Einführung Graphen, Graphrepräsentation

Kap. 8: Repräsentation von Graphen
Einleitung
I
1736 stellt L. Euler die folgende
“touristische” Frage:
I
Straßen- oder Computernetzwerke
I
Zugverbindungen (Raum und Zeit)
I
Soziale Netzwerke (Freundschafts-,
Zitier-, Empfehlungs-,. . . )
I
Aufgabenabhängigkeiten
Scheduling-Probleme
I
Werte und arithmetische Operationen
Compilerbau
I
...
303
Repräsentation von Graphen
self−loop
s
1
z
I
Was zählt, sind die
Operationen!
I
Eine triviale Repräsentation:
I
Felder
I
Verkettete Listen
I
Matrizen
I
Implizit
I
Diskussion
2
H
w
1
2
y
1
−2
w
1
v
t
1
1
1
1
x
2
1
v
u
G
u
w
s
v
K5
x
t
U
u
w
K3,3
u
v
undirected
w
v
bidirected
304
Notation und Konventionen
I
I
I
I
I
Graph G = ( |{z}
V , |{z}
E ):
Knoten Kanten
n = |V |
m = |E |
Knoten: s, t, u, v , w , x, y , z
Kanten e 2 E .
Oder: Knotenpaare (manchmal Knotenmengen der Größe 2)
305
Notation und Konventionen
I
I
I
I
I
Graph G = ( |{z}
V , |{z}
E ):
Knoten Kanten
n = |V |
m = |E |
Knoten: s, t, u, v , w , x, y , z
Kanten e 2 E .
Oder: Knotenpaare (manchmal Knotenmengen der Größe 2)
WICHTIG: Buchstabenzuordnungen sind unverbindliche Konvention
I
Manchmal werden ganz andere Buchstaben verwendet.
I
Im Zweifel immer genau sagen, was was ist.
Das gilt für die ganze theoretische Informatik!
305
Ungerichtete ! gerichtete Graphen
Meist repräsentieren wir
ungerichtete Graphen durch doppelt gerichtete Graphen
wir konzentrieren uns auf gerichtete Graphen
2
1
2
3
4
1
3
4
306
Operationen
Ziel: O(Ausgabegröße) für alle Operationen
Grundoperationen:
I
I
Statische Graphen:
Konstruktion, Konversion und Ausgabe
(O(m + n) Zeit)
Navigation: Gegeben v , finde
ausgehende Kanten.
Dynamische Graphen:
Knoten/Kanten einfügen/löschen
s
y
t
z
v
w
x
u
307
Weitere Operationen
s
t
1
I
Zugriff auf assoziierte
Information
I
Mehr Navigation: Finde
eingehende Kanten
I
Kantenanfragen:
(z, x) 2 E ?
z
7
6
5
w
8
y
4
2
v
?
3
6
4
3
x
5
u
308
Kantenfolgenrepräsentation
Folge von Knotenpaaren (oder Tripel mit Kantengewicht)
+ kompakt
+ gut für I/O
Fast keine nützlichen Operationen – außer alle Kanten zu
durchlaufen
Beispiele: Übung: isolierte Knoten suchen,
Kruskals MST-Algorithmus (später), Konvertierung.
u
=s
w
, h(u, v ), (v , w ), (w , u), (u, w )i
v
309
Adjazenzfelder
I
V = 1..n
oder 0..n
1
I
Kantenfeld E speichert Ziele und zwar gruppiert nach Startknoten
I
V speichert Index der ersten ausgehenden Kante
I
Dummy-Eintrag V [n + 1] speichert m + 1
2
1
4
1
V 1
E 2
1
3
n
5 7
5=n+1
7
3
3
2
4
4
m
7=m+1
3
Beispiel: Ausgangsgrad(v ) = V[v + 1]
V[v ]
310
Kantenliste ! Adjazenzfeld
Zur Erinnerung: KSort (BucketSort)
Function adjacencyArray(EdgeList)
V=h1, 0, . . . , 0i : Array [1..n + 1] of N
foreach (u, v ) 2 EdgeList do V [u]++
for v := 2 to n + 1 do V [v ] += V [v 1]
foreach (u, v ) 2 EdgeList do E [
V [u]] = v
return (V , E )
// count
// prefix sums
// place
2
1
4
1
V 1
E 2
1
3
n
5 7
5=n+1
7
3
3
2
4
4
m
7=m+1
3
311
Beispiel
1
V 1 0
2
1
4
3
n
0 0
3 2
2
3 5
7
V 1 3
5
5=n+1
0
count
0 0
prefix sum
7 7
distribute
7 7
E 2 3
1
3
4
2
4
m
7=m+1
312
Operationen für Adjanzenzfelder
I
Navigation: einfach
I
Kantengewichte: E wird Feld von Records (oder mehrere Felder)
I
Knoteninfos: V wird Feld von Records (oder mehrere Felder)
2
a
1
d
4
e
c
b
f
3
1
V 1
E 2
1
w a
3
n
5 7
5=n+1
7
3
3
2
b
c
4
d
4
m
e f
7=m+1
313
Operationen für Adjanzenzfelder
I
Navigation: einfach
I
Kantengewichte: E wird Feld von Records (oder mehrere Felder)
I
Knoteninfos: V wird Feld von Records (oder mehrere Felder)
I
Eingehende Kanten: umgedrehten Graphen speichern
I
Kanten löschen: explizite Endindizes
I
Batched Updates:
neu aufbauen
2
a
1
d
4
e
c
b
f
3
1
V 1
E 2
1
w a
3
n
5 7
5=n+1
7
3
3
2
b
c
4
d
4
m
e f
7=m+1
313
Kantenanfragen
Hashtabelle HE speichert (ggf. zusätzlich) alle Kanten.
Unabhängig von der sonstigen Graphrepräsentation
314
Adjazenzlisten
speichere (doppelt) verkettete Liste adjazenter Kanten für jeden
Knoten.
+ einfaches Einfügen von Kanten
+ einfaches Löschen von Kanten (ordnungserhaltend)
mehr Platz (bis zu Faktor 3) als Adjazenzfelder
mehr Cache-Misses
1
1
n
2
1
2
1
4
3
4
2
n
2
1
3
4
2 4 1 3 4 2 4 1 2 3
m
1
4
3
315
Adjazenzlisten aufrüsten
I
Knotenlisten für Knotenupdates
I
Eingehende Kanten
I
Kantenobjekte (in globaler Kantenliste)
I
Zeiger auf Umkehrkante
1
0
E list
(0,1)
(0,2)
out list in list
0
0
(1,3)
0
2
V list first first deg deg
out in out in
0
0
0
0
(2,1)
(2,3) 0
0
0
(1,2)
rev from to
0 0
0
0
0
0
3
0
2
0
0
2
2
1
2
2
2
0
2
3
0
316