Versuchsanleitung Magnetismus

Fachrichtungen der Physik
UNIVERSITÄT
DES
SAARLANDES
Physikalisches Grundpraktikum
für Physiker/innen
Teil II
Magnetismus
WWW-Adresse Grundpraktikum Physik: http://grundpraktikum.physik.uni-saarland.de/
0
Kontaktadressen der Praktikumsleiter:
Dr. Manfred Deicher
Zimmer: 1.11, Gebäude E 2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-58198
1H
Dr. Patrick Huber
Zimmer: 3.23, Gebäude E2.6
e-mail: [email protected]
Telefon: 0681/302-3944
2H
MAGNETISMUS
Version: 15.08.06
Themengebiet
• Maxwell’sche Gleichungen
• Magnetische Induktion
• Materie in Magnetfeldern
• Wechselstrom
• Transformator
Magnetismus
1
VORBEREITUNG
1 Vorbereitung
1.1 Literatur:
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2
Elektrizität und Optik; Springer Lehrbuch 1995
– Kapitel 3.1, 3.2, 3.3 und 3.5 Prinzipielle Wirkungsweise sowie Definitionen
bzgl. statischer Magnetfelder.
– Kapitel 4: Maxwellgleichungen und Folgen des Induktionsgesetzes.
– Kapitel 5.6
• Gerthsen, Kneser, Vogel: Physik
Springer Lehrbuch; 16. Auflage (Neuere Versionen evtl. andere Seiten bzw. Kapitel)
– Kapitel 7.1.1 - 7.1.3
– Kapitel 7.2.1, 7.2.3 - 7.2.6
– Kapitel 7.3, 7.4, 7.5 (insbesondere 7.5.8)
1.2 Fragen:
1. Welche Kräfte wirken auf ein Elektron, das sich in einem magnetischen Feld bewegt? In welche Richtung wird es abgelenkt? Welche kinetische Energie gewinnt
das Elektron beim Durchlaufen des Magnetfeldes?
die mag2. Wie heißt das Induktionsgesetz? Wie sind die magnetische Feldstärke H,
und der magnetische Fluß Φ miteinander verknüpft?
netische Induktionsflußdichte B
Welche Einheiten haben sie?
3. Was sind Dia-, Para- und Ferromagnetismus?
4. Leiten Sie anhand der ersten Maxwell’schen Gleichung (Durchflutungsgesetz) das
Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter her.
5. Skizzieren Sie den Aufbau eines Drehspulmesswerkes. Zeichnen Sie die magnetischen Feldlinien ein.
6. Was versteht man unter dem Innenwiderstand eines Instrumentes? Wodurch ist er
beim Galvanometer, wodurch beim Oszillografen und wodurch beim Transformator
bestimmt?
2
Magnetismus
7. Wie transformieren sich beim Transformator Wechselspannungen und Wechselströme? Wie verhält sich der Transformator gegenüber einer Gleichspannung?
8. Skizzieren Sie das Ersatzschaltbild eines Idealen Transformators mit Last (also ohne Wirbelstrom- und Eisenkernverluste).
9. Diskutieren Sie die Energieverhältnisse auf der Primär- und Sekundärseite eines
idealen Transformators.
10. Nennen Sie Beispiele für Magnetfelder in der Technik.
2 Theorie
2.1
Allgemeine Eigenschaften von Magnetfeldern
Nach der 1. Maxwell’schen Gleichung erzeugt jeder elektrische Strom ein Magentfeld:
j d F =
s
Hd
(1)
F
das Magnetfeld
Dabei ist j die durch die Fläche dF hindurch tretende Stromdichte und H
ist die
längs des Linienstückes ds. Die Einheit von H ist A/m. Mit dem Magnetfeld H
materialabhängige Induktionsflussdichte
= μ μ0 H
B
(2)
verknüpft. μ ist die magnetische Permeabilität, μ0 = 1/0 c2 = 1.256 10−6 V s/Am ist die
Induktionskonstante. In dia- und paramagnetischen Stoffen ist μ ≈ 1, in ferromagnetischen Stoffen ist μ 1 und feldabhängig. Dann gilt:
H
= μ0 H
+M
H
B
(3)
Dieser Zusammenhang spiegelt sich in dem Auftreten einer magnetischen Hysterese H)
wider.
schleife B(
Die 2. Maxwell’sche Gleichung liefert nun den Zusammenhang zwischen der durch eine
magnetische Flußänderung induzierten Spannung Uind :
Uind = −Φ̇
(4)
Die für die Induktion relevante Größe ist also der magnetische (Induktions-)Fluss Φ. Er
ist definiert durch:
3
Magnetismus
2
Φ=
THEORIE
d F,
B
(5)
F
Man kann also elektrialso durch die eine Fläche durchsetzende Induktionsflussdichte B.
sche Spannung erzeugen, indem man das Magnetfeld B ändert, oder aber, indem man die
durchsetzt (Elektromotor, . . . ).
Fläche ändert, die B
(genauer: eine Induktionsflußdichte) eine Kraft
Schließlich erzeugt ein Magnetfeld B
(Lorentzkraft) auf eine bewegte Ladung (Strom). Auf ein Elektron wirkt
F = −e v × B
(6)
und analog dazu auf jedes Längenelement dl eines stromdurchflossenen Leiters
.
F = I dl × B
(7)
In der Technik nutzt man nun diese Tatsachen aus. Daß also ein elektrischer Strom im
Magnetfeld eine Kraft erfährt und daß eine Flußänderung eine Spannung induziert. Ersterer Effekt findet z. B. Anwendung in älteren Meßinstrumenten, wie z.B. im Galvanometer: Eine Leiterschleife erfährt eine Lorentzkraft, wenn sie sich in einem Magnetfeld
befindet und von einem Strom I durchflossen wird. Das erzeugte Drehmoment ist auch
bei kleinsten Strömen gut messbar. Drehspulmeßwerke gelten auch heute noch als hochempfindliche Instrumente, wenn sie auch wegen ihrer Anfälligkeit gegen unsachgemäßen
Gebrauch kaum noch benutzt werden.
2.2 Transformator
Bei Transformatoren macht man sich die Eigenschaft zunutze, daß ein Wechselstrom
durch eine Spule ein zeitlich veränderliches Magnetfeld und damit eine Induktionsspannung erzeugt. Bringt man eine zweite Spule in das Feld der ersten, so wird in ihr ebenfalls
eine Spannung induziert. Um größtmögliche Flußänderung Φ̇ zu erreichen, wählt man ein
ferromagnetisches Material, das eine hohe Permeabilität μ besitzt. Dieses bringt man als
Kern in die Spule, da dort das B-Feld am größten ist. Die zweite Spule setzt man ebenfalls
auf diesen Kern.
Es soll zunächst der unbelastete Transformator betrachtet werden. Legt man bei offener
Sekundärseite an die Primärwicklung eine Spannung U1 (t) = U1 sin(ωt) an, dann gilt:
N1
I(t)
l
Φ1 (t) = B(t) F
B(t) = μ μ0
4
(8)
(9)
Magnetismus
2.2. Transformator
N1 , l
F
mit:
:
:
Windungszahl bzw. Länge der Spule
Fläche einer Windung
Infolge dieses Flusses wird in der Primärspule die Spannung
Uind (t) = −N1 Φ̇1 (t)
(10)
induziert. Aus der Maschenregel folgt für die Eingangsseite des unbelasteten Transformators:
U1 + Uind (t) = 0
U1 = N1 Φ̇1 (t) .
bzw.
(11)
(12)
mit
(13)
Mit (8) und (9) in (12) ergibt sich für den Strom I1 also
U1
cos(ωt)
ωL1
N2
:= μ μ0 1 F
l
I(t) = −
L1
als Induktivität der Spule.
Beim idealen Transformator ohne Last sind Strom und Spannung um 90◦ phasenverschoben, die Leistungsentnahme ist Null, da
Pe f f =
1
2
U(t)I(t) dt = 0.
(14)
Die Flußänderung induziert aber wie gesagt auch in der Sekundärwicklung eine Spannung:
U2 (t) = −N2 Φ̇1 (t)
mit
N2 : Windungszahl der Sekundärspule.
(15)
(16)
Die Spannungen am unbelasteten Transformator verhalten sich also wie
U1
N1
=−
U2
N2
(17)
5
Magnetismus
2
THEORIE
Betreibt man den Transformator jetzt sekundärseitig mit einer Last, so fließt ein Sekundärstrom I2 = U2 /RL , der nun seinerseits wieder einen magnetischen Fluß Φ2 im
Eisenkern zur Folge hat. Dieser ist zu dem von I1 erzeugten Fluss um 90◦ phasenverschoben. Er überlagert sich mit Φ1 zu dem Gesamtfluß Φ = Φ1 + Φ2 , der eine Phasenverschiebung 0 < Δϕ < 90◦ gegenüber der Eingangsspannug U1 hat. Es fließt ein Wirkstrom und
es gilt
1
U1 I12 + I22 cos(ϕ − Δϕ)
Pe f f =
2
tan(Δϕ) = Φ2 /Φ1 .
mit
(18)
(19)
Zur quantitativen Beschreibung des idealen Transformators mit beliebiger Last Z geht
man wie folgt vor: Man definiert sich eine gegenseitige Induktivität L12 . Diese beschreibt den Einfluß der einen Spule auf die andere. Dabei führt man den Kopplungsgrad
k :=
mit
:
L12
√
L1 L2
0<k<1
(20)
(21)
ein. Dann gilt:
U1 = iωL1 I1 + iωL12 I2 + Re I1
U2 = Z I2 = −iωL12 I1 − iωL2 I2
und
(22)
(23)
Dieses Gleichungssystem muß dann für die jeweilige Impedanz Z bzw. Eingangswiderstände Re berechnet werden. In der Realität kommt noch ein (nichtlinearer) Anteil des
Kerns sowie Verluste durch Streufelder und Wirbelströme hinzu. Setzt man den Kopplungsgrad k = 1 und L1 = L2 , dann sieht man, daß sich der im unbelasteten Fall allein
durch die Primärseite fließende Strom jetzt auf Primär- und Sekundärseite verteilt und für
das Verhältnis I1 /I2 gilt:
I1 /I2 =
Z
−1
iωL
(24)
Desweiteren sind die Spannungen auf beiden Seiten betragsgleich, haben aber umgekehrte Vorzeichen. Allgemein gilt für die Spannungen auf Primär- und Sekundärseite
U2
L12
= −
2
U1
L1 − iω(k − 1)L1 L2 /Z
6
(25)
Magnetismus
Die Wirkleistung auf der Primärseite ist beim idealen Transformator gerade so bemessen,
daß sie die sekundäre Belastung ausgleicht:
U1 e f f I1 e f f cos(ϕ1 ) = U2 e f f I2 e f f cos(ϕ2 )
mit
ϕ1,2 : Phasenverschiebung auf
Primär- bzw. Sekundärseite.
(26)
Schließt man die Sekundärseite eines Transformators kurz, wird die Belastung sehr groß
und es gilt:
I1 N2
=
I2 N1
(27)
3 Experiment
3.1 Induktionsspule
Aufgabe 1:
Messen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes I(t) durch eine Feldspule. Dazu legen Sie eine asymmetrische 20Hz Rechteckspannung (U0 = 3V) an die
Spule und zeichnen sowohl U(t) als auch I(t) auf. Schätzen Sie das Verhältnis L/R ab, indem Sie den theoretischen Verlauf I(t) aus der Maschenregel
berechnen.
Bestimmen Sie nun den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung U Ind in
einer Pick-up Spule, die sich im Inneren der Feldspule befindet. Berechnen
sie daraus den magnetischen Fluß in der Pick-Up Spule.
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die magnetische Induktionskonstante μ0 . Durch Aufintegrieren des in der Pick-up Spule hervorgerufenen Spannungsstoßes, der durch
Ein- bzw. Ausschalten des Stromes in der Feldspule induziert wird, können
Sie B(H) berechnen und den entsprechenden Wert für verschiedene Maximalströme I ≤ 0.5A gegen H auftragen (H = IN/L). Aus der Steigung können
Sie dann μ0 bestimmen.
Daten der Spulen:
Feldspule: Länge l = 20 cm, N = 1145 Windungen, φKup f erdraht = 0.6 mm
Pick up Spule: Querschnittsfläche A = 3.37 cm2 , φKup f erdraht = 0.18 mm,
N = 3000 Windungen
7
Magnetismus
3
EXPERIMENT
3.2 Transformator
Aufgabe 3:
Messen der Hystereseschleife des Weicheisenkerns eines Transformators. Tragen Sie den magnetischen Fluss Φ in Abhängigkeit des durch eine Wicklung
fließenden Stromes I im quasistatischen Grenzfall auf.
Legen Sie dazu eine Dreieckspannung U Prim von maximal 7 V und minimaler
Frequenz (0.1Hz) an die Primärseite des Transformators. Sie messen die in
der Sekundärseite induzierte Spannung US ek und berechnen daraus den magnetischen Fluss Φ.
Erhöhen Sie nun die Frequenz des Dreieckstromes (bis 50Hz) und erklären
Sie qualitativ, warum sich die Form und Fläche der Hystereseschleife ändert.
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Zusammenhänge von Primärstrom IPrim und Sekundärstrom IS ek , sowie von Primar- und Sekundärspannung U Prim bzw. US ek eines
Transformators im Leerlauf. Dazu speisen Sie in die Primärseite eine 50Hz
Sinusfunktion ein.
Aufgabe 5:
Wirkungsgrad eines Transformators. Sie messen die Leistung auf Primärund Sekundärseite (50Hz) in Abhängigkeit der Last an der Sekundärseite
(0 − 250Ω). Bestimmen Sie den lastabhängigen Wirkungsgrad des Transformators. Schätzen Sie den Innenwiderstand des Transformators ab.
Daten des Transformators:
Primärseite: 1000 Windungen, Sekundärseite: 500 Windungen
Ausstattung
•
•
•
•
•
8
CASSYLab
Rechner
Feldpule mit Pick-Up Spule
Transformator
Schiebewiderstand 0 − 250Ω