27 Elektrische Schwingungen

Elektrische Schwingungen und Wellen
1.
Wechselströme
2.
Elektrischer Schwingkreis
i.
Wiederholung Schwingung
ii. Freie Schwingung
iii. Erzwungene Schwingung
iv. Tesla Transformator
3.
Elektromagnetische Wellen
i.
Wellen
ii.
Elektromagnetische Wellen
iii. Hertzscher Dipol
iv. Wellenausbreitung im Vakuum
v. Wellen auf Leitungen
Gedämpfte ungedämpfte Schwingung
Einmalige Anregung: Antwort des Systems wird beobachtet
Schwingung kann ungedämpft sein (schwingt unendlich lange weiter)
Schwingung kann gedämpft sein: klingt ab
Schwingung kann stark gedämpft sein: aperiodischer Grenzfall
1
Was passiert wenn es nicht Stoke‘sche Reibung gibt?
Bisher Annahme Dämpfung durch Reibung Reibkraft proportional
zu Geschwindigkeit FR ∝ v Stoke‘sche Reibung
Aber es gibt noch andere Reibungsgesetze: allgemein FR ∝ vn
n = 0 Coulombsche Reibung
n = 0,5 Schmiermittelreibung
n = 1 Stoke‘sche Reibung
n = 2 Newtonsche Reibung
Es gibt keinen Kriechfall, auch bei starker
Dämpfung noch Durchschwingen durch
Ruhelag, keine monotones Herankriechen
Freie- erzwungene Schwingung
Freie Schwingung:
System einmal angeregt und dann sich selber überlassen
Erzwungene Schwingung:
System wird kontinuierlich mit einer sinusförmigen Störung
angeregt
2
Resonanz und Energieübertrag
Resonanz ω = ω0 und ϕ = π/2 maximale Amplitude,
d.h. maximaler Energieübertrag
Warum bei ϕ = π/2 und nicht wenn in Phase?
J = Phase zwischen Kraft F(t) = F0 cos(ωt)
und Auslenkung x = x0 (ω) cos(ωt – ϕx(ω))
r r
Zur Erinnerung Momentanleistung p(t ) = F (t )v (t )
dx
Geschwindigkeit
v=
= −ω sin(ωt − ϕ )
dt
T
Mittlere Leistung
P =
T
1
1
p(t )dt = ∫ F (t )v (t )dt =
T ∫0
T 0
= P0 sin(ϕ x )
Maximaler Leistungsübertrag für ϕ = π/2,
keine Leistungsübertrag für ϕ = 0 bzw. π
Elektrischer Schwingkreis
IC(t)
IL(t)
L
C
R
Kondensator wird geladen, anschließend wird das System sich
selbst überlassen
Was passiert?
3
Analyse Schwingkreis
I (t)
Uc
Maschenregel
U ind + U R + UC = 0
dI
Q
L + IR + = 0
dt
C
C
I (t)
L
Uind
R
d
dt
UR
d 2I
dI 1 dQ
dQ
+R
+
=0
=I
2
dt
dt
C dt
dt
2
1
d I R dI
+
+
I =0
dt 2 L dt
CL
Lösung gedämpfte Schwingung : I (t ) =I 0 e −δt sin ωt
L
Dämpfung δ = R/2L
Resonanzfrequenz ω =
1 R2
1
−
≅
LC 4L2
LC
Freie Schwingung
Der Schwingkreis wird einmal angestoßen und seine Reaktion beobachtet
Schwingungsfrequenz hängt ab von
L und C
Dämpfung hängt ab vom
Widerstandswert
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Gedämpfte Schwingung
Amplitude nimmt mit der Zeit ab
I0 exp(- δ t)
I(t) = I0 exp(- δ t) sin (ωt +ϕ)
δ
τ
Dämpfungskonstante
Abkling bzw. Zeitkonstante τ = 1/δ
Schwingkreis
Schwingkreis pendelt die Energie zwischen elektrischer Feldenergie
und magnetischer Feldenergie.
Elektrische Feldenergie Wel = ½ CU2
Magnetische Feldenergie Wmag = ½ LI2
Ein ohmscher Widerstand wirkt als Dämpfung
Die Schwingungseigenfrequenz ω0 ist (bei kleiner Dämpfung)
ω0 ≅
1
LC
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Mechanische Analogon
C
L
R
D
FF
x(t)
I(t)
FR= -αv
m
FG
x (t )
⇔
I(t )
m
⇔
L
D
⇔
−1
α
C
⇔
R
Erzwungene Schwingung
LC in Serie
Serienschwingkreise wird periodisch angeregt:
I(t)
Geg: R,L,C
Ue = U0 sin(ωt)
Ges: UA
C
UE
L
R
UA
Komplexe Rechnung erlaubt für
eingeschwungenen Zustand: Einschwingvorgang so nicht beschreibbar
V =
V =
UA
R
=
U E R + iω L − i 1
ωC
R
2
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ ωL −
⎟
ω
C⎠
⎝
1
1
ω = ω res =
⇒ ω res L =
ωCres
LC
V =1
tan ϕ = 0
|V|
ω = ωres
Bei Resonanz wird Z minimal, bzw. V = 1 :
Serienschwingkreis Bandpassfilter
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Strom im Serienschwingkreis
Resonanz : ωL = 1/ ωC
Zres = R = min
Resonanz : ωL = 1/ ωC
Blindwiderstände heben sich auf
keine Phasenverschiebung zw. U und I
RLC Parallelschwingkreis
Parallelschwingkreise periodisch angeregt:
Geg: R,L,C
Ue = U0 sin(ωt)
Ges: UA
U
R
V = A =
ω 2LC
UE
R+i
1 − ω 2LC
L und C parallel
C
I(t)
UE
L
UA
R
|V|
R
V =
2
⎛ ω 2LC ⎞
R +⎜
⎟
2
⎝ 1 − ω LC ⎠
1
1
ω = ω res =
⇒ ω res L =
LC
ω resC
2
V =0
tan ϕ = ±∞
ω = ωres
Bei Resonanz wird Z maximal, bzw. V = 0 :
Parallelschwingkreis Bandsperre
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Ströme im Parallelschwingkreis
Ig(t)
IC(t)
IL(t)
≈
C
L
UE(t)
Im Resonanzfall wird der Eingangsstrom minimal und der
Strom durch die Spule und Kondensator maximal !!
Gilt die Knotenregel dann noch Ig = IC + IL ??
Ströme im Parallelkreis
Ig = IC + IL
Spannung an beiden gleich
UC = UL = UE = U0 sin ωt
Ströme
IL = 1/ωL U0 sin(ωt - π/2)
IC = ωC U0 sin(ωt + π /2)
Ströme haben eine π Phasenverschiebung, d.h.
sie fließen entgegengesetzt
Resonanz bei Kreisfrequenz ωres: Ig = 0 ⇒ IL = - IC
ω res =
1
LC
Resonanz: Energie wird nur mehr zwischen L und C hin und hergeschaufelt,
es fließt kein externer Strom mehr, d.h. Eingangswiderstand wird unendlich
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Stromüberhöhung
Wie groß werden die Ströme im Resonanzfall in einem RLC Parallelschwingkreis ?
Ig(t)
IC(t) IL(t)
≈
UE(t)
C
L
IR(t)
UC = UL = UR = UE
R
Bei Resonanzfrequenz ω0 gilt für Ströme (wegen UC = UL = UR = UE):
IL/IR bzw. IL/Ig= R/ω0 L = R /(L/C)1/2
Güte Parallelschwingkreis Qp = R /(L/C)1/2
IC(ω0) = IL(ω0) = Qp IR
Güte: Maß für die Resonanzüberhöhung des Stroms
Ungedämpfte Schwingung
Externe Spannungsquelle liefert elektrische
Leistung zum Ausgleich der Verluste
Schwingung mit konstanter Amplitude.
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Oszillatorbedingung
Unter welchen Bedingungen wird ein Verstärker zu einem Oszillator?
+
Σ
V0
±
Uein
V =
k
U aus
V0
=
U ein 1 m kV0
Uaus
Gesamtverstärkung (Schleifenverstkärkung) des
rückgekoppelten Verstärkers
Wenn 1 ± kV0 = 0, dann geht V →∞ d.h. System wird instabil, es gibt
ein Ausgangssignal obwohl es kein Eingangssignal gibt
k kann komplex sein und wird für Oszillator so gewählt, dass |kV0| = 1
und Phasenverschiebung entweder 180° bei Gegenkopplung („ - “)
bzw. 0 oder 360° bei Mitkopplung („+“) wird
Phasenschieberoszillator
Verstärker mit V0
Rückkoppelnetzwerk 3 Tiefpässe in Serie
60°
60°
60°
Oszillator schwingt bei Frequenz f bei der kV0 = -1 ist
V0 durch RF und RG gegeben
3
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
kTP = ⎜
k
⇒
=
⎟
⎜
⎟
ges
⎝ 1 + iωRC ⎠
⎝ 1 + iωRC ⎠
3
3
1
⎛
⎞
⎛ 1 ⎞ 3 i 60o
kV0 = V0 ⎜
⎟ = V0 ⎜ ⎟ e
⎝ 1 + iωRC ⎠
⎝2⎠
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Kippschwingung
Kondensator geladen
Spannung steigt
Glimmlampe G zündet
Kondensator wird entladen
Teslatransformator
Niederfrequenztrafo
Primärseite 230 V 500Wdg, Sekundär 23000Wdg ⇒ 10kV
C und L der Primärspule bilden Schwingkreis, wenn Funkenstrecke F
gezündet: Gedämpft Schwingung mit Frequenz f =100kHz … MHz
Abklingkonstante < 1ms
Hochfrequenzschwingung dΦ/dt groß, daher hohe Spannung in
Sekundärspule, Resonanzüberhöhung in Sekundärkreis weitere Erhöhung
möglich (Csek Leitungskapazitäten)
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TESLA Transformator Experimente
Frage 1: Warum passiert einem nichts?
Spannungen bis einige 100kV (MV möglich)
Widerstand Körper kΩ, Strom > mA Gefährdung
Frage 2: Warum leuchtet die Leuchtstoffröhre, obwohl nicht angeschlossen
Widerstand bei hohen Frequenzen
1. Wechselstromwiderstand eines Leiters mit Widerstand und Induktivität
Z=R+iωL
Für hohe Frequenzen (ω > ωg) dominiert der Blindanteil,
d.h. die Impedanz nimmt mit der Frequenz zu
Widerstand /Länge R / l = ρ / A
Induktivit ät/Länge L / l ≈ µ0 / 4
Grenzfrequenz ωg =
R 4ρ
=
L µ0 A
Beispiel: Leiterschleife aus Kupfer
Drahtquerschnitt sei A = 1mm2; ρ = 1.7 ·10-8 Ω m.
Grenzfrequenz:
ωg ≈ 50000 Hz
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Widerstand bei hohen Frequenzen Skineffekt
Bei hohen Frequenzen wird der Strom im Inneren des Leiters verdrängt:
Grund: Magnetfeld, das ein dem äußeren E-Feld entgegengesetztes
Feld induziert (Lenzsche Regel)
Nur an den Oberflächen fließt dann noch ein Strom, in einer Schicht,
mit Dicke d (Eindringtiefe)
d=
2ρ
µ r µ0ω
ρ spez. Widerstand, ω Frequenz
µrµ0 magnet. Suszeptibilität
Stromdichte im Leiter fällt exponentiell mit
dem Abstand t vom Rand ab: j ~ e-t/d
Wirkwiderstand erhöht da Leitung in einem Kabel mit Durchmesser D
verfügbare Fläche von A~ D2 nur noch A ~ D ·d << D2 beträgt! .
Beispiel: Kupferdraht Eindringtiefen als Funktion der Frequenz
f = 50 Hz d = 9 mm; f = 1kHz d = 2 mm; f = 1MHz d = 0.07 mm
Skineffekt und Mensch
Kann Widerstandserhöhung durch Skineffekt, wirklich das
Ergebnis der Versuche mit dem Teslatransformator erklären?
Annahme f = 1MHz, Mensch (Wasser) ρ = 0.3Ωm, µr = 1
d=
2ρ
µr µ0ω
≈ 27cm
Widerstandserhöhung durch Skineffekt nicht signifikant!
Nerven reagieren nicht mehr auf Hochfrequenz (> 20KHz), kein
Schmerzempfinden!
Gefahr: Leistung wird trotzdem in Körper deponiert,
Nerven, Gewebe „verbrennt“ ohne, es zu spüren
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