Vortrag 7 - Zsofia - Hilbert und Modelle für Hilbert
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I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Modelle für Hilbert-Axiome Hilbertebenen, Schneiden von Kreisen Zsófia Pröhle Literatur: • R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer Verlag New York (2000), Kapitel 2.10-2.11 • D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig, B.G. Teubner (1903) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 1 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Hilbert-Axiome – Axiome der Verknüpfung – Axiome der Anordnung – Axiome der Kongruenz – (Axiome der Parallelen und der Stetigkeit) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 2 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Hilbert-Axiome – Axiome der Verknüpfung – Axiome der Anordnung – Axiome der Kongruenz – (Axiome der Parallelen und der Stetigkeit) „Die Geometrie bedarf […] zu ihrem folgerichtigen Aufbau nur weniger und einfacher Grundsätze. Diese Grundsätze heißen Axiome der Geometrie. Die Aufstellung der Axiome der Geometrie und die Erforschung ihres Zusammenhanges […] läuft auf die logische Analyse unserer räumlichen Anschauung hinaus.“ -- D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (S.1) -- 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 2 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte 06.04.2016 Geraden Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Ebenen Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte Geraden Ebenen Elemente der linearen Geometrie 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte Elemente der linearen Geometrie 06.04.2016 Geraden Ebenen Elemente der ebenen Geometrie Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte Elemente der linearen Geometrie 06.04.2016 Geraden Elemente der ebenen Geometrie Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Ebenen Elemente der räumlichen Geometrie Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte Elemente der linearen Geometrie Geraden Elemente der ebenen Geometrie Ebenen Elemente der räumlichen Geometrie – Beziehungen: „liegen“, „zwischen“, „kongruent“, „stetig“ 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Die Elemente der Geometrie – „Verschiedene Systeme von Dingen“ (Hilbert): Punkte Elemente der linearen Geometrie Geraden Elemente der ebenen Geometrie Ebenen Elemente der räumlichen Geometrie – Beziehungen: „liegen“, „zwischen“, „kongruent“, „stetig“ – Beschreibung der Beziehungen durch die Axiome der Geometrie 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 3 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Hilbertebene Definition: Die Hilbertebene ist eine Menge (von Punkten) zusammen mit bestimmten Teilmengen (Geraden), sowie mit den Begriffen der Anordnung und Kongruenz für Strecken und Winkel, welche die Axiome (I1)-(I3), (B1)-(B4) und (C1)-(C6) erfüllen. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 4 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Hilbertebene Definition: Die Hilbertebene ist eine Menge (von Punkten) zusammen mit bestimmten Teilmengen (Geraden), sowie mit den Begriffen der Anordnung und Kongruenz für Strecken und Winkel, welche die Axiome (I1)-(I3), (B1)-(B4) und (C1)-(C6) erfüllen. – Das Axiom der Parallelen (P) ist nicht dabei! 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 4 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Hilbertebene Definition: Die Hilbertebene ist eine Menge (von Punkten) zusammen mit bestimmten Teilmengen (Geraden), sowie mit den Begriffen der Anordnung und Kongruenz für Strecken und Winkel, welche die Axiome (I1)-(I3), (B1)-(B4) und (C1)-(C6) erfüllen. – Das Axiom der Parallelen (P) ist nicht dabei! Satz: Alle Sätze von Euklid (I.1)-(I.28) ausser (I.1) und (I.22) können in einer beliebigen Hilbertebene bewiesen werden. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 4 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Satz I.1 Über einer gegebenen Strecke ist ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 5 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Satz I.1 Über einer gegebenen Strecke ist ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Probleme: 1. Schneiden sich die beiden Kreise? 2. Gleichseitiges Dreieck auf einer Strecke in der Hilbertebene? Folgt nicht aus den Axiomen! 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 5 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Satz I.1 Über einer gegebenen Strecke ist ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. Probleme: 1. Schneiden sich die beiden Kreise? 2. Gleichseitiges Dreieck auf einer Strecke in der Hilbertebene? Folgt nicht aus den Axiomen! – Die Existenz von gleichschenkligen Dreiecken kann bewiesen werden (Hartshorne 10.2). 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 5 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Satz I.22 In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten immer länger als die dritte. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 6 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Satz I.22 In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten immer länger als die dritte. – Konstruktion von Euklid: 1. Zeichne eine Strecke a (≡BC), 2. Zeichne einen Kreis mit Radius b und Mittelpunkt C 3. Zeichne einen Kreis mit Radius c und Mittelpunkt B – Dort, wo die beiden Kreise sich schneiden, ist A ??? 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 6 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Konstruktionen mit den Hilbert-Werkzeugen 06.04.2016 Hilbert-tools: Euklid-tools: Axiome Massstab (Lineal) und Zirkel (I1) Lineal (C1) Zirkel (C4) Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Transporter von Winkeln Seite 7 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Konstruktionen mit den Hilbert-Werkzeugen Hilbert-tools: Euklid-tools: Axiome Massstab (Lineal) und Zirkel (I1) Lineal (C1) Zirkel (C4) Beispiel: Transporter von Winkeln Gegeben eine Strecke AB, wähle einen Punkt C so, dass er nicht auf der von AB bestimmten Gerade liegt. 1. Zeichne AC. 2. Zeichne BC, und nimm an, dass ∢(CAB) < ∢(CBA). 3. Transportiere ∢(CAB) zu ∢(ABE), und suche Punkt D. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 7 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Definitionen Seien O und A zwei verschiedene Punkte. Der Kreis Γ mit Mittelpunkt O und Radius OA ist die Menge aller Punkte B, so dass OA ≡ OB. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 8 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Definitionen Seien O und A zwei verschiedene Punkte. Der Kreis Γ mit Mittelpunkt O und Radius OA ist die Menge aller Punkte B, so dass OA ≡ OB. Sei Γ ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OA. Der Punkt B ist innerhalb Γ, wenn B = O oder OB < OA, und ausserhalb Γ, wenn OA < OC. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 8 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Definitionen Seien O und A zwei verschiedene Punkte. Der Kreis Γ mit Mittelpunkt O und Radius OA ist die Menge aller Punkte B, so dass OA ≡ OB. Sei Γ ein Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OA. Der Punkt B ist innerhalb Γ, wenn B = O oder OB < OA, und ausserhalb Γ, wenn OA < OC. Die Gerade ℓ ist tangential zum Kreis Γ, wenn ℓ und Γ sich nur in einem Punkt berühren. Ebenso ist der Kreis Γ tangential zum Kreis Δ, wenn sie sich in genau einem Punkt berühren. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 8 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Sätze Der Mittelpunkt eines Kreises ist eindeutig. (Hartshorn 11.1) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 9 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Sätze Der Mittelpunkt eines Kreises ist eindeutig. (Hartshorn 11.1) (Hartshorn 11.2) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 9 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Sätze Der Mittelpunkt eines Kreises ist eindeutig. (Hartshorn 11.1) (Hartshorn 11.2) Enthält eine Gerade ℓ einen Punkt des Kreises Γ, ist aber nicht tangential zu Γ, so schneidet sie Γ in genau zwei Punkten. (Hartshorn 11.3) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 9 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Sätze Der Mittelpunkt eines Kreises ist eindeutig. (Hartshorn 11.1) (Hartshorn 11.2) Enthält eine Gerade ℓ einen Punkt des Kreises Γ, ist aber nicht tangential zu Γ, so schneidet sie Γ in genau zwei Punkten. (Hartshorn 11.3) Schneiden sich zwei Kreise in einem Punkt, sind aber nicht tangential, so schneiden sie sich in genau zwei Punkten. (Hartshorn 11.5) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 9 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Schneiden von Kreisen: Sätze Der Mittelpunkt eines Kreises ist eindeutig. (Hartshorn 11.1) (Hartshorn 11.2) Enthält eine Gerade ℓ einen Punkt des Kreises Γ, ist aber nicht tangential zu Γ, so schneidet sie Γ in genau zwei Punkten. (Hartshorn 11.3) Schneiden sich zwei Kreise in einem Punkt, sind aber nicht tangential, so schneiden sie sich in genau zwei Punkten. (Hartshorn 11.5) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle (Hartshorn 11.4) Seite 9 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Axiom E: Kreis-Kreis Schnittpunkt Eigenschaft E: Seien Γ und Δ zwei Kreise. Enthält Δ mindestens einen Punkt innerhalb Γ und mindestens einen Punkt ausserhalb Γ, so schneiden sich die beiden Kreise. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 10 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Axiom E: Kreis-Kreis Schnittpunkt Eigenschaft E: Seien Γ und Δ zwei Kreise. Enthält Δ mindestens einen Punkt innerhalb Γ und mindestens einen Punkt ausserhalb Γ, so schneiden sich die beiden Kreise. Schneiden sich zwei Kreise, so schneiden sie sich in genau zwei Punkten. 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 10 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Axiom E: Kreis-Kreis Schnittpunkt Eigenschaft E: Seien Γ und Δ zwei Kreise. Enthält Δ mindestens einen Punkt innerhalb Γ und mindestens einen Punkt ausserhalb Γ, so schneiden sich die beiden Kreise. Schneiden sich zwei Kreise, so schneiden sie sich in genau zwei Punkten. Enthält eine Gerade ℓ einen Punkt innerhalb des Kreises Γ, so schneiden sich ℓ und Γ (zwangsläufig in 2 Punkten) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Seite 10 I-Math, Seminar Euklidische Geometrie Universitätseinheit Axiom E: Kreis-Kreis Schnittpunkt Eigenschaft E: Seien Γ und Δ zwei Kreise. Enthält Δ mindestens einen Punkt innerhalb Γ und mindestens einen Punkt ausserhalb Γ, so schneiden sich die beiden Kreise. Schneiden sich zwei Kreise, so schneiden sie sich in genau zwei Punkten. Enthält eine Gerade ℓ einen Punkt innerhalb des Kreises Γ, so schneiden sich ℓ und Γ (zwangsläufig in 2 Punkten) 06.04.2016 Modelle für Hilbert-Axiome, Zsófia Pröhle Es folgen (I.1) und (I.22) Seite 10
