e I i - HTL Wien 10
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Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik Teilübung: Kondensator Lade-Entladevorgänge Gruppenteilnehmer: Rajinovic, Pacar Abgabedatum: 23.02.2006 Rajinovic, Pacar Inhaltsverzeichnis 2HEA INHALTSVERZEICHNIS 1. 2. Aufgabenstellung.............................................................................................................. 2 Theorie............................................................................................................................... 2 2.1 Einschalten des Kondensators................................................................................. 2 2.2 Maschengesetz: ......................................................................................................... 2 2.3 Ausschalten des Kondensators................................................................................ 3 2.4 Parallelschaltung von Kondensatoren.................................................................... 3 2.5 Serienschaltung von Kondensatoren ...................................................................... 3 3. Messdurchführung ........................................................................................................... 4 4. Messschaltung................................................................................................................... 4 5. Berechnung ....................................................................................................................... 4 5.1 Einschalten des Kondensators................................................................................. 4 5.2 Ausschalten des Kondensators................................................................................ 5 5.3 Parallelschaltung von Kondensatoren.................................................................... 5 5.4 Serienschaltung von Kondensatoren ...................................................................... 5 6. Tabelle ............................................................................................................................... 6 7. Diagramme........................................................................................................................ 7 7.1 Simulation des Einschaltvorganges mit PSPICE .................................................. 7 7.2 Gemessene und berechnete Ladespannung beim Einschalten............................ 8 8. Diskussion ......................................................................................................................... 8 24.02.2006 Seite 1 Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 2HEA Kondensator Lade- Entladevorgänge 1. Aufgabenstellung Berechnung des Spannungsverlaufes und des Stromverlaufes beim Ein- und Ausschalten des Kondensators und Kontrolle der geltenden Formeln. 2. Theorie 2.1 Einschalten des Kondensators Energie und damit Spannung des Kondensators kann sich nicht sprunghaft ändern. Der Strom lädt den Kondensator auf. Die Spannung am Kondensator steigt bis sie der Quellspannung gleich ist, während der Strom langsam sinkt. Die Spannung am Kondensator steigt mit einer e-Funktion und der Strom sinkt mit einer e-Funktion. Praktisch beträgt die Ladezeit 5τΕ (Zeitkonstante). τE errechnet sich, in dem man den Widerstand mal der Kapazität des Kondensators multipliziert. Die Kurve ist eine e-Funktion. Bei Parallelschaltung von zwei gleich große Kondensatoren verdoppelt sich die Ladezeit (Zeitkonstante). Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Einschalten siehe Tabelle 1. Tabelle 1: Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Einschalten t [s] τΕ 3τΕ 5τE Uc/Uo [%] 63 95 ~100 Ic/Imax [%] 37 5 ~0 Abbildung 1: Ladevorgang beim Einschalten Daher gelten die folgenden Formeln beim Einschalten:1 τ E = RE ⋅ C i = I max ⋅ e t = 5τ E ⇒ i = I max ⋅ e 2.2 − − t τE u c = U 0 ⋅ (1 − e 5τ E τE = I max ⋅ e−5 = I´max ⋅ 0,0067 ≈ 0 Maschengesetz: u R + u C − U 0 = 0 ⇒ u C = U 0 ⋅ u R = U0 − U0 ⋅ e u R = i ⋅ R E = I max ⋅ e 1 − − t τE t − t τE t − − U ⋅ RE = 0 ⋅ e τ E ⋅ RE = U 0 ⋅ e τ E RE Die genaue Herleitung der Formeln erfolgt über Differenzialgleichungen. 24.02.2006 Seite 2 t τE ) Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 2HEA 2.3 Ausschalten des Kondensators Beim Ausschalten sinkt die Spannung am Kondensator, der Strom springt auf Imax, aber negativ. Strom und Spannung sinken mit einer e-Funktion auf 0 nach 5τA. Da die Spannung mit einer e-Funktion sinkt, kann man die gleiche Formeln, wie von iC beim Einschalten verwenden und bei iC beim Ausschalten kann man auch dieselbe Formel verwenden nur muss ein Minus vorne anhängen, weil der Verlauf gleich ist nur negativ. Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Ausschalten siehe 7 Tabelle 2. Tabelle 2: Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Ausschalten t [s] Uc/Uo [%] Ic/Uo [%] τΕ 3τΕ 37 5 37 5 5τE ~0 ~0 Daher kommt man auf die folgenden Formeln beim Ausschalten: uC = U 0 ⋅ e − t τA i C = − I max ⋅ e − t τA τ A = RA ⋅ C Abbildung 2: Entladevorgang eines Kondensators Das C kann aus einer Parallelschaltung oder Serienschaltung ermittelt werden, wobei das τ bei der Parallelschaltung von gleichen Kondensatoren verdoppelt und bei der Serienschaltung halbiert wird 2.4 Parallelschaltung von Kondensatoren Bei Parallelschaltung von zwei Kondensatoren addieren sich die zwei Kapazitäten. Q ges = Q1 + Q2 ⇒ C ges ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U ⇒ C ges = C1 + C 2 2.5 Serienschaltung von Kondensatoren Bei Serienschaltung von zwei Kondensatoren gelten folgende Formeln: 1 1 1 Q Q Q ⇒ = + Q = U ⋅C ⇒ U = ⇒ = C ges C1 C 2 C C ges C1 + C 2 24.02.2006 Seite 3 Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 2HEA 3. Messdurchführung Für die Messdurchführung haben wir einen einstellbaren Kondensator (Dekade) und einen einstellbaren Widerstand in Serie geschaltet und mittels eines Oszilloskops die Schwingungen dargestellt und die Zeitkonstante (τ) abgelesen. Dabei muss beachtet werden, dass man vor den Kondensator einen Widerstand schaltet, weil sonst ein unendlicher hoher Strom (theoretisch) auf den Kondensator gelangen würde und damit der Kondensator oder ein anderes Bauelement (z.B. Messgeräte) kaputt gehen könnte. 4. Messschaltung Abbildung 3: Schaltung FG...Funktionsgenerator V3... Oszilloskop 5. Berechnung 5.1 Einschalten des Kondensators U0= 6V RE= 5kΩ C= 0,2µF τ E = R E ⋅ C = 5k ⋅ 0,2µ = 1 ms I max = Bei t = τΕ erhält man: i = I max ⋅ e − τE τE = 1,2m ⋅ e −1 = 0,44 mA u c = U 0 ⋅ (1 − e − τE τE ) = 6 ⋅ (1 − e −1 ) = 3,79 V Bei t = 3τΕ erhält man: i = I max ⋅ e − 3τ E τE = 1,2m ⋅ e −3 = 59,7µA u c = U 0 ⋅ (1 − e − 3τ E τE ) = 6 ⋅ (1 − e −3 ) = 5,7 V Bei t = 5τΕ erhält man: i = I max ⋅ e − 5τ E τE = 1,2m⋅ e −5 = 0 A u c = U 0 ⋅ (1 − e 24.02.2006 − 5τ E τE ) = 6 ⋅ (1 − e −5 ) = 6 V Seite 4 U0 6 = = 1,2 mA R E 5k Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 5.2 Ausschalten des Kondensators U0= 6V RA= 5kΩ C= 0,2µF τ E = R A ⋅ C = 5k ⋅ 0,2µ = 1 ms I max = Bei t = τΑ erhält man: i = −I max ⋅ e τA τA − uC = U 0 ⋅ e − = −1,2m ⋅ e−1 = −0,44 mA τA τA = 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V Bei t = 3τΑ erhält man: i = −I max ⋅ e − 3τ A τA uC = U 0 ⋅ e − = 1−,2m ⋅ e−3 = −59,7 µA τA τA = 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V Bei t = 5τΑ erhält man: i = −I max ⋅ e − uC = U 0 ⋅ e 5.3 5τ A τA − τA τA = −1,2m ⋅ e−5 = 0A = 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V Parallelschaltung von Kondensatoren C1= 0,2 µF C2= 0,2 µF R= 5 kΩ C ges = C1 + C 2 = 0,2 µ + 0,2 µ = 0,4 µF τ = R ⋅ C ges = 5k ⋅ 0,4µ = 2 ms τ wird verdoppelt! 5.4 Serienschaltung von Kondensatoren C1= 0,2 µF C2= 0,2 µF R= 5 kΩ 1 1 1 1 1 = + = + = 0,1 µF C ges C1 C 2 0,2µ 0,2µ τ = R ⋅ C ges = 5k ⋅ 0,1µ = 0,5 ms τ wird halbiert! 6. 24.02.2006 Seite 5 U0 6 = = 1,2 mA R A 5k 2HEA Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 2HEA Tabelle Tabelle 3: Gerechnete und gemessene Werte beim Einschalten t [ms] 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 24.02.2006 uc(gemessen) uc(gerechnet) [V] [V] 0 0,0000 0,5710 1,0876 1,5551 1,9781 2,44 2,3608 2,7071 3,0205 3,3040 3,5606 4,08 3,7927 4,0028 4,1928 4,3648 4,5204 4,6612 4,7886 4,9039 5,0082 5,1026 5,28 5,1880 5,2653 5,3352 5,3984 5,4557 5,56 5,5075 5,5544 5,5968 5,6351 5,6699 5,7013 5,7297 5,7554 5,7787 5,7998 5,8188 5,8361 5,8517 5,8658 5,8785 5,8901 5,9006 5,9100 5,9186 5,9263 5,9333 5,9397 5,9454 5,9506 5,9553 6 5,9596 Seite 6 ur [V] 6,0000 5,4290 4,9124 4,4449 4,0219 3,6392 3,2929 2,9795 2,6960 2,4394 2,2073 1,9972 1,8072 1,6352 1,4796 1,3388 1,2114 1,0961 0,9918 0,8974 0,8120 0,7347 0,6648 0,6016 0,5443 0,4925 0,4456 0,4032 0,3649 0,3301 0,2987 0,2703 0,2446 0,2213 0,2002 0,1812 0,1639 0,1483 0,1342 0,1215 0,1099 0,0994 0,0900 0,0814 0,0737 0,0667 0,0603 0,0546 0,0494 0,0447 0,0404 i [mA] 1,2000 1,0858 0,9825 0,8890 0,8044 0,7278 0,6586 0,5959 0,5392 0,4879 0,4415 0,3994 0,3614 0,3270 0,2959 0,2678 0,2423 0,2192 0,1984 0,1795 0,1624 0,1469 0,1330 0,1203 0,1089 0,0985 0,0891 0,0806 0,0730 0,0660 0,0597 0,0541 0,0489 0,0443 0,0400 0,0362 0,0328 0,0297 0,0268 0,0243 0,0220 0,0199 0,0180 0,0163 0,0147 0,0133 0,0121 0,0109 0,0099 0,0089 0,0081 Rajinovic, Pacar, Bajkic Kondensator Lade- Entladevorgänge 7. Diagramme 7.1 Simulation des Einschaltvorganges mit PSPICE Abbildung 4: Simulierte Schaltung Abbildung 5: SimulierteWerte In der Abbildung 5 sieht man das Verhalten von der Kondensatorspannung und dem Kondensatorstrom bei jedem τΕ mit den genauen Werten. 24.02.2006 Seite 7 2HEA Rajinovic, Pacar, Bajkic 7.2 Kondensator Lade- Entladevorgänge 2HEA Berechnung des Einschaltvorganges mit Excel Abbildung 6: Berechnete Werte mit Excel Der Vergleich der Abbildung 5 und Abbildung 6 zeigen, dass der qualitative Verlauf der Kurven von der Kondensatorspannung und des Stromes identisch sind. 7.3 Gemessene und berechnete Ladespannung beim Einschalten Abbildung 7: Vergleich berechnete und gemessene Ladespannung Durch die Abbildung 7 geht heraus, dass die Messung sehr genau war bis auf kleinste Abweichungen, da die Kurven annährend übereinander liegen. 8. Diskussion Da die gerechneten, gemessenen und simulierten Werte sehr gut übereinstimmen, ist die Richtigkeit der Formeln nachgewiesen. Der Kondensator ist aufgeladen (nach 5τ), wenn die Quellspannung gleich ist wie die Kondensatorspannung, was mit der Abbildung 5, Abbildung 6, Abbildung 7 bewiesen wäre. Aus den ganzen Diagrammen erkennt man, dass die Spannung oder der Strom mit einer e-Funktion immer sinkt oder ansteigt, daraus lässt sich schließen das man immer nur die selben Formeln verwenden nur mit andern Größen beim ein- und ausschalten. Wenn man zwei Kondensatoren parallel schaltet verdoppelt sich τ und bei einen Serienschaltung verringert sich die Konstante um die Hälfe, als wenn man nur einen Kondensator schalten würde. 24.02.2006 Seite 8
