2 - TU Bergakademie Freiberg

209
Finite Elemente I
6
Abweichungen von Galerkin-Schema
Die bisherige Konvergenzanalyse ist insofern idealisiert, als dabei in der
Praxis unvermeidbare Abweichungen vom Galerkin-Verfahren unberücksichtigt blieben. Die häufigsten Abweichungen:
1. Die Integrale werden nur näherungsweise mittels Quadraturformeln
ausgerechnet, d.h. Bilinear- und Linearform des diskreten Problems
approximieren lediglich die des kontinuierlichen Problems.
2. Anstelle eines krummlinig berandeten Gebietes Ω wird eine polygonale
Approximation Ωh verwendet, d.h. V h 6⊂ V aufgrund unterschiedlicher
Definitionsgebiete.
3. Die Funktionen in V h besitzen nicht die erforderlichen stetigen Übergänge
zwischen Elementen, d.h. V h 6⊂ V .
Wir untersuchen hier 1. und 2.
6 Abweichungen von Galerkin-Schema
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
210
Finite Elemente I
6.1
Numerische Integration
Die Berechnung der bei der Assemblierung auftretenden Integrale ist oft zu
aufwändig (bei komplizierten Elementen) oder unmöglich (etwa bei nicht
geschlossen integrierbaren Koeffizientenfunktionen). Man behilft sich deshalb zur Approximationen der Integrale mit Quadraturformeln der Bauart
Z
f (x ) dx ≈
K
m
X
(6.1)
γi f (xi )
i=1
mit Knoten xi = xiK ∈ K und Gewichten γi = γiK > 0 und erhält somit
Näherungen
Z
f (x ) dx =
Ω
6.1 Numerische Integration
X Z
K∈Th
K
f (x ) dx ≈
m
X X
γiK f (xiK ).
K∈Th i=1
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
211
Finite Elemente I
6.1.1
Quadraturformeln
Bei affinen Familien können alle Integrale auf solche über ein Referenzeleb zurückgeführt werden. Daher genügt es in diesem Fall, Quadraturment K
formeln für Referenzelemente zu betrachten.
Quadraturformeln klassifiziert man nach deren Exaktheitsgrad, d.h. dem
höchsten Polynomgrad der durch eine Formel noch exakt integriert wird. Eine Quadraturformel für zwei Raumdimensionen besitzt also Exaktheitsgrad
d ∈ N0 , falls
Z
m
X
ξ j η k dξdη =
γi ξij ηik
∀j, k : j + k ≤ d.
b
K
i=1
Beispiel: Im Anhang werden die Gauß-Quadraturformeln für eindimensionale Integrale behandelt. Diese besitzen bei m Knoten und Gewichten den
(maximalen) Exaktheitsgrad d = 2m − 1.
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
212
Finite Elemente I
Konstruktion von Quadraturformeln:
Bei Newton-Cotes-Quadraturformeln werden die Knoten xi vorgegeben
und die Gewichte γi so gewählt, dass ein möglichst hoher Exaktheitsgrad
erreicht wird. Vorausgesetzt die Knoten sind so gewählt, dass sie ein
eindeutiges Interpolationspolynom definieren (etwa wie in Satz 4.5 bzw.
Satz 4.8) so sind für Exaktheitsgrad d höchstens n = (d + 1)(d + 2)/2
Knoten erforderlich. Bei Integrationsgebieten mit Symmetrien reichen oft
auch weniger Knoten aus.
Bei Gauß-Quadraturformeln wird neben den Gewichten auch die Lage
der Knoten zur Maximierung des Exaktheitsgrades variiert. Dies führt oft
zu wesentlich weniger Knoten als bei Newton-Cotes Formeln gleicher
Exaktheit. Diese stimmen aber meist nicht mit Knoten für Freiheitsgrade
überein.
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
213
Finite Elemente I
Einige Newton-Cotes Formeln für das Referenzdreieck
Bei den folgenden Beispielen für Quadraturformeln bezeichnet d den Exaktheitsgrad, m die Anzahl Knoten und A = 1/2 die Fläche des Referenzdreiecks. Die Knoten werden sowohl in kartesischen als auch baryzentrischen
Koordinaten angegeben. Letztere sind affin invariant, die Formel kann daher auch auf beliebige Dreiecke angewandt werden (nur A muß angepaßt
werden).
(1) d = 1, m = 1
x1 = ( 13 , 13 ) = ( 31 , 13 , 13 )
Schwerpunktregel“
”
γ1 = A
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
214
Finite Elemente I
(2) d = 2, m = 3
x1 = ( 12 , 0) = ( 12 , 12 , 0)
γ1 = γ2 = γ3 = A/3
x2 = ( 21 , 12 ) = (0, 12 , 12 )
x3 = (0, 12 ) = ( 12 , 0, 12 )
(3) d = 3, m = 7
x1 = ( 31 , 13 ) = ( 13 , 31 , 13 )
γ1 = 27A/60
x2 = (0, 0) = (1, 0, 0)
γ2 = γ3 = γ4 = A/60
x3 = (1, 0) = (0, 1, 0)
x4 = (0, 1) = (0, 0, 1)
x5 = ( 12 , 12 ) = (0, 12 , 12 )
γ5 = γ6 = γ7 = 8A/60
x6 = (0, 21 ) = ( 12 , 0, 12 )
x7 = ( 21 , 0) = ( 12 , 12 , 0)
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
215
Finite Elemente I
Einige Gauß-Formeln für das Referenzdreieck
Hier geben wir zum Vergleich nur d, m und die Lage der Knoten an.
6.1 Numerische Integration
d = 2, m = 3
d = 3, m = 4
d = 4, m = 6
d = 5, m = 7
d = 6, m = 12
d = 7, m = 13
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
216
Finite Elemente I
(Quelle: Die genauen Knoten und Gewichte sind zu finden in
G. R. Cowper: Gaussian Quadrature Formulas for Triangles. Int. J. Num.
Meth. Eng. 7 (1973) 405–408 oder im Buch von Hughes.)
Zur Kontrolle der Exaktheitsgrade (Fehlersuche) ist folgende Formel für
beliebige Dreiecke K mit Flächeninhalt A hilfreich:
Z
2A α!
2A α1 ! α2 ! α3 !
α1
α2
α3
=
.
λ1 (x ) λ2 (x ) λ3 (x ) dx =
(α
+
α
+
α
+
2)!
(|α|
+
2)!
1
2
3
K
Dabei sind λi (x ), i = 1, 2, 3, die baryzentrischen Koordinaten von x und
αi ∈ N0 .
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
217
Finite Elemente I
Quadraturformeln für Rechtecke
Bei Rechtecken werden fast ausschließlich sog. Produktformeln verwendet,
welche durch Kombination eindimensionaler Quadraturformeln resultieren:
wendet man die Formel
Z 1
m1
X
f (ξ) dξ ≈
γi f (ξi )
−1
i=1
b = [−1, 1]2 sukzessive auf
an auf ein Integral über das Referenzelement K
beide Teilintegrale an, erhält man mit
Z
1
Z
1
Z
f (ξ, η) dξdη ≈
−1
−1
m1
1 X
−1 i=1
γi f (ξi , η) dη ≈
m1
m1 X
X
γi γj f (ξi , ξj )
i=1 j=1
b mit m = m2 Knoten (ξi , ξj ) und Gewichten
eine Quadraturformel für K
1
γi γj , i, j = 1, . . . , m1 .
6.1 Numerische Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
218
Finite Elemente I
Besitzt die eindimensionale Formel Exaktheitsgrad d, so erkennt man sofort durch Einsetzen von Monomen ξ k η ` für f , dass die Produktformel alle
Polynome exakt integriert, welche in jeder Variablen höchstens Grad d haben, also genau die Polynome aus Qd .
(4) Produkt-Trapezregel, m1 = 2:
m = 4, exakt für Q1
x1 , . . . , x4 = (±1, ±1),
6.1 Numerische Integration
γ1 = · · · = γ4 = 1
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
219
Finite Elemente I
Verwendet man etwa Gauß-Legendre Formeln mit m1 Knoten, so integriert
die zugehörige Produktformel mit m21 Knoten alle Polynome in Q2m1 −1 exakt.
(5) Produkt-Gauß-Legendre Formel, m1 = 2:
m = 4, exakt für Q3
√
r = 1/ 3
x1 , . . . , x4 = (±r, ±r),
6.1 Numerische Integration
γ1 = · · · = γ4 = 1
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
220
Finite Elemente I
(6) Produkt-Gauß-Legendre Formel, m1 = 3:
m = 9, exakt für Q5
p
r = 3/5
x1 , . . . , x4 = (±r, ±r),
γ1 = · · · = γ4 = 25/81
x5 , x6 = (±r, 0)
6.1 Numerische Integration
x7 , x8 = (0, ±r),
γ5 = · · · = γ8 = 40/81
x9 = (0, 0),
γ9 = 64/81
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
221
Finite Elemente I
Es gibt aber auch Nichtproduktformeln mit weniger Knoten bei gleichem
Exaktheitsgrad: Untenstehende Formel besitzt Exaktheitsgrad d = 5 bei
m = 7 Knoten (Produkt-Gauß erfordert 9 Knoten)
(7) x1 = (0, 0)
6.1 Numerische Integration
γ1 = 2V /7
x2 , . . . , x5 = (±r, ±s)
γ2 = · · · = γ5 = 5V /36
x6 , x7 = (0, ±t),
p
r = 3/5
√
s = 1/ 3
p
t = 14/15
γ6 = γ7 = 5V /63
b
V = |K|
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
222
Finite Elemente I
6.2
Auswirkung numerischer Integration
Die entscheidende Erkenntnis hier ist, dass dieselbe Konvergenzordnung
wie im Fall exakt berechneter Integrale auch beim Einsatz von Quadraturverfahren erreicht werden kann. Selbst in dem Fall, dass nur Polynome als
Integranden auftreten, ist es nicht notwendig, dass die verwandte Quadraturformel diese exakt berechnet.
Wir legen wieder die Voraussetzungen von Abschnitt 5.2 zugrunde. Sei
V h ⊂ V eine Familie von FE-Räumen zum Grundraum V basierend
auf Zerlegungen Th . Der Einsatz von Quadraturformeln führt dazu, dass
anstelle der Variationsgleichung
a(uh , v) = `(v) ∀v ∈ V h
(6.2)
eine modifizierte Variationsgleichung gelöst wird:
ah (uh , v) = `h (v) ∀v ∈ V h .
6.2 Auswirkung numerischer Integration
(6.3)
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
223
Finite Elemente I
Dabei sind ah und `h eine Bilinear- bzw. Linearform auf V h , die durch die
Approximation der auftretenden Integrale durch Quadratur entstehen, und
die somit von Th , also h abhängen. Aufgrund der Punktauswertungen sind
beide im Allgemeinen nicht auf ganz V definiert.
Definition 6.1 Die Familie {ah : V h × V h → R} von Bilinearformen auf
V h ⊂ V heißt gleichmäßig V h -koerziv, falls es eine (von h unabhängige)
Konstante α
e > 0 gibt mit
ah (v, v) ≥ α
ekvk2
∀v ∈ V h , ∀h.
Dabei bezeichnet k · k die Norm auf V .
Gleichmäßige Koerzivität sichert damit auch die eindeutige Lösbarkeit der
diskreten Probleme.
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
224
Finite Elemente I
Mit diesem Begriff können wir ein grundlegende Verallgemeinerung des
Céa-Lemmas formulieren.
Satz 6.2 (Erstes Strang-Lemma) Ist u die Lösung des Variationsproblems
(6.2) mit koerziver und stetiger Bilinearform a und uh die Lösung des
Variationsproblems (6.3) aus einer Familie mit gleichmäßig V h -koerziven
Bilinearformen ah , so existiert eine Konstante K unabhängig von h mit
|a(v, w) − ah (v, w)|
ku − uh k ≤ K inf ku − vk + sup
kwk
v∈V h
w∈V h
|`(w) − `h (w)|
+ sup
.
kwk
w∈V h
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
225
Finite Elemente I
Bemerkung: Im Vergleich zum Céa-Lemma, treten hier zwei weitere Terme
auf der rechten Seite auf, die Konsistenzfehler der Approximationen von
a und ` durch ah und `h . Letzterer spiegelt die Approximationsgüte der
Quadraturformel wider.
Für konkrete FE-Approximationen ist also zu prüfen, ob gleichmäßige
Koerzivität vorliegt und der Konsistenzfehler für die jeweilige Bilinear- bzw.
Linearform und FE-Raum abzuschätzen.
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
226
Finite Elemente I
6.2.1
Ein Beispiel
Wir betrachten den Fall einer Randwertaufgabe (6.2) in V = H 1 (Ω) gestellt
auf einem Polygon Ω ⊂ R. Die Diskretisierung erfolge mit linearen Dreieckelementen bezüglich einer Familie Th regulärer Zerlegungen. Ferner
sei ah =
R a und die Linearform `h (v) resultiere aus der Approximation von
`(v) = Ω f v dx durch eine Quadraturformel (6.1).
Der zugehörige Fehler E(g) bei der Integration einer Funktion g auf dem
b sei gegeben durch
Referenzelement K
Z
m
X
E(g) :=
γi g(ξ i ).
g(ξ) dξ −
b
K
i=1
Die Substitutionsregel für ein beliebiges K ∈ Th liefert
Z
Z
g(x ) dx = JK
gb(ξ) dξ,
K
6.2 Auswirkung numerischer Integration
b
K
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
227
Finite Elemente I
b nach K, JK den Bewobei x = FK (ξ) die übliche affine Abbildung von K
trag der Funktionaldeterminanten von FK bezeichnen und gb(ξ) = g(x (ξ)).
(Die Dächer auf den Integranden werden im Folgenden weggelassen.)
Wir erhalten somit für v ∈ V h
`(v) =
`h (v) =
X
Z
JK
f (ξ)v(ξ) dξ,
K∈Th
b
K
X
m
X
K∈Th
JK
γi f (ξ i )v(ξ i ),
i=1
und somit
`(v) − `h (v) = (` − `h )(v) =
X
JK E(f v).
K∈Th
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
228
Finite Elemente I
Zur Abschätzung des linearen Funktionals ` − `h benötigen wir einen
Spezialfall einer Aussage, die als Bramble-Hilbert Lemma bekannt ist.
(Beweis im II. Teil der Vorlesung, in allgemeinerer Formulierung)
Satz 6.3 (Bramble-Hilbert Lemma, 1970) Ist Φ ein stetiges lineares Funktional auf H 1 (Ω), welches auf konstanten Funktionen v verschwindet, so
gibt es eine von v unabhängige Konstante C mit
|Φ(v)| ≤ C |v|1,Ω .
Hierbei bezeichnet |v|1,Ω die H 1 (Ω)-Halbnorm
Z
|v|1,Ω =
(vx2 + vy2 ) dx
1/2
.
Ω
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
229
Finite Elemente I
Unter der Annahme, dass die verwendete Quadraturformel Exaktheitsgrad
d ≥ 1 besitzt, werden konstante Funktionen exakt integriert und ` − `h
verschwindet auf konstanten Funktionen. Liegt darüberhinaus f ∈ H 1 (Ω),
so können wir Satz 6.3 anwenden und erhalten
X
JK |f v|1,Kb .
|`(v) − `h (v)| ≤ C
K∈Th
Ferner kann man zeigen, dass
|f v|1,Kb ≤ |f |1,Kb kvk0,Kb + kf k0,Kb |v|1,Kb .
Ferner ergibt sich durch Umrechnung der Ableitungen
−1/2
kf k0,Kb = JK
kf k0,K ,
−1/2
|f |1,Kb ≤ ChJK
|f |1,K
und analog für v.
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
230
Finite Elemente I
Insgesamt erhalten wir
|`(v) − `h (v)| ≤ Ch
X
|f |1,K kvk0,K + kf k0,K |v|1,K
K∈Th
≤ Ch
X
(kf k20,K
+
|f |21,K )1/2
·
(kvk20,K
+
|v|21,K )1/2
K∈Th
= Ch
X
kf k1,K kvk1,K
K∈Th
≤ Ch
X
kf k21,K
K∈Th
1/2 X
kvk21,K
1/2
K∈Th
= Chkf k1,Ω kvk1,Ω .
(Die zweite und dritte Ungleichung folgen aus der CS-Ungleichung für
Summen.)
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
231
Finite Elemente I
Somit können wir den Konsistenzfehler in Satz 6.3 abschätzen durch (hier
ist k · k = k · k1 )
|`(w) − `h (w)|
sup
≤ Chkf k1 ,
kwk1
w∈V h
der Konsistenzfehler ist also von der gleichen Ordnung wie der Diskretisierungsfehler ohne Quadraturfehler. Wir fassen zusammen:
Satz 6.4 Gilt P1 ⊂ PK für alle Elemente von V h und wird die Linearform
R
`(v) = Ω f v dx , f ∈ H 1 (Ω), im Variationsproblem (6.3) mit ah = a durch
eine Quadraturformel mit Exaktheitsgrad mindestens Null approximiert, so
gilt für die Lösung uh von (6.3)
ku − uh k1 ≤ Ch.
6.2 Auswirkung numerischer Integration
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
232
Finite Elemente I
6.3
Passende Quadraturformeln
Wir geben nun, wieder unter den Voraussetzungen von Abschnitt 5.2,
analoge Sätze an für die erforderliche Exaktheit von Quadraturverfahen,
um die optimale Konvergenzrate bei Verwendung von Elementen höherer
Ordnung zu erhalten.
Der folgende Satz ist für Dreieckelemente anwendbar.
Satz 6.5 Sei Pk ⊂ PK und die verwendete Quadraturformel besitze Exaktheitsgrad 2k − 2. Dann gilt
ku − uh k1 ≤ Chk .
6.3 Passende Quadraturformeln
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
233
Finite Elemente I
Folgende Satz ist auf Lagrange-Rechteckelemente, d.h. PK = Qk , anwendbar.
Satz 6.6 Sei Pk ⊂ PK ⊂ Qk und die verwandte Quadraturformel integriere
Polynome aus Q2k−1 exakt. Außerdem enthalte die Menge der Knoten der
Quadraturformel eine Teilmenge, die Polynome aus P2k−1 ∩ Qk eindeutig
bestimmt. Dann gilt
ku − uh k1 ≤ Chk .
6.3 Passende Quadraturformeln
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
234
Finite Elemente I
Beispiele.
k = 1: Es gilt P1 ⊂ Q1 , die Formeln (4) und (5) integrieren beide Polynome
in Q1 exakt. Ferner benutzen beide 4 Knoten, an denen Polynome vom
P1 ∩ Q1 = P1 eindeutig festgelegt werden.
k = 2: Hier müssen Polynome in Q3 exakt integriert werden, dies wird von
Formeln (5) und (6) geleistet. Wegen
P3 ∩ Q2 = span{1, ξ, η, ξ 2 , ξη, η 2 , ξ 2 η, ξη 2 }
benötigt man acht geeignete Knoten, um diese zu bestimmen. Dies geht
bei Formel (6), nicht aber bei Formel (5), die nur 4 Knoten besitzt.
6.3 Passende Quadraturformeln
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
235
Finite Elemente I
6.4
6.4.1
Randapproximation. Isoparametrische Elemente
Approximation des Gebietes durch einen Polygonzug
Zerlegt man ein krummlinig berandetes Gebiet Ω ⊂ R2 in Dreiecke, so
wird der Rand Γ = ∂Ω durch eine stückweise lineare Kurve – also einen
Polygonzug – Γh approximiert. Wir bezeichnen das Innere von Γh mit Ωh
und, unter der Annahme dass Ω konvex ist, gilt Ωh ⊂ Ω.
Γh
Γ
Ω
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
Ωh
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
236
Finite Elemente I
Wir betrachten ein elliptisches Randwertproblem im Variationsraum V =
H01 (Ω) – also homogene Dirichlet-Randbedingungen auf ganz Γ – für dessen schwache Formulierung das Lax-Milgram Lemma anwendbar sein
möge. Als Approximationsraum V h wählen wir den Raum der stückweise
linearen Funktionen bezüglich einer Triangulierung Th von Ω. Die Bedingung v = 0 auf Γ für alle v ∈ V wird approximiert durch v = 0 auf Γh für
alle v ∈ V h .
Wir setzen nun alle Funktionen aus V h , die zunächst nur auf Ωh definiert
sind, durch Null fort auf Ω \ Ωh , wodurch wir hier sogar V h ⊂ V erhalten.
Das Céa-Lemma sichert nun
ku − uh k1 ≤ C inf ku − vk1
v∈V h
und es bleibt zu untersuchen, wie gut Funktionen in V durch solche aus
V h in H 1 (Ω) approximiert werden können.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
237
Finite Elemente I
Sei Ih u ∈ V h die stückweise lineare Funktion, die u ∈ V an den Knoten
von Th interpoliert und in Ω \ Ωh verschwindet. Es gilt
Z
2
2
2
2
ku − Ih uk1 =
(u − Ih u) + [∂x (u − Ih u)] + [∂y (u − Ih u)] dx
Ω
Z
[u2 + u2x + u2y ] dx .
=ku − Ih uk21,Ωh +
Ω\Ωh
Den ersten Ausdruck können wir mit Hilfe der bisher behandelten Intepolationstheorie durch Ch abschätzen. Zur Abschätzung des zweiten Integrals nehmen wir an, die Lösung besitze die zusätzliche Regularität
u ∈ H 3 (Ω) ∩ H01 (Ω). Aufgrund des Sobolevschen Einbettungssatzes ist
dann der Integrand beschränkt und das Integral abzuschätzen durch eine
Konstante mal |Ω \ Ωh |.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
238
Finite Elemente I
Wir betrachten ein Element K ∈ Th mit einer Kante auf dem (glatten)
Randa . Legen wir ein lokales Koordinatensystem so, dass die Verbindungsstrecke der beiden Randknoten von K auf Γ parallel zur ξ-Achse liegt, so
ist die Randkurve in diesem Element parametrisiert durch
(ξ, η), η = ϕK (ξ),
α ≤ ξ ≤ β,
wobei
ϕK (α) = ϕK (β) = 0.
(6.4)
Nehmen wir an, der Rand sei stückweise C 2 , so ist ϕK zweimal stetig
differenzierbar und wegen (6.4) existiert ξ0 ∈ (α, β) mit ϕ0K (ξ0 ) = 0. (oBdA
sei ϕK dort maximal.) Taylorentwicklung liefert nun
ϕK (ξ) − ϕK (ξ0 ) =
ϕ0K (ξ0 )(ξ
| {z }
ϕ00K (ζ)
− ξ0 ) +
(ξ − ξ0 )2 ,
2
ζ ∈ (α, β).
=0
a Ist
der Rand nur stückweise glatt, so muss man Knoten jeweils in die Ecken“ von Γ legen.
”
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
239
Finite Elemente I
Bezeichnet dK den größten Abstand zwischen Γ und Γh in K und `K die
Länge von Γh ∩ K, so folgt hieraus
dK = max |ϕK (ξ) − ϕK (ξ0 )| ≤ C1 `2K ,
ξ∈[α,β]
C1 :=
00
1
max
|ϕ
K (ξ)|
2 ξ∈[α,β]
.
Damit ergibt sich als Abschätzung für den Inhalt |Ω \ Ωh ∩ K|
|Ω \ Ωh ∩ K| ≤ C1 `3K .
Die Anzahl n der Elemente, die Γ schneiden, ist beschränkt durch
`(Γ)
n≤
,
`min
`min := min `K ,
K∩Γ6=∅
mit `(Γ) die Länge von Γ, sodass
|Ω \ Ωh | ≤
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
C1 `(Γ) 3
`max ,
`min
`max = max `K .
K∩Γ6=∅
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
240
Finite Elemente I
Unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass `max /`min nach unten (gleichmäßig in h) beschränkt ist, folgt insgesamt
|Ω \ Ωh | ≤ Ch2 .
Obige Voraussetzung an die Kantenlängen längs Γh ist z.B. erfüllt für sog.
uniforme Trangulierungen.
Definition 6.7 Eine familie von Triangulierungen {Th } heißt uniform, falls
sie regulär ist und zusätzlich für jedes Element K ∈ Th gilt
h
≤σ
hK
mit einer Konstanten σ > 0 unabhängig von h gilt.
Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass der Inkreisradius des Elementes
nach unten beschränkt ist durch ch mit einer Konstanten c
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
241
Finite Elemente I
Satz 6.8 Gegeben sei ein elliptisches Randwertproblem zweiter Ordnung,
welches die Voraussetzungen des Lax-Milgram Lemmas erfüllt, auf einem
beschränkten, konvexen, stückweise glatten Gebiet Ω ⊂ R2 mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen. Approximiert man Ω durch ein eingeschriebenes Polygon Ωh , welches zu einer uniformen Triangulierung Th
von Ω gehört, so gilt für die FE-Approximation der Lösung mittels stetiger
stückweise linearer Elemente bezüglich Ωh die Abschätzung
ku − uh k1,Ω ≤ Ch.
Bemerkung: In diesem Fall macht sich die die Verwendung von Ωh anstelle
von Ω bei der Konvergenzordnung nicht bemerkbar. Man kann zeigen, dass
bei der Verwendung quadratischer Dreieckelemente nur eine Abschäzung
ku − uh k1,Ω ≤ Ch3/2
gilt, anstelle von h2 bei polygonalem Grundgebiet. Hier bringt die Erhöhung
des Polynomgrades also weniger.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
242
Finite Elemente I
6.4.2
Isoparametrische Elemente
Eine Möglichkeit, die Randapproximation zu verbessern und dadurch den
Ordnungsverlust bei Elementen mit höheren Polynomgraden zu vermeiden,
besteht darin, anstelle von affinen Gebietstransformationen vom Referenzb ins Gebietselement K auch kompliziertere zuzulassen.
element K
b P b , Ψ b ) ein Referenzelement und F : K
b → K eine Bijektion, so
Ist (K,
K
K
lassen sich wie bei der Definition affiner Äquivalenz ein durch F induzierter
b
Funktionenraum PK und zugehörige Freiheitsgrade ΨK auf K = F (K)
b etwa ist K im Allgemeinen ein Dreidefinieren. Bei Dreieckelementen K
eck mit gekrümmten Kanten. Ferner sind, auch wenn PKb aus Polynomen
besteht, die Funktionen in PK keine Polynome mehr.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
243
Finite Elemente I
Die Klasse der isoparametrischen finiten Elemente erhält man in dem Fall,
dass die Komponentenfunktionen f1 , f2 der Gebietsabbildung
" # "
#
x
f1 (ξ, η)
b
F : K → K,
ξ 7→ x = F (ξ), x =
=
y
f2 (ξ, η)
selbst Funktionen aus PKb sind. Der Name rührt daher, dass die Parameb durch Funktionen
trisierung des Gebietselementes K bezüglich (ξ, η) ∈ K
aus dem lokalen Funktionenraum geschieht.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
244
Finite Elemente I
Beispiel 1: Im Fall affin äquivalenter linearer Dreieckelemente ist die Gebietsabbildung gegeben durch x = BK ξ + bK , genauer
" # "
# "
#" # " #
x
f1 (ξ, η)
x2 − x1 x3 − x1 ξ
x1
=
=
+
,
y
f2 (ξ, η)
y2 − y 1 y 3 − y1 η
y1
oder umgeschrieben
"
# " #
" #
" #
f1 (ξ, η)
x1
x2
x2
=
(1 − ξ − η) +
ξ+
η = x1 φb1 + x2 φb2 + x3 φb3
f2 (ξ, η)
y1
y2
y2
mit den nodalen Basisfunktionen φbj , j = 1, 2, 3 der Referenzelements. Insbesondere ist f1 , f2 ∈ P1 und lineare Dreieckelemente somit bereits ein
Spezialfall isoparametrischer Elemente. Dasselbe gilt für bilineare Viereckelemente.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
245
Finite Elemente I
b P b , Ψ b ) das quadratische Dreieck-Referenzelement.
Beispiel 2: Sei (K,
K
K
Wie in Abschnitt 4.2.2 gezeigt sind die nodalen Basisfunktionen gegeben
bezüglich der baryzentrischen Koordinaten durch
φb1 (ξ) = λ1 (ξ)(2λ1 (ξ) − 1),
φb4 (ξ) = 4λ1 (ξ)λ2 (ξ),
φb2 (ξ) = λ2 (ξ)(2λ2 (ξ) − 1),
φb5 (ξ) = 4λ2 (ξ)λ3 (ξ),
φb3 (ξ) = λ3 (ξ)(2λ3 (ξ) − 1),
φb6 (ξ) = 4λ3 (ξ)λ1 (ξ).
Wir betrachten nun die sechs Knoten x1 , . . . , x6 wie in der folgenden Abbildung skizziert. Dabei liegen alle Knoten bis auf x5 auf dem Rand des
Dreiecks mit Ecken x1 , x2 , x3 , und x5 liegt leicht oberhalb des Mittelpunktes
von x2 und x3 .
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
246
Finite Elemente I
x5
x3
x2
x
x6
x4
b
K = F (K)
ξ3
x1
b
K
ξ5
ξ6
ξ
ξ1
ξ4
ξ2
Gebietsabbildung bei isoparametrischem Dreieckelement der Ordnung 2
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
247
Finite Elemente I
b unter der
Das Elementgebiet K wird nun definiert als das Bild von K
Abbildung
"
#
6
X
f1 (ξ)
F (ξ) =
=
xj φbj (ξ).
f2 (ξ)
j=1
Wir erkennen sofort:
• f1 (ξ), f2 (ξ) ∈ PKb = P2 ,
• xj = F (ξ j ), j = 1, . . . , 6.
Die Basisfunktionen in PK sind gegeben durch
φj (x ) = φbj (F −1 (x )),
j = 1, . . . , 6
und die Freiheitsgrade durch die Funktionswerte an den Knoten xj = F (ξ j ),
j = 1, . . . , 6.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
248
Finite Elemente I
Wir betrachten zum Schluß noch kurz folgende Fragen:
(a) Wann ist die Abbildung F bijektiv?
(b) Wie werden die Elementintegrale bezüglich der krummlinigen Elemente berechnet?
(c) Was sind die Interpolationseigenschaften der Funktionen in PK ?
(d) Wie kann man aus den Elementen (K, PK , ΨK ) einen FE-Raum stetiger Funktionen konstruieren? Wie verhält sich der globale Fehler?
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
249
Finite Elemente I
(a) Bijektivität von F
F ist sicher lokal umkehrbar, falls
"
b
det F 0 (ξ) 6= 0 ∀ξ ∈ K,
J(ξ) =
∂f1
∂ξ
∂f2
∂ξ
∂f1
∂η
∂f2
∂η
#
.
Dies ist aber nur ein notwendiges, kein hinreichendes Kriterium für Bijektivität. Man kann jedoch zeigen, dass, da hier alle drei Randkurven bijektiv
aufeinander abgebildet werden, das Nichtverschwinden der Funktionaldeterminanten auch hinreichend ist.
Kriterien für det F 0 6= 0 lassen sich anhand der Knotenlage herleiten:
man kann zeigen, dass dies immer dann gesichert ist, wenn die sechs
Knoten von K nur leicht von den affinen Bildern von ξ 1 , . . . , ξ 6 abweichen.
Typischerweise beläßt man die Kanten im Inneren des Gebietes gerade
und verschiebt die Knoten nur zur Randapproximation.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
250
Finite Elemente I
(b) Berechnung der Elementintegrale
Betrachten wir als Beispiel den Laplace-Operator, so sind die Integrale
Z
aK (φj , φi ) =
∇φi · ∇φj dx , i, j = 1, . . . , 6
K
zu berechnen. Die Kettenregel liefert nun
∂ φbj ∂ξ
∂φj
∂ b
∂ φbj ∂η
φj (ξ(x )) =
=
+
∂x
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
(analog für ∂y ), sodass
"
∇x φj = J −> ∇ξ φbj ,
J −> =
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η
∂x
∂η
∂y
#
.
(J −> ist die Transponierte der Funktionalmatrix von F −1 .)
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
251
Finite Elemente I
Damit lautet das transformierte Integral
Z
aK (φj , φi ) =
(J −> ∇φbi ) · (J −> ∇φbj ) | det J| dξ.
b
K
Wie im nicht-isoparametrischen Fall kann die Integration also auf das
Referenzelement zurückgeführt werden. Die Integranden sind hier im Allgemeinen rationale Funktionen von ξ, also kaum exakt zu integrieren. Hier
werden wieder passende Quadraturformeln eingesetzt.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
252
Finite Elemente I
(c) Interpolationseigenschaften
Die Interpolationseigenschaften für das nicht-isoparametrische quadratische Dreieckelement sind charakterisiert durch
ku − IK uks,K ≤ Chr−s
K kukr,K ,
0 ≤ r, s ≤ 3,
und dies liefert analog zum Konvergenzbeweis im linearen Fall zusammen
mit dem Céa-Lemma die Fehlerordnung h2 bezüglich der H 1 -Norm.
Wie bei der Bijektivitätsfrage läßt sich hier zeigen, dass die obigen Interpolationseigenschaften auch beim isoparametrischen Element gelten, sofern
die Knoten nicht allzuweit von deren affinen Lage entfernt liegen.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
253
Finite Elemente I
(d) Globaler FE-Raum V h
Sei Th = {K} eine Triangulierung von Ω bestehend aus isoparametrischen Elementen (K, PK , ΨK ), d.h. die Teilgebiete K der Zerlegung sind
Dreiecke“ mit einer oder mehreren krummlinigen Kanten. Das Gebiet
”
Ωh := ∪K∈Th ist dann eine Approximation an Ω mit stückweise quadratischem Rand. (Auch gekrümmte Elemente im Inneren stoßen passend
aufeinander, es gibt keine Löcher oder Überlappungen. Warum?)
Wir definieren nun
V h := {v ∈ H 1 (Ωh ) : v|K ∈ PK , K ∈ Th }.
Man sieht sofort, dass übereinstimmende Funktionswerte an den Knoten
zu stetigen Übergängen an Elementgrenzen führen, diese können also
wieder als globale Freiheitsgrade verwendet werden.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006
254
Finite Elemente I
Diskretisiert man mit diesem FE-Raum z.B. die Poissongleichung, so ergeben sich die optimalen Fehlerabschätzungen
ku − uh k1,Ωh ≤ Ch2 kuk3,Ω ,
ku − uh k0,Ωh ≤ Ch3 kuk3,Ω .
Entscheidend: Durch die Verwendung isoparametrischer FE in Verbindung mit Quadraturformeln ist auch bei krummlinig berandeten Gebieten
die optimale Konvergenzordung erreichbar.
6.4 Randapproximation. Isoparametrische Elemente
TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006