École Internationale Allemande Einheitliche Darstellung von Exponentialfunktionen Bei allen Funktionstypen haben wir uns auf eine Form verabredet, damit man besser Vergleichen kann oder die Koeffizienten immer auf die gleiche Weise angeben kann. Bei Polynomen (ganzrationale Funktionen) ordnen wir nach Potenzen: Beispiel: f (x) = 3x 4 −2x 3 + 0,5x 2 − x + 2 allgemein: f (x) = an x n + an−1 x n−1 +…+ a1 x + a0 = ∑ ai x i n i=0 an heißen Koeffizienten Spezialfälle waren die lineare Funktion, genormt auf: Gerade: g(x) = mx + c m heißt Steigung, c verschiebt entlang y und die quadratische Funktion schreiben wir einheitlich: Parabel: p(x) = ax 2 + bx + c Exponentialfunktion Alle Exponentialfunktionen lassen sich mit der Basis e und zwei Koeffizienten darstellen: exponentiell f (x) = aebx a ist der Anfangswert, b bestimmt die Basis, a,b ∈ Satz Jede Exponentialfunktion mit reeller positiver Basis lässt sich in der oben gezeigten Form (ln z )⋅x x ; b = ln z darstellen. a ⋅ z = a ⋅e Aufgaben n 1. Wie lässt sich die Zahl 2 in der Form e darstellen. Bestimme n so, dass 2 herauskommt! 2. Wie lautet die Funktion f (x) = 2 x in genormter Darstellung? Wie lauten a und b? 3. Beweise oben stehenden Satz. 4. Schreibe in Normdarstellung: f4 (t) =120 ⋅0,1t (Ergebnis: f4 (x) =120 ⋅e−t ln10 5. Schreibe in Normsdarstellung und vereinfache den Logarithmus soweit wie möglich: f5 (t) = 345⋅( 41 ) t f6 (t) = 0,2 ⋅( 45 ) t nur natürliche Zahlen im ln Kleiner Tipp für die Aufgaben: ebx = (eb ) ; elnu = u ; ln(eu ) = u x Logarithmusgesetze ln uv ) = v ⋅lnu ( Exponent vorziehen ln uv ) = lnu + lnv ( Additionsgesetz ln( uv ) = ln(uv −1 ) = lnu + lnv −1 = lnu −lnv Subtraktionsgesetz (abgeleitet von den ersten beiden Gesetzen) 1/2 École Internationale Allemande Lö su Einheitliche Darstellung von Exponentialfunktionen ng Satz Jede Exponentialfunktion mit reeller positiver Basis lässt sich in der oben gezeigten Form (ln z )⋅x x ; b = ln z darstellen. a ⋅ z = a ⋅e Aufgaben n 1. Wie lässt sich die Zahl 2 in der Form e darstellen. Bestimme n so, dass 2 herauskommt! en = 2 | ln lnen = ln2 n = ln2 2. Wie lautet die Funktion f (x) = 2 x in genormter Darstellung? Wie lauten a und b? f (x) = 2 x = (eln2 ) =1⋅e ln2 ⋅x a =1; b = ln2 x ( ) 3. Beweise oben stehenden Satz. a ⋅ z x = a ⋅(eln z ) = a ⋅e ln z ⋅x Da z > 0, ist b = ln z möglich. x ( ) 4. Schreibe in Normdarstellung: ( f4 (t) =120 ⋅0,1t =120 ⋅e(ln0,1)⋅x =120 ⋅e ln10 −1 )⋅x ( ) =120 ⋅e− ln10 ⋅x =120e−x ln10 5. Schreibe in Normsdarstellung und vereinfache den Logarithmus soweit wie möglich: f (t) = 345⋅( ) = 345⋅(e ) = 345⋅e 1 4 5 345⋅e ⎛ 1⎞ t ln⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝4⎠ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ t ⎜⎜ln ⎟⎟ ⎝ 4⎠ t ( ⎛ 1⎞ t ln⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝4⎠ ( −1 ) = 345⋅et ln 4 = 345e−t ln4 ) = 345et ln1−ln4 = 345e−t ln4 f6 (t) = 0,2⋅( 5 4 ) t = 0,2⋅e ⎛ 5⎞ t ln⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝4⎠ ( −1 ) ( = 0,2et ln5⋅4 = 0,2et ln5−ln4 ) 2/2