachten Darstellung fällt jetzt die Amplitude mit -20 dB / Dekade ab der niedrigeren
Grenzfrequenz fg1 = 1 / T1. Die Phase fällt ab 0,1 fg1 mit -45 Grad pro Dekade und erreicht bei 10
fg1 einen Wert von -90 Grad.
Bis hierher gleicht das Verhalten exakt dem eines einstufigen RC-Tiefpassfilters. Die zweite Stufe
wirkt sich ab fg2 = 1 / T2 mit einem Abfall der Amplitude von -40 dB pro Dekade aus. Die
zusätzliche Phasendrehung durch diese zweite Stufe wirkt sich so aus, dass bei fg2 eine
Phasendrehung von -135 Grad erreicht wird, bei 10 fg2 schließlich der Endwert von -180 Grad.
Tatsächlich kann man natürlich auch dreistufige Filter bauen, bei denen sich schließlich eine
Phasendrehung von 270 Grad und ein Abfall der Amplitude um 60 dB proDekade erreicht würde.
Solche Schaltungen werden tatsächlich gebaut, um in bestimmten Schaltungen (z. B. Oszillatoren)
Phasendrehungen von 180 Grad zwischen Eingang und Ausgang sicher zu erreichen.
Für Filterschaltungen werden häufig Netzwerke benötigt, welche:
-
eine geringe Dämpfung des Signals im Durchgangsbereich aufweisen
eine hohe Flankensteilheit beim Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich aufweisen
eine hohe Dämpfung im Sperrbereich bieten.
Dazu eignen sich RC-Netzwerke nicht besonders. Man wird bevorzugt Netzwerke aus Induktivitäten
und Kapazitäten verwenden, sogenannte LC-Filter.
4.3.3 LC-Tiefpass und -Hochpass
Wir haben bereits im 4. Kapitel Zusammenschaltungen aus Induktivitäten und Kapazitäten als
Netzwerke mit frequenzabhängigem Widerstand kennengelernt.
Man kann also mit einigem Recht vermuten, dass man auf der Basis von LC-Schwingkreisen auch
halbwegs brauchbare Hoch- bzw. Tiefpassfilter aufgebaut werden können.
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Tiefpaß
R
L
UC
Uo
UL
C
Ausgang
Hochpaß
R
Uo
UC
UL
Ausgang
Abb. 4.12: LC-Tiefpass- und Hochpass-Filter
Für die Spannungsabfälle in der aus einer R-L-C-Reihenschaltung bestehenden Filterschaltung gilt:
UC / U0 = ω02 / N
UL / U0 = (j ω)2 / N
UR / U0 = j ω ω0 / ρ N
Mit: ρ = 1 /[ R (L / C) 1/2]
ω02 = 1 / LC
N = ω02 + (ω0/ρ) j + (jω)2
Für f = 0 wirkt der Kondensator als Leerlauf, die Spule als Kurzschluss.
Damit erfolgt beim Tiefpass eine verlustlose Signalübertragung vom Eingang auf den Ausgang (auch
ohne Phasenverschiebung). Beim Hochpass ist dagegen der Ausgang vom Eingang durch den
Kondensator getrennt, darüber hinaus ist der Ausgang durch die Induktivität kurzgeschlossen.
Für sehr hohe Frequenzen tritt genau der umgekehrte Fall auf.
Die Resonanzfrequenz f0 ist gegeben durch die Thomsonsche Schwingungsformel:
f0 = 1/2π (LC) -1/2
Mittels L und C bekommen wir stets einen Filter-Kreis zweiter Ordnung.
Da aber auch Resonanzphänomene eine Rolle spielen, weisen Filter dieser Art typischerweise in der
Nähe der Resonanzfrequenz eine Überhöhung der Spannung am Ausgang auf. Den Effekt im BodeDiagramm zeigt Abb. 4.13.
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Amplitudengang
F
Renonanzüberhöhung
ρ
- 40 dB / Dekade
lg (f/f0)
f0
Amplitudengang
F
Renonanzüberhöhung
ρ
-+40 dB / Dekade
lg (f/f0)
f0
Abb. 4.13: Amplitudengang im Bode-Diagramm für LC-Tiefpass / Hochpass-Filter
Die Überhöhung ist proportional der Güte des Resonanzkreises. Beim Tiefpassfilter fällt die
Amplitude oberhalb der Grenzfrequenz mit -40 dB / Dekade, beim Hochpass steuft die Kurve
unterhalb der Grenzfrequenz entsprechend an. Faktisch gibt es keine "idealen" Hochpässe, zu hohen
Frequenzen hin wird die Amplitude stets durch die beschränkte Bandbreite der aktiven Bauelemente
(Transistoren) begrenzt.
LC-Filter dieser Art werden häufig in Hifi-Anlagen eingesetzt. Um den Frequenzbereich hörbarer
akkustischer Signale optimal überdecken zu können, sind in der Praxis mindestens zwei Lautsprecher
(Tieftöner, Hochtöner), in sehr hochwertigen Anlagen auch drei Lautsprecher (Tieftöner, Hochtöner,
Mitteltöner)
notwendig.
Sie
erhalten
jeweils
nicht
das
ganze
Spektrum
(15 Hz bis 25 kHz) hörbarer akkustischer Signale, sondern durch das Vorschalten von Filtern als
sogenannte "Frequenzweiche" jeweils nur einen abgestimmten Teil des Spektrums (Abb. 4.14).
Ri
L1
C2
C1
Uo
Tieftöner
L2
Hochtöner
Abb. 4.14: Frequenzweiche in Audio-Lautsprechersystemen
Natürlich ist es durchaus möglich, auch LC-Filter höherer als zweiter Ordnung zu bauen oder auch
RC- und LC-Filter zu kombinieren. Der wesentliche Vorteil besteht in steileren Filter-Flanken
(80 dB / Dekade Abfall bzw., bei Hochpässen, Anstieg).)
14
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R
Uo
L1
L2
UC
UL
C1
C2
Ausgang
Abb. 4.15: LC-Tiefpass-Filter 4. Ordnung
Filter mit extrem steilen Flanken wurden vorrangig in der kommerziellen analogen Fernmelde-technik
benötigt.
4.3.4 Bandpässe und Bandsperren
Weitere in der Praxis benötigte Filtertypen sind Bandpässe und Bandsperren.
Bandpässe lassen einen bestimmten Frequenzbereich an Ausgang erscheinen, während andere
Frequenzen unterdrückt werden. Bei Bandsperren wird dagegen ein bestimmter Frequenzbereich
selektiv gesperrt. Mit einer einfachen LC-Schaltung kann man ein Bandpassfilter wie in Abb. 4.16
gezeigt realisieren.
R
L
C
U out
Uo
RL
Ausgang
R
Uo
R
Ausgang
U out
C
Abb. 4.16: Bandpassfilter
Entweder ist der Lastwiderstand in einen Serien-Schwingkreis eingeschlossen, in dem bei Resonanz
an den Elementen eine maximale Spannung anfließt, oder ein Parallel-Resonanzkreis bildet einen
Nebenschluss zum Ausgangswiderstand.
Dann ist bei Resonanz die Ausgangsspannung maximal, weil der Parallelschwingkreis einen sehr
hohen Eingangswiderstand aufweist.
Den Amplitudengang im Bode-Diagramm zeigt Abb. 5.16. Der Anstieg oder Abfall an den Flanken
beträgt hier + - 20 dB / Dekade, die Resonanzüberhöhung ist wieder durch die Güte des
Schwingkreises bestimmt.
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BTU Cottbus, HL-Schaltungstechnik, Kapitel 4, WS 99/00
lg A
ρ
- 20 bB / Dekade
20 dB / Dekade
lg f/f0
f0
Abb. 4.17: Amplitudengang beim LC-Bandpassfilter
Würde man in Abb. 4.17 den jeweils den Serien- und Reihenschwingkreise vertauschen, so würde
dies zu einem Bandsperre-Verhalten führen, wobei die Flankensteilheiten denen in Abb. 4.18
entsprechen.
Die Charakteristik eines Schwingkreises ist oft für reale Bandpässe und Bandsperren ungünstig. Man
benötigt z. B (Abb. 4.18) eine große Flankensteilheit in Kombination mit einer geringen
Durchlassdämpfung über einen breiteren Frequenzbereich, z. B. die 15 kHz für den UKW-Rundfunk
oder 5 MHz für eine Fernsehbild. Solche Filter lassen sich dann nur durch mehrstufige LCNetzwerke realisieren, die zu Filtern 10. oder höherer Ordnung führen.
Ao
fg1
fg2
f
Abb. 4.18: Bandpassfilter höherer Ordnung
In der Vergangenheit (seit den 30er Jahren) sind umfassende Kataloge vielstufiger LC-Filter mit
unterschiedlicher Charakteristik entwickelt und publiziert worden, die Filtertechnik hat sich zu einem
Spezialzweig der Nachrichtentechnik entwickelt.
Ein wesentliches Problem bestand stets in der Größe und dem Gewicht von Spulen mit hoher
Induktivität. Deshalb waren LC-Filter für niedrige Frequenzen (unterhalb 1 kHz) in guter Qualität
kaum verfügbar. Man behalf sich mit RC-Filtern, die aber stets vergleichsweise höhere Dämpfungen
und flachere Flanken aufweisen.
Hier haben dann erst neuartige Filtertypen, die mittels aktiver Bauelemente auf dem IC realisierbar
sind, zu wesentlich besseren Ergebnissen geführt.
Man unterscheidet:
-
aktive RC-Filter (meistens mit Operationsverstärkern)
Schalter-Kondensator-Filter
digitale Filter.
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Als schmalbandige Filter für höhere Frequenzen werden Quarz-Kristalle eingesetzt.
Quarze sind mechanisch / elektrische Bauelemente, bei denen im Resonanzfall bestimmte, von den
Dimensionen des Kristalls abhängige Schwingungen auftreten. Im "elektrischen" Ersatzschaltbild
entsprechen sie Resonanzkreisen mit Güten von 10 000 und mehr. Die meisten Quarze sind so
gebaut, dass sie dicht nebeneinander eine Reihen- und eine Parallelresonanz aufweisen. Die ReihenResonanz wird meistens genutzt, z. B. auch, um in digitalen Schaltungen den Takt stabil zu halten.
Schaltzeichen
Ersatzschaltbild
L
Cr
Cp
Abb. 4.19: Quarz mit Symbol und Ersatzschaltbild
Quarze sind stets sogenannte „diskrete“ Bauelemente, man kann sie nicht in monolithisch integrierter
Form zusammen mit aktiven Bauelementen fertigen. Deshalb ist auch beim PC der Quarz, welcher
den Prozessor-Takt steuert, diskret aufgebaut.
Die Nachrichtentechnik war in der Vergangenheit stark durch Verstärker- und Filterschaltungen mit
sogenannten „diskreten“ Bauelementen bestimmt. Seit etwa 20 Jahren hat sich aber das
Schwergewicht immer mehr zu integrierten Schaltungen und zu digitalen Bausteinen verlagert.
Der Schaltungstechniker muss dazu ganz gewaltig umlernen. Z. B. sind auf integrierten Schaltungen
Induktivitäten kaum realisierbar.
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