Folie 8. Darstellung reeller Zahlen Das Positionssystem.

Folie 8. Darstellung reeller Zahlen
14.10.04 P.Vachenauer
(Aus Springers Mathematische Formeln S.57)
Das Positionssystem.
Jede reelle Zahl x kann geschrieben werden in der Form
x = x m B m + x m – 1B m– 1 + … + x 0 B 0 + x –1 B –1 + … = (xm x m – 1 … x 0 , x –1 …)B
Die natürliche Zahl B > 1 ist die Basis und jede Ziffer xi eine der Zahlen 0, 1, …, B – 1.
Beispiel.
x = „sechsunddreißig plus drei Achtel“ im Dezimal- und Binärsystem:
x = 3 · 101 + 6 · 100 + 3 · 10 –1 + 7 · 10 –2 + 5 · 10 –3 = (36,375)10
x = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 + 0 · 2 – 1 + 1 · 2 – 2 + 1 · 2 –3 = (100100,011)2
Umwandlungsalgorithmen.
(B → 10). Hat X im System mit der Basis B die Darstellung (Xm Xm – 1 … X0 , X –1 …)B , so
ergibt sich die Dezimaldarstellung von X durch dezimale Berechnung der Summe
X = Xm B m + Xm – 1 B m – 1 + … + X0 + X –1 B – 1 + …
(Horner-Schema anwenden!)
(10 → B). Um die positive Dezimalzahl X im System mit der Basis B darzustellen, ist zunächst der ganze Anteil Y von X und dann der gebrochene Anteil Z von X zu berechnen.
Der ganze Anteil Y
(i) Dividiere Y durch B: Q1 sei Quotient und R1 der Rest (R1 = 0, 1, …oder B – 1), dann ist
R1 die erste Ziffer von rechts von Y in der Basis B
(ii) Dividiere Q1 durch B: Quotient sei Q2 , Rest sei R2 ⇒ R2 ist die zweite Ziffer von rechts
(iii) Analog fortfahren bis der Quotient Null wird
Der gebrochene Anteil Z
(i) Multipliziere Z mit B. Sei I1 der ganze Anteil des Produkts (I1 = 0, 1, … oder B – 1) und
F1 der neue gebrochene Anteil, dann ist I1 die erste Ziffer von links des gebrochenen
Anteils Z in der Basis B
(ii) Multipliziere F1 mit B. Sei I2 der ganze und F2 der gebrochene Anteil des Produkts,
dann ist I2 die zweite Ziffer des gebrochenen Anteils in der Basis B
(iii) Analog fortfahren bis das Produkt eine ganze Zahl ist oder bis die gewünschte Zahl
von Stellen berechnet ist
Beispiel. X = (12345,6789)10 und B = 8
Y = 12345, B = 8
Y/8 = 1543 + 1/8, d.h.
Q1 = 1543R1 = 1
Q1/8 = 192 + 7/8, d.h.
Q2 = 192 R2 = 7
Q3 = 24 R3 = 0
R4 = 0
Q4 = 3
R5 = 3
Q5 = 0
⇒
Y = (30071)8 .
Z = 0,6789, B = 8
Z · 8 = 5,4312 , d.h.
I1 = 5 F1 = 0,4312
F1 · 8 = 3,4496 , d.h.
I2 = 3 F2 = 0,4496
I3 = 3 F3 = 0,5968
I4 = 4 F4 = 0,7744
I5 = 6 F5 = 0,1952 etc.
⇒
Z ≈ (0,5335)8 und X ≈ (30071,5335)8