Lösungen

Nützliche Sätze
Peripherie-Zentriwinkelsatz. Seien A und B Punkte auf dem Kreis k um M. Für alle Punkte P auf
dem längeren Kreisbogen von k über AB gilt ∠AMB = 2∠APB. (Spezialfall: Satz von Thales. Für alle
Punkte P auf dem Kreis mit Durchmesser AB gilt ∠APB = 90◦ .)
Beweis. Da |MA| = |MB| = |MP|, gilt ∠APB = ∠APM + ∠MPB = ∠MAP + ∠PBM. Die
Winkelsumme im Dreieck ABP beträgt 180◦ = ∠BAM + ∠MAP + ∠APB + ∠PBM + ∠MBA =
∠BAM + ∠MBA + 2∠APB, also ∠AMB = 180◦ − ∠BAM − ∠MBA = 2∠APB.
Sehnen-Tangentenwinkelsatz. Sei AB eine Sehne des Kreises k um M, die kein Durchmesser ist,
und T der Schnittpunkt der Tangenten in A und B an k. Dann ist ∠T AB = ∠ABT = ∠AMB
.
2
Beweis. Nach Konstruktion ist ∠T AB + ∠BAM = ∠T AM = 90◦ , also 2∠T AB = 180◦ − 2∠BAM =
∠AMB, da ABM gleichschenklig ist.
Satz vom Sehnenviereck. Ein Viereck ist genau dann Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende
Winkel zu 180◦ ergänzen.
Beweis. Die Punkte seien ABCD in dieser Reihenfolge auf dem Kreis. Dann ist ∠BAD + ∠DCB =
∠BAC + ∠CAD + ∠DCA + ∠ACB = ∠BDC + ∠CBD + ∠DBA + ∠ADB = ∠ADC + ∠CBA nach
Peripheriewinkelsatz, mit der Winkelsumme 360◦ ergibt sich die Behauptung. Umkehrung: Angenommen, D liegt außerhalb des Umkreises von ABC, und CD schneidet diesen in D 0 . Dann
ist ∠ADC = ∠AD 0 C − ∠D 0 AD < ∠AD 0 C = 180◦ − ∠CBA, analog für D innerhalb des Kreises
∠ADC > 180◦ − ∠CBA. Also ist ∠ADC + ∠CBA 6= 180◦ .
Südpolsatz. Sei ABC ein Dreieck mit Umkreis k. Dann schneiden sich k, die Winkelhalbierende wα
von ∠BAC und die Mittelsenkrechte ma von BC in einem Punkt.
Beweis. Der Schnittpunkt von k mit ma sei A 0 , dann sind BA 0 und A 0 C gleich lange Sehnen von k.
Daher ist ∠BAA 0 = ∠A 0 AC, also liegt A 0 auf wα .
Potenzgeraden. Die drei Potenzgeraden je zweier von drei Kreisen (wobei die Mittelpunkte nicht
auf einer Geraden liegen) schneiden sich in einem Punkt.
Beweis. Die Potenzgeraden seien g12 , g13 , g23 . Der Schnittpunkt von g12 und g23 hat per Definition
die gleiche Potenz bzgl. k1 und k2 , sowie k2 und k3 . Daher hat er auch die gleiche Potenz bzgl. k1 und
k3 , liegt also auf g13 .
Aufgaben
A1. In der Skizze sei |AB| = 30 und |AC| = 18, sowie AC ⊥ BC. Man bestimme die Länge des
Durchmessers CD und der Sehne BD.
Lösung. Nach Thales ist ∠DBC = 90◦ , also sind BD und AC parallel.
qNach Sekanten-Tangentensatz
ist 900 = |AB|2 = |AC| · (|AC| + |BD|), also |BD| = 32 und |CD| =
|BD|2 + |AB|2 − |AC|2 = 40.
A2. Im Dreieck ABC sei I der Inkreismittelpunkt und X der Schnittpunkt von AI mit der Mittelsenkrechten von BC. Zeige, dass X der Umkreismittelpunkt von BCI ist.
Lösung. Es gilt ∠BIX = ∠BAI + ∠IBA = ∠XAC + ∠CBI = ∠XBC + ∠CBI = ∠XBI, also
|XB| = |XI|, und analog |XI| = |XC|. Also liegen B, I und C auf einem Kreis um X.
A3. Der Kreis k 0 berühre den Kreis k von innen in P. Die Sehne AB von k berühre k 0 in X, und die
Gerade PX schneide k in C 6= P. Zeige, dass C den Kreisbogen über AB, der P nicht enthält,
halbiert.
Lösung. Seien M, M 0 Mittelpunkte, P liegt dann auf MM 0 . Es ist ∠PCM = ∠MPC = ∠M 0 PX =
∠PXM 0 , also ∠CMP = 180◦ − 2∠PCM und damit ∠CAP = 90◦ − ∠PCM = ∠BXM 0 − ∠PXM 0 =
∠BXP. Wegen ∠PCA = ∠PBA sind BXP, CAP ähnlich, also ∠APC = ∠CPB; mit Südpolsatz in
ABP folgt die Behauptung.
A4. Die vier Fußpunkte der Lote von A auf die Innen- und Außenwinkelhalbierenden von ∠CBA
und ∠ACB liegen auf einer Geraden.
Lösung. I sei der Inkreismittelpunkt von ABC, der auf den Innenwinkelhalbierenden liegt. Die
Außenwinkelhalbierenden schneiden AI in P. Die Lotfußpunkte von A auf die Außenwinkelhalbierenden zu ∠ACB bzw. ∠CBA seien R bzw. U, diejenigen auf die Innenwinkelhalbierenden
T bzw. S. Dann ist ∠ART = ∠ACI = ∠ICB = ∠IPB = ∠APU = ∠ARU, da AT CR, AUPR und
IBPC Sehnenvierecke sind. Somit liegen R, T und U auf einer Geraden, analog auch R, S und U.
A5. Seien k1 und k2 zwei Kreise um A bzw. B, die sich in C und D schneiden. Der Umkreis k von
ABC schneide k1 in C und E sowie k2 in C und F. Zeige, dass die Gerade CD den Kreisbogen
über EF, der C nicht enthält, halbiert.
= ∠DFC, also liegen A, D und F auf einer Geraden,
Lösung. Es gilt ∠AFC = ∠ABC = ∠DBC
2
∠DAE
= ∠FAE
= ∠FBE
= ∠FBD
= ∠FCD, nach der
ebenso B, D und E. Dann ist ∠DCE =
2
2
2
2
Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes folgt die Behauptung.
A6. Sei ABC ein Dreieck mit |AB| 6= |AC|. Der Kreis mit Durchmesser BC und Mittelpunkt O
schneidet die Seiten AB und AC in M bzw. N. Die Winkelhalbierenden von ∠BAC und ∠NOM
schneiden sich in R. Zeige, dass der zweite Schnittpunkt der Umkreise von CNR und BMR auf
BC liegt.
Lösung. Es gilt |OM| = |ON|, also ist die Winkelhalbierende von ∠MON Mittelsenkrechte von
MN. Diese schneidet die Winkelhalbierende von ∠BAC nach Südpolsatz auf dem Umkreis
von AMN, also ist AMRN Sehnenviereck und ∠RMA + ∠ANR = 180◦ . Sei L der Schnittpunkt
der Umkreise von BRM und CNR. Dann sind BLRM und CNRL Sehnenvierecke, also ∠RLB +
∠CLR = ∠RMA + ∠ANR = 180◦ . Somit liegen B, L und C auf einer Geraden.
A7. Asian Pacific MO 1998 (4). Sei ABC ein Dreieck, D der Höhenfußpunkt zu A und g eine Gerade
durch D, die nicht durch A,B oder C verläuft. E und F seien Punkte auf g verschieden von D
mit AE ⊥ BE bzw. AF ⊥ CF. M sei der Mittelpunkt von BC und N derjenige von EF. Zeige, dass
AN ⊥ NM.
Lösung. AEBD und AFDC sind Sehnenvierecke, da die Winkel bei D, E und F gleich 90◦ sind.
Also ist ∠AEF = ∠ABD und ∠AFE = ∠ACD. Daher sind ABC und AEF ähnlich, und da M bzw.
N die sich entsprechenden Seiten halbieren, ebenso ABM und AEN. Daher ist ∠BAM = ∠EAN,
|AN|
|AE|
also ∠NAM = ∠EAB, ebenso |AM|
. Somit sind AMN und ABE ähnlich, woraus die
= |AB|
Behauptung folgt.
A8. Irish MO 1999. Im konvexen Sechseck ABCDEF mit |AB| = |BC|, |CD| = |DE|, |EF| = |FA|
schneiden sich die Lote von A, C, E auf FB, BD bzw. DF in einem Punkt.
Lösung. Die Lote sind Potenzgeraden je zweier der Kreise um B durch A, um D durch C und
um F durch E. Somit schneiden sie sich im Potenzpunkt der drei Kreise.
A9. IMO 1995 (1). Die paarweise verschiedenen Punkte A, B, C, D liegen in dieser Reihenfolge auf
einer Geraden. Die Kreise mit den Durchmessern AC und BD schneiden einander in X und Y.
Sei P ein Punkt im Innern der Strecke XY, der nicht auf AD liegt. CP schneidet den Kreis über
AC in M 6= C und BP schneidet den Kreis über BD in N 6= B. Dann schneiden sich AM, DN
und XY in einen Punkt.
Lösung. Die Potenzgerade der Kreise über AC und BD ist XY, diejenige des Kreises über
BD und des Umkreises von BCN ist BN. Die Potenzgerade des Kreises über AC und dieses
Umkreises geht durch C und P, ist also CM. Somit liegt M auf dem Kreis um BCN. Es gilt
∠MAC = 90◦ − ∠MCB = 90◦ − ∠MNB = 180◦ − ∠MND, also ist ADNM ein Sehnenviereck.
Dann sind AM, DN und XY Potenzgeraden der Kreise über AC und BD sowie des Umkreises
von ADNM, schneiden sich also in einem Punkt.