e I i - HTL Wien 10

Projekt 2HEA 2005/06
Formelzettel Elektrotechnik
Teilübung: Kondensator Lade-Entladevorgänge
Gruppenteilnehmer: Rajinovic, Pacar
Abgabedatum: 23.02.2006
Rajinovic, Pacar
Inhaltsverzeichnis
2HEA
INHALTSVERZEICHNIS
1.
2.
Aufgabenstellung.............................................................................................................. 2
Theorie............................................................................................................................... 2
2.1
Einschalten des Kondensators................................................................................. 2
2.2
Maschengesetz: ......................................................................................................... 2
2.3
Ausschalten des Kondensators................................................................................ 3
2.4
Parallelschaltung von Kondensatoren.................................................................... 3
2.5
Serienschaltung von Kondensatoren ...................................................................... 3
3. Messdurchführung ........................................................................................................... 4
4. Messschaltung................................................................................................................... 4
5. Berechnung ....................................................................................................................... 4
5.1
Einschalten des Kondensators................................................................................. 4
5.2
Ausschalten des Kondensators................................................................................ 5
5.3
Parallelschaltung von Kondensatoren.................................................................... 5
5.4
Serienschaltung von Kondensatoren ...................................................................... 5
6. Tabelle ............................................................................................................................... 6
7. Diagramme........................................................................................................................ 7
7.1
Simulation des Einschaltvorganges mit PSPICE .................................................. 7
7.2
Gemessene und berechnete Ladespannung beim Einschalten............................ 8
8. Diskussion ......................................................................................................................... 8
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Rajinovic, Pacar, Bajkic
Kondensator Lade- Entladevorgänge
2HEA
Kondensator Lade- Entladevorgänge
1. Aufgabenstellung
Berechnung des Spannungsverlaufes und des Stromverlaufes beim Ein- und Ausschalten des
Kondensators und Kontrolle der geltenden Formeln.
2. Theorie
2.1
Einschalten des Kondensators
Energie und damit Spannung des Kondensators kann sich nicht sprunghaft ändern. Der Strom
lädt den Kondensator auf. Die Spannung am Kondensator steigt bis sie der Quellspannung
gleich ist, während der Strom langsam sinkt. Die Spannung am Kondensator steigt mit einer
e-Funktion und der Strom sinkt mit einer e-Funktion. Praktisch beträgt die Ladezeit
5τΕ (Zeitkonstante). τE errechnet sich, in dem man den Widerstand mal der Kapazität des
Kondensators multipliziert. Die Kurve ist eine e-Funktion. Bei Parallelschaltung von zwei
gleich große Kondensatoren verdoppelt sich die Ladezeit (Zeitkonstante). Verhalten von
Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Einschalten siehe Tabelle 1.
Tabelle 1: Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Einschalten
t
[s]
τΕ
3τΕ
5τE
Uc/Uo
[%]
63
95
~100
Ic/Imax
[%]
37
5
~0
Abbildung 1: Ladevorgang beim Einschalten
Daher gelten die folgenden Formeln beim Einschalten:1
τ E = RE ⋅ C
i = I max ⋅ e
t = 5τ E ⇒ i = I max ⋅ e
2.2
−
−
t
τE
u c = U 0 ⋅ (1 − e
5τ E
τE
= I max ⋅ e−5 = I´max ⋅ 0,0067 ≈ 0
Maschengesetz:
u R + u C − U 0 = 0 ⇒ u C = U 0 ⋅ u R = U0 − U0 ⋅ e
u R = i ⋅ R E = I max ⋅ e
1
−
−
t
τE
t
−
t
τE
t
−
−
U
⋅ RE = 0 ⋅ e τ E ⋅ RE = U 0 ⋅ e τ E
RE
Die genaue Herleitung der Formeln erfolgt über Differenzialgleichungen.
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t
τE
)
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Kondensator Lade- Entladevorgänge
2HEA
2.3 Ausschalten des Kondensators
Beim Ausschalten sinkt die Spannung am Kondensator, der Strom springt auf Imax, aber
negativ. Strom und Spannung sinken mit einer e-Funktion auf 0 nach 5τA. Da die Spannung
mit einer e-Funktion sinkt, kann man die gleiche Formeln, wie von iC beim Einschalten
verwenden und bei iC beim Ausschalten kann man auch dieselbe Formel verwenden nur muss
ein Minus vorne anhängen, weil der Verlauf gleich ist nur negativ. Verhalten von
Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Ausschalten siehe 7 Tabelle 2.
Tabelle 2: Verhalten von Kondensatorspannung und Kondensatorstrom beim Ausschalten
t
[s]
Uc/Uo
[%]
Ic/Uo
[%]
τΕ
3τΕ
37
5
37
5
5τE
~0
~0
Daher kommt man auf die folgenden Formeln beim Ausschalten:
uC = U 0 ⋅ e
−
t
τA
i C = − I max ⋅ e
−
t
τA
τ A = RA ⋅ C
Abbildung 2: Entladevorgang eines Kondensators
Das C kann aus einer Parallelschaltung oder Serienschaltung ermittelt werden, wobei das τ
bei der Parallelschaltung von gleichen Kondensatoren verdoppelt und bei der Serienschaltung
halbiert wird
2.4 Parallelschaltung von Kondensatoren
Bei Parallelschaltung von zwei Kondensatoren addieren sich die zwei Kapazitäten.
Q ges = Q1 + Q2 ⇒ C ges ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U ⇒ C ges = C1 + C 2
2.5 Serienschaltung von Kondensatoren
Bei Serienschaltung von zwei Kondensatoren gelten folgende Formeln:
1
1
1
Q
Q
Q
⇒
=
+
Q = U ⋅C ⇒ U = ⇒
=
C ges C1 C 2
C
C ges C1 + C 2
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Rajinovic, Pacar, Bajkic
Kondensator Lade- Entladevorgänge
2HEA
3. Messdurchführung
Für die Messdurchführung haben wir einen einstellbaren Kondensator (Dekade) und einen
einstellbaren Widerstand in Serie geschaltet und mittels eines Oszilloskops die Schwingungen
dargestellt und die Zeitkonstante (τ) abgelesen. Dabei muss beachtet werden, dass man vor
den Kondensator einen Widerstand schaltet, weil sonst ein unendlicher hoher Strom
(theoretisch) auf den Kondensator gelangen würde und damit der Kondensator oder ein
anderes Bauelement (z.B. Messgeräte) kaputt gehen könnte.
4. Messschaltung
Abbildung 3: Schaltung
FG...Funktionsgenerator
V3... Oszilloskop
5. Berechnung
5.1 Einschalten des Kondensators
U0= 6V
RE= 5kΩ
C= 0,2µF
τ E = R E ⋅ C = 5k ⋅ 0,2µ = 1 ms
I max =
Bei t = τΕ erhält man:
i = I max ⋅ e
−
τE
τE
= 1,2m ⋅ e −1 = 0,44 mA
u c = U 0 ⋅ (1 − e
−
τE
τE
) = 6 ⋅ (1 − e −1 ) = 3,79 V
Bei t = 3τΕ erhält man:
i = I max ⋅ e
−
3τ E
τE
= 1,2m ⋅ e −3 = 59,7µA
u c = U 0 ⋅ (1 − e
−
3τ E
τE
) = 6 ⋅ (1 − e −3 ) = 5,7 V
Bei t = 5τΕ erhält man:
i = I max ⋅ e
−
5τ E
τE
= 1,2m⋅ e −5 = 0 A
u c = U 0 ⋅ (1 − e
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−
5τ E
τE
) = 6 ⋅ (1 − e −5 ) = 6 V
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U0
6
=
= 1,2 mA
R E 5k
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Kondensator Lade- Entladevorgänge
5.2 Ausschalten des Kondensators
U0= 6V
RA= 5kΩ
C= 0,2µF
τ E = R A ⋅ C = 5k ⋅ 0,2µ = 1 ms
I max =
Bei t = τΑ erhält man:
i = −I max ⋅ e
τA
τA
−
uC = U 0 ⋅ e
−
= −1,2m ⋅ e−1 = −0,44 mA
τA
τA
= 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V
Bei t = 3τΑ erhält man:
i = −I max ⋅ e
−
3τ A
τA
uC = U 0 ⋅ e
−
= 1−,2m ⋅ e−3 = −59,7 µA
τA
τA
= 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V
Bei t = 5τΑ erhält man:
i = −I max ⋅ e
−
uC = U 0 ⋅ e
5.3
5τ A
τA
−
τA
τA
= −1,2m ⋅ e−5 = 0A
= 6 ⋅ e −1 = 2 , 2 V
Parallelschaltung von Kondensatoren
C1= 0,2 µF
C2= 0,2 µF
R= 5 kΩ
C ges = C1 + C 2 = 0,2 µ + 0,2 µ = 0,4 µF
τ = R ⋅ C ges = 5k ⋅ 0,4µ = 2 ms
τ wird verdoppelt!
5.4
Serienschaltung von Kondensatoren
C1= 0,2 µF
C2= 0,2 µF
R= 5 kΩ
1
1
1
1
1
=
+
=
+
= 0,1 µF
C ges C1 C 2 0,2µ 0,2µ
τ = R ⋅ C ges = 5k ⋅ 0,1µ = 0,5 ms
τ wird halbiert!
6.
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U0
6
=
= 1,2 mA
R A 5k
2HEA
Rajinovic, Pacar, Bajkic
Kondensator Lade- Entladevorgänge
2HEA
Tabelle
Tabelle 3: Gerechnete und gemessene Werte beim Einschalten
t
[ms]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5
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uc(gemessen) uc(gerechnet)
[V]
[V]
0
0,0000
0,5710
1,0876
1,5551
1,9781
2,44
2,3608
2,7071
3,0205
3,3040
3,5606
4,08
3,7927
4,0028
4,1928
4,3648
4,5204
4,6612
4,7886
4,9039
5,0082
5,1026
5,28
5,1880
5,2653
5,3352
5,3984
5,4557
5,56
5,5075
5,5544
5,5968
5,6351
5,6699
5,7013
5,7297
5,7554
5,7787
5,7998
5,8188
5,8361
5,8517
5,8658
5,8785
5,8901
5,9006
5,9100
5,9186
5,9263
5,9333
5,9397
5,9454
5,9506
5,9553
6
5,9596
Seite 6
ur
[V]
6,0000
5,4290
4,9124
4,4449
4,0219
3,6392
3,2929
2,9795
2,6960
2,4394
2,2073
1,9972
1,8072
1,6352
1,4796
1,3388
1,2114
1,0961
0,9918
0,8974
0,8120
0,7347
0,6648
0,6016
0,5443
0,4925
0,4456
0,4032
0,3649
0,3301
0,2987
0,2703
0,2446
0,2213
0,2002
0,1812
0,1639
0,1483
0,1342
0,1215
0,1099
0,0994
0,0900
0,0814
0,0737
0,0667
0,0603
0,0546
0,0494
0,0447
0,0404
i
[mA]
1,2000
1,0858
0,9825
0,8890
0,8044
0,7278
0,6586
0,5959
0,5392
0,4879
0,4415
0,3994
0,3614
0,3270
0,2959
0,2678
0,2423
0,2192
0,1984
0,1795
0,1624
0,1469
0,1330
0,1203
0,1089
0,0985
0,0891
0,0806
0,0730
0,0660
0,0597
0,0541
0,0489
0,0443
0,0400
0,0362
0,0328
0,0297
0,0268
0,0243
0,0220
0,0199
0,0180
0,0163
0,0147
0,0133
0,0121
0,0109
0,0099
0,0089
0,0081
Rajinovic, Pacar, Bajkic
Kondensator Lade- Entladevorgänge
7. Diagramme
7.1
Simulation des Einschaltvorganges mit PSPICE
Abbildung 4: Simulierte Schaltung
Abbildung 5: SimulierteWerte
In der Abbildung 5 sieht man das Verhalten von der Kondensatorspannung und dem
Kondensatorstrom bei jedem τΕ mit den genauen Werten.
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2HEA
Rajinovic, Pacar, Bajkic
7.2
Kondensator Lade- Entladevorgänge
2HEA
Berechnung des Einschaltvorganges mit Excel
Abbildung 6: Berechnete Werte mit Excel
Der Vergleich der Abbildung 5 und Abbildung 6 zeigen, dass der qualitative Verlauf der
Kurven von der Kondensatorspannung und des Stromes identisch sind.
7.3
Gemessene und berechnete Ladespannung beim Einschalten
Abbildung 7: Vergleich berechnete und gemessene Ladespannung
Durch die Abbildung 7 geht heraus, dass die Messung sehr genau war bis auf kleinste
Abweichungen, da die Kurven annährend übereinander liegen.
8. Diskussion
Da die gerechneten, gemessenen und simulierten Werte sehr gut übereinstimmen, ist die
Richtigkeit der Formeln nachgewiesen. Der Kondensator ist aufgeladen (nach 5τ), wenn die
Quellspannung gleich ist wie die Kondensatorspannung, was mit der Abbildung 5, Abbildung
6, Abbildung 7 bewiesen wäre. Aus den ganzen Diagrammen erkennt man, dass die Spannung
oder der Strom mit einer e-Funktion immer sinkt oder ansteigt, daraus lässt sich schließen das
man immer nur die selben Formeln verwenden nur mit andern Größen beim ein- und
ausschalten. Wenn man zwei Kondensatoren parallel schaltet verdoppelt sich τ und bei einen
Serienschaltung verringert sich die Konstante um die Hälfe, als wenn man nur einen
Kondensator schalten würde.
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