Geometrische Algorithmen Einf¨uhrung Teil I Scan

Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Einführung
Einführung
Geometrische Algorithmen
Motivation
Effiziente Algorithmen, die aufgrund geometrischer Daten (v.a.
Koordinaten) im d-dimensionalen Raum gewisse
Eigenschaften ausnutzen
Bin Hu
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen
Institut für Computergraphik und Algorithmen
Technische Universität Wien
Anwendung
Bildverarbeitung
Computergraphik
Chip Design
...
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line Prinzip
Grundlagen
Scan-Line Prinzip
Idee
Gegeben eine Menge von Objekten in einem 2D Raum
Teil I
Scan-Line Prinzip
Vertikale Linie fegt v.l.n.r. über die Objektmenge und
betrachtet nur Objekte, die gegenwärtig relevant sind
Statisches 2D Problem → dynamisches 1D Problem
Aufteilung der Objekte bezüglich Scanline L
Tote Objekte – liegen vollständig links von L
Aktive Objekte – werden gegenwärtig von L geschnitten
Inaktive Objekte – liegen rechts von L, werden zukünftig
von L geschnitten
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Einführung
Einführung
Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Aufgabenstellung
Gegeben: n horizontale und vertikale Liniensegmente
s1 , . . . , sn
Gesucht: Alle Paare sich schneidender Segmente
Vereinfachte Annahme
Alle Anfangs- und Endpunkte horizontaler Segmenten und alle
vertikalen Segmente haben paarweise verschiedene
x-Koordinaten
H
F
B
C
A
E
G
Naives Verfahren
Alle Paare von Liniensegmenten auf Schnitt testen.
Laufzeit: O(n2 )
D
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Algorithmus
Scan-Line Verfahren
Scan-Line L fegt v.l.n.r. über die Fläche und trifft auf die
Liniensegmente. Mögliche Fälle:
1
Anfangspunkt eines horizontalen Segments s:
s in L einfügen
2
Endpunkt eines horizontalen Segments s:
s aus L löschen
3
Vertikales Segment s:
s mit allen Liniensegmenten in L auf Schnitt testen
Bemerkung
Scan-Line muss sich nicht kontinuierlich fortbewegen
⇒ Es genügt, Haltepunkte bei relevanten Ereignissen zu
setzen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Algorithmus
Algorithmus 1 Scan-Line für iso-orientierte Liniensegmente
1: Q = Menge der Haltepunkte in aufsteigender x-Reihenfolge;
2: L = ∅ ; // Menge der aktiven Segmente, nach y sortiert
3: solange (Q 6= ∅) {
4:
p = nächster Haltepunkt von Q;
5:
falls (p Anfangspunkt eines h. Segments s) dann {
6:
Füge s in L ein;
7:
} sonst {
8:
falls (p Endpunkt eines h. Segments s) dann {
9:
Entferne s aus L;
10:
} sonst {
11:
// p ist x-Wert eines v. Segments [(p, yu ), (p, yo )]
12:
Für alle h. Segmente t aus L mit y-Koord. zwischen
[yu , yo ]: gebe (s, t) als sich schneidendes Paar aus;
13:
}
14:
}
15: }
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Algorithmus
Algorithmus
Beispiel:
B
C
Realisierung von L?
Benötigte Operationen:
A
D
1
Einfügen eines neuen Elements
2
Entfernen eines Elements
3
Bestimmen aller Elemente in [(p, yu ), (p, yo )]
(Bereichsabfrage)
E
A A AAADD 0
EDDE
EE
(A,B)
Mögliche Datenstrukturen
Balancierte Binärbäume (AVL, Rot-Schwarz, etc.)
Randomisierte Skiplisten
...
(A,C)
(C,D)
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt iso-orientierter Liniensegmente
Analyse
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Einführung
Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Aufgabenstellung
Analyse
Bereichsabfrage: O(log n + r ) mit
r = Anzahl der Elemente zwischen [(p, yu ), (p, yo )]
Gesamtlaufzeit: O(n log n + R) mit
R = Anzahl der sich schneidenden Segmente
Gegeben: Menge S = {s1 , . . . , sn } von n Liniensegmenten
in der Ebene
Gesucht: Menge echter Schnittpunkte (Kreuzung von
Segmenten, die keine Endpunkte sind)
y
x
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Einführung
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Einführung
Beobachtungen
Schneiden sich Segmente si mit sj , dann...
Vereinfachende Annahmen
Kein Segment ist senkrecht
Schnitt zweier Segmente ist leer oder genau ein Punkt
Nie mehr als 2 Segmente schneiden sich in einem Punkt
Alle Endpunkte und Schnittpunkte haben paarweise
verschiedene x-Koordinaten
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
waren si und sj “Nachbarn” unmittelbar vor dem
Schnittpunkt
⇒ Es genügt, nur benachbarte Segmente auf Schnitt zu
testen
vertauscht sich die Anordnung von si und sj in L nach dem
Schnittpunkt
⇒ Schnittpunkte sind auch Ereignisse
⇒ Sie werden während des Scans dynamisch zur
Ereignisstruktur hinzugefügt
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
40
Zu betrachende Ereignisse
Anfang eines Segments
Ende eines Segments
Schnitt zweier Segmente
Verwendete Datenstrukturen
Ereignisstruktur ES: speichert Ereignisse, aufsteigend
nach x-Koordinaten sortiert
Initialisierung: Anfangs- und Endpunkte aller Segmente
Scan-Line-Status Struktur SSS: speichert die aktiven
Segmente, nach y -Koordinaten sortiert
Initialisierung: Leere Menge
KAPITEL 3. GEOMETRISCHE ALGORITHMEN
Algorithmus 14 Algorithmus für das Segment-Schnitt Problem in allgemeiner Lage
Initialisiere ES und SSS;
Sortiere die 2n Endpunkte aufsteigend nach x-Koordinate;
Speichere resultierende Ereignisse in ES ;
solange ES nicht leer {
E = ES.NächstesEreignis();
falls E ist Segment Anfang dann {
SSS.FügeEin(E.Segment);
VS = SSS.Vorg(E.Segment);
E 0 = TesteSchnittErzeugeEreignis(E,VS);
falls E 0 6= ∅ dann {
ES.FügeEin(E’);
}
NS = SSS.Nachf(E.Segment);
0
E = TesteSchnittErzeugeEreignis(E,NS);
falls E 0 6= ∅ dann {
ES.FügeEin(E’);
}
}
falls E ist Segment Ende dann {
VS = SSS.Vorg(E.Segment);
NS = SSS.Nachf(E.Segment);
SSS.Entferne(E.Segment);
E 0 = TesteSchnittErzeugeEreignis(VS,NS)
falls E 0 6= ∅ dann {
ES.FügeEin(E’);
}
}
falls E ist Schnittpunkt dann {
Gib E.SegmentO und E.SegmentU aus;
SSS.Vertausche(E.SegmentO,E.SegmentU);
VS= SSS.Vorg(E.SegmentU);
E 0 =TesteSchnittErzeugeEreignis(E.SegmentU,VS);
falls E 0 6= ∅ dann {
ES.FügeEin(E’);
}
NS = SSS.Nachf(E.SegmentO);
E 0 = TesteSchnittErzeugeEreignis(E.SegmentO,NS);
falls E 0 6= ∅ dann {
ES.FügeEin(E’);
}
}
}
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
Algorithmus 2 Scan-Line für allgemeine Liniensegmente
Initialisiere ES und SSS;
solange ES nicht leer {
E = ES.NächstesEreignis();
falls E ist Segment Anfang dann {
...
}
falls E ist Segment Ende dann {
...
}
falls E ist Schnittpunkt dann {
...
}
}
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
Fall 1: E ist Anfang eines Segments
1
E in Scan-Line-Status Struktur SSS einfügen
2
E mit seinem Vorgänger auf Schnitt testen
Gegebenenfalls Schnittpunkt in Ereignisstruktur ES
einfügen
3
E mit seinem Nachfolger auf Schnitt testen
Gegebenenfalls Schnittpunkt in Ereignisstruktur ES
einfügen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Algorithmus
Fall 3: E ist Schnittpunkt zweier Segmente so und su
Fall 2: E ist Ende eines Segments
1
2
Vorgänger und Nachfolger von E auf Schnitt testen
Gegebenenfalls Schnittpunkt in Ereignisstruktur ES
einfügen
1
E als Schnittpunkt von so und su ausgeben
2
Reihenfolge von so und su in Scan-Line-Status Struktur
SSS vertauschen
3
su mit seinem Vorgänger auf Schnitt testen
Gegebenenfalls Schnittpunkt in Ereignisstruktur ES
einfügen
4
so mit seinem Nachfolger auf Schnitt testen
Gegebenenfalls Schnittpunkt in Ereignisstruktur ES
einfügen
E aus Scan-Line-Status Struktur SSS entfernen
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Scan-Line für Schnitt von allgemeinen Liniensegmenten
Analyse
Zusammenfassung
Analyse
Anzahl der Ereignisse: 2n + k mit
k = Anzahl der Schnittpunkte, k = O(n2 )
Zusammenfassung
Zugriff auf Ereignisstruktur ES: O(log n2 ) = O(log n)
Scan-Line fegt über eine Menge von Objekten
Zugriff auf Scan-Line-Status Struktur SSS: O(log n)
Unterteilung: Tote Objekte, Aktive Objekte, Inaktive
Objekte
Äußere Schleife wird maximal 2n + k mal durchlaufen
Nur gegenwärtig Aktive Objekte werden betrachtet
Pro Durchlauf maximal 5 Operationen auf ES und SSS
Statisches 2D Problem → dynamisches 1D Problem
Gesamtaufwand: O((n + k) log n)
Speicheraufwand: O(n2 )
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Aufgabenstellung
Gegeben
Teil II
k-dimensionaler, rechteckiger Bereich D
n Punkte im k -dimensionalen Raum
Mehrdimensionale Bereichssuche
Gesucht
Alle Punkte, die in D liegen
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Mehrdimensionale Bereichssuche
Lösungsansätze
Beispiele
1-dimensionaler Fall
Realisierung: Balancierte Binärbäume, Skiplisten, etc.
Beispiele
k = 1: Zahlen in einer Folge zwischen a und b
Aufwand: O(log n + R), R . . . Anzahl der Punkte im Bereich
k = 2: Städte in einem Quadrat mit 100 km Seitenlänge
und Mittelpunkt Wien
k > 2: Datenbankabfragen: Personen mit Eigenschaften
Höhere Dimensionen
Naive Methode: alle Punkte durchtesten → O(k · n)
haben Informatik studiert
zwischen 25 und 39 Jahre alt
jährliches Einkommen zwischen 30.000,- und 50.000,besitzen kein Handy
Grid-Methode: Suchraum in Gridzellen unterteilen
Mehrdimensionale Bäume
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Mehrdimensionale Bereichssuche
Suche
Zweidimensionale Bäume
A
C
G
D
B
E
B
A
E
D
G
C
F
Struktur wie binäre Suchbäume
Knoten representieren Punkte
Verwendet abwechselnd x- und y -Koordinaten als
Schlüssel
F
Algorithmus 3 Bereichssuche(Knoten p, Richtung d, Bereich D)
falls p 6= NULL dann {
falls d == vert dann {
(l, r ) = (D.y1 , D.y2 );
coord = p.y;
rNeu = horiz;
} sonst {
(l, r ) = (D.x1 , D.x2 );
coord = p.x;
rNeu = vert;
}
falls p ∈ D dann Ausgabe von p;
falls l < coord dann Bereichssuche(p.left, rNeu, D);
falls coord < r dann Bereichssuche(p.right, rNeu, D);
}
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Aufbau
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Aufbau
Vorgangsweise
Aufbau
Erstellung eines effizienten Baums?
→ Möglichst balanciert, damit Höhe in O(log n)
1
Punkte nach x- bzw. y -Koordinaten sortieren
→ Folgen X und Y
2
Folge Y am Median-Element aufteilen
→ Median-Element kommt in die Wurzel
→ Teilfolgen Y1 und Y2 (beide etwa gleich lang)
→ Teilfolgen X1 und X2 :
dieselben Elemente wie in Y1 und Y2
in gleicher Reihenfolge wie in X
3
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Aufbau
Algorithmus 4 Aufbau(l, r , knoten, Xdir )
falls l ≤ r dann {
m = d l+r
2 e;
falls Xdir == true dann {
knoten.eintrag = X [m];
Partitioniere Feld(Y , l, r , m);
} sonst {
knoten.eintrag = Y [m];
Partitioniere Feld(X , l, r , m);
}
lsohn = neuer linker Sohn(knoten);
rsohn = neuer rechter Sohn(knoten);
Aufbau(l, m − 1, lsohn, !Xdir );
Aufbau(m + 1, r , rsohn, !Xdir );
}
Analoge Fortsetzung mit X1 und Y1 , sowie X2 und Y2 , usw.
bis Teilfolgen aus einem Element → Blätter des Baumes
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Analyse
Aufbau
Rekursion: T (n) = 2T ( n2 ) + c · n
→ Θ(n log n)
Bereichsabfrage
√
O( n + R), R . . . Anzahl der Punkte im Bereich
Geometrische Algorithmen
Geometrische Algorithmen
Mehrdimensionale Bereichssuche
Mehrdimensionale Bereichssuche
Höhere Dimensionen
Zusammenfassung
Erweiterung auf kD Bäume
Analog wie 2D Bäume alle Dimensionen (in abwechselnder
Reihenfolge) durchlaufen
Zusammenfassung
Effiziente Bereichsabfrage mittels mehrdimensionale
Bäume
Jede Ebene entspricht eine bestimmte Dimension
Performance
Aufbau: Θ(k · n log n)
1
Suche: O(k · n1− k + R)
Aufbau des Baumes mittels Aufteilung der sortierten
Punktefolge an den Median-Elementen → balanciert
Suche analog wie bei Binärbäumen, unter Beachtung der
aktuellen Dimension