Einführung in die Statistik für WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. K. Ritter
B. Debrabant
T. Wagner
Dr. M. Doering
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2007
04./05.07.2007
Einführung in die Statistik
für WInf, LaB, CE, Inf BSc etc.
6. Übung
Gruppenübungen
Aufgabe G16
In einem Betrieb werden Muttern hergestellt, deren Durchmesser (in mm) als Realisierung
von unabhängigen, identisch N(µ, 0.04)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn aufgefasst
werden können. Bei einer Stichprobe vom Umfang n = 25 ergab sich das empirische Mittel
x25 = 63.2.
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Niveau α = 0.05 die Nullhypothese
Θ0 := {63}.
b) Geben Sie alle µ0 ∈ R an, für welche die Nullhypothese mit obigen Daten bei Verwendung des Tests aus Aufgabenteil a) zum Niveau α = 0.05 nicht verworfen wird.
c) Berechnen Sie aus den gegebenen Daten die Realisierung des Konfidenzintervalls für
µ zum Niveau 1 − α = 0.95 und vergleichen Sie mit Ihrem Resultat aus b).
Aufgabe G17
Die Daten x1 , . . . , x25 seien eine Realisierung von 25 unabhängigen, identisch N(µ, σ 2 )verteilten Zufallsvariablen mit unbekannten reellen Parametern µ und σ > 0. Eine Aus25
25
P
P
wertung ergibt
xi = 17475 und
x2i = 12 215 865.
i=1
i=1
a) Bestimmen Sie die Realisierung des Konfidenzintervalls für µ zum Niveau 1 − α = 0.9.
b) Konstruieren Sie durch die Angabe einer Teststatistik und eines kritischen Bereichs
einen Signifikanztest zum Niveau α ∈ ]0, 1[ zum Testen der einseitigen Hypothese
Θ0 = [µ0 , ∞[ × ]0, ∞[.
c) Überprüfen Sie die Hypothese Θ0 := [700, ∞[ × ]0, ∞[ mit dem in b) konstruierten
Test zum Niveau α = 0.05.
Hausübungen
Abgabe bis 13. Juli, 12.00 Uhr
Briefkasten: S2 15 (Mathebau), 3. Obergeschoss, auf Uebungsgruppe achten.
Diese Hausuebung geht genauso wie die 5 vorherigen in die Berwertung ein.
Aufgabe H31
Ein Automat füllt Zucker in gleichgroße Tüten ab. Man kann dabei annehmen, dass die
Füllmengen [in g] eine Realisierung von unabhängigen, identisch N(µ, σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn darstellen, wobei die Varianz σ 2 > 0 als bekannt vorausgesetzt
wird. Die Hypothese Θ0 := {µ0 } soll mit Hilfe des Gauß-Tests zum Niveau α ∈ ]0, 1[ geprüft
werden.
a) Es liege eine Realisierung x1 , . . . , xn mit empirischem Mittel xn vor. Betrachten Sie
p(x) = P µ0 (|gn (X)| ≥ |gn (x)|),
also die Wahrscheinlichkeit unter der Hypothese dafür, dass der Betrag der Testgröße
den beobachteten Wert oder einen größeren annimmt. Zeigen Sie, dass die Hypothese
Θ0 genau dann abzulehnen ist, wenn p(x) ≤ α gilt.
b) Gehen Sie von σ = 1 [g], µ0 = 1000 [g] und x25 = 999.5 [g] aus. Berechnen Sie p(x)
und geben Sie alle reellen Zahlen 0 < α < 1 an, bei denen der Signifikanztest zum
Niveau α zur Ablehnung führt.
Aufgabe H32
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert µ ∈ R =: Θ
und bekannter Varianz σ 2 . Wir betrachten das Testproblem zur Hypothese
Θ0 := [µ0 , ∞[.
Die Stichprobe x1 , . . . , xn sei eine Realisierung von n unabhängigen, identisch wie X verteilten Zufallsvariablen.
a) Geben Sie einen Verwerfungsbereich Rn an, der einen Signifikanztest zu einem gegebenen Niveau α definiert.
b) Für eine gegebene Stichprobe von 20 unabhängigen N(µ, 4)-verteilten Zufallsvariablen
sei x̄20 = 11. Testen Sie unter Verwendung des Ergebnisses in a) für α = 0.01 die
Hypothese Θ0 = [12, ∞[.
(bitte wenden)
Aufgabe H33
Eine Maschine verpackt Kaffee in Tüten zu je 500 [g]. Man kann dabei annehmen, dass die
Füllmengen eine Realisierung von unabhängigen und identisch N(µ, 1)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind. Die Hypothese Θ0 := ] − ∞, 500] soll mit Hilfe des einseitigen
Gauß-Tests zum Niveau α = 0.05 überprüft werden.
a) Bestimmen Sie die Operationscharakteristik des Tests in Abhängigkeit von n.
b) Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit
für einen Fehler 2. Art bei einem tatsächlich vorliegenden Wert µ ≥ 500.5 höchstens
0.01 beträgt?
c) Skizzieren Sie für n = 64 den Graphen der Operationscharakteristik für µ ∈ [499.7; 500.7].
Aufgabe H34
Es soll auf der Grundlage von 20 Neugeborenen die Hypothese geprüft werden, dass die
Wahrscheinlichkeit für einen Jungen 40% beträgt. Da die Stichprobe einen geringen Umfang
besitzt, soll nicht approximativ mit der Normalverteilung gearbeitet werden. Als Teststatistik dient die Anzahl der männlichen Neugeborenen in der Stichprobe.
a) Geben Sie für das Testproblem die Verteilungsannahme, den Stichprobenraum, den
Parameterraum sowie die Hypothese an.
b) Bestimmen Sie einen möglichst großen kritischen Bereich der Form
{0, . . . , k1 } ∪ {k2 , . . . , 20}
mit natürlichen Zahlen 0 < k1 < k2 < 20, so dass durch den zugehörigen Verwerfungsbereich ein Signifikanztest zum Niveau α = 0.05 definiert wird.
c) Wie groß ist bei dem durch b) gegebenen Test die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2.
Art für den Fall, dass Mädchen- und Jungengeburten gleichwahrscheinlich sind?
Aufgabe H35
Ein Schweinezüchter möchte Informationen über das Gewicht seiner ausgewachsenen Mastschweine gewinnen. Dazu wiegt er 16 seiner Schweine und erhält die Daten
16
X
i=1
xi = 1 584 [kg],
16
X
(xi − x16 )2 = 375 [kg2 ],
i=1
wobei x1 , . . . , x16 als Realisierung von unabhängigen, identisch normalverteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , X16 angesehen werden.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe von erwartungstreuen Schätzfunktionen konkrete Schätzwerte
für den Erwartungswert und die Varianz des Gewichts eines Schweines.
b) Geben Sie in Abhängigkeit von α ∈ ]0, 1[ ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert des Gewichts eines Schweines zum Konfidenzniveau 1 − α an.
c) Bestimmen Sie die Realisierung des Konfidenzintervalls aus b) zum Niveau 1 − α =
0.98. Runden Sie dabei das verwendete Quantil auf zwei Stellen nach dem Komma.
Aufgabe H36
Die Lebensdauer (in Betriebsstunden) der Glühbirnen in einem neugebauten Fußballstadion wird durch unabhängige, identisch exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter
λ = ln(1.25)/1000 modelliert.
a) Ein Flutlichtmast enthält 10 000 Glühbirnen. Berechnen Sie mit Hilfe des Zentralen
Grenzwertsatzes näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 1 000 Betriebsstunden noch mehr als 8 040 Lampen funktionstüchtig sind.
Für einen weiteren Stadionneubau sollen für die Flutlichtmasten auch die Glühbirnen des
obigen Typs verwendet werden. Aufgrund eines neuen FIFA-Statuts muss aber gewährleistet sein, dass nach 1 000 Betriebsstunden mit mindestens 99% Wahrscheinlichkeit noch
mehr als 9 000 Glühbirnen des Flutlichtmastes funktionstüchtig sind.
b) Leiten Sie eine Ungleichung für die Anzahl der Lampen her, die dieser Flutlichtmast
näherungsweise enthalten muss, um obige Bedingung zu erfüllen. Verwenden
√ Sie dabei
den Zentralen Grenzwertsatz. Die Ungleichung soll von der Form a · n + b · n ≥ c mit
a, b, c ∈ R sein.
Informationen zur Semestralklausur
• Termin: 07.07.07, 13.30–15.30 Uhr
• Raumeinteilung:
S3 11/08
M, MCS BSc, LaG
S3 11/0012 alle anderen (also WInf, LaB, BI, Inf, Inf BSc, CE, etc.)
• Bitte rechtzeitig im entsprechendem Raum einfinden.
• Bitte eigenes Papier mitbringen!
• Formelsammlung und Quantilstabellen werden gestellt.
• Geprueft wird der Inhalt der Vorlesung bis einschliesslich Kapitel 7.2 sowie die WinfUebungen(einschliesslich Hausuebungen) 1-5.