Plenum aus statistische Physik 10.3.2006

Plenum aus statistische Physik
10.3.2006
1. Die Größen S, V , N , und E(S, V, N ) sind extensiv, d.h. sie skalieren mit der
Systemgröße. Leiten Sie aus dieser Überlegung einen Ausdruck für das totale
Differential von E her. Ersetzen Sie dann schrittweise alle extensiven Größen
durch intensive.
E extensiv
λE(S, V, N )
E(S, V, N )
dE
Thermodynamik :
dE
Legendretransformation :
= E(λS, λV, λN )
/∂λ |λ=1
= S∂S E + V ∂V E + N ∂N E
= ∂S EdS + ∂V EdV + ∂N EdN
= T dS − pdV + µdN
F (T, V, N ) = E − T S
dF = dE − T dS − SdT = −SdT − pdV + µdN
G(T, p, N ) = F + pV
dG = dF + pdV + V dp = −SdT + V dp + µdN
Ψ(T, p, µ) = G − µdN
dΨ = −SdT + pdV − N dµ = 0
|
{z
}
Gibbs−Duhem Relation
2 Ein Teilchen in einem harmonischen Oszillator befinde sich mit der Wahrscheinlichkeit Pn = A exp(−βEn ), En = ~ω(n + 12 ), β ∈ + im Zustand |ni.
Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des Teilchens.
ρ = A
∞
X
|ni pn hn|
n=1
hEi
= TrρH =
∞
X
hn|
β~ω
2
∞
X
n=1
= −A∂β e−
|mi pm hm| H |ni = A
m=1
n=1
= −A∂β
∞
X
e−β~ω
∞
X
n=1
n
= −A∂β
1
sinh − β~ω
2
1
− β~ω
2
e
1 − e−β~ω
e−βEn En = −A
∞
X
n=1
∂β e−βEn