Primzahlen – Darstellung als harmonische Schwingung

Primzahlen – Darstellung als harmonische Schwingung
Die natürliche Sinusschwingung wird hier in Zusammenhang mit der Zahlentheorie
gebracht um einen weiteren theoretischen Ansatz für die Untersuchung der Eigenschaften
von Primzahlen zu finden. Die Schwingung kann sowohl im physikalischen sowie im
musikalischen Kontext betrachtet werden. Wesentliche Unterschiede zu natürlichen
Verhaltensweisen von Wellen und die in dieser Abhandlung genutzten mathematischen
Rechenvorschriften werden näher beleuchtet und erläutert.
1 – Physikalische Beschreibung der Schwingung
Die harmonische Schwingung wird als Funktion der Zeit wie folgt beschrieben:
𝜔 = 2𝜋 ∙ 𝑓 = Kreisfrequenz
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑0 )
𝐴0 = Amplitude
𝜑0 = Nullphasenwinkel der Schwingung (Phasenverschiebung)
Die Frequenz der Schwingung wird jeweils so gewählt, dass 𝜔 für eine Periodendauer
von 𝜋 bestimmt ist durch 𝑛 =∈ ℤ {2, 3, 4, 5, … ∞}
Da der Phasenverschiebungswinkel 𝜑0 = 0 ist und die Amplitude 𝐴0 = 1 des
Einheitskreises beträgt, ist eine Einzelschwingung definiert durch:
1
𝑦1 (𝑛) = 𝑠𝑖𝑛( 𝜋 ∙ 𝑛)
2
Die Zeitachse entspricht der x-Achse, der Zahlengeraden der natürlichen Zahlen. Die
Frequenz der Schwingung wird dabei jeweils um 1 erhöht. Somit ergibt sich für die
nächste Schwingung:
1
𝑦2 (𝑛) = 𝑠𝑖𝑛( 𝜋 ∙ 𝑛)
3
Der Graph der beiden Schwingungen zeigt nun zwei harmonische Schwingungen mit
unterschiedlicher Frequenz aber ohne Phasenverschiebung gegeneinander und den
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1
3
jeweiligen Maxima und Minima von 1 bei 2 𝜋 bzw. 2 𝜋 der einzelnen Perioden (jeweils für
𝑦1 und 𝑦2 ).
1
𝜋
2
y1
1
𝜋
2
y2
3
𝜋
2
3
𝜋
2
Abb. 1: Graph zweier Schwingungen
Die Nullstellen der Schwingungen verlaufen jeweils durch n bzw. einem Vielfachen von n.
Somit erreicht die Schwingung beim Durchlauf einer Phase von 𝜋 einen Nullpunkt als
Schnittstelle mit der Zahlengeraden (= x-Achse).
y
y1
y2
Abb. 2: Graph zweier Schwingungen und die Überlagerung y von y1 und y2.
Die Werte der Amplitude von y ergeben sich aus der Addition der beiden Schwingungen
𝑦1 und 𝑦2 .
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1
1
𝑦(𝑛) = 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛� + 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛�
2
3
Durch die Überlagerung ergibt sich auch eine Verschiebung der Nulldurchläufe der
Gesamtschwingung. Dieses natürliche Verhalten von Wellen ist aber für diese Betrachtung
ungünstig. Somit wählt man die Multiplikation der beiden Schwingungen um die
Nullstellen der Einzelschwingungen beizubehalten:
1
1
𝑦�(𝑛) = 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛� ∙ 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛�
2
3
y
𝑦�
Abb. 3: Vergleich der Graphen y und 𝑦�.
Die neue Funktion 𝑦� verläuft nun durch alle Knotenpunkte der Einzelschwingungen. Da
diese mathematische Rechenvorschrift keine Entsprechung in der physikalischen Realität
findet wenn es sich um die Überlagerung von Wellen handelt, kann man sie nicht zur
Beschreibung eines der bekannten natürlichen Prozesse heranziehen. Die Überlagerung
von Schallwellen beispielsweise würde sich durch die Addition der Amplituden ergeben
(Graph y). Die Multiplikation der Amplituden ist dagegen am ehesten durch das Verfahren
der Amplitudenmodulation bei der Übertragung von Funksignalen beschreibbar bzw.
findet dort eine Entsprechung. Auch der Zusammenhang mit gedämpften Schwingungen
wäre gegeben. Hier wird eine Sinuswelle durch eine weitere Welle anderer Frequenz
gedämpft. Üblicherweise wird eine Exponentialfunktion als Dämpfungsfaktor verwendet
z.B. von der Form:
𝑓(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑒 −0.1∙𝑥 , 𝑛 ∈ ℤ
Zusammengefasst notiert:
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒 −0.1∙𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 )
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Der exponentielle Multiplikationsfaktor beeinflusst die Amplitude der Schwingung. Da
man eine Schwingung ebenfalls als Exponentialfunktion in der komplexwertigen
Darstellung notieren kann, ergibt sich sofort der Zusammenhang der gedämpften
Schwingung, insbesondere aber der modulierten gedämpften Schwingung. Dieser Begriff
ist womöglich etwas holprig, da zwar beides zuzutreffen scheint, es aber doch keines von
beiden ist.
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒 𝑖(𝜔1 𝑡 + 𝜑1) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑1 )
Wenn man die Gleichung nach dem Imaginärteil auflöst und umstellt erhält man die
bekannten Gleichungen zweier Schwingungen.
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑0 ) ∙ 𝐴1 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔1 𝑡 + 𝜑1 )
Die modulierte Schwingungsgleichung sieht gewöhnlich so aus (komplexwertige
Darstellung ohne Phasenverschiebung wobei die beiden Frequenzen nur leicht voneinander
abweichen):
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒𝑖(𝜔0 𝑡 ) + 𝐴1 ∙ 𝑒𝑖(𝜔1 𝑡 )
Die modulierte variable Amplitude ergibt sich aus:
𝑦(𝑡) = 𝐴0 ∙ 𝑒
𝑖(𝜔0 − 𝜔1 )∙𝑡
2
+ 𝐴1 ∙ 𝑒
−
Die überlagerte Schwingung hat das arithmetische Mittel:
𝜔
�=
𝑖(𝜔0 − 𝜔1 )∙𝑡
2
|𝜔0 + 𝜔1 |
2
Der mathematische Zusammenhang zur Physik ist dennoch nicht zu übersehen und damit
sind wir in der Lage die bestens bekannten und physikalisch beschriebenen
Gesetzmäßigkeiten von Schwingungen zu nutzen. Wellengleichungen sind geeignet
Zusammenhänge der mathematischen Zahlentheorie zu beschreiben und zu interpretieren.
2 – Beschreibung des Zusammenhangs von harmonischen Schwingungen und den
Primzahlen
Wie aus der Abbildung 3 zu erkennen ist, ergeben sich an der Stelle 5 und 7 der x-Achse
annähernd Maxima bzw. Minima der beiden Funktionen 𝑦1 und 𝑦2 .
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Abb. 4: Nullstellen und freie Potenziale
Abbildung 4 zeigt im weiteren Verlauf noch deutlicher, wie sich weitere Primzahlen, die
man als freie „Potenziale“ werten kann, herauskristallisieren, da sie nicht von den beiden
Schwingungen erfasst werden. Freie Potenziale sind also jene Bereiche, die mit keiner
Schwingung in Resonanz stehen. Sie bilden praktisch die schwingungsfreien Inseln auf der
unendlichen Zahlengeraden – die Primzahlen eben. Auf diese Weise lassen sich die
Primzahlen als natürliche Konsequenz von Schwingungszuständen interpretieren.
25
Abb. 5: Primzahlenreihe bis n = 24
Tatsächlich wird die Reihe der Primzahlen bis zur Stelle 24 auf der x-Achse gebildet. Die
Zahl 25 (oder auch 52 ) ist die erste Stelle, die zusammengesetzt ist aber keine Nullstelle
besitzt.
Wird zur oben genannten Gleichung auch die 5 einbezogen, so hat die Gleichung bei Stelle
25 korrekterweise eine Nullstelle und die Primzahlenreihe setzt sich bis 48 (oder auch
72 − 1) fort – ab der 7 als nächste Primzahl ohne Nullstelle. Die Gleichung hat nun
folgende Argumente:
1
1
1
𝑦�(𝑛) = 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛� ∙ 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛� ∙ 𝑠𝑖𝑛 � 𝜋 ∙ 𝑛�
2
3
5
Werden weitere Primzahlen in die Gleichung mit aufgenommen, so ergibt das Produkt der
Gleichung einen Graphen mit entsprechenden Nullstellen an den als Argumenten
eingesetzten Primzahlen und Maxima sowie Minima um die nächsten Primzahlen bis zur
Stelle 𝑝2 − 1 der nächsten gefundenen Primzahl. Die obere Gleichung hat 7 als nächste
Primzahlstelle und 48 als Endpunkt des Bereiches bis zu dem Primzahlen korrekt ermittelt
werden können.
Alle n = 0 sind somit keine Primzahlen, also zusammengesetzte Zahlen. Die Maxima und
Minima der Funktionen ergeben sich nicht direkt bei den Werten der Primzahlen aber
annähernd. Der Bereich zwischen nächster Primzahl und letzter möglicher Primzahl
wächst mit dem Quadrat der nächsten Primzahlstelle. Das bedeutet z.B., dass alle Zahlen
bis 313 – eine Primzahl – ausreichen um die restlichen Zahlen bis knapp über 100000 zu
finden.
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𝑛 = 313 𝑖𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑖𝑚 ⟹ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑧𝑎ℎ𝑙𝑒𝑛 𝑏𝑖𝑠 𝑛 = 3172 − 1 𝑓ü𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝑔𝑖𝑙𝑡: 𝑦�(𝑛) ≠ 0
𝑦�
Abb. 6: Primzahlenreihe bis n = 24 mit dem Graphen 𝑦� als Produkt aller Argumente.
Es ist dabei nicht wesentlich, dass alle Argumente der Funktion aus Primzahlen bestehen,
da die Frequenzen von Nichtprimzahlen als „redundante“ Schwingungen verstanden
werden können. Diese stellen ja ein Vielfaches der „Grundschwingung“ dar (2, 4, 6, 8 oder
3, 6, 9 usw.). Die Anzahl der Argumente verkürzt sich dabei aber erheblich.
3 – Verwandtschaft zur Musik
Wählt man eine x-beliebige zusammengesetzte Zahl und untersucht den Bereich Null und
n, dann können über die gesamte Länge hinweg subharmonische Schwingungen bzw.
Obertöne beobachtet werden. Die subharmonischen Schwingungen ergeben sich als
Teilschwingungen der Grundfrequenz über die gesamte Länge. Einige davon setzten sich
aus den Vielfachen der Zahl 2, 3 oder 5 usw. zusammen, je nachdem wie hoch n gewählt
wurde. Die übrigen entsprechen der Grundschwingung, den Primfaktoren.
4 – Anregungen zur Analysis
Die Formel kann also als Produkt endlicher Schwingungsgleichungen notiert werden:
1
𝑓(𝑥) = � sin ( ∙ 𝜋 ∙ 𝑥)
𝑝
𝑝∈ℙ
Ziel der Untersuchung kann der Grenzwert des Produktes entweder für den Bereich
unendlich oder einen Teilbereich sein. Welche Erkenntnisse in Bezug auf die Primzahlen
daraus gezogen werden könnten ist unklar. Es steht jedenfalls fest, dass die Formel
unendlich viele Nullstellen ergibt, wenn unendlich viele Primzahlen eingesetzt werden.
Zweckdienlich ist sie nur, wenn endlich viele Faktoren eingesetzt werden.
Eine alternative Schreibweise würde sich aus den Additionstheoremen von Sinus und
Cosinus ergeben wonach eine Multiplikation zweier Sinus-Faktoren so aufgelöst würde:
1
1
f(x) = sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� ∙ sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥�
2
3
1
1
1
1
1
= ∙ cos � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥 − ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� − cos � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥 + ∙ 𝜋 ∙ 𝑥�
2
2
3
2
3
1
1
5
= ∙ cos � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� − cos ( ∙ 𝜋 ∙ 𝑥)
2
6
6
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𝑓(1) =
1
1
5
∙ cos � ∙ 𝜋� − cos ( ∙ 𝜋)~0,8660
2
6
6
Die resultierende Schwingung hat an der Stelle 1 der x-Achse etwa den Wert 0,8660 was
mit dem Graphen übereinstimmt.
Wie man erkennen kann, ist diese Schreibweise für mehrere Sinusfunktionen recht
kompliziert. In der Theorie ließe sich auch die Euler-Form als Exponentialfunktion nutzen.
Ob sich durch diese Schreibweise Vorteile für die Berechnung ergeben, wurde noch nicht
untersucht.
1
1
1
1
1
1
𝑒 𝑖 2∙𝜋∙𝑥 − 𝑒 −𝑖2∙𝜋∙𝑥 𝑒 𝑖3∙𝜋∙𝑥 − 𝑒 −𝑖3∙𝜋∙𝑥
𝑓(𝑥) = sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� ∙ sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� … =
∙
…
2𝑖
2𝑖
2
3
Die Eliminierung der Winkelfunktionen im Ausdruck würde einen ersten Ansatz liefern.
5 – Faktorisierung
Noch ein Blick auf die Faktorisierung: Umgekehrt lässt sich mittels der Funktion
1
𝑓(𝑥) = sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑥� , 𝑝 ∈ ℙ
𝑝
auch die Zerlegung in Primfaktoren bzw. die Teiler einer Zahl n darstellen wenn anstelle
der Primzahlen alle ganzen Zahlen durchlaufen werden.
1
𝑓(𝑝) = sin � ∙ 𝜋 ∙ 𝑛� , 𝑝 ∈ ℙ = 0 → 𝑝 | 𝑛
𝑝
Auch in diesem Fall ist der Nutzen eher theoretischer Natur, obwohl man für „kleine“
Zahlen selbstverständlich schnell korrekte Ergebnisse erhält, wenn man dies
programmatisch umsetzen würde.
Als komplexwertige Funktion ließe sich für alle zusammengesetzten Zahlen an der
Position auf der x-Achse die zugehörige Faktorisierungs-Funktion, deren Werte sich in
Richtung der imaginären Achse ausbreiten, notieren. So erhielte man ein
zweidimensionales Bild über alle Primzahlen und die Primfaktoren bzw. die Teiler der
zusammengesetzten Zahlen. Primzahlen hätten dann eben nur einen einzigen Faktor,
nämlich ihren eigenen Wert.
1
1
𝑓(𝑥) = � sin ( ∙ 𝜋 ∙ 𝑥) + 𝑖 ∙ 𝑒 𝑖(𝑛∙𝜋∙𝑥) , 𝑛 ∈ ℤ
𝑝
𝑝∈ℙ
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Abb. 7: Primfaktoren und ganzzahlige Teiler in einer zweidimensionalen Darstellung bis zum Wert 80.
Die Primzahlen bilden eine Achse im Winkel von 45° in bekannter unregelmäßiger Verteilung.
Stand: 16.12.2013
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