Thermodynamik I Aufgabe 1.0s Partielle Ableitungen, homogene

Thermodynamik I
Aufgabe 1.0s
Partielle Ableitungen, homogene Funktionen
A)
Def.:
Eine Funktion heißt homogen vom Grade N , in den Koordinaten xi ,
beliebige Konstanten λ
i = 1, . . . , k, wenn für
f (λ x1 , . . . , λ xk ) = λN f (x1 , . . . , xk )
gilt.
Satz:
Für eine homogene Funktion vom Grad N gilt das Euler Theorem
k
∑
∂f
1=1
∂xi
xi = N f (x1 , . . . , xk )
a) Beweisen Sie das Euler Theorem!
Hinweis: Differenzieren Sie die Definition partiell nach λ und wählen Sie ein geeignetes λ, um die Aussage
des Satzes zu erhalten.
b) Betrachten Sie Gemische aus m-Komponenten mit Stoffmengen ni , i = 1, . . . , m:
1. Zeigen Sie, dass extensive Zustandsfunktionen Z = Z(p, T, n1 , . . . , nm ) solcher Gemische homogen vom Grade N = 1 sind!
Wie lässt sich die extensive Zustandsgröße bei konstantem p und T darstellen?
2. Zeigen Sie, dass intensive Zustandsfunktionen z = z(p, T, n1 , . . . , nm ) solcher Gemische vom Grade N = 0 sind und dass die partiellen Ableitungen nicht unabhängig
voneinander sind!
Welcher Zusammenhang zwischen den partiellen ableitungen ergibt sich bei konstantem p und T ?
3. Wenden Sie die Aussagen unter b) auf einfache selbstgewählte Beispiele an!
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B)
Gegeben sind die Definitionen einiger thermodynamischer Potentiale und ihre Fundamentalgleichungen:
Innere Energie
U
mit du =
T ds − pdV
Enthalpie
H = U + pV
mit dh =
T ds + V dp
Freie Innere Energie (Helmholtz Energie) A = U − T S
mit da = −sdT − pdV
G = H − T S mit dh = −sdT + V dp
Freie Enthalpie oder (Gibbs Enthalpie)
a) Wählen Sie passende sog. natürliche Variablen für die obigen vier thermodynamischen
Potentiale, um ihre totalen Differentiale zu formulieren und um Aussagen für die Temperatur T , den Druck p, das spezifische Volumen v und die spezifische Entropie s zu
formulieren.
b) Beweisen Sie damit die Maxwell-Relationen
(
(
(
(
)
∂T
∂v
=
∂s
∂p
−
s
∂T
∂p
∂s
∂v
(
)
(
=
s
)
(
=
T
)
(
= −
T
∂p
∂s
∂v
∂s
∂p
∂T
∂v
∂T
)
v
)
p
)
v
)
p
c) Was folgt daraus, wenn Sie im Rahmen einer Modellbildung eine Zustandsgleichung für
ein thermodynamisches Potential beispielsweise für die spezifische Gibbs Enthalpie
g = g(p, T )
in geschlossener Form explizit angeben!
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