Übung Praktische Informatik I - pi4

Übung Praktische Informatik I
HWS 2008/2009
Benjamin Guthier
Lehrstuhl für Praktische Informatik IV
Universität Mannheim
[email protected]
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 1
Heutige große Übung
• Evaluation der großen Übung
• B-Bäume vom vorigen Mal
• Komplexität von Algorithmen
• Testverfahren
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 2
B-Bäume
• Ein B-Baum ist Baum mit folgenden Eigenschaften
•
•
•
•
•
•
Rang m > 2
Jeder Knoten hat höchstens m und mindestens m/2 Nachfolger
Wurzel hat mindestens zwei Nachfolger
Jeder Knoten hat genau einen Schlüssel weniger als Nachfolger
Alle Blattknoten haben die gleiche Tiefe
Blattknoten haben keine Nachfolger
• Tafelbeispiel...
• Aus den Eigenschaften folgt
• B-Baum garantiert eine gewisse Balanciertheit
• Wächst und schrumpft in Richtung der Wurzel
• B-Baum hat geringere Tiefe als Binärbaum mit gleicher
Schlüsselanzahl
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 3
B-Bäume (cont.)
• Große Werte für Rang m sind üblich
• Beispiel m=200: Knoten haben 200 Nachfolger und 199 Schlüssel
• Spezialfall m=4:
2-3-4-Baum
• Jeder Knoten hat höchstens vier und mindestens zwei Nachfolger
• Obiges gilt auch für die Wurzel
• Knoten haben entweder einen, zwei oder drei Schlüssel
• Variante B+-Bäume werden im NTFS-Dateisystem eingesetzt
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 4
Einfügen in B-Baum
• Einfügen ähnlich wie in Binärbaum
• Einfügen beginnt im Wurzelknoten
• Einfügestelle (Blattknoten) wird gesucht
• Füge Wert in sortierte Schlüssel-Liste des Blattknotens ein
• Es kann passieren, dass Schlüssel-Liste nun mehr als m-1 Schlüssel
enthält. Dann:
• Teile betroffenen Blattknoten in zwei Hälften (Split)
• Jede Hälfte speichert halbe Schlüssel-Liste
• Ziehe ehemals mittleren Schlüssel in den Elternknoten
• Enthält Elternknoten nun m Schlüssel, fahre rekursiv mit Split des
Elternknoten fort
• Split der Wurzel führt zum Einfügen eines neuen Wurzelknotens über
beiden Hälften der alten Wurzel
• Tafelbeispiel...
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 5
Komplexität von Algorithmen
• Komplexität (Laufzeit) ist wichtiges Vergleichskriterium bei Algorithmen
• Abschätzung der Komplexität:
•
•
•
•
Welche Größe ist die Eingabelänge n?
Was sind die Grundoperationen des Algorithmus?
Was ist deren Komplexität?
Wie oft werden die Grundoperationen in Abhängigkeit von n
ausgeführt?
• Komplexität = Komplexität der Grundoperationen und Häufigkeit deren
Ausführung
• Ist Funktion von n
• Vereinfachen zu Ausdruck in O-Notation mittels Rechenregeln
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 6
Komplexität von Algorithmen (2)
• Beispiele für die Eingabelänge n in Algorithmen
•
•
•
•
Länge einer Liste oder eines Arrays in Sortieralgorithmen
Anzahl der Bits einer Zahl im Primzahltest
Seitenlänge einer quadratischen Matrix bei Matrixmultiplikation
Seitenlänge eines Bildes bei Bildverarbeitungsoperationen
• Bestimme Grundoperationen mit leicht abschätzbarer Komplexität
(konstant O(1), linear O(n))
• Vergleich zweier Zahlen fester Länge:
• Addition zweier Zahlen fester Länge:
• Adressieren eines Array-Elements:
• Adressieren eines Listen-Elements:
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
konstant
konstant
konstant
proportional zu Listenlänge
28.11.08
11 - 7
Komplexität von Algorithmen (3)
• Häufigkeit der Ausführung der Grundoperationen hängt meist von n ab
• Für feste n ausprobieren:
 Für n=4: 8x ausgeführt
 n=5: 10x ausgeführt
 n=8: 16x ausgeführt
• Verallgemeinerung zu Formel: Operation wird 2*n mal ausgeführt
• Hierin liegt meist die größte Herausforderung!
• Gesamtkomplexität ergibt sich aus
• Komplexität der Grundoperationen
• Anzahl deren Ausführungen
• Vereinfachung des Terms durch O-Notation und Rechenregeln
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 8
Beispiel: Suche in balanciertem Binärbaum
• Eingabelänge n: Anzahl der Knoten im Binärbaum
• Grundoperationen
• Vergleich zweier Schlüssel: konstant
• Abstieg in Nachfolgeknoten: konstant
• Wie oft ausgeführt?
•
•
•
•
Anzahl der Vergleiche ist gleich der Höhe des Ergebnisknotens
Höhe wird nach oben durch Höhe h des Baums abgeschätzt
Baum mit Höhe h speichert ca. 2h Schlüssel
Höhe in Abhängigkeit von n: n = 2h => ld(n) = h
• Komplexität:
Konstante * Baumhöhe
• c * h = c * ld(n) => O(c * ld(n)) = O(ld n)
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 9
Beispiel: „Teile und Herrsche“-Sortierung
TH-Sortieren(Liste) {
if (Listenlänge > 1) {
TH-Sortieren(linke Listenhälfte);
TH-Sortieren(rechte Listenhälfte);
zusammenfügen(sortierte Hälften);
}
}
• Grundidee:
• Liste rekursiv halbieren bis Listen der Länge 1 entstehen
• Zwei sortierte Hälften in einem Durchgang zu langer sortierter Liste
zusammenfügen
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 10
Beispiel: „Teile und Herrsche“-Sortierung (2)
Halbieren
Sortiert zusammenfügen
Liste der Länge n=8
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 11
Komplexität der TH-Sortierung
• Eingabelänge n ist Länge der zu sortierenden Liste
• Grundoperationen und deren Komplexität
• Zerteilen einer Liste in zwei Hälften
 konstant bei geschickter Implementierung
• Sortiertes Zusammenfügen zweier Listen
 Kosten proportional zur Länge der Ergebnisliste (linear)
• Zerteilen der Liste wird n-1 mal ausgeführt
• Klar, weil: Teilung in n Stücke erfordert n-1 Schnitte
• Laufzeit: (n-1)*c = nc - c
• Als Funktion von n liegt (nc - c) in O(n)
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28.11.08
11 - 12
Komplexität der TH-Sortierung (2)
• Aufwand des Zusammenfügens
1 mal zu Liste der Länge n
2 mal zu Liste der Länge n/2
4 mal zu Liste der Länge n/4
• Aufwand:
1*n + 2*n/2 + 4*n/4 + ... = n + n + n + ... = k*n
• Bei Verdopplung von n wächst k um eins, also k = ld(n)
• Gesamtkomplexität: Teilen + Zusammenfügen
• O(n) + O(n * ld(n)) = O(n * ld(n))
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28.11.08
11 - 13
Testen
• Aufgabenstellung: Erhöhen der Wahrscheinlichkeit der Korrektheit einer
Implementierung durch wiederholtes Ausführen
• Ausgangspunkt des Tests
• Genaue Spezifikation des Algorithmus
• Implementierung des Algorithmus
• Gesucht ist Menge von Eingaben, die alle Problemfälle beinhaltet
• Testverfahren geben Hinweise zur Wahl der Menge der Eingaben
• Unterscheiden sich hauptsächlich in der Abdeckung
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28.11.08
11 - 14
Beispiel zum Testen
• Methode:
String removeSpaces(String)
• Spezifikation
• Eingabe ist beliebiger String
• Methode entfernt alle Leerzeichen aus Zeichenkette
• Gibt String ohne Leerzeichen zurück. Worte wurden
zusammengeschoben
• Welche Eingaben sind interessante Testfälle?
• Ermitteln von Testfällen ist kreativer Prozess
• Testverfahren unterstützen diesen Prozess systematisch
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28.11.08
11 - 15
Vollständiger Test
• Jede mögliche Eingabe wird getestet und Ausgabe überprüft
• Testmenge ist Menge aller möglichen Zeichenketten
• Zur Vereinfachung: Alle Zeichenketten mit zehn oder weniger Zeichen
• Ein Zeichen kann 2
16
• Es gibt (2
= 65536 verschiedene Zustände annehmen
16 10
) = 2160 mögliche Eingabestrings
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28.11.08
11 - 16
Vollständiger Test
• Jede mögliche Eingabe wird getestet und Ausgabe überprüft
• Testmenge ist Menge aller möglichen Zeichenketten
• Zur Vereinfachung: Alle Zeichenketten mit zehn oder weniger Zeichen
• Ein Zeichen kann 2
16
• Es gibt (2
= 65536 verschiedene Zustände annehmen
16 10
) = 2160 mögliche Eingabestrings
• Also ca. 1500000000000000000000000000000000000000000000000
Testfälle
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 17
Andere Testverfahren
• Anweisungstest: Wähle Testdaten so, dass jede Anweisung mindestens
einmal ausgeführt wird.
• Verzweigungstest: Jede Verzweigung muss mindestens einmal ausgeführt
werden.
• In Praxis: Jede Bedingung bei if/while/for muss einmal true und
einmal false ergeben
• Bedeutet für Schleifen: Schleife muss 0-mal und 1-mal durchlaufen
werden
• Wegetest: Fordere zusätzlich, dass jede Schleife k-mal durchlaufen wird,
für festes k > 1
Praktische Informatik I
Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 18
Code-Inspection
• Ist kein Testverfahren. Code wird nicht ausgeführt.
• Finden von typischen und häufig gemachten Fehlern durch genaues
Hinschauen
• Code-Inspection lernt man hauptsächlich durch Programmiererfahrung
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Benjamin Guthier
28.11.08
11 - 19